3 整数规划与分配问题(1)
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运筹学 第05章 整数规划与分配问题
1
整数规划问题的提出
0 xj 1 表示项目j不被选中 表示项目j被选中 ( j 1,2,3,4,5)
解：决策变量：设
目标函数：期望收益最大
max z 10 x1 8 x 2 7 x3 6 x 4 9 x5
约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515 项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1 项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4 归纳起来，其数学模型为：
n
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
2
整数规划问题的分类
根据变量取整数的情况，将整数规划分为：
（1）纯整数规划，所有变量都取整数.
（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
2
整数规划问题的求解思考
1
整数规划问题与其松弛问题
2
匈牙利法
例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：
任务 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
人员
甲 乙 丙 丁
2
匈牙利法
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和
分支定界法，对于0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
3
分派问题与匈牙利法
1
运筹学-整数规划与分配问题PPT
但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
第四章 整数规划与分配问题(1)
一、整数规划的模型及特点
各位教师对各门课的准备时间
任务 人员
A 2 10
B 15 4
C 13 14
D 4 15
甲 乙
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
整数规划与线性规划的关系
整数规划包括整数线性规划和整数非线性
规划。
从数学模型上看整数线性规划似乎是线性 规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的 基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的 解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过 舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解， 有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可
行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，
如图所示。
整数规划与线性规划的关系
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最
大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值， Z=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的模型
分配问题 分支定界法 割平面法 0－1 整数规划
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
例3 设有4个教师，他们各有能力去教4门不同课程中的任一 门，但因为他们的经历和经验不同，所以每个教师同样准备教 某一课程平均每周所需备课时间不同，见下表。问应分配哪个 教师去担任哪门课程，以使所有4门课程总的备课时间为最少？
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
整数规划问题及分配问题
在一般情况下，松驰问题的最优解不会刚好满 足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解， 自然就不是整数规划的最优解。此时，若对松驰问题 的这个最优解中不符合整数要求的分量简单地取整， 所得到的解不一定是整数规划问题的最优解，甚至也 不一定是整数规划问题的可行解。
§7-2 分支定界法
7.2.1 思路与解题步骤（只解松弛问题）
x1
10
x1 x2
8
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4
9 11
s .t .
x2 x3 x4 x5 13 x3 x4 x5 8
x4 x5 5
x5 3
x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
0,
x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
皆
5
为
整
数
这也是一个纯整数线性规划问题。
j 1
0 （1 且 取 整 ）
如果上述问题中一个或两个约束条件方程是“≥”型， 应两边同乘“-1”变为“≤”型，再用上述方法进行 调整。
在p个约束条件中至少要满足k个约束条件
n
aijxij bi(i 1,2....p)
j1
令yi为0-1变量，如果第i个约束条件是k个约束条件中的一 个，就令yi=1，否则取0；对p个约束条件中的每一个约束 条件都增加yi，变为：
（二）指派问题的基本特征
性质：特殊的运输问题、特殊0-1规划问题。 特征：（1）决策变量为0-1变量；
(2) 发点数m = 收点数 n； （3）ai=bj=1 i,j=1,2,…,n ;
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
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（2）从第一列开始，若该列只有一个“0”元素，则对该 “0”元素打括号（ ），并划去该“0”元素所在的行；若该 列无“0”元素或有两个以上的“0”元素（不含划去的0）， 则转下一列；
2013-10-17
26
8 2 （0） 11 5 （0） 2 3 （0） 0 11 4
5 4 0 5
完成上述步骤后可能出现下列情况： ⅰ）效率矩阵的每一行都有一个打括号的0元素，则按照打 括号的0元素位置指派任务，即是最优解； ⅱ）打括号的0元素个数小于m，但未被划去的0元素之间存 在闭回路，则沿此闭回路，每隔一个0元打一括号，然后对 打括号的0元素所在行或所在列画直线； ⅲ）矩阵中所有0元素或被打括号，或被划去，但打括号的0 元素个数 m ，则进入下一步；
4
4
ij
x ij 1200
再引入一个0-1变量y
400 4 600 x ij 200 j 1 0 350 4 400 x ij 300 i 1 150
2013-10-17 27
0 0
0
0
0 0
(0) 0
0
(0)
(0) 0
3、设法使每一行都有一个打括号的“0”元素。按定理1继续对 矩阵进行变换：
ⅰ）从矩阵未被直线覆盖的元素中找出最小者k，
物资运输问题
工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。 相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有B1，B2，B3，B4四个。 各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费 cij(i,j=1,2,3,4).
B1 A1 A2 A3 A4 需求量 2 8 7 4 30 0 4 5
0 0 5 0
2013-10-17
25
3、寻找独立“0”元素(不同行不同列）
（1）从第一行开始，若该行只有一个“0”元素，则对该 “0”元素打括号（ ）（表示这一行的人只有这一个任务可 指派），并划去该“0”元素所在的列（表示该项任务不能 再指派给别人） ；若该行无“0”元素或有两个以上的“0” 元素（不含划去的0），则转下一行；
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
2013-10-17
1
第四章 整数规划与分配问题 （Integer Programming, IP)
整数规划的有关概念及特点 指派问题及匈牙利解法 整数规划的求解方法：分枝定界法、割平面法 0-1规划的求解方法：隐枚举法 整数规划的应用
ⅱ）对矩阵中无直线覆盖的行，令 令 v j k 。其余为0。
ui k
，有直线覆盖的列，
ⅲ）对矩阵的每个元素计算 aij ui v j ，得到一个新矩阵， 转第三步重复进行，直至每一行都有一打括号的0元素。
2013-10-17 28
8 2 （0） 11 5 （0） 2 3 （0） 0 11 4
x ij 0 y 0或1
模型的特点
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要
性质—可行域是离散集合
与线性规划的关系
整数规划
放松的线性规划
min c x Ax b s . t . x 0, x为整数
min c x Ax b s . t . x 0
常数 u i ，每一列元素分别减去（加上）一个元素 v j
新效率矩阵 bij 价于
a
ij
，bij aij ui v，则 bij j
，得
的最优解等
的最优解。
定理2：若矩阵A的元素可分为“0”元和“非0”元，则覆盖 “0”元的最少直线数等于位于不同行、不同列的“0”元的
1、非整数规划最优解 (3.25, 2.5) 显然不是整数规划的可行解。 2、四舍五入后的结果 (3, 3) 也不是整数规划的可行解。
(3.25, 2.5)
3、可行解是阴影区 域交叉点，可比较这 些点对应的函数值， 找出最优。4, 1) (
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-17
松弛问 题
x j中部分或全部取整数
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划：
物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划：
投资组合问题
x j只能取值0或1
人员安排问题
医院护士24小时值班，每次值班8小时。不 同时段需要的护士人数不等。据统计：
第三，项目5，6和7中恰好选择两个。
应当怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
1 对项目j投资 xj 0 对项目j不投资
模
型
变量—每个项目是否投资
x j 1,0
j 1,2..., n
B
x2 x1 x3 x4 1 x5 x6 x7 2
约束—总金额不超过限制＋3个附加条件
20
任务
1 2 … m
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设
1 xij 0
第j个人完成第i项任务 否则
于是建立模型如下：
min z aij xij
i 1 j 1
m
m
x
j 1 m
m
ij
1, 1,
i 1,...m j 1,...m i, j 1,...m
21
x
i 1
最大个数。
2013-10-17
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例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种语言， 交给甲、乙、丙、丁四人去完成，各人的效率不同，如何 分配任务，可使总效率最高。
人 任务
甲
乙
丙
丁
英文
日文 德文 俄文
2
15 13 4
10
4 14 15
9
14 16 13
7
8 11 9
2013-10-17
24
匈牙利解法步骤：
x1
19
§2 指派问题及匈牙利解法
一、 指派问题与模型
m项任务分配给m个人去完成，每人只能完成其中一项， 每项任务只能分给一人完成，应如何分配使得效率最高？ aij是第j个人完成第i项任务的效率。
人
1 a11 a21 … am1
2 a12 a22 … am2
… … … …
m a1m a2m … amm
可行解是松弛问题的可行解 最优值不会优于其松弛问题的最优值
注
释
最优解不一定在顶点上达到 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数 解 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
二、 整数规划的求解特点
求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对
性规划的非整数解加以处理就能解决的，用枚举法又往往 会计算量太大，所以要用整数规划的特定方法加以解决。
min z
c
i 1 j 1
4
4
ij
x ij 1200y 1500(1 y )
400 4 600 x ij 200 y j 1 200(1 y ) 350 4 400 x ij 300 i 1 150
根据上图，k=2，
5 4 0 5
0 11 2 0 2
2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5 2 0 0 8
0 8 11 0 2 0 4 5 2 0 11
2
0 3 8 ( 0) 3 0 11 (0) 3 3 2 2 4 0 0 5 0 ( 0) 2 3 3 (0) 11 2
A 1 若建工厂 3 y A 0 若建工厂 4
min z
c
i 1 j 1
4
4
ij
x ij 1500
400 4 600 x ij 0 j 1 200 350 4 400 x ij 300 i 1 150
2013-10-17
ij
xij 0或1,
二、 指派问题的匈牙利解法
该指派问题可当作运输问题解决，但匈牙利解法更有效。 解法思想：效率矩阵的元素 aij 0 ，若有一组位于不同 行不同列的零元素，则令这些位置的决策变量取值为1，其 余均为0，这显然就是最优解。
2013-10-17
22
定理1：效率矩阵 a ij 的每一行元素分别减去（加上）一个
a x
n
目标—总收益最大
j 1
j
j
max
c
j 1
n
j
xj
模
型
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 x3 x4 1 x x x 2 6 7 5 x j 0或1 （j 1,2,..., n）
序号 1 2 3 4 5 6 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 22—02 02—06 最少人数 60 70 60 50 20 30 安排人数 x1 x2 x3 x4 x5 x6
最少需要多少护士？
人员安排问题
设x1,x2,…,x6为各班新上班人数
min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 x1+x2 ≥70 x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 x6＋x1≥60 xj ≥0,j=1,2,…6