数学分析之数列极限
第二章数列极限教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数概列极限的定义证明数列极限等有关命题。
要求学生：逐步建立起数列极限的语言正确表述数列不以某定数为极限等相定义证明有关命题，并能运用应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；定义教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的及其应用.教学时数：14学时§ 1 数列极限的定义教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
ε-定义及其应用。
教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N教学时数：4学时一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——二、讲授新课：（一）数列：1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.”定义 )定义( 的“定义( 数列收敛的“”定义 )注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1例2例3例4证注意到对任何正整数时有就有取于是，对例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或证法二（用均值不等式）例6证时，证明例7设（四）收敛的否定:定义( 的“”定义 ).发散的“”定义 ).定义( 数列例8 验证（五）数列极限的记註:1.满足条件“”的数列2.改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3.数列极限的等价定义:对任有理数对任正整数（六）无穷小数列: 定义.Th2.1 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ).§ 2 收敛数列的性质（4学时）教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。
教学重点、难点：：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。
教学时数：4学时一.收敛数列的性质:1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：若则（证）Th 1 设若，（注意系1 设“ = ”；并注意(或系3 若则对绝对值收敛性见后.4.迫敛性 ( 双逼原理 ):Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 )5.绝对值收敛性:Th 3 ( 注意反之不正确 ).( 证 )}和{}收敛, 则系设数列{( 证明用到以下6所述极限的运算性质 ).6.四则运算性质:Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 )7. 子列收敛性: 子列概念.Th 5(数列收敛充要条件) {}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.Th 6 (数列收敛充要条件) {}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.}收敛子列{}、{}和{都收Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) {敛. ( 简证 )二.利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1．利用四则运算性质求极限：例1註：关于的有理分式当时的极限情况例2填空:⑴⑵例3例42.双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅[4]P53.例5求下列极限:⑴⑵⑶例6 (例7求证存在. 若则例8 设三.利用子列性质证明数列发散:例9 证明数列发散.§ 3 收敛条件（4学时）教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
教学要求：1. 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；2. 初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。
教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。
教学难点：相关定理的应用。
教学方法：讲练结合。
一．数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.Th 1 ( 单调有界定理 ). ( 证 )}收敛.例1 设证明数列{例2 (重根号),证明数列{}单调有界, 并求极限.( 计算的逐次逼近法,例3求亦即迭代法 ).解由均值不等式, 有有下界;注意到对有有↘,二、收敛的充要条件——Cauchy收敛准则：1．Cauchy列：2．Cauchy收敛准则：Th 2 数列{收敛，（或数列{收敛，}Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy列. (此处“就是”理解为“等价于”).( 简证必要性 )例4证明:任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列是中的数.收敛. 其中证令有……例5设试证明数列{收敛.三. 关于极限证明留在下节进行.例6例7例8四.数列单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（ Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得，+注意到且比多一项即↗.有界.综上, 数列{}单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度. 证法二( 利用Bernoulli不等式 )注意到Bernoulli不等式为正整数 ), 有由利用Bernoulli不等式,有↗.为证{}上方有界, 考虑数列可类证↘. 事实上,(此处利用了Bernoulli不等式 )↘.显然有有即数列{}有上界.评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式中, 令就有即↗.令可仿上证得时↗, (时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式. ) 当时, 由由↗↘. < 4.证法四( 仍利用均值不等式 )<即↗.有界性证法可参阅上述各证法.证法五先证明：对和正整数，有不等式事实上，< 该不等式又可变形为( 为正整数 )在此不等式中, 取则有就有↗.成立，取又有对又由评註: 该证法真叫绝 . [1]采用这一证法.小结、习题（2学时）第三章函数极限教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。
会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。
一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限：以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义.定义 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……时函数的极限：（二）由考虑时的极限引入.”定义.定义函数极限的“几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.在点的某邻域内单调. 若存在, 则有例11 设函数=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限: ,.以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质 ):和都存在, 且存在点的空心邻域,Th 4 若使，都有= ( 现证对有)证设註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质: ( 只证“+”和“”)（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限和) 例2例3註: 关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式] 例5例6例7例8例9例10 已知求和补充题:已知求和 ()§ 3 函数极限存在的条件（4学时）教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。
教学重点：海涅定理及柯西准则。
教学难点：海涅定理及柯西准则运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。
为例.本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明例3 证明不存在.二.Cauchy准则:Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,证( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限不存在.证取上函数↘. 则极限存在, 在例5 设在 [[上有界. ( 简证, 留为作业 ).§4 两个重要极限（2时）教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。
教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。
教学重点：两个重要极限的证明及运用。
教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。
一．（证）（同理有）例1例2 .例3例4例5 证明极限不存在.二.证对有例6特别当等.例7例8例9§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2学时）教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列极限是高等数学中非常重要的一部分内容，它在微积分、数学分析和实数理论等领域有着广泛的应用。
数列极限可以用来描述数列中的数值趋于无穷大或趋于某个确定值的性质。
本文将对数列极限的概念、性质及相关定理进行归纳总结。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项趋于无穷大或趋于某个确定值时，数列中的数值会有怎样的变化规律。
数列极限可以分为两种情况：当数列的项趋于无穷大时，称为正无穷大极限；当数列的项趋于某个确定值时，称为有限极限。
二、正无穷大极限正无穷大极限是指当数列的项趋于正无穷大时，数列中的数值也趋于正无穷大。
对于正无穷大极限的数列，常常使用符号∞表示。
正无穷大极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于正无穷大时，数列中的每一项都大于任意给定的正数。
2. 正无穷大极限的数列不存在有限极限，即数列中的数值不会趋于某个确定值。
三、有限极限有限极限是指当数列的项趋于某个确定值时，数列中的数值也趋于该确定值。
有限极限的数列具有以下特点：1. 当数列的项趋于某个确定值时，数列中的每一项都无限接近于该确定值。
2. 有限极限的数列不一定是递增或递减的，它可以在趋近确定值的过程中有往复波动的情况。
四、数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，这些性质对于研究数列的收敛性和发散性非常有帮助。
下面列举了一些常见的数列极限性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列的极限存在，那么它是唯一的，也就是说数列的极限值不会有多个。
2. 数列极限的保序性：如果一个数列的所有项都大于（或小于）另一个数列的所有项，并且这两个数列都有极限，那么它们的极限值也满足同样的大小关系。
3. 数列极限的有界性：如果一个数列的极限存在，那么该数列是有界的，即存在一个正数M，使得数列的所有项的绝对值都不大于M。
4. 数列极限与四则运算的关系：如果两个数列都有极限，那么它们的和、差、积和商（除数不为零）也都有极限，并且极限值满足相应的运算规律。
§2.1数列极限
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天 截 下 后 的 杖 长 为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是 极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的 精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极 限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系 列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的 大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的 剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长 度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数 列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是 人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与 在 形式上有差异 ， 但在本质上都与 起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)
第一讲-数列极限(数学分析)
第一讲 数列极限一、上、下确界 1、定义：1）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，则称M 是数集S 的一个上界，这时称S 上有界；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，则称L 是数集S 的一个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称S为有界数集。
2）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，且0,:x S x M εε∀>∃∈>-，则称M 是数集S 的上确界，记sup M S =；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，且0,:x S x L εε∀>∃∈<+，则称L 是数集S 的下确界，记inf L S =。
2、性质： 1）（确界原理）设S R ⊂，S ≠∅，若S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。
2）当S 无上界时，记sup S =+∞；当S 无下界时，记inf S =-∞。
3）sup()max{sup ,sup };inf()min{inf ,inf }AB A B A B A B ==。
4）sup inf();inf sup()S S S S =--=--。
5）sup()sup sup ;inf()inf inf A B A B A B A B +=++=+。
6）sup()sup inf A B A B -=-。
（武大93） 7）设(),()f x g x 是D 上的有界函数，则inf ()inf ()inf{()()}sup ()inf ()sup{()()}sup ()sup ()x Dx Df Dg D f x g x f D g D f x g x f D g D ∈∈+≤+≤+≤+≤+3、应用研究1）设{}n x 为一个正无穷大数列，E 为{}n x 的一切项组成的数集，试证必存在自然数p ，使得inf p x E =。
（武大94） 二、数列极限 1、定义：1）lim 0,():,||n n n a a N N n N a a εεε→∞=⇔∀>∃=>-<，称{}n a 为收敛数列；2）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=+∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为+∞数列；3）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=-∞⇔∀>∃><-，称{}n a 为-∞数列；4）lim 0,:,||n n n a M N n N a M →∞=∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为∞数列；5）lim 0n n a →∞=，称{}n a 为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若lim ,lim n n n n a a a b a b →∞→∞==⇒=。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
《数学分析》第二章 数列极限
xn的 限 或 称数 xn 收 于 ,记 极 , 者 列 敛 a 为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意: 注意:.不等式 x n a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
则当n > N时有 a b = ( x n b ) ( x n a )
ε ≤ x n b + x n a < ε + ε = 2ε.
故收敛数列极限唯一. 上式仅当a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一
例5 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的. 1 由定义, 证 设 lim x n = a , 由定义 对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当 n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数 , 不可能同时位于长度为 的 不可能同时位于长度为1的区间内. 长度为
注意: 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意: 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
三,数列的极限
( 1)n1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2,唯一性 ,
定理2 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
数列的极限
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步骤：首先给出数列的定义然后证明数列的极限存在
定义法：通过定义来证明数列极限的方法
例子：例如证明数列{n}的极限为可以通过定义法证明
注意事项：在使用定义法证明数列极限时需要注意数列的定义和极限的定义是否一致以及证明过程中是否使用了正确的数学符号和公式。
柯西收敛准则：如果数列{_n}满足对任意ε>0存在N使得当n>N时|_n-|<ε则称数列{_n}收敛于
极限的夹逼性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的连续性：如果数列的极限存在那么数列的任何子列的极限也存在且极限值相同。
极限的加法性质：lim(x->) [f(x) + g(x)] = lim(x->) f(x) + lim(x->) g(x)
极限的减法性质：lim(x->) [f(x) - g(x)] = lim(x->) f(x) - lim(x->) g(x)
极限的乘法性质：lim(x->) [f(x) * g(x)] = lim(x->) f(x) * lim(x->) g(x)
极限的除法性质：lim(x->) [f(x) / g(x)] = lim(x->) f(x) / lim(x->) g(x)
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极限存在准则的应用：可以用来判断数列的极限是否存在以及计算极限的值
极限的表示：极限通常用符号lim表示如lim(x→x0)f(x)=。
极限的性质：极限具有保号性、保序性、保连续性等性质。
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
数学分析之数列极限
第二章数列极限教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
要求学生：逐步建立起数列极限的概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的定义及其应用.教学时数：14学时§ 1 数列极限的定义教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
ε-定义及其应用。
教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N教学时数：4学时一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——二、讲授新课：（一）数列：1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.:定义( 的“”定义)定义( 数列收敛的“”定义)注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1例2例3例4$证注意到对任何正整数时有就有于是，对取例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或》证法二（用均值不等式）例6证时，例7设证明（四）收敛的否定:定义( 的“”定义).定义( 数列发散的“”定义).￥例8 验证（五）数列极限的记註:1.满足条件“”的数列2.改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3.数列极限的等价定义:对任有理数—对任正整数（六）无穷小数列: 定义.( 数列极限与无穷小数列的关系).§2 收敛数列的性质（4学时）教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。
数学分析ch2-2数列极限
0 ，不妨考虑任意给定的
0
q
,则
N
可取为
lg
lg|q|
，当
n N 时，成立| qn 0 | 。
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对 任意给定的 0寻找正整数 N 。在上面的两例题中， N 都是通过 解不等式 xn a 而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并 不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳 的正整数N，所以在证明中常常对 x n a 适度地做一些放大处理， 这是一种常用的技巧。
注
（2）在上述的定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
注
（2）在上述的定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（3）从极限的定义可知，一个数列{xn} 收敛与否，收敛于哪 个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面 的有限项，不影响数列的收敛性。
显然，下面两数列 {n2 }： 1，4，9，…， n2 ,… {(1)n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列。
无穷小量
极限为
0
的数列称为无穷小量，例如数列
1 n
,
(1)n n2 1
都是
无穷小量。
lim
n
xn
a
{xn
a
} 是无穷小量。
例2.2.2 证明{ q n }( 0 | q | 1 ) 是无穷小量。
n2 2n2
1 7n
1 2
。
证 首先有
n2 1 1 = 7n 2 。
2n2 7n 2 2n(2n 7)
显然当 n 6时，
7n 2 2n(2n 7)
数学分析中数列极限概念的教学
数学分析中数列极限概念的教学数学分析中，数列极限概念是非常重要的概念，它为深入研究数学分析提供了重要支持，也是数学分析中最具有挑战性的概念之一。
因此，数列极限概念的教学对于数学分析的学习、教学和研究来说，至关重要。
一般来说，数列极限概念的教学包括以下几个方面：（1）定义数列：数列是按照一定的规律排列的有穷多个数，数列可以是有理数、实数、复数、函数和向量等。
（2）数列的极限：数列的极限是指当数列的元素趋近无穷时，它的值所取的上限或者下限，用符号lim表示数列的极限。
（3）数列极限的几何意义：当数列中的每一项和它后面元素的差值变得越来越小时，数列极限就代表数列元素趋于某一数值，这个数值就是数列极限。
（4）数列极限的证明：为了证明数列极限存在，可以使用定义型极限法、准则型极限法、收敛极限法等。
（5）极限的应用：数列极限的应用已经超出了数列的范畴，它可以用来解决复杂的数学问题，如求解微分方程和积分等。
在数列极限概念的教学中，讲师应注意以下几点：（1）在教学中，讲师一定要明白数列极限概念，要能够清楚地讲解，让学生们更好地理解数列极限的含义。
（2）讲师在教学中要能够充分体现数列极限的几何意义，要能够用图形、案例或者具体的实例来帮助学生理解数列极限概念。
（3）讲师要能够用不同的方法来证明数列极限的存在，使学生们熟悉极限的定义和极限的证明。
（4）讲师要能够用实际例子和案例，将数列极限概念运用到日常生活中，让学生们更加了解数列极限概念在实际中的应用价值。
以上是数学分析中数列极限概念的教学，数列极限概念的教学不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的应用价值，是数学分析教学中一个重要的环节。
讲师在教学数列极限概念时，一定要认真负责，要能够调动学生的学习兴趣，使学生能够更好、更深入地理解数列极限概念，为学生构建数学分析的理论基础打下良好的基础。
数学分析数列极限定义
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
2,4,8, ,2n , ;
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
{2n } 1
{2n }
极限概念的历史
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
极限概念的历史
正六边形的面积 A1
n lg ,
lg q
取N [lg ],
lg q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
数列极限(放缩法)
因为只需要证明存在N，不用找最小的N
lim
n
(n
1 1)2
0
欲使 an
0
1 (n 1)2
n2
1 2n 1
1 2n
只要n
1 ，取
2
N
1
2
即可.
证：
0，N
1
极限的定义
lim
n
an
0
0, N,n (或 )N，| an |
无论给出多小的数，在此变化过程中，
终究会比这个给出的数小。
lim
n
an
M ( 0), N,n N，an M
lim
n
an
M , N ,n N，|an | M
极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正整数 N ,使得对于 n N 时的 一切 xn ,不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a 是数列{ xn }的极限,或者称数列 { xn }收敛 于a ,记为
极限的直观理解
例1：证明调和数列极限为0. 证：因为此数列在其变化过程中，和0的