有理整数环
一元多项式环的举例
一元多项式环的举例一元多项式环是一种数学概念，它是由一组多项式和一组运算构成的代数结构。
在一元多项式环中，多项式的系数属于某个数域，通常是实数域或复数域。
下面我将列举10个例子，以帮助您更好地理解一元多项式环。
1. 例子一：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于实数域。
一个简单的例子是多项式环R[x]，其中R是实数域。
在这个环中，多项式的系数可以是实数，而变量x是多项式的未知数。
2. 例子二：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于复数域。
一个常见的例子是多项式环C[x]，其中C是复数域。
在这个环中，多项式的系数可以是复数，而变量x是多项式的未知数。
3. 例子三：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有理数域。
一个典型的例子是多项式环Q[x]，其中Q是有理数域。
在这个环中，多项式的系数可以是有理数，而变量x是多项式的未知数。
4. 例子四：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于整数环。
一个常见的例子是多项式环Z[x]，其中Z是整数环。
在这个环中，多项式的系数可以是整数，而变量x是多项式的未知数。
5. 例子五：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域。
一个典型的例子是多项式环F[x]，其中F是有限域。
在这个环中，多项式的系数可以是有限域中的元素，而变量x是多项式的未知数。
6. 例子六：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于布尔环。
一个简单的例子是多项式环B[x]，其中B是布尔环。
在这个环中，多项式的系数只能是0和1，而变量x是多项式的未知数。
7. 例子七：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限整数环。
一个典型的例子是多项式环Z/nZ[x]，其中Z/nZ是有限整数环。
在这个环中，多项式的系数可以是有限整数环中的元素，而变量x是多项式的未知数。
8. 例子八：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域的扩域。
一个常见的例子是多项式环F[x]/(f(x))，其中F是有限域，f(x)是F[x]中的一个不可约多项式。
高考试题中与数域数环有关问题的归类
高考试题中与数环、域有关的问题的归类（一）问题提出的背景：数是抽象思维的产物。
在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。
随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。
首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。
其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。
到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。
人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。
在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。
（二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S 是复数集的非空子集．如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环．性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S 是一个数环．若S a ∈，则)(Z n S na ∈∈． 性质3 若M,N 都是数环，则N M ⋂也是数环．常见的数环有：整数集Z ，有理数集Q 、实数集R 、复数集C 。
数域定义：设F 是一个数环，如果对任意的F b a ∈,而且0≠a , 则F ab ∈；则称F 是一个数域．数域性质：任何数域都包含有理数域Q 。
即Q 是最小的数域。
常见的数域有：理数集Q 、实数集R 、复数集C. 著名的域还有：Klein 四元域。
（三）高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。
我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
1、复数的概念 （1）（2007•重庆）复数322ii +的虚部为 。
分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。
密码学基础群-(循环群-生成元)
他证明了虽然一元二次、三次甚至四次方程都 有求根公式, 但是对于一般的五次方程却不存 在这样的求根公式.
他对于五次方程求解问题的解决为近世代数的 创立做出了基础性的工作.
29
此外, 阿贝尔还在椭圆函数论、椭圆 积分、阿贝尔积分和无穷级数等方 面做出过杰出的贡献.
16
元素a的阶如下
a
1
2
3
4
a的阶
1
4
4
2
17
例7 计算群(Z6, ⊕)每个元素的阶, Z6={0,1,2,3,4,5}. 解:对于a=2, 有 1×2=2, 2×2=2⊕2=4, 3×2=2⊕2⊕2=6=0. ∴ ord 2=3.
a
0
1
2
3
4
5
Ord a 1
6
3
2
3
6
18
设G是一个群, 如果存在a∈G, 使得 G={a1, a2,…}=<a>, 则称G是一个循环群(cyclic group), 并称a是
5
有时把交换群(G, ∗)记为(G, +), 称为“加 群”.
✓ 把运算“∗”称为“加” 法, 运算结果记 为: a∗b= a+b,称为a与b的“和”;
✓ 单位元称为“零元”, 记为“0”; ✓ a∈G的逆元称为G的负元,记为: “- a”, 即
有a+(-a)= 0.
6
例1 G={1, -1, i, -i}, (G, *)是一个有限交换群. 可记为: (G, *)= (G, +), 运算式为: 1+(-1)=-1, 1+i=i, 1+(-i)=-i, (-1)+i=-i, (-1)+(i)=i, i+(-i)=1, 1+1=1
环的同态映射名词解释
环的同态映射名词解释【原创版】目录1.环的同态映射的定义2.环的同态映射的性质3.环的同态映射的例子4.环的同态映射在数学中的应用正文一、环的同态映射的定义环的同态映射是抽象代数中的一个基本概念。
在数学中，环是一个包含加法和乘法运算的代数结构，它可以看作是一个具有封闭性的数值系统。
环的同态映射指的是将一个环映射到另一个环，使得映射后的环结构保持不变。
具体来说，设 R 和 S 是两个环，若存在一个双射 f：R→S，使得对任意 a，b∈R，有 f(a+b)=f(a)+f(b) 和 f(ab)=f(a)f(b)，则称 f 为 R 到 S 的同态映射。
二、环的同态映射的性质环的同态映射具有以下性质：1.保持加法结构：若 f 为 R 到 S 的同态映射，对任意a，b∈R，有 f(a+b)=f(a)+f(b)。
2.保持乘法结构：若 f 为 R 到 S 的同态映射，对任意a，b∈R，有 f(ab)=f(a)f(b)。
3.保持单位元：若 f 为 R 到 S 的同态映射，对任意 a∈R，有f(1)=1。
4.保持逆元：若 f 为 R 到 S 的同态映射，对任意 a∈R，存在唯一逆元 f(a^-1)，满足 f(a)+f(a^-1)=f(1)。
三、环的同态映射的例子环的同态映射在具体的环结构中有很多例子，如：1.整数环 Z 到有理数域 Q 的同态映射：f(n)=n/1，其中 n∈Z。
2.矩阵环 M_n(R) 到矩阵环 M_m(R) 的同态映射：f(A)=B，其中 A，B 是具有相同特征值的方阵。
四、环的同态映射在数学中的应用环的同态映射在抽象代数、代数几何、拓扑学等领域都有广泛的应用。
通过研究同态映射，我们可以更好地理解不同环结构之间的关系，从而加深对数学概念的理解。
环和交换环
环和交换环全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：环和交换环是代数学中的重要概念，对于代数结构的研究有着重要的意义。
环是一个广泛研究的数学结构，满足一定条件的代数系统通常可以被看作是环的某种特例。
而交换环是一种特殊的环，其乘法运算满足交换律。
在代数学中，环和交换环是重要的基础概念，对于理解代数结构和代数运算起着关键的作用。
首先我们来看一下环的定义。
环是一个集合，其上定义了加法和乘法两种二元运算，并且满足以下条件：对于任意的a、b、c∈R（R为环），满足加法封闭性、加法结合律、加法交换律、存在加法单位元素、存在加法逆元素、乘法封闭性、乘法结合律和分配律等八个性质。
这些性质保证了环是一个良好定义的代数结构，可以进行有意义的代数运算。
而交换环是一个乘法交换的环，即乘法满足交换律。
这使得交换环在一些代数运算中更加简单和方便，也有助于简化一些运算的证明。
许多我们熟悉的代数结构，比如整数环（Z）、有理数环（Q）、实数环（R）和复数环（C）等，都是交换环。
在代数学的研究中，交换环是一个非常重要的研究对象，具有广泛的应用价值。
环的研究不仅仅局限于基本的定义和性质，还扩展到了更为深入和抽象的层面。
比如理想（ideal）是环中一个附加的子集合，满足对环的加法和乘法封闭性，并且满足左右吸收律。
理想是环的一个重要概念，可以帮助我们理解环的结构和性质。
环同态（ring homomorphism）和环同构（ring isomorphism）也是环研究中的重要概念，它们描述了环之间的映射和一一对应关系。
环同态和环同构是研究环之间关系的重要工具，有助于我们理解环的结构和性质。
环论（ring theory）作为代数学的一个分支，研究的内容非常广泛，涉及到代数结构、理想、同态、同构、模论等众多重要概念。
环论不仅在抽象代数学中有重要应用，而且在许多其他数学领域，比如几何学、数论、代数拓扑学等都有广泛的应用。
环论的发展不仅推动了代数学的发展，也对整个数学领域起着积极的促进作用。
爱森斯坦判法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[]Z x 内一个多项式可约与否的最好结果。
爱森斯坦判别法 设给定n 次本原多项式01()[](1)Z n n f x a a x a x x n =+++∈≥L如果存在一个素数p ，使|(0,1,...,1)i p a i n =-，但20|,|n p a p a //，则()f x 在[]Z x 内不可约。
证明：用反证法。
设()f x 在[]Z x 内可约，即()()()f x g x h x =， 其中0101()[],()[].Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x =+++∈=+++∈L L这里0deg ()deg ()g x f x <<。
为方便计，下面式子中多项式(),(),()f x g x h x 的系数,,i i i a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
因为n m l a b c =，而|n p a /，故|,|m l p b p c //。
另一方面，0|p a ，而000a b c =，故0|p b 或0|p c ；不妨设0|p b ，此时因20|p a /，故0|p c /。
设|(0,...,1)i p b i r =-，但|(0)r p b r m <</。
此时|r p a ，而 011110()r r r r r a b c b c b c b c --=++++L括号中各项均含有因子p ，故0|r p b c 。
但0|,|r p b p c //，p 为素数，矛盾。
由此，()f x 在[]Z x 内不可约。
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。
艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。
由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p ，使得p 不整除an ，但整除其他ai ； p^2 不整除a0 ， 那么f (x ) 是不可约的。
代数整数环
代数整数环
代数整数环（algebraicintegerrings）是数论中一个重要的概念，它是一组整数的集合，具有特定的结构和属性，以及一组可以用来计算它们的规则，可以用于推理和求解数学问题。
代数整数环也被称为有理数环或者代数环。
它是给定一组元素
x1，x2，x3…，xn，且定义了一系列它们之间的加减乘除等算术运算关系组成的数学结构。
代数整数环的结构可以分为三部分，分别是：（1）代数整数环的基本元素（即元素x1，x2，x3…，xn）；（2）它们之间的运算关系，如加减乘除等；以及（3）代数整数环的内部结构，如一组不变的整数和一组特定运算规则。
代数整数环有很多应用，它常见的应用有：整数解决问题，代数平面几何，数论分析，椭圆曲线加密算法，代数几何，拓扑学，测度论，微积分，拓扑动力学等。
使用代数整数环进行数学推理，可以帮助研究者有效的求解复杂的数学问题。
例如，当研究者想要确定某个带有特殊结构的数学系统的解时，他们可以使用代数整数环的结构，从而更高效的找到这个系统的解。
另外，代数整数环也可以用于解决复杂的逻辑问题。
例如，做一个有趣的逻辑游戏，只要给定一组代数整数环，就能确定游戏的规则和解决方案，让参与者按照给定的规则推理，从而有效的解决问题。
总之，代数整数环是一个重要的数学概念，它的结构有助于更好
的理解数学问题，并且也能为解决复杂的数学问题或者逻辑问题提供重要的支持。
因此，数学家们可以认真研究代数整数环的结构，有助于提高他们处理数学问题的能力。
抽象代数中的群环与域
抽象代数中的群环与域抽象代数中的群、环与域抽象代数是数学的一个分支，研究的是代数结构以及这些结构之间的关系。
其中，群、环与域是抽象代数中的三个重要概念，它们被广泛应用于代数学、数论、几何学等多个领域。
本文将深入讨论群、环与域的定义、性质和应用。
一、群(Group)群是一种代数结构，具备封闭性、结合律、单位元、逆元四个性质。
设G为一个集合，如果集合G上定义了一个二元运算*，则(G, *)被称为一个群，满足以下条件：1. 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，a * b仍然属于G。
2. 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，a * e = e * a = a。
4. 逆元：对于任意的a ∈ G，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b* a = e，其中e是G的单位元。
群的例子包括整数加法群(Z, +)、实数乘法群(R^*, *)等。
群的研究对于解决对称性、几何、物理等问题有重要意义。
二、环(Ring)环是一种代数结构，具备加法群和乘法运算两个运算，且加法满足交换律。
设R为一个集合，定义了两个二元运算+和*，则(R, +, *)被称为一个环，满足以下条件：1. (R, +)构成一个加法群，满足结合律、单位元和逆元。
2. 乘法运算*在R上封闭，即对于任意的a, b ∈ R，a * b仍然属于R。
3. 乘法满足结合律：对于任意的a, b, c ∈ R，(a * b) * c = a * (b * c)。
4. 乘法满足分配律：对于任意的a, b, c ∈ R，a * (b + c) = a * b + a * c，(a + b) * c = a * c + b * c。
环的例子包括整数环(Z, +, *)、实数环(R, +, *)等。
环是代数学中重要的结构，被广泛应用于数论、几何学、代数学等多个领域。
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第二学期第十四次课第八章 有理整数环§1 有理整数环的基本概念8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：1） 加法满足结合律；2） 加法满足加换律；3） 有一个数0，是对任意整数a ，0a a +=；4） 对任意整数a ，存在整数b ，使0b a +=；5） 乘法满足结合律；6） 有一个数1，是对任意整数a ，1a a ∙=7） 加法与乘法满足分配律：()a b c ab ac +=+；8） 乘法满足加换律；9） 无零因子：如果0,0a b ≠≠，则0ab ≠。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用Z 代表它。
“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设R 是一个非空集合。
如果在R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对R 中任意两元素,a b ，都按某法则f 对应于R 内的一个唯一确定的元素，记作a b +，且满足如下运算法则：（i ） 结合律：()()a b c a b c ++=++；（ii ） R 中有一元素0，是对一切0a R a a ∈+=有；（iii ） 对R 中任一元素a ，有0b R a b ∈+=使；（iv ） 交换律：a b b a +=+。
又设R 内另有一种运算称作乘法，即对R 中任意两个元素,a b ，都按某个法则g 对应于R 内一个唯一确定的元素，记作ab ，且满足如下运算法则：（v ） 结合律：()()a bc ab c =；（vi ） 加法与乘法有两方面的分配律：(),(),a b c ab ac b c a ba ca +=++=+ 则R 成为一个环。
如果一个环R 的乘法也满足交换律，则R 称为交换环；如果环R 内存在一个元素e ，使()ae a ea a R ==∀∈，则e 称为R 的单位元素，R 称为有幺元的环；如果环R 内存在两个非零元,a b ，使0ab =，则a （b ）称为左（右）零因子，这时R 称为有零因子环；如果环R 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称R 为一个整环； 如果R 是一个整环，且对R 内任一非零元素都有逆元，则R 称为一个域。
8.1.2 整除性理论命题（带余除法） 对任意,,0Z a b b ∈≠，唯一的存在两个整数,q r ，满足：,0||. a bq r r b =+≤≤证明 存在性 如果0b >，考虑整数序列,3,2,,0,,2,3,b b b b b b ---则a 必落在该序列中的某两项之间，从而必存在Z q ∈，使得(1)qb a q b ≤<+。
令r a qb =-，则有,0||. a bq r r b =+≤≤ 如果0b <，我们有||(),0||. a q b r q b r r b =+=-+≤<唯一性 设另外有,Z q r ''∈使,0||a bq r r b '''=+≤<，则bq r bq r ''+=+进而得到|||||b q qr r ''-=-|。
如果q q '≠，则等式的左端||b ≥，但另一方面0,||r r b '≤<，即可知等式的右端||b <。
这个矛盾说明q q '=，从而r r '=。
定理得证。
用辗转相除法求二整数的最大公因子给定整数,,0a b b ≠且a bq r =+，则由(,)|,(,)|,a b a a b b r a bq =-得(,)|a b r 。
所以(,)(,)a b b r ≤。
同理可证(,)(,)b r a b ≤，故(,)(,)a b b r =。
给定整数,,0a b b a <<，做带余除法，111,0a bq r r b =+≤<。
若10r =，则(,)(,)a b b r b ==。
若10r ≠，则再做带余除法12221123332111,0,,0,.n n n n b r q r r r r r q r r r r r q r -++=+<<=+<<=+因为120r r >>≥，所以经有限n 步后必有10n r +=。
这时， 112231(,)(,)(,)(,)(,)n n n a b b r r r r r r r r -======这种算法叫Euclid 算法，也叫辗转相除法。
8.1.3 有理整数环的理想定义8.1（理想的定义） 设I 是Z 的一个非空子集，且满足下列条件：（i ） 若,a b I ∈，则a b I -∈；（ii ） 若a I ∈，则对任意Z b ∈有ab I ∈，则I 称为Z 的一个理想。
显然，单由0组成的子集{0}及Z 自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，{0}称为零理想。
Z 的其他理想称为非平凡理想。
定义8.2（主理想的定义） 任给Z a ∈，定义(){|},Z a ka k =∈ 则称()a 为由a 生成的主理想。
显然，(0)={0},(1)= Z 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。
关于理想，我们有以下简单的性质：1）()()a b ⊆且(){0}|b b a ≠⇔；2）()()a b a b =⇔=±。
命题 有理整数环的理想都是主理想，即设I 是Z 的一个理想，则存在非负整数a ，使()I a =。
证明 若I 是零理想{0}，取a =0即可。
现设{0}I ≠，于是I 中必有非零之整数，现令a 为I 中的最小正整数，他显然存在且唯一。
此时对任意Z k ∈都有ka I ∈，于是()a I ⊆。
反之，设b 为I 中任意整数，按带余除法，存在,Z q r ∈，使,0b aq r r a =+≤<。
又因r b aq I =-∈，由a 的最小性知0r =。
故()b aq a =∈，即()I a ⊆。
于是()I a =。
定义8.3（主理想整环（PID ）的定义） 设R 为一交换环，如果R 中的理想皆为主理想，则称R 为主理想环。
如果R 同时又为整环（即环R 至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子），则称R 为主理想整环。
现在我们来看一下理想的性质：给定Z 的两个理想12,I I ，则1） 它们的交集12I I 也是Z 的理想，称为此两理想的交； 2） 定义12121122{|,}I I a a a I a I +=+∈∈则12I I +也是Z 的理想，称为12,I I 的和。
我们不难得到关于理想的两个重要结论：结论1 设,a b 是两个非零整数，m 是,a b 的最小公倍数，则()()()a b m =。
结论2 设,a b 是两个不全为零的整数，则()()()a b d +=，其中(,)d a b =。
作为结论2的推论，我们有一个重要的结果：命题 设,a b 是两个不全为零的整数，则下面命题互相等价：（i ）,a b 互素，即(,)1a b =；（ii ）有,Z u v ∈，使1ua vb +=；(iii)()()(1)Z=a b +=.8.1.4 因子唯一分解定理定义8.4（唯一分解整环的定义）设R 为一整环（即环R 至少包含两个元素，交换，有幺元，无零因子）。
如果R 满足下列两条件，则R 叫做一个唯一（因子）分解整环（也叫高斯整环）：1）R 的每个非零非单位的元素n 恒可以写成有限多个不可约元素的积12r n p p p =； 2）上述分解在相伴意义下是唯一的，即若元素n 有两种分解1212r s a p pp q q q ==。
则r s =而且适当改变i q 的角标可使 i i q p =（或在抽象意义下i i q p ≅） (1,2,...,)i r =。
在抽象代数课程中，我们将用（1）因子链条件（参见习题一第7题）和（2）整环R 中的不可约元即为素元素（即下面的引理）来证明 定理 主理想整环是唯一分解整环。
在这里，我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明，即有下面的定理： 定理（算术基本定理） 任一正整数1n >都能表成若干素数的乘积12s n p p p =，(1,2,,)i p i s =为素数并且若不计i p 的排列次序，上述表法唯一。
先证明引理（有理整数环中的素因子即为不可约因子）设p 是素数，且,Z a b ∈。
若|p ab ，则|p a 或|p b 。
事实上，因p 只有两个正因子1和p ，故(,)p a p =或1。
若(,)p a p =，则|p a ；而若(,)1p a =，即有,Z u v ∈使得1ua vp +=，另一方面可设ab kp =，Z k ∈，于是()()b b ua vp bua bvp ukp bvp uk bv p =+=+=+=+ 故|p b 。
运用数学归纳法，就有若素数p 整除12n a a a ，则p 整除某个因子i a 。
现在可以来证明定理本身了。
存在性 对n 用数学归纳法。
当2n =时，结论显然成立。
故可设2n >，并设结论对2<的正整数已经成立。
若n 是素数，则n p =即为所求的分解式；若n 为合数，则,1,n kl k l n =<<。
又归纳假设，,k l 均可表成若干素数的乘积，当然n 也有这样的分解式。
唯一性 若又有12t n q q q =，(1,2,...,)i q i t =为素数由引理可知1p 必整除某个i q ，不失普遍性，可设11|p q 。
因11,p q 都是素数，故得11p q =。
于是 221s t n p p q q p ==又归纳假设，对1n p 成立分解式的唯一性，从而得到n 的分解式的唯一性。
又算术基本定理，每个1>的正整数n 都可以唯一的表成1212s s n p p p ααα= 的形状，其中12s p p p <<<是素数，而12,,...,s ααα是正整数，这叫做n 的素因子标准分解式。
上面的定理又称为因子分解为一定理。