第4章 整数规划与分配问题
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但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
运筹学——.整数规划与分配问题
2.4 匈牙利法实例(2)
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。
必定满足：bij = aij–ui–vj
0 11 2 0 0
8 0 3 11 0
7 5 0 11 10 4 2 5 0 9 5 0 5 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 乙 丙 丁 7 8 11 9 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。 问：应如何选址，可使年利润为最大？
第一步：找出每 行的最小元素， 每行对应减去这 个元素。
Chapter04分配问题与整数规划.ppt
证明思路 只证明(II)的最优解也是(I)的最优解，将cij用dij表示，注 意约束条件的特点，利用定义即可，具体过程见黑板。 [注意实际操作中ui+vj的限制]
19.03.2019
8
一个说明性的例子(构造等价效率矩阵-书P111)
dij 甲 cij 甲 乙 A 3 4 B 5 2 dij 甲 乙
A 0 2 A 0 1
B 2 0 B 3 0
乙
定理4.3 (划线法求独立零元素集合，证明略) 在效率矩阵中，覆盖零元素的最少直线数等于位于不同行 不同列的0元素的最大个数。
19.03.2019 9
※匈牙利法求解分配问题-步骤1
Step1. 效率矩阵每行减去本行的最小元素，再从每列 减去本列的最小元素 ；
7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 (3.25,2.5)
例1. 一个整数线性规划求解 的例子 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值。 1 2
用凑整数的 枚举法是否 有效呢？
B 29 38 27 42 27
C 31 + 26 + 28 36 28
D 42 20 40 23 23
E 37 33 32 + 45 45
甲 乙 丙 丁 某人
+ 24
34
求解过程大家一起在黑板上完成
18
19.03.2019
整数规划 – 分枝定界法
整数线性规划的特点
① ②
可行解的集合是离散点，有限多个 x2 最优解未必在顶点达到
甲
2 15 13 4
19.03.2019
8
一个说明性的例子(构造等价效率矩阵-书P111)
dij 甲 cij 甲 乙 A 3 4 B 5 2 dij 甲 乙
A 0 2 A 0 1
B 2 0 B 3 0
乙
定理4.3 (划线法求独立零元素集合，证明略) 在效率矩阵中，覆盖零元素的最少直线数等于位于不同行 不同列的0元素的最大个数。
19.03.2019 9
※匈牙利法求解分配问题-步骤1
Step1. 效率矩阵每行减去本行的最小元素，再从每列 减去本列的最小元素 ；
7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 (3.25,2.5)
例1. 一个整数线性规划求解 的例子 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值。 1 2
用凑整数的 枚举法是否 有效呢？
B 29 38 27 42 27
C 31 + 26 + 28 36 28
D 42 20 40 23 23
E 37 33 32 + 45 45
甲 乙 丙 丁 某人
+ 24
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求解过程大家一起在黑板上完成
18
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整数规划 – 分枝定界法
整数线性规划的特点
① ②
可行解的集合是离散点，有限多个 x2 最优解未必在顶点达到
甲
2 15 13 4
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
第四章 整数规划与分配问题(1)
一、整数规划的模型及特点
各位教师对各门课的准备时间
任务 人员
A 2 10
B 15 4
C 13 14
D 4 15
甲 乙
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
整数规划与线性规划的关系
整数规划包括整数线性规划和整数非线性
规划。
从数学模型上看整数线性规划似乎是线性 规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的 基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的 解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过 舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解， 有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可
行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，
如图所示。
整数规划与线性规划的关系
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最
大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值， Z=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的模型
分配问题 分支定界法 割平面法 0－1 整数规划
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
例3 设有4个教师，他们各有能力去教4门不同课程中的任一 门，但因为他们的经历和经验不同，所以每个教师同样准备教 某一课程平均每周所需备课时间不同，见下表。问应分配哪个 教师去担任哪门课程，以使所有4门课程总的备课时间为最少？
整数规划问题
整数规划问题的求解方法
分枝定界法branch and bound method 分枝定界法是一种隐枚举方法（implicit enumeration）或部分 枚举方法，是枚举方法基础上的改进，几乎所有的计算机计算都用 此算法。其关键是分支和定界。 例——
Max
s.t.
Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 X1 ， X2 取整数
fi - ∑ fik xk ≤ 0 ……………………（4 式）
此即为所需切割方程。
16
整数规划 Integer Programming（IP）
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： （1）切割方程 fi - ∑ fik xk ≤ 0 真正进行了切割，至少把非整数最优 解这一点切割掉了。 证明：（反证法）假设松驰问题的最优解 X* 未被切割掉，则由 fi - ∑ fik x*k ≤ 0， 又因为 x*k = 0，（因 x*k 为非基变量） 有 fi ≤ 0 ，这与 fi ＞ 0 矛盾。 （2）不会切割掉任何整数解，因为切割方程是由变量为整的条件 提出的。
18
求解步骤：
1、求解 LP 得到非整数最优解： X =（3/4，7/4，0，0），Max Z = 5/2 Cj CB I表 XB B –1 b 1 X1 1 X2 0 X3 0 X4
0
0 j 1
X3
X4 X1 X2
1
4 0 3/4 7/4
-1
3 1 1 0
1
1 1 0 1
1
0 0 -1/4 3/4
14
整数规划 Integer Programming（IP）
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
运筹学(第4章 整数规划与分配问题)(1)
运筹学基础及应用 ( Operations Research )
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
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2015年4月11日星期六
0, 第i名未进入正式队 设 : xi 1, 第i名进入正式队
max z 193x1 191x2 187 x3 186 x4 180 x5 185 x6
s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 (1) x5 x6 ≥1 (2) x2 x5 ≤1 (3)
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
第4章 整数规划与分配问题
重庆三峡学院 关文忠 /guanwenzhong
教学目标与要求
【教学目标】 通过本章学习，了解求解整数规划“分枝定界法”的其中思路，掌握 0-1变量在数学建模中的应用；熟练掌握“匈牙利法”，至少掌握一 种软件求得整数规划及分配问题的最优解。 【知识结构】
管理运筹学课件
2015年4月11日星期六
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
2015年4月11日星期六
管理运筹学课件
导入案例——集装箱托运计划
某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、质量、可获得的 利润以及托运所受到的限制如表4-1所示。问怎样安排托运计划，可 使利润最大？
货物 甲 乙 每箱体积/米3 3 8 每箱质量/50千克 4 3 每箱利润/百元 5 6
托运限制
2015年4月11日星期六
(1) (2) (3) (4) (5)
管理运筹学课件
4.1.1 整数规划的基本概念
整数规划（integer programming，IP）是指一 类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学 规划。 在整数规划中，依决策变量的取值不同，又可进 一步划分： 如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划 （Pure Integer Programming，PIP）； 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划（Mixed Integer Programming，MIP）； 变量取二进制的整数规划则称为0-1规划（Binary Integer Programming，BIP）。
x1 x2≤1 (4)
身高/厘米 193 191 187 186 180 185
位置 中锋 中锋 前锋 前锋 后卫 后卫
x2 x6≤ 1 x4 x6 ≤ 1
x1~6 0或1
(5)
管理运筹学课件
案例4-2 选址问题
某公司在城市东、西、 南三区拟建立门市部。 计划有7个位置(点) Aj(j=1,…,7)可供选择。 规定： 在东区，由A1,A2,A3 三个点至多选两个； 在西区，由 A4,A5 两 个点至少选一个；在 南区，由A6,A7 两个 点至少选一个。设各 位置建点的成本与预 计利润见表，若建点 总成本控制在100万 元以内，试问应该选 取哪几个点可使年利 润为最大？。
1, 第 i街道设消防站 设 : xi 0, 第i街道不设消防站
2015年4月11日星期六
约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
2015年4月11日星期六
例 max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x 4 x2 x3 4 (2) s.t. 1 x + x2 3 (3) 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
改变c j 符号,变为 min min w 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 x 4 x2 x3 4 s.t. 1 x + x2 3 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
x1 1 x1 1 x2 令 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 x3 3x1 5 min w x2 x1 0 x3 x1 0 2 x2 1 解得 x3 x1 2 x2 4 x2 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 , x3 0或1 x1, x2
max(min) z CX AX ≥ (,≤)b s.t. X 取0或1
2015年4月11日星期六 管理运筹学课件
4.2.2 隐枚举法简介
1.化成标准形式 (1)目标函数:min ,cj>0 (2)目标若max,目标系数 改变符号,变为min; (2)若cj<0,令yj=1-xj使其 变正; (3)目标函数中,变量按目 标系数从小到大排列,约 束条件中也跟着相应改 变. 2.令标准化后的0-1问题 所有变量为0,若满足约束, 即为最优,否则转下步. 3.按目标函数中排列顺序 依次令各变量分别取1或 0,进行枚举.
变量取整的 LP 整数规划
整 数 规 划 与 分 配 问 题
变量取 0-1 的 LP 0-1 变量用法：添加特殊约束的 LP 数学模型 应用
分配问题数学模型
计算机求解
匈牙利法
2015年4月11日星期六
管理运筹学课件
本章主要内容
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1 整数规划 4.1.1 整数规划的概念 4.1.2 分枝定界法的基本思路* 4.2 0-1规划 4.2.1 0-1规划的概念 4.2.2 0-1规划的隐枚举法简介* 4.2.4 0-1变量在数学建模中的用途 案例4-1 球队队员筛选 案例4-2 选址问题 案例4-3 集合覆盖问题 4.3 分配问题 4.3.1 分配问题数学模型 4.3.2 分配问题的解题方法——匈牙利法 案例4-4 任务分派 本章小结
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 (1) 解7 (2,4),z=34 4 x 3 x ≤ 24 (2) 1 2 解5 (8/3,4),z=37.33 x1 , x2 ≥ 0 解4 (3,3),z=33 x , x 取整数 1 2
②
解2 (3,31/8) 解1 (72/23,88/23)
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案例4-3 集合覆盖问题
某区有6个街道。这个区必须确定在什么地 方修建消防站。在保证至少有一个消防站 在每个街道的15min行驶时间内的情况下， 这个区希望修建的消防站最少。各街道间 行驶时间如表
目标 : 消防站数目最少 max z x1 x2 x3 x4 x5 x6
2015年4月11日星期六
地点
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
建点成本
估计利润
20 20 25 24 22 24 23
30 30 35 34 38 40 45
1 设 : xi 0
i = 1， 2， ， 7 当Ai 未被选中，
当Ai 被选中，
数学模型为：
max z 30 x1 30 x2 35 x3 34 x4 38 x5 40 x6 45 x7 20 x1 20 x2 25 x3 24 x4 22 x5 24 x6 23x7 ≤ 100 ≤ 2 (东区) x1 x2 x3 s.t. x4 + x5 ≥ 1 (西区) x6 + x7 ≥ 1 (南区) xi 0 或 1
解3 (4,8/3)
(2,9/2),z=34.5 ①
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x1
5x1+6x2=30
解6 (4,2),z=32
(2) (3) (4) (6) (5)(1) 对“解 再对“解 剪枝：上述有三个区域的整数解分别为“解 先对“解 对“解 1” 5” 分枝定界：选取 3” 2” 分枝定界：“解 分枝定界：“解 x1 5” 2” 3” 进行分枝定界：在原模型的基础上， 的坐标 的坐标为 的坐标 (8/3,4) ， (3,31/8) 为非整数，添加 ， 4”X=(3,3) 为非整数，添加 ，分别添加 ，z=33 x2≤2 x2≤3 x1≤2 ；， 解 绘制直角坐标系，图示约束条件，图示目标函数一根基线 分别添加 x2≥4 （ “解 x2 x1≥3 6”X=(4,2) ，优化结果 ≥3 为非可行域），优化结果为 x1≤3,x1≥4 ，z=32 “解 。优化结果 ；“解 4”，X=(3,3) 7”X=(2,4) “解 ，X=(2,17/4) X=(9/2,2) z=33 2” ， ， z=34 ，为可行解；“解 X=(3,31/8) ， 。相比较，目标值最大 ，再添加 z=34.5 ， ；再添加 z=38.25 x2=4 5” 和 ， ； x1 x2=5 。 (z=30) ，使其平行移动，求得非整数最优解。该解的坐标为 “解34 X=(8/3,4) =4,x1 求得整数解 的为 3” ≥5 ，。解得整数解 ，对应的最优方案 ， X=(4,8/3) z=37.33 (2,4) ，目标值 ， ，为非可行解。 z=36 X=(4,2) 34 ，均为非整数（非可行解）。 。 ；整数解 ，z=32(0,5) 和非整数解 ，目标值 X=(21/4,1) 30，取(2,4) ，目标值 。如图 (72/23,88/23) ，不在网格线的交叉点上，非整数解（非可行解）。 z=31.25 “解 7”。 ；整数解目标值大于非整数解，取(4,2)，得“解6”。 演示：利用WinQSB,ExcelORM+规划求解,ExcelORM+Lingo求例4.1
0, 第i名未进入正式队 设 : xi 1, 第i名进入正式队
max z 193x1 191x2 187 x3 186 x4 180 x5 185 x6
s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 (1) x5 x6 ≥1 (2) x2 x5 ≤1 (3)
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
第4章 整数规划与分配问题
重庆三峡学院 关文忠 /guanwenzhong
教学目标与要求
【教学目标】 通过本章学习，了解求解整数规划“分枝定界法”的其中思路，掌握 0-1变量在数学建模中的应用；熟练掌握“匈牙利法”，至少掌握一 种软件求得整数规划及分配问题的最优解。 【知识结构】
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4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
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导入案例——集装箱托运计划
某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、质量、可获得的 利润以及托运所受到的限制如表4-1所示。问怎样安排托运计划，可 使利润最大？
货物 甲 乙 每箱体积/米3 3 8 每箱质量/50千克 4 3 每箱利润/百元 5 6
托运限制
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(1) (2) (3) (4) (5)
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4.1.1 整数规划的基本概念
整数规划（integer programming，IP）是指一 类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学 规划。 在整数规划中，依决策变量的取值不同，又可进 一步划分： 如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划 （Pure Integer Programming，PIP）； 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划（Mixed Integer Programming，MIP）； 变量取二进制的整数规划则称为0-1规划（Binary Integer Programming，BIP）。
x1 x2≤1 (4)
身高/厘米 193 191 187 186 180 185
位置 中锋 中锋 前锋 前锋 后卫 后卫
x2 x6≤ 1 x4 x6 ≤ 1
x1~6 0或1
(5)
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案例4-2 选址问题
某公司在城市东、西、 南三区拟建立门市部。 计划有7个位置(点) Aj(j=1,…,7)可供选择。 规定： 在东区，由A1,A2,A3 三个点至多选两个； 在西区，由 A4,A5 两 个点至少选一个；在 南区，由A6,A7 两个 点至少选一个。设各 位置建点的成本与预 计利润见表，若建点 总成本控制在100万 元以内，试问应该选 取哪几个点可使年利 润为最大？。
1, 第 i街道设消防站 设 : xi 0, 第i街道不设消防站
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约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
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例 max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x 4 x2 x3 4 (2) s.t. 1 x + x2 3 (3) 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
改变c j 符号,变为 min min w 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 x 4 x2 x3 4 s.t. 1 x + x2 3 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
x1 1 x1 1 x2 令 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 x3 3x1 5 min w x2 x1 0 x3 x1 0 2 x2 1 解得 x3 x1 2 x2 4 x2 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 , x3 0或1 x1, x2
max(min) z CX AX ≥ (,≤)b s.t. X 取0或1
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4.2.2 隐枚举法简介
1.化成标准形式 (1)目标函数:min ,cj>0 (2)目标若max,目标系数 改变符号,变为min; (2)若cj<0,令yj=1-xj使其 变正; (3)目标函数中,变量按目 标系数从小到大排列,约 束条件中也跟着相应改 变. 2.令标准化后的0-1问题 所有变量为0,若满足约束, 即为最优,否则转下步. 3.按目标函数中排列顺序 依次令各变量分别取1或 0,进行枚举.
变量取整的 LP 整数规划
整 数 规 划 与 分 配 问 题
变量取 0-1 的 LP 0-1 变量用法：添加特殊约束的 LP 数学模型 应用
分配问题数学模型
计算机求解
匈牙利法
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本章主要内容
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1 整数规划 4.1.1 整数规划的概念 4.1.2 分枝定界法的基本思路* 4.2 0-1规划 4.2.1 0-1规划的概念 4.2.2 0-1规划的隐枚举法简介* 4.2.4 0-1变量在数学建模中的用途 案例4-1 球队队员筛选 案例4-2 选址问题 案例4-3 集合覆盖问题 4.3 分配问题 4.3.1 分配问题数学模型 4.3.2 分配问题的解题方法——匈牙利法 案例4-4 任务分派 本章小结
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 (1) 解7 (2,4),z=34 4 x 3 x ≤ 24 (2) 1 2 解5 (8/3,4),z=37.33 x1 , x2 ≥ 0 解4 (3,3),z=33 x , x 取整数 1 2
②
解2 (3,31/8) 解1 (72/23,88/23)
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案例4-3 集合覆盖问题
某区有6个街道。这个区必须确定在什么地 方修建消防站。在保证至少有一个消防站 在每个街道的15min行驶时间内的情况下， 这个区希望修建的消防站最少。各街道间 行驶时间如表
目标 : 消防站数目最少 max z x1 x2 x3 x4 x5 x6
2015年4月11日星期六
地点
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
建点成本
估计利润
20 20 25 24 22 24 23
30 30 35 34 38 40 45
1 设 : xi 0
i = 1， 2， ， 7 当Ai 未被选中，
当Ai 被选中，
数学模型为：
max z 30 x1 30 x2 35 x3 34 x4 38 x5 40 x6 45 x7 20 x1 20 x2 25 x3 24 x4 22 x5 24 x6 23x7 ≤ 100 ≤ 2 (东区) x1 x2 x3 s.t. x4 + x5 ≥ 1 (西区) x6 + x7 ≥ 1 (南区) xi 0 或 1
解3 (4,8/3)
(2,9/2),z=34.5 ①
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x1
5x1+6x2=30
解6 (4,2),z=32
(2) (3) (4) (6) (5)(1) 对“解 再对“解 剪枝：上述有三个区域的整数解分别为“解 先对“解 对“解 1” 5” 分枝定界：选取 3” 2” 分枝定界：“解 分枝定界：“解 x1 5” 2” 3” 进行分枝定界：在原模型的基础上， 的坐标 的坐标为 的坐标 (8/3,4) ， (3,31/8) 为非整数，添加 ， 4”X=(3,3) 为非整数，添加 ，分别添加 ，z=33 x2≤2 x2≤3 x1≤2 ；， 解 绘制直角坐标系，图示约束条件，图示目标函数一根基线 分别添加 x2≥4 （ “解 x2 x1≥3 6”X=(4,2) ，优化结果 ≥3 为非可行域），优化结果为 x1≤3,x1≥4 ，z=32 “解 。优化结果 ；“解 4”，X=(3,3) 7”X=(2,4) “解 ，X=(2,17/4) X=(9/2,2) z=33 2” ， ， z=34 ，为可行解；“解 X=(3,31/8) ， 。相比较，目标值最大 ，再添加 z=34.5 ， ；再添加 z=38.25 x2=4 5” 和 ， ； x1 x2=5 。 (z=30) ，使其平行移动，求得非整数最优解。该解的坐标为 “解34 X=(8/3,4) =4,x1 求得整数解 的为 3” ≥5 ，。解得整数解 ，对应的最优方案 ， X=(4,8/3) z=37.33 (2,4) ，目标值 ， ，为非可行解。 z=36 X=(4,2) 34 ，均为非整数（非可行解）。 。 ；整数解 ，z=32(0,5) 和非整数解 ，目标值 X=(21/4,1) 30，取(2,4) ，目标值 。如图 (72/23,88/23) ，不在网格线的交叉点上，非整数解（非可行解）。 z=31.25 “解 7”。 ；整数解目标值大于非整数解，取(4,2)，得“解6”。 演示：利用WinQSB,ExcelORM+规划求解,ExcelORM+Lingo求例4.1