大一微积分练习题及答案

《微积分(1)》练习题
一．单项选择题
1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A. ()()()0000
lim
x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B.()()
()0000lim x f x
x f x x f x '-=∆-∆-→∆
C.()()()0000
2lim
x f h x f h x f h '=-+→ D.()()()00002
1
2lim x f h x f h x f h '=-+→
2.下列极限不存在的有( )
A.201
sin lim x
x x → B.12lim 2+-+∞→x x x x
C. x
x e
1
lim → D.()
x
x x
x +-∞
→6
3
2
21
3lim
3.设)(x f 的一个原函数就是x e 2-,则=)(x f ( )
A.x e 22--
B.x e 2-
C.x e 24-
D. x xe 22--
4.函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。

A.跳跃间断点;
B.无穷间断点;
C.可去间断点;
D.振荡间断点
5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ． 当()()0<b f a f 时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0=ξf ; B ． 对任何()b a ,∈ξ,有()()[]0lim =-→ξξ
f x f x ;
C ． 当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ; D.至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ; 6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim
-=-'→a
x x f a
x ,则下列结论成立的有( )
A.a x =就是()x f 的极小值点;
B.a x =就是()x f 的极大值点;
C.()()a f a ,就是曲线()x f y =的拐点;
D.a x =不就是()x f 的极值点,()()a f a ,也不就是曲线()x f y =的拐点; 二．填空: 1.设⎪⎭
⎫
⎝⎛=x f y 1arcsin
,f 可微,则()='x y 2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y
3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为
4.曲线()2142
-+=
x
x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f
三．计算题:
(1)321lim 221-+-→x x x x (2)3
2lim +∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
(3)x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy (5)053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
四．试确定a ,b ,使函数()()⎩
⎨
⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。

五．试证明不等式:当1>x 时,()
e xe 2
1
e x e x x
+<<⋅ 六．设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,
,其中()x f 在[)+∞,a 上连续,()x f ''在()+∞,a 内存在
且大于零,求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

《微积分》练习题参考答案
七．单项选择题
1.( B )
2.( C )
3.( A )
4.( C )
5.( B )
6.( B ) 八．填空:(每小题3分,共15分) 1. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
'--
x f x x 1arcsin 11
2
2. ()06=y
3. 12+=x y
4. 2-=y , 0=x
5. ()x e x f +='1,()c e x x f x ++=
三,计算题:(1)321lim 221-+-→x x x x (2)3
2lim +∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
2
1222lim 3
21lim
122
1=+=-+-→→x x x x x x x ()2
62lim 3223
)21(lim 2lim -+-
+⎪⎭
⎫
⎝⎛-•-∞→+∞→==-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→e e x
x x x x x x x x x x x (3)x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]2
21ln x y -= 求dy 3
1
3lim 3sin )1ln(lim 2
020=
⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= (5)053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
()xy
xy
xy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2
235053
又10-=⇒
=y x
2351
02
=+-='-===y x xy
xy x xe y ye y
(
九．试确定a ,b ,使函数()()⎩
⎨
⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。

(8分)
解:()()[]22sin 1lim 000
++=+++=++→b a a x b f x
()[]
01lim 000
=-=--→ax x e f , 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f
02=++b a , (1)
()()[][]b x
a b a x b f x =++-+++='+
→+22sin 1lim 00
()[]a x
e x b a e
f ax x ax x =-=++--='→→--1
lim 21lim 000
函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ,故b a = (2) 由(1)(2)知1-==b a
十．试证明不等式:当1>x 时,()
e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅ (8分) 证:(法一)设()t
e t
f = []x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有
()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ ()x ,1∈ξ
整理得:()
e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅ 法二:设()ex e x f x
-=
()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时,为增函数,
()()01=>-=f ex e x f x ,即ex e x >
设()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1 ()()
()()1012
1
21><-=+-
='x x e xe e e x f x x x x 故()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1在1>x 时,为减函数,
()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ,即()e xe 2
1
e x x +<
综上,()e xe 2
1e x e x
x +<<⋅
十一． 设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,其中()x f 在[)+∞,a 上连续,()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零,求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

(5分) 证:()()()()()()2)(a x a f x f a x x f x F ----'=
'
()()()()()x a a x a x f a x x f <<--'--'=
ξξ2
)
( ()()a
x f x f -'-'=ξ
()()()x a
x x f <<>--''=
ηξξη0 故()x F 在()+∞,a 内单调递增。