各种优化算法求解函数优化问题
各种优化算法求解函数优化问题
各种优化算法求解函数优化问题1.遗传算法的简单介绍及流程1.1遗传算法的基本原理遗传算法 ( Genetic Algorithm ,简称 GA) 是近年来迅速发展起来的一种全新的随机搜索优化算法。
与传统搜索算法不同 ,遗传算法从一组随机产生的初始解 (称为群体 )开始搜索。
群体中的每个个体是问题的一个解 ,称为染色体。
这些染色体在后续迭代中不断进化 , 称为遗传。
遗传算法主要通过交叉、变异、选择运算实现。
交叉或变异运算生成下一代染色体,称为后代。
染色体的好坏用适应度来衡量。
根据适应度的大小从上一代和后代中选择一定数量的个体 ,作为下一代群体 ,再继续进化 ,这样经过若干代之后 ,算法收敛于最好的染色体 ,它很可能就是问题的最优解或次优解。
遗传算法中使用适应度这个概念来度量群体中的各个个体在优化计算中有可能达到最优解的优良程度。
度量个体适应度的函数称为适应度函数。
适应度函数的定义一般与具体求解问题有关。
1.2遗传算法的流程第一步：确定决策变量及各种约束条件，即确定出个体的表现型X和问题的解空间；第二步：确定出目标函数的类型，即求目标函数的最大值还是最小值，以及其数学描述形式或量化方法，建立其优化模型；第三步：确定表示可行解的染色体编码方法，即确定出个体的基因型X和遗传算法的搜索空间。
第四步：确定解码方法，即确定出个体的基因型 X和个体的表现型 X的对应关系或转换方法；第五步：确定个体时候适应度的量化评价方法，即确定出由目标函数 f(X) 值到个体适应度F(X) 的转换规则；第六步：设计遗传算子，即确定出选择运算、交叉运算、变异运算等遗传算子的具体操作方法；第七步：确定出遗传算法的运行参数，即确定出遗传算法的M、 T、 Pc、 Pm等参数。
1.3 遗传算法求解函数优化问题中的参数分析目前，函数优化是遗传算法的经典应用领域，也是对遗传算法进行性能评价的常用范例。
对于函数优化中求解实数型变量的问题，一般采用动态编码和实数编码的方法来提高其搜索效率，所以是求解各类函数优化问题比较适合的算法。
求解函数优化问题的混合连续优化算法
ＭＡ Ｗｅ ，Ｚ Ｕ Ｘａ Ｈ ｉ ．ａ。 ｉ Ｈ ｉ ，Ｚ Ｕ Ｑｎ ｂｏ ｎ ｇ
（ ． ｅｔ ｆＥ ｇｎｅｎ ｅｈｏｏｙ， ａｆ ｇＩｓｔｔ ｏ ｏｒｍ ＆ Ｈ ｓｉ ｌｙ ａｊ ｇ２ １０ ，Ｃ ｉ １ Ｄｐ．ｏ ｎ ｉｅｒ ｇＴｃｎｌ ｉ ｇ Ｎ ｎｎ ｎｔｕｅｆＴｕｉ ｉ ｉ ｓ ｏ ｔ ｉ ，Ｎ ｎｎ １ １０ ｈｎ ｐａｔ ｉ ａ；２ Ｄｐ．ｏ Ｃ ｍ ｕｅ， ｏｎＣ ｌ ． ｅｔ ｆ ｏ ｐ ｔ Ｚ ＇ ｏ ｒ ｉ — ｌ ｅ Ｎａｊ ｇＵ ｉｒｉ ｆ Ｓｉ ｃ ＆ Ｔｃｎｌ ｙ Ｎ ｎｉ １０ ６ Ｃ ｉ ；３ Ｓｈｏ ｏ Ｃ ｍ ｕ ｒ ｃ ｎｅ Ｔｃｎｌ ｙ Ｎ ｎｎ ｅ ， ｎｉ ｎｖ ｓｙｏ ｃ ｎｅ ｅｈ ｏ ， ａｊ ｇ２０４ ， ｈｎ ｇ ｎ ｅｔ ｅ ｏ ｇ ｎ ａ ． ｃｏｌ ｏ ｐ ｔ ｉ ＆ ｅｈ ｏ ， ａｆ ｇＮｏ ｌ ｎ－ ｆ ｅＳｅ ｃ ｏ ｇ ｉ ｒ ｉ ｍａ Ｕ
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常见的优化算法
常见的优化算法
摘要：
1.优化算法的定义和分类
2.最大化和最小化问题
3.梯度下降法
4.牛顿法
5.拟牛顿法
6.共轭梯度法
7.遗传算法
8.模拟退火算法
9.人工神经网络
正文：
优化算法是数学和计算机科学的一个分支，主要研究如何找到一个函数的最小值或最大值。
在实际应用中，优化问题可以分为最大化和最小化两种类型。
为了求解这类问题，人们研究了许多优化算法，下面我们来介绍一些常见的优化算法。
首先，我们来了解一些基本的优化算法。
梯度下降法是一种非常常见的优化算法，它通过计算目标函数的梯度来不断更新参数，从而使函数值逐渐下降。
牛顿法和拟牛顿法则是基于牛顿- 莱布尼茨公式来求解优化问题的方法，它们具有比梯度下降法更快的收敛速度。
共轭梯度法则是一种高效的线性规划算法，它可以在保证解全局收敛的同时，大幅提高求解速度。
除了这些传统的优化算法，还有一些新兴的优化算法。
遗传算法是一种模
拟自然界生物进化过程的优化方法，它通过基因的遗传、变异和选择来逐步改进解的质量。
模拟退火算法则是一种模拟金属冶炼过程的优化算法，它通过模拟金属冶炼过程中的退火过程来寻找全局最优解。
人工神经网络是一种模拟人脑神经网络进行信息处理的优化算法，它通过调整神经网络中的权重和阈值来逼近目标函数。
总之，优化算法是解决实际问题的重要工具，不同的优化算法适用于不同的问题。
了解这些算法的原理和特点，可以帮助我们更好地选择合适的方法来求解实际问题。
数据科学中的最优化方法
数据科学中的最优化方法在数据科学领域，最优化方法是一种重要的数学工具，用于解决各种问题，如参数估计、模型选择、特征选择等。
最优化方法的目标是找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
本文将介绍几种常用的最优化方法，并探讨它们在数据科学中的应用。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步优化目标函数。
其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到找到最优解。
梯度下降法有多种变体，如批量梯度下降法、随机梯度下降法和小批量梯度下降法等。
在数据科学中，梯度下降法广泛应用于模型参数的估计。
例如，在线性回归中，我们可以使用梯度下降法来估计回归系数，使得模型的预测误差最小化。
此外，梯度下降法还可以用于神经网络的训练、支持向量机的优化等。
二、牛顿法牛顿法是一种迭代的优化算法，它通过近似目标函数的二阶导数来更新变量的取值。
牛顿法的基本思想是通过二次近似来逼近目标函数，并求得使得二次近似函数取得最小值的变量取值。
牛顿法的收敛速度较快，但计算复杂度较高。
在数据科学中，牛顿法常用于解决非线性优化问题。
例如，在逻辑回归中，我们可以使用牛顿法来估计模型的参数，以最大化似然函数。
此外，牛顿法还可以用于求解无约束优化问题、非线性方程组的求解等。
三、拟牛顿法拟牛顿法是一种改进的牛顿法，它通过近似目标函数的梯度来更新变量的取值。
拟牛顿法的基本思想是通过一系列的迭代步骤来逼近目标函数，并求得最优解。
拟牛顿法的计算复杂度较低，收敛速度较快。
在数据科学中，拟牛顿法常用于解决大规模优化问题。
例如，在深度学习中，我们可以使用拟牛顿法来训练神经网络，以最小化损失函数。
此外，拟牛顿法还可以用于求解约束优化问题、非线性方程组的求解等。
四、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，它通过模拟生物进化的过程来求解最优解。
遗传算法的基本思想是通过选择、交叉和变异等操作来不断改进种群的适应度，并逐步逼近最优解。
遗传算法具有全局搜索能力，但计算复杂度较高。
新型灰狼优化算法在函数优化中的应用
新型灰狼优化算法在函数优化中的应用罗佳;唐斌【摘要】针对灰狼优化算法在求解连续函数优化问题时精度不高、易出现早熟收敛等缺陷,提出一种改进的灰狼优化算法.该算法在初始种群个体时采用混沌序列方法,为算法全局搜索的多样性奠定基础.根据个体适应度值将种群分为两个子种群,分别执行不同的搜索方式,以平衡算法的开采能力和勘探能力.选取几个标准测试函数对算法性能进行测试,测试结果表明,与其他群智能优化算法相比,该算法在求解精度和收敛速度方面均具有较强的竞争力.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2016(042)003【总页数】6页(P96-101)【关键词】灰狼优化算法;函数优化;群智能;混沌【作者】罗佳;唐斌【作者单位】贵州民族大学人文科技学院,贵州贵阳550025;贵州财经大学信息学院,贵州贵阳550004【正文语种】中文【中图分类】TP301.6工程应用领域中的许多问题可以转化为求解一个连续函数优化问题,可描述为式中:f(x)为目标函数,x=(x1,x2,…,xd)为d维决策变量,li和ui分别为变量xi的上界和下界.由于问题(1)的复杂性,传统优化方法难以对其进行有效的求解.群体智能优化算法如遗传算法(genetic algorithm,GA)、粒子群优化(particle swarm optimization,PSO)算法、差分进化(differential evolution,DE)算法、人工蜂群(Artificial bee colony,ABC)算法、布谷鸟搜索算法(cuckoo search algorithm,CSA)、蝙蝠算法(bat algorithm,BA)、万有引力搜索算法(gravitational search algorithm,GSA)和果蝇优化算法(fruit fly optimization,FFA)等,具有结构简单、参数设置少和容易实现等特点,因此在连续函数优化问题中有着广泛的应用[1-6].灰狼优化(grey wolf optimization,GWO)算法是Mirjalili等[7]于2014年提出的一种新型群体智能优化算法,它源于对灰狼群体捕食行为的模拟,通过狼群跟踪、包围、追捕、攻击猎物等过程实现优化的目的.GWO算法具有结构简单、需要调节的参数少、编程容易实现、有较强的搜索能力等特点,在函数优化方面,已被证明在收敛精度和收敛速度上均优于粒子群算法[7].因此,GWO算法在特征子集选择[8]、多输入多输出电力系统[9]、直流电机最优控制[10]和多层传感器训练[11]等领域中有着广泛的应用.然而,GWO算法与其他群体智能优化算法一样,存在易陷入局部最优、求解精度不高、收敛速度慢等缺点.针对GWO算法存在的缺点,研究者对其进行了改进,如Saremi等[12]将动态进化种群算子引入到GWO算法中,以加强算法的局部搜索能力和加快收敛速度；Muangkote等[13]提出一种改进的GWO算法用于训练高斯径向基函数链接网络.本文将混沌序列方法引入初始化种群个体,根据个体适应度值将种群分为两个子种群,分别执行不同的搜索方式,提出一种改进的GWO算法.标准测试函数的实验结果表明了该算法的有效性.1.1 灰狼群体捕食行为灰狼是顶级食肉动物,位于食物链的顶端,其生活方式大多以群居为主,通常每个群体中平均有5～12只狼,构建了灰狼种群等级金字塔,并具有严格的等级管理制度,如图1所示.金字塔第一层为种群中的头狼称为α,它在狼群中是最具有管理能力的个体,主要负责群体各项决策事务,包括捕食行动、作息时间与地点、食物分配等.金字塔第二层称为β,它是α的智囊团队,协助α做出管理决策,并辅助处理群体组织的行为活动.当α出现空缺时,β将替补成为α.β对狼群中除了α以外的其他成员具有支配权,同时还起着协调反馈的作用,它将α狼的命令下达给群体中其他成员,并监督执行情况反馈给α狼.金字塔第三层为δ,δ听从α及β的指令,但可以指挥其他底层个体,主要负责侦察、放哨、捕猎、看护等事务.年老的α及β也将降为δ级别.金字塔最底层称为ω,主要负责平衡种群内部关系,以及照看幼狼的事务.灰狼的种群等级在实现群体高效捕杀猎物的过程中发挥着至关重要的作用.捕食过程由α带领完成,首先狼群以团队模式搜索、跟踪、靠近猎物,然后从各个方位包围猎物,当包围圈足够小且完善时,狼群在α的指挥下由离猎物最近的β、δ展开进攻,在猎物逃跑时,其余个体进行补给,实现群狼包围圈的跟随变换移动,从而对猎物不断实施各个方向的攻击,最终捕获猎物.1.2 GWO算法描述由1.1小节可知,在GWO算法中,由α、β、δ执行追捕行为,ω跟随前三者进行猎物跟踪围剿,最终完成捕食任务.利用GWO算法求解连续函数优化问题时,假设灰狼种群中的灰狼数目为N,搜索空间为d维,其中第i只灰狼在d维空间中的位置可表示为xi=(xi1,xi2,…,xid),种群中当前最优个体记为α,将适应度值排名第二及第三的对应个体记为β和δ,剩余个体记为ω,猎物的位置对应于优化问题的全局最优解.GWO算法的寻优过程为：在搜索空间中随机产生一群灰狼,在进化过程中,由α、β、δ负责对猎物的位置(全局最优解)进行评估定位,群内其余个体以此为标准计算自身与猎物之间的距离,并完成对猎物的全方位靠近、包围、攻击等行为,最终捕获猎物.下面给出算法中的三个定义.定义1 灰狼与猎物间的距离.在捕食过程中,灰狼首先需要对猎物进行包围,对应在GWO算法中,需要确定个体与猎物之间的距离：其中：Xp(t)表示第t代时猎物的位置；X(t)表示第t代时灰狼个体的位置；常数C 为摆动因子,由下式决定：C=2r1r1为[0,1]之间的随机数.定义2 灰狼位置更新：A=2ar2-a其中:A为收敛因子;r2为[0,1]的随机数;a随着迭代次数增加从2线性递减到0.定义3 猎物位置定位.当灰狼判断出猎物所在位置时,将由头狼α带领β、δ发动追捕行为.在狼群中,α、β、δ三者最靠近猎物,可以利用这三者的位置来判断猎物所在方位.狼群内个体跟踪猎物方位的机制如图2所示.狼群中个体跟踪猎物方位的数学描述如下：由式(6～11)计算出群内个体与α、β、δ的距离,然后由式(12)即可综合判断出个体向猎物移动的方向. GWO算法的伪代码如下：Initialize the grey wolf population Xi (i =1,2,…,N)Initialize a,A,and CCalculate the fitness of each individualXα= the best search individualXβ= the second best search ind ividualXδ= the third best search individualWhile (t Max number of iterations)For each search individualUpdate the position of the current search individual by equation (12)End forUpdate a,A,and CCalculate the fitness of all search individualUpdate Xα,Xβ,and Xδt=t +1End whileReturn Xα2.1 种群初始化对基于种群迭代的智能优化算法来说,初始种群的好坏影响着算法的全局收敛速度和解的质量,多样性较好的初始种群对提高算法的寻优性能很有帮助[14].另外,在求解函数优化问题前,全局最优解处于什么位置没有任何先验知识.因此,在种群初始化时应尽可能使个体能均匀分布在搜索空间中.然而,在标准GWO算法中,初始种群是随机产生的,无法保证个体在搜索空间中均匀分布,从而影响算法的搜索效率.混沌是一种非线性现象,可在一定范围内按自身规律不重复地遍历所有状态,将混沌算子引入到优化算法中可提高算法的全局搜索能力[15].因此,本文利用Tent混沌序列来产生初始种群.Tent映射比Logistic映射具有更好的遍历均匀性和更快的收敛速度,并通过严格的数学推理,证明了Tent映射可以作为产生优化算法的混沌序列.Tent映射表达式为Tent映射经贝努利位移变换后表示如下：根据Tent映射的特性,在可行域中产生Tent混沌序列的步骤详见文献[15].2.2 动态搜索策略在GWO算法中,α、β、δ作为种群的最高决策层,引导整个狼群靠近并捕获目标猎物.显然,最高决策层个体为种群内个体提供了启发式信息,能够有效激励群体智慧,是狼群进化的根本动力.然而,不可忽略的是,最高决策层同时也约束了狼群的多样性发展.因为在群体进化过程中,所有个体均朝着最优个体方向移动,在进化后期,导致整个种群进化停滞,从而陷入局部最优.因此,本文提出一种动态搜索策略,其原理如下：首先,根据群体中个体的适应度值,将种群分为两个子种群,即局部子种群和全局子种群,适应度值较优的个体作为局部子种群,适应度值较差的个体作为全局子种群,两个子种群的个体数目分别为N1和N2,且满足N1+N2=N(N为种群规模).然后,对局部子种群中的个体,按照式(6～11)进行移动,它们将逐步向全局最优解方向靠近,主要完成局部搜索任务.对全局子种群中的个体,主要进行全局搜索,同时保持种群的多样性,根据下式进行移动搜索：其中:X(t)为全局子种群中随机选择的个体.考虑到基于种群迭代的群体智能优化算法在进化前期需要具有较强的全局搜索能力,能使种群在整个解空间中进行大范围的全局搜索,这时全局子种群中个体数目N2应取一较大数；在进化中期,应平衡算法的全局搜索和局部搜索能力,这时两个子种群个体数目N1和N2的取值相当；在进化后期,算法的主要任务是进行局部精确搜索,这时局部子种群个体数目N1应取一较大值.由此可知,两个子种群中的个体数目N1和N2不是固定不变,而是随着进化过程动态变化的,从而在一定程度上协调了算法的全局搜索和局部搜索能力.2.3 IGWO算法步骤Step 1:设置算法参数,种群规模N,最大迭代次数,在解空间中随机生成a、A、C等参数；Step 2:在解空间中利用混沌序列产生N个灰狼个体位置构成初始种群,令t=1；Step 3:计算种群中每个灰狼个体的适应度值,并将适应度值进行排序,记录最优适应度值及对应位置；Step 4:将适应度值排列前三位的灰狼个体位置分别记为Xα、Xβ和Xδ；Step 5:对局部子种群中的灰狼个体,按照式(6～8)计算剩余个体与Xα、Xβ和Xδ的距离,并根据式(9～12)更新各灰狼个体的位置；Step 6:对全局子种群中的灰狼个体,按照式(15)更新个体的位置；Step 7:更新a、A、C等参数的值；Step 8. 判断算法是否满足结束条件,若满足,则算法结束,输出最优解Xα；否则,返回Step 3.3.1 测试函数为了验证IGWO算法的寻优能力,从文献中选取5个标准测试函数进行数值实验,5个测试函数表达式及变量范围见表1,其中,f1(x)～f5(x)分别称为Sphere函数、Rosenbrock函数,Rastrigin函数、Ackley函数和Griewank函数.除了Sphere 函数为单峰函数以外,其他4个函数均为多峰函数,5个测试函数的理论最优解均为0.5个测试函数的空间特征如图3所示.3.2 实验结果及分析利用IGWO算法对上述5个标准测试函数进行数值实验,其参数设置如下：种群规模N=30,最大迭代次数为1 000,每个函数的维数均设置为30维,每个测试函数在上述参数设置下独立运行30次,记录其最优值、平均值、最差值和标准差,并与ABC算法、GSA算法和GWO算法的结果进行比较.三种算法的参数设置如下：在ABC算法中,种群规模N=30,最大迭代次数为1 000,limit的值设为100；在GSA算法中,种群规模N=30,G0=100,β=20；GWO 算法的参数与IGWO算法相同.表2给出了IGWO算法与ABC算法、GSA算法和GWO算法对5个标准测试函数的实验结果比较.从表2可以看出,对于Sphere函数、Rastrigin函数、Ackley函数和Griewank函数,本文提出的IGWO算法在30次实验中均能一致地找到全局最优解,尤其是Rastrigin函数和Griewank函数,均能找到理论精确值0；另外,IGWO算法对这4个函数30次实验得到的标准差非常小,甚至为0,这也充分说明IGWO算法具有较强的鲁棒性.由于Rosenbrock函数是非常复杂的函数,IGWO算法没找到全局最优解.与ABC算法相比,在5个测试函数上无论是最优值、平均值、最差值,还是标准差值,IGWO算法均获得了较好的结果.与GSA算法和GWO算法相比,对于Sphere 函数、Rastrigin函数、Ackley函数和Griewank函数,IGWO算法获得了较好的寻优结果.对于复杂的Rosenbrock函数,IGWO算法得到了较好的最优值、平均值和最差值,而GSA算法和GWO算法则获得了较好的标准差.图4～8给出四种算法对5个测试函数的进化收敛曲线,可以清晰地看出,除了复杂的Rosenbrock函数,IGWO算法对其他4个测试函数均能快速地收敛到全局最优解.作为一种新型的群体智能优化方法,灰狼优化算法自提出以来受到了广泛的关注,但其存在收敛速度慢、易陷入局部最优等缺陷.为了克服其缺点,本文提出一种基于动态搜索策略的改进灰狼优化算法用于求解无约束优化问题.在改进算法中,首先利用混沌序列产生初始种群个体,以保证狼群个体能均匀分布在解空间中；然后将初始种群分为全局子种群和局部子种群,分别执行不同的搜索方式,以协调算法的全局搜索和局部搜索能力,且子种群个体数目自适应动态调整.最后,对几个标准测试函数进行仿真实验,结果表明,与其他几种智能优化算法相比,改进灰狼优化算法具有较强的寻优性能和鲁棒性.【相关文献】[1] ISLAM S M,DAS S,GHOSH S,et al.An adaptive differentialevolution algorithm with novel mutation and crossover strategies for global numericaloptimization [J].IEEE Transactions on System,Man,and Cybernetics,2012,42(2):482-500. 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常用的优化方法和优化函数
常用的优化方法和优化函数优化方法和优化函数是在解决问题时常用的数学工具和方法。
优化是一种数学问题，目标是找到一些函数的最优解或近似最优解。
一、优化方法：1.初等方法：初等方法是最直接的一种优化方法，包括插值法、拟合法、曲线拟合法等，通过数学公式来估计函数的取值。
2.单变量优化方法：单变量优化方法是对单一变量进行优化的方法，常见的有二分法、黄金分割法和牛顿迭代法等。
这些方法适用于单调函数和凸函数的优化问题。
3.多变量优化方法：多变量优化方法是对多个变量进行优化的方法，常见的有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些方法适用于非线性函数的优化问题。
4.线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，通过线性函数和线性约束来确定最优解。
线性规划问题可以通过单纯形法或内点法求解。
5.整数规划：整数规划是一种在决策变量为整数时的优化方法，常用的算法有分支界限法、整数规划近似算法等。
6.动态规划：动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，通过递推关系求解最优解。
常用的动态规划算法有最短路径算法、背包问题算法等。
7.模拟退火算法：模拟退火算法是一种通过模拟物质在退火过程中的行为来进行全局的算法。
它能够在一定程度上跳出局部最优解，常见的变种有遗传算法和粒子群优化算法等。
8.遗传算法：遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法，通过模拟自然界的进化过程来优化问题。
它常用于求解复杂的问题，如函数逼近、组合优化等。
9.神经网络：神经网络是一种通过模拟神经元之间的连接和传输信息来建立模型的方法。
通过训练网络参数，可以实现优化目标函数。
二、常用的优化函数：1. Rosenbrock函数：Rosenbrock函数是一个经典优化函数，用于测试优化算法的性能。
其函数形式为 f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2，目标是找到函数的全局最小值。
2. Ackley函数：Ackley函数是另一个经典的优化函数，用于测试优化算法的鲁棒性。
几种常见的优化算法
⼏种常见的优化算法⼏种常见的优化算法：参考：我们每个⼈都会在我们的⽣活或者⼯作中遇到各种各样的最优化问题，⽐如每个企业和个⼈都要考虑的⼀个问题“在⼀定成本下，如何使利润最⼤化”等。
最优化⽅法是⼀种数学⽅法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某⼀(或某些)指标达到最优的⼀些学科的总称。
随着学习的深⼊，博主越来越发现最优化⽅法的重要性，学习和⼯作中遇到的⼤多问题都可以建模成⼀种最优化模型进⾏求解，⽐如我们现在学习的机器学习算法，⼤部分的机器学习算法的本质都是建⽴优化模型，通过最优化⽅法对⽬标函数（或损失函数）进⾏优化，从⽽训练出最好的模型。
常见的最优化⽅法有梯度下降法、⽜顿法和拟⽜顿法、共轭梯度法等等。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是最早最简单，也是最为常⽤的最优化⽅法。
梯度下降法实现简单，当⽬标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。
⼀般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。
梯度下降法的优化思想是⽤当前位置负梯度⽅向作为搜索⽅向，因为该⽅向为当前位置的最快下降⽅向，所以也被称为是”最速下降法“。
最速下降法越接近⽬标值，步长越⼩，前进越慢。
梯度下降法的搜索迭代⽰意图如下图所⽰：梯度下降法的缺点： （1）靠近极⼩值时收敛速度减慢，如下图所⽰； （2）直线搜索时可能会产⽣⼀些问题； （3）可能会“之字形”地下降。
从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利⽤梯度下降法求解需要很多次的迭代。
在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降⽅法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
⽐如对⼀个线性回归（Linear Logistics）模型，假设下⾯的h(x)是要拟合的函数，J(theta)为损失函数，theta是参数，要迭代求解的值，theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。
其中m是训练集的样本个数，n是特征的个数。
优化问题的Matlab求解方法
优化问题的Matlab求解方法引言优化问题在实际生活中有着广泛应用，可以用来解决很多实际问题。
Matlab作为一款强大的数学计算软件，提供了多种求解优化问题的方法。
本文将介绍在Matlab中求解优化问题的常见方法，并比较它们的优缺点。
一、无约束无约束优化问题是指没有约束条件的优化问题，即只需要考虑目标函数的最大或最小值。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来求解无约束优化问题。
该函数使用的是拟牛顿法（quasi-Newton method），可以迭代地逼近最优解。
拟牛顿法是一种迭代方法，通过逐步近似目标函数的梯度和Hessian矩阵来求解最优解。
在使用fminunc函数时，需要提供目标函数和初始点，并可以设置其他参数，如迭代次数、容差等。
通过不断迭代，拟牛顿法可以逐步逼近最优解。
二、有约束有约束优化问题是指在优化问题中加入了约束条件。
对于有约束优化问题，Matlab提供了多种求解方法，包括线性规划、二次规划、非线性规划等。
1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都为线性的优化问题。
在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
该函数使用的是单纯形法（simplex method），通过不断迭代来逼近最优解。
linprog函数需要提供目标函数的系数矩阵、不等式约束矩阵和约束条件的右手边向量。
通过调整这些参数，可以得到线性规划问题的最优解。
2. 二次规划二次规划是指目标函数为二次型，约束条件线性的优化问题。
在Matlab中，可以使用quadprog函数来求解二次规划问题。
该函数使用的是求解二次规划问题的内点法（interior-point method），通过迭代来求解最优解。
quadprog函数需要提供目标函数的二次项系数矩阵、线性项系数矩阵、不等式约束矩阵和约束条件的右手边向量。
通过调整这些参数，可以得到二次规划问题的最优解。
3. 非线性规划非线性规划是指目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性的优化问题。
智能优化算法优化问题
多目标优化问题
多目标优化
目标优化问题中的各个目标并不是独立存在的，它们之间往往 是相互矛盾、相互冲突的，因此与单目标优化问题不同，多目 标优化问题通常不存在一个唯一的最优解，也就是说，要同时 使所有的目标均达到最优值是不可能的，而只能在它们之间进 行协调，找出问题的一组折中解。
约束优化问题实例-背包问题(1)
问题描述 背包问题（knapsack problem，KP）是一个关于从集合中选出 一个子集的问题，而选出的子集必须满足背包的容量限制并 使得总的价值最大。 通常描述为：给定m个物品，第i个物品的重量为ωi，价值为pi， 背包容量为C，问应选择哪些物品放入背包内可使背包中物品 总价值最大。
动态优化问题实例-邮件配送问题（2）
问题抽象 • 将邮件配送问题类比为背包问题并做以下假设： • 将报纸和信件以10,000份作为一个整体进行配送； • 10,000份信件和报纸中，除EMS外，其余各记5个重量单位，而 10,000 份EMS为10个重量单位，包裹为2个重量单位； • 报纸、EMS、包裹、挂号信和平信的优先度分别为1、2、3、4、5； • 报纸，EMS，包裹，挂号信和平信的价值分别为5、4、3、2、1； • 中国邮政拥有三种类型的配送车：摩托车，面包车和大卡车，其中 ，摩托车的载重量为6个重量单位，面包车的载重量为12个重量单位 ，大卡车的载重量为30个重量单位。
约束优化问题
定义： min f ( X ) s.t. X S { X | gi ( X ) 0, i 1,...,h}
可行空间
目标函数
不可行空间
求解目标函数不连续的优化问题 启发式算法
求解目标函数不连续的优化问题启发式算法优化问题常常涉及到目标函数的最大化或最小化，然而有时这些函数并非连续的。
这种问题难以通过传统的算法求解，只能通过启发式算法获得较好的解决方案。
启发式算法是指通过启发式策略获得近似最优或次优解的一类算法。
启发式算法并不保证获得最优解，但在实际应用中通常能取得良好的效果。
对于目标函数不连续的优化问题，启发式算法可以采用以下几种方法：1. 遗传算法：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程获得最优解的算法。
该算法采用染色体编码的方式来表示问题，每个染色体代表一组解，通过交叉、变异等操作产生新的解。
遗传算法具有较好的鲁棒性，同时能处理目标函数不连续的问题。
2. 模拟退火：模拟退火是一种通过模拟物理系统退火过程获得最优解的算法。
该算法通过引入温度参数，并不断降低温度来实现跳出局部最优解的目的。
模拟退火算法具有较好的全局寻优能力，能处理目标函数不连续的问题。
3. 禁忌搜索：禁忌搜索是一种通过规避已经搜索过的解来避免陷入局部最优解的算法。
该算法通过维护一个禁忌表来记录已经搜索过的解，然后根据禁忌表的信息来决定下一次搜索的方向。
禁忌搜索算法具有较好的局部优化能力，能处理目标函数不连续的问题。
以上三种算法都是比较常用的启发式算法，它们在实际应用中都有较好的表现。
但需要注意的是，启发式算法并不保证获得最优解，只能获得近似最优或次优解，因此在使用时需要根据实际情况进行权衡。
另外，对于目标函数不连续的优化问题，还可以通过问题转化、插值等方法来将其转化为目标函数连续的问题，然后使用传统的优化算法进行求解。
不过，这种方法需要对问题有较深入的了解，并且可能会引入一定的误差。
总之，对于目标函数不连续的优化问题，启发式算法是一种较好的求解方法，它能够有效地处理这种问题，并获得较好的优化效果。
但需要注意的是，启发式算法并不保证获得最优解，需要根据实际需求进行权衡和选择。
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各种优化算法求解函数优化问题1.遗传算法的简单介绍及流程1.1遗传算法的基本原理遗传算法( Genetic Algorithm ,简称GA) 是近年来迅速发展起来的一种全新的随机搜索优化算法。
与传统搜索算法不同,遗传算法从一组随机产生的初始解(称为群体)开始搜索。
群体中的每个个体是问题的一个解,称为染色体。
这些染色体在后续迭代中不断进化,称为遗传。
遗传算法主要通过交叉、变异、选择运算实现。
交叉或变异运算生成下一代染色体,称为后代。
染色体的好坏用适应度来衡量。
根据适应度的大小从上一代和后代中选择一定数量的个体,作为下一代群体,再继续进化,这样经过若干代之后,算法收敛于最好的染色体,它很可能就是问题的最优解或次优解。
遗传算法中使用适应度这个概念来度量群体中的各个个体在优化计算中有可能达到最优解的优良程度。
度量个体适应度的函数称为适应度函数。
适应度函数的定义一般与具体求解问题有关。
1.2遗传算法的流程第一步：确定决策变量及各种约束条件，即确定出个体的表现型X和问题的解空间；第二步：确定出目标函数的类型，即求目标函数的最大值还是最小值，以及其数学描述形式或量化方法，建立其优化模型；第三步：确定表示可行解的染色体编码方法，即确定出个体的基因型X和遗传算法的搜索空间。
第四步：确定解码方法，即确定出个体的基因型X和个体的表现型X的对应关系或转换方法；第五步：确定个体时候适应度的量化评价方法，即确定出由目标函数f(X)值到个体适应度F(X)的转换规则；第六步：设计遗传算子，即确定出选择运算、交叉运算、变异运算等遗传算子的具体操作方法；第七步：确定出遗传算法的运行参数，即确定出遗传算法的M、T、Pc、Pm等参数。
1.3遗传算法求解函数优化问题中的参数分析目前，函数优化是遗传算法的经典应用领域，也是对遗传算法进行性能评价的常用范例。
对于函数优化中求解实数型变量的问题，一般采用动态编码和实数编码的方法来提高其搜索效率，所以是求解各类函数优化问题比较适合的算法。
1.3.1编码方案在用遗传算法求解函数优化问题时，把解空间中的数据点都映射到遗传中对应的基因型数据，采用二进制编码，在给定函数的变量上下界和编码精度内，求得单个变量的编码长度λ，然后随机生成一些固定长度为λ的二进制数作为作为初始种群。
1.3.2适应度函数先用解码函数将二进制代码转换为解空间中的数据，把数据带入测试函数中，得到种群中每个个体的适应值，然后以种群中函数值取得最大值的个体的函数值与每个个体的函数值之差，再与最大函数值的n 倍(假设种群粒子数为n)和种群中所有个体的函数值之和的比值，得到每个个体的适应度。
如果求函数最小值问题，则适应度值越大其函数值越小。
1.3.3选择算子遗传算法最常用的选择策略就是正比选择策略，即每个个体被选中进行遗传运算的概率为该个体的适应值和群体中所有个体适应值总和的比例。
对于个体i ，其适应度值为F i ，种群规模为NP ，则该个体的选择概率可以表示为∑==NPi iiiFF P 1得到选择概率后，采用旋轮法来实现选择操作，令PP 0=0 ∑==ij ji PP PP 1共转轮NP 次，每次转轮时，随机产生)1,0(U k ∈ξ，当 k i PP ξ≤-1<PP i ,则选择个体i 。
适应度越高的个体的选择概率越大，越容易被选择参与交叉变异运算。
1.3.4交叉算子在遗传算法中，最常用的交叉策略就是单点交叉和双切点交叉。
在这个算法中，先从种群中随机选择两个要进行交叉的个体，然后随机生成一个数据点，对两个父串中对应位的数值进行交换，得到两个字串。
1.3.5变异算子变异是在种群中按照变异概率P m 任选若干基因位改变其位值，对于0-1编码来说，就是反转位值。
在这个算法中，先在父串中随机生成一个数，如果这个数对应的位值为0，则将它变为1；如果这个数上的位值为1，则将它变为0.1.4遗传算法求解函数优化问题流程Step 1：初始化选择、交叉、变异概率，设置初始代数和最大迭代次数，随机生成若干个初始个体构成初始种群；Step 2：利用解码函数将初始种群的二进制编码转化为解空间中便于计算的数据，然后用测试函数以及适应度函数求得每个个体的适应度。
Step 3：采用轮盘赌选择种群中的个体进行遗传运算；Step 4：对种群中的个体进行交叉，变异运算，产生下一代新的种群。
Step 5：如果当前的迭代次数达到设置的最大迭代次数，则算法停止，进行Step 6；若未达到最大迭代次数，则转入Step 2.Step 6：保存种群中每一代的选择函数值最小个体作为最优个体，并保存其对应的函数值。
1.5测试函数运行结果及算法参数对结果影响分析1.5.1各种函数测试结果（1）Quadric函数状种群动态变化图(-100,100)第1代种群动态变化图第50代种群动态变化图第100代种群动态变化图第200代种群动态变化图（2）Tablet函数测试种群变化图(-100,100)第1代种群动态变化图第50代种群动态变化图第100代种群动态变化图第200代种群动态变化图（3）Rosenbrock测试函数的种群动态变化图第1代种群动态变化图第50代种群动态变化图第100代种群动态变化图第200代种群动态变化图(4) Griewank函数种群动态变化图第1代种群动态变化图第50代种群动态变化图第100代种群动态变化图第200代种群动态变化图从上面的实验结果中，我们可以发现遗传算法在求解函数优化问题时，对于大部分测试函数，搜索速度都比较快，能很快收敛到最优解上，获得的最优解也比较好，因此是一种比较有效的优化算法。
2.粒子群算法求解函数优化问题2.1粒子群算法介绍粒子群算法是一种基于迭代的优化方法。
进行优化时，粒子在一个n 维空间中搜索，每个粒子的位置对应于问题的一个解，粒子通过不断调整自己的位置来搜索新解。
每个粒子根据自己的飞行经验和其他粒子的飞行经验来调整自己的飞行。
每个粒子在飞行过程所经历的最好位置，就是粒子本身找到的最优解，称为个体极值（P best ）;整个种群所经历过的最好位置，就是整个群体目前找到的最优解，称为全局极值（g best ）。
每个粒子都通过上述两个极值不断更新自己，从而产生新一代群体。
设粒子的群体规模为N ，粒子当前的位置表示为),,...,,(21 k N k n k k k i x x x x X =， n n n k n l N n u l x ,1],,[≤≤∈和Un 分别表示第n 维空间的上下边界；当前速度表示为k i kN k n k k i V v v v V ),,...,,...,(1=被钳位在最大值),...,,...,(max,max,1max,max k N k n k k v v v V =和最小值),...,...(min,min,1min,min kN k n k k v v v V =之间，粒子的速度和位置更新方程如式（1）和式（2）所示：)()(22111k i k g k i k i k i k i X P r c X P r c V V -+-+=+ （1） 11+++=k i k i k i V X X （2）其中，kg ki P P ,分别表示粒子第k 次迭代的个体极值点位置和全局极值点位置。
c1,c2为常数，称为学习因子，用来调节向Pi 和Pg 方向飞行的最大步长；r1,r2是（0，1）上均匀分布的随机数；式（1）中第一部分是粒子上一步的速度，表明粒子目前的状态；第二部分是粒子对本身的思考，是认知部分，粒子通过对本身位置的思考来调整自己下一步的速度和位置，这样可以是粒子有足够强的全局搜索能力，避免陷入局部最小；第三部分表示粒子通过与其他粒子之间进行信息交流来更新自己的下一步。
2.2基本粒子群算法流程（1）在初始化范围内，对粒子群进行随机初始化，包括随机位置和速度。
（2）计算每个粒子的适应值。
（3）对于每个粒子，将其适应值与所经历过的最好位置的适应值进行比较，如果更好则将其作为粒子的个体历史最优值，用当前位置更新个体历史最好位置（4）对每个粒子，将其历史最优适应值与群体内或邻域内所经历的最好位置的适应值进行比较，若更好，则将其作为当前的全局最好位置。
（5）根据上面公式（1）和（2）更新粒子的速度和位置。
（6）若未达到终止条件，则进行步骤（2）。
一般将终止条件设定为一个足够好的适应值或达到一个预设的最大迭代次数。
2.3粒子群算法求解函数优化问题的参数分析2.3.1编码方法在用粒子群求解函数优化问题时，采用实数编码来表示解空间内的粒子的位置，开始时随机初始化n 个二维解空间内的数据点，这些数据点对应了每个粒子的位置。
粒子的速度也是随机产生的，与粒子的位置的维数相同。
2.3.2适应度函数这里用测试函数作为目标函数来对算法进行评价，把每个粒子的位置带入测试函数，得到每个粒子的适应值，然后分别与粒子的个体极值以及种群中所有粒子的全局极值进行比较，如果比当前的个体极值好，就更新这个个体的个体极值的位置pbestpop 以及对应的个体极值pbestfit ，如果比上一代得到的全局极值好，则更新当代的全局极值的位置gbestpop 以及对应的全局极值gbestfit 。
2.4标准粒子群算法的几种改进方法惯性权重法：惯性权重w 是与前一次速度有关的一个比例因子，其速度更新方程为：)()(*22111k i k g k i k i k i k i X P r c X P r c V V -+-+=+ω用惯性权重来控制前面的速度对当前速度的影响，较大的w 可以加强PSO 的全局搜索能力，而较小的w 能加强局部搜索能力。
基本的PSO 可以看作w=1，因此在迭代后期缺少局部搜索能力。
通常取w 为[0.8,1.2]之间的数。
2.5粒子群算法测试函数结果2.5.1利用标准PSO 算法对测试函数结果根据粒子群求解函数优化算法的流程，编写程序pso.m文件，然后用函数来测试算法的好坏优劣。
下表中列出了常用的几个测试函数：对上表中几个测试函数用标准粒子群算法求最优值，设定群体规模为50，最大速度Vmax=0.5，迭代次数N=200，学习因子c1=c2=2，画出种群的动态变化图。
（1）Quadric函数状态变化图(-100,100)第1代种群变化图第50代种群变化图第100代种群变化图第200代种群变化图（2）Rastrigin的测试函数(-5.12,5.12)第49代种群动态变化图第99代种群动态变化图第200代种群动态变化图（3）Tablet函数(-100,100)第49代种群动态变化图第99代种群动态变化图第200代种群动态变化图从以上三个函数的种群动态变化图可以看出，粒子在200代的时候已经将近收敛于一个点了。