整数规划与分配问题

甲 译成英文 2 译成日文 15 译成德文 13 译成俄文 4
乙丙
丁
10 9
7
4 14
8
14 16 11
15
13 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素：
➢从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。
➢再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。
若某行已经有0元素，就不必再减了。
➢若元素的数目m等于矩阵阶数n， 那么这分配问题的最优解已得到。若 m<n，则转下一步。
8 2 5 11 5 4 2 3 Ø Ø 11 4 5
第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素， 以确定该系数矩阵中能找到最多的独立零 元素。
➢对没有的行，打；
➢对已打行中所有含0元素的列打；
➢再对打列中含元素的行打；
工人
1
15 18 21 24
2
19 23 22 18
3
26 17 16 19
4
19 21 23 17
15 18 21 24 19 23 22 18 26 17 16 19 19 21 23 17
0 3 69 1540 10 1 0 3 2 4 60
02 14 10 0 23
69 40 03 60
2 69 1 4 4 10 Ø 3 2 3 6Ø
➢给只有一个0元素的列（或行）的0元素 加圈，记，然后划去所在的行（或列） 的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0元素 都被圈出和划掉为止。
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
分配问题性质：
分配问题的最优解有这样的性质， 若从系数矩阵C的一行（列）各元 素中分别减去该行（列）的最小元 素得到的新矩阵B，那么B为系数矩 阵求得的最优解和用原来的系数矩 阵C求得的最优解相同。
匈牙利算法：
若系数矩阵中的元素可分 为”0”与非“0”两部分，则覆 盖
“0”元素的最少直线数等于位 于不同行不同列的“0”元素的 最大个数。
06 0 3 13 0 5 4 430 0 09 2 3
Ø6 3 13 5 4 4 3 Ø 9 2 3
Z=9+4+11+4=28
例4: 4个工人分派做4项工作，规定每人只
能做1项工作，每项工作只能1个人做。现设每 个工人做每项工作所消耗的时间如表所示， 求总耗时最少的分派方案。
工作 1
2
3
4
工作时间/h
➢重复上述两步，直到得不出新的打行列 为止。
➢对没有打行画横线，有打列画纵线， 就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
8 2 5√
11 5 4 2 3 Ø
Ø 11 4 5 √ √
第四步：在没有被直线覆盖的部分中 找出最小元素，然后在打行各元素都 减去这最小元素，而在打列中各元素 都加上这最小元素，以保证原来0元素 不变，这样得到新的系数矩阵（它的 最优解和原问题相同）。若得到n个独 立的0元素，则已经得到最优解。否则 回到第三步重复进行。
15
13 9
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任务， xij=0不分配第i人去完成第j 项任务。
xij =1 (j=1,2……n)表示 第j 项任务只能由一人去完成。
x ij =1 (i=1,2……n) 第i人只能完成一项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n) xij = 0或1(i=1,2…..m; j=1,2……n)
3 B(9.2,2.4)
2
1
O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10
x1
• 因此用图解法或单纯形法都无法找出 整数规划的最优解，这就要研究整数 规划问题的特殊方法。
4.2 分配问题与匈牙利法
4.2.1 问题的提出与数学模型
在生活中经常遇到这样的问题，某单 位需完成n项任务，恰好有n个人可承担 这些任务。由于每个人的专长不同，各人 完成任务不同（或所费时间），效率不同。 于是产生应指派哪个人去完成哪项任务， 使完成n项任务的总效率最高（或所需总 时间最小）。这类问题称为指派问题或分 派问题（Assignment problem）。
(cij)=
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4
13 14 16 11 11 4
4 15 13 9
0825 11 0 5 4 2 3 00 0 11 4 5
08 7 5 11 0 10 4 23 5 0 0 11 9 5
5
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
➢从只有一个0元素的行（或列）开始， 给这个0元素加圈，记，然后划去所 在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。
满足约束条件的解称为可行解可写成 矩阵形式：
0100
0010 X=
1000
0001
称为解矩阵其 各行各列元素 之和为1。
4.2.2 匈牙利法
匈牙利算法基本思想：
对同一工作i来说，所有人的效 率都提高或降低同一常数，不会影 响最优分配；同样，对同一人j来 说,做所有工作的效率都提高或降 低同一常数，也不会影响最优分配。
例3 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，现有 甲、乙、丙、丁四人，他们将中文 说明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何分 配工作，使所需总时间最少？
• 效率矩阵
甲乙丙
丁
译成英文 2 10 9
7
译成日文 15 4 14
8
译成德文 13 14 16 11
译成俄文 4
整数规划模型如下：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24
s
t
2x1
x1
,
x2
5x2 0
13
x1, x2为整数
整数规划的一般模型
此模型与一般线性规划的模型很相似，区别在 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。
如何求解整数规划问题？
例2： 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2 s.t. 2x1+9x2 40
11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后， 最优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规 划最优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个 整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最 优解。 x2
5
D
I(2,4)
4
4 10 1 6 3Ø
例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每 箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如 下：
体积( 米3)
货物集装箱
甲
5
乙
4
托运限制
24
重量(百斤) 利润(百元)
2
20
5
10
13
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1 和x2。显然，都要求为整数,于是可建立
4、整数规划与分配问题
4.1 整数规划的特点及作用
▪ 在线性规划问题中,它的解都假设为具有连 续型数值.但是在许多实际问题中,决策变量 仅仅在取整数值时才有意义,比如变量表示 的是工人的数量,机器的台数,货物的箱数等。
▪ 实际问题中经过“四舍五入”处理得到的 解可能不是原问题的可行解,有的虽是原问 题的可行解,但却不是整数最优解.因而有必 要研究整数规划问题的解法.
2 69
1 4 4 √
10 Ø 3
2 3 6Ø√
√
0 2 6 10 0 3 30 10 0 0 4 1 2 50
Hale Waihona Puke 2 6 10 0 3 3Ø 10 Ø 4 1 2 5
2 6 10 √ Ø3 3 Ø√
10 Ø 4
1 2 5√
√
√
0 0 4 10 0110 12 0 0 6 1 0 30
Ø Ø1 12 Ø 1