清华大学自主招生试题含答案
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一、 选择题
1.设复数z=cos
23π+isin 23π,则211
1-1z z +
-=() (A)0(B)1(C)12(D)3
2
2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的()条件 (A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要
3.设A 、B 是抛物线y=2
x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则()
(A)|OA|·|OB|≥2(B)|OA|+|OB|≥22
(C)直线AB 过抛物线y=2
x 的焦点(D)O 到直线AB 的距离小于等于1
4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足:①()f x >0,x ∈(-1,0);②()f x +()f y =(
)1x y
f xy
++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为
(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数
5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)?kx 有()
(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c .若c=2,∠C=
3
π
,且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0,则有(??) (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3(C)△ABC 的面积为
33(D)△ABC 的外接圆半径为3
3
7.设函数2()(3)x
f x x e =-,则()
(A)()f x 有极小值,但无最小值(B)()f x 有极大值,但无最大值 (C)若方程
()f x =b 恰有一个实根,则b>
36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0
6e 8.已知A={(x,y)∣2
2
2
x y r +=},B={(x,y)∣2
2
2
()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则()
(A)0<22a b +<22
r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ,12y y +=b(D)22
a b +=1122ax by +
9.已知非负实数x,y,z 满足2
2
2
44x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为() (A)1(B)2 (C)3(D)4
10.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n S =m a ,则() (A ){n a }可能为等差数列(B ){n a }可能为等比数列
(C ){n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n a =m S 11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测:3道的选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道的选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是()
(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁
12.长方体ABCD?1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为(??)
(A)
13(B)2
3
(C)2(D)313.设不等式组||||2
2(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩
所表示的区域为D ,其面积为S ,则()
(A)若S=4,则k 的值唯一(B)若S=1
2
,则k 的值有2个 (C)若D 为三角形,则0 2 3 (D)若D 为五边形,则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4,其外心为O ,则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=() (A)0(B)?15 (C)? 212(D)?292 15.设随机事件A 与B 互相独立,且P(B)=0.5,P(A?B)=0.2,则() (A)P(A)=0.4(B)P(B?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.9 16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分,则这两部分的面积之比的() (A)最小值为 34(B)最小值为45(C)最大值为43(D 最大值为54 17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有() (A)105种(B)225种(C)315种(D)420种 18.已知存在实数r ,使得圆周2 2 2 x y r +=上恰好有n 个整点,则n 可以等于() (A)4(B)6 (C)8(D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z?1|,则() (A)|z|的最大值为1(B)|z|的最小值为 13(C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1 3 20.设m,n 是大于零的实数,a =(mcosα,msinα),b =(ncosβ,nsinβ),其中α,β∈[0,2π)α,β ∈[0,2π).定义向量1 2 a =(2 α , 2 α ),12 b =( 2 β 2 β ),记θ=α?β, 则() (A)12 a ·12 a =a (B)112 2 a b ⋅=2 θ (C)112 2 22||44 a b mn θ -≥(D) 112 2 22||44 a b mn θ +≥ 21.设数列{n a }满足:1a =6,1 3 n n n a a n ++= ,则() (A)?n ∈N?,n a <3 (1)n +(B)?n ∈N?,n a ≠2015 (C)?n ∈N?,n a 为完全平方数(D)?n ∈N?,n a 为完全立方数 22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有() (A )ρ= 1cos sin θθ+(B )ρ=12sin θ+(C )ρ=12cos θ-(D )ρ=1 12sin θ + 23.设函数2sin ()1x f x x x π=-+,则() (A )()f x ≤4 3 (B)|()f x |≤5|x|(C)曲线y=()f x 存在对称轴(D)曲线y=()f x 存在对称中心 24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ,若△ABC 为锐角三角形,则() (A)sinA>cosB(B)tanA>cotB(C)2 2 2 a b c +>(D)3 3 3 a b c +> 25.设函数()f x 的定义域是(?1,1),若(0)f =(0)f '=1,则存在实数δ∈(0,1),使得(?)