稀疏优化算法求解
《稀疏角CT重建的算法研究》范文
《稀疏角CT重建的算法研究》篇一一、引言计算机断层扫描（Computed Tomography, CT）技术是现代医学影像诊断的重要手段之一。
然而，传统的CT重建算法在处理图像噪声和伪影时仍存在一定的问题。
为了克服这些问题，稀疏角CT重建算法被广泛研究与应用。
该算法在重建过程中考虑了图像的稀疏性特征，提高了重建图像的质量和分辨率。
本文将就稀疏角CT重建的算法进行深入研究，探讨其原理、实现及性能分析。
二、稀疏角CT重建算法的原理稀疏角CT重建算法是基于图像的稀疏性特征进行重建的。
在CT扫描过程中，X射线穿过物体后，其强度会发生变化，这些变化与物体的密度和结构有关。
稀疏角CT重建算法通过分析这些变化，利用图像的稀疏性特征进行重建。
该算法的核心思想是将CT图像看作一个稀疏信号，通过优化算法求解稀疏约束下的最小二乘问题，从而得到高质量的重建图像。
具体而言，该算法通过引入正则化项来约束图像的稀疏性，使得重建图像在保持原有结构的同时，降低噪声和伪影的影响。
三、稀疏角CT重建算法的实现稀疏角CT重建算法的实现主要涉及两个步骤：正问题和反问题。
1. 正问题：根据CT扫描的物理过程，建立数学模型，描述X射线穿过物体后的强度变化。
这一步需要利用已知的扫描参数和物体结构信息。
2. 反问题：根据正问题得到的数学模型，通过优化算法求解稀疏约束下的最小二乘问题，得到高质量的重建图像。
这一步需要引入正则化项来约束图像的稀疏性，并采用迭代优化算法进行求解。
在实现过程中，稀疏角CT重建算法需要采用高性能计算平台和大规模并行计算技术，以满足实时性和精度要求。
此外，还需要对算法进行优化和调参，以适应不同类型和规模的CT图像。
四、性能分析稀疏角CT重建算法的性能主要表现在图像质量和计算效率两个方面。
在图像质量方面，稀疏角CT重建算法能够有效地降低图像噪声和伪影的影响，提高图像的分辨率和对比度。
同时，该算法还能够保持图像原有的结构信息，使得重建图像更加真实和准确。
稀疏矩阵求解的一点总结
稀疏矩阵求解的一点总结
稀疏矩阵求解是线性系统理论中的一个重要研究领域，它涉及到如何
有效地解决线性系统方程组，有效地获得其解。
存在大量的大型稀疏线性
系统，其计算量太大而无法采用常规的精确解法，因此稀疏矩阵求解的研
究具有重要的现实意义。
下面我就稀疏矩阵求解的一点总结如下：（1）稀疏矩阵求解的研究是提高计算机存储、计算和模拟能力的重
要方式。
它既能提高计算机算法的效率，又能改善计算机的内存、存储和
问题求解的条件。
（2）稀疏矩阵求解的方法有三种，即直接求解法、稀疏矩阵因子化
法和非线性优化法。
（3）直接求解法适用于小规模的稀疏矩阵，计算量较小，但收敛效
果较差，不能获得精确解；稀疏矩阵因子化法可以有效地将大规模稀疏矩
阵分解成更小的子矩阵，从而降低计算量，但计算负荷较大；非线性优化
法适用于大规模稀疏矩阵，可以获得较优解，但计算复杂度很大。
（4）稀疏矩阵求解最重要的任务之一就是组合和优化各种优化算法，使这些算法能够在大规模稀疏矩阵上有效地工作。
求解线性方程组稀疏解的稀疏贪婪随机Kaczmarz算法
大小 k̂ 。②输出 xj。③初始化 S = {1，…，n}，x0 = 0，
j = 0。④当 j ≤ M 时，置 j = j + 1。⑤选择行向量
ai，i ∈
{
1，…，n
}，每一行对应的概率为
‖a‖i
2 2
‖A‖
2 F
。
⑥
( | ) 确 定 估 计 的 支 持 集 S，S = supp xj-1 max { k̂，n-j+1 } 。
行从而达到加快算法收敛速度的目的。算法 3 给出
稀疏贪婪随机 Kaczmarz 算法。
算法 3 稀疏贪婪随机 Kaczmarz 算法。①输入
A∈ Rm×n，b ∈ Rm，最大迭代数 M 和估计的支持集的
大 小 k̂ 。 ② 输 出 xk。 ③ 初 始 化 S = {1，…，n}，x0 =
x
* 0
=
0。④
置
k
=
0
时，当
k
≤
M
-
1
时。⑤计算
( {| | } ϵk=
1 2
‖b
1 - Ax‖k 22
max
1≤ ik ≤ m
bik - aik xk 2
‖a
‖ ik
2 2
+
)1
‖A‖
2 F
（2）
⑥决定正整数指标集
{ | | } Uk =
ik|
bik - aik xk
2
≥
ϵ‖k b
-
Ax‖k
‖22 a
‖ ik
2 2
ï í
1
ï î
j
l∈S l ∈ Sc
其中，j 为迭代步数。当 j → ∞ 时，wj⊙ai → aiS，因此
低秩稀疏求解推导过程
低秩稀疏表示算法求解1. 鲁棒性主成分分析（Robust Principal Component Analysis, RPCA ） min L,E rank (L )+λ‖E ‖0 s.t.X =L +E (RPCA)min L,E ‖L ‖∗+λ‖E ‖1 s.t.X =L +E (RPCA 最终求解模型)假设背景存在单一的子空间，没有考虑到高光谱影像中复杂的背景地物信息2. 低秩表示算法（Low Rank Representation ）min Z rank (Z ) s.t.X =DZ (LRR 初始模型)min Z,E ‖Z ‖∗+λ‖E ‖2,1 s.t.X =DZ +E （LRR 最终求解模型）3. 低秩和稀疏表示（Low Rank and Sparse Representation ）min Z,E ‖Z ‖∗+‖Z ‖1+λ‖E ‖2,1 s.t.X =DZ +E （LRASR 最终求解模型）4. 字典学习的方法上面方法采用整个矩阵作为过完备字典，实际运算计算代价较大，因此采用了学习字典方法，用少量的原子构成字典x =Dα+v (系数α是稀疏的)α̂=argmin ‖x −Dα‖2+γ‖α‖1 (采用稀疏编码方法来求稀疏系数)D (n+1)=D n −μ∑(D n αi −x i )αi T M i=1 (字典学习过程)5. 单/多局部窗口低秩表示模型（SLW_LRRSTO/MLW_LRRSTO ）min Z,E ‖Z ‖∗+η‖Z −Z ̃‖F2+λ‖E ‖2,1 s.t.X =DZ +E, 1d T ∙Z = 1n T矩阵的各种范数含义：‖∙‖∗ 核范数，矩阵的奇异值之和，用于rank (∙)的松弛求解‖∙‖0 0范数，矩阵中非零元素的个数，通常松弛到‖∙‖1之后进行求解‖∙‖1 1范数，矩阵元素的绝对值之和（稀疏规则算子，L1范数是L0范数的 最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解）‖E ‖2,1 ℓ1,2范数，矩阵中各列的2范数之和‖∙‖F F 范数，矩阵元素的绝对值的平方和，再开方参数λ称为正则化参数，用于控制稀疏解的稀疏度，λ取值越大，解α就越稀疏。
稀疏编码算法 详解
稀疏编码算法详解稀疏编码算法是一种无监督学习方法，它用于寻找一组“超完备基(over-complete bases)”来更高效地表示样本数据。
这个算法通过找到一组基向量，使得输入向量能够被这些基向量的线性组合所表示，而其中的系数大部分为0，因此称为“稀疏”。
超完备基的好处是它们能更有效地找出隐含在输入数据内部的结构与模式。
然而，对于超完备基来说，系数不再由输入向量唯一确定。
因此，稀疏编码算法中引入了“稀疏性”来解决因超完备而导致的退化问题。
“稀疏性”定义为只有很少的几个非零元素或只有很少的几个远大于零的元素。
在稀疏编码算法中，稀疏性要求对于一组输入向量，我们只想有尽可能少的几个系数远大于零。
选择使用具有稀疏性的分量来表示我们的输入数据是有原因的，因为绝大多数的感官数据，比如自然图像，可以被表示成少量基本元素的叠加。
同时，这也与初级视觉皮层的类比过程相符。
稀疏编码算法的具体步骤可能会因不同的实现方式而略有不同，但一般来说，它们都会涉及到以下步骤：1. 初始化一组基向量。
这些基向量可以是随机的，也可以是根据一些先验知识进行初始化。
2. 对于每个输入向量，用这些基向量进行线性组合，形成对输入向量的逼近。
这一步通常会用到最小二乘法等优化方法。
3. 对形成的线性组合系数进行稀疏化处理。
这一步通常会用到一些稀疏编码技术，比如Lasso回归、岭回归等。
4. 重复以上步骤，直到满足停止条件为止。
停止条件可以是迭代次数达到预设值，或者误差达到预设值等。
总的来说，稀疏编码算法是一种有效的数据表示方法，它能够更有效地找出隐含在输入数据内部的结构与模式。
同时，由于其稀疏性特点，稀疏编码算法也具有很强的鲁棒性和泛化能力。
基于迭代FFT算法的平面稀疏阵列优化方法
基于迭代 Ｆ Ｔ算法 的平面稀疏 阵列优化 方法 Ｆ
曾伟 一 梁 ， 颖 黄 ， 伟２
（． １成都航空职业技术学 院 电子 工程 系 ， 成都 ６００ ； ． １１０２ 电子科技大学 电子 工程学 院 ， 成都 ６（５ ） １ ４ Ｆ ｒ 法 的优 化 方 法来 实现 平 面稀 疏 阵列 的峰 值 旁瓣 电平 优 化 ， 提 Ｆ算 并给
ｏ ｅ ｓ ｔ ｅ ｕ ｎ ａ ｈ ｉ ｒ ｔ ｎ ｃ ｃｅ Ｔ ｅ ｓ ｌｔｄ ｒｓ ｌ ｏ ｆ ｅ ｇｅ ｔ ｆ ｃｅ ｃ ｄ ｔｅ ｒｂ ｓ ｅ ｓｏ ｈ ｔ ｒ ｏ ｚ ｒ ｄ ｒ ｇ ｅ ｃ ｅａｉ ｙ ｌ ． ｉ ａｅ ｕｔ ｃ ｎ ｒ ｔ ｒ ａ ｉ ｉｎ ｙ ａ ｕ ｔ ｓ ｆ ｏ ｉ ｔ ｏ ｈ ｍｕ ｅ ｓ ｉ ｍ ｈ ｅ ｎ ｈ ｏ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｍｅｈ ｄ ｂ ｓｄ ｏ ｔｒｔ ｅ Ｆ Ｔ ｌｏ ｔｍ ｓｐ ｅ ｅ ｔｄ ｆｒ ｔｉ ｎ ｄ ｐａ ａ ｒ ｙ ｆａｕ ｎ ｎ ｏ ｔ ｌ ｓｒ ｃ ： ｔｏ ａ ｅ ｎ ｉ ａｉ ］ ａｇ ｒ ｈ ｉ ｒ ｓ ｎｅ ｏ ｎ ｅ ｌ ｒａ ｒ ｅ ｔ ｒ ｇ ａ ｐ ｉ ｅ ｖ Ｆ ｉ ｈ ｎ ａ ｉ ｍａ ｐ ａ ｉｅ ｌｂ ｅ ｅ ｎ ｅ ｄ ｔｉ ｄ ｓｅ ｓｏ ｅｍｅ ｏ ｒ ｒｖｄ ｄ．Ｔ ｅ ｓ ｅ ｌｂ ｖ ｌ ａ ｅ ｒｄ ｃ ｄ ｗ ｅ ｅ ｌ ｄ ・ ｅ ｌｖ ｌ ｄ ｔ ｅａｌ ｔｐ ｆ ｔ ｄ ａｅ ｐ ｏ ｉｅ （ｓ ｏ ａ ｈ ｅ ｈ ｔ ｈ ｈ ｉ －ｏ ｅｌ ｅ ｎ ｂ ｅ ｕ ｅ ｈ ｎ ｄ ｅ ｃ ｅ ｃ ｔｒｔ ｎ ｌｏ ｅｉ ｇ ｔ ｅ ｇｖ ｎ ｐ ａ ｉ ｅ ｌｂ ｅ ｕ ｒ ｍｅ ｔｓ ｒ ｉ ｉ ｅ ｎ ａ ｄ ｍ ｎ ｔ ｉａｉ ｆ ａ ｈ ｉ ａｉ ｐ ｍｅ ｔ ｉｅ ｅ ｋ ｓｄ — ｅ ｒ ｑ ｉ ｅ ｏ ｏ ｎ ｈ ｏ ｅ ｎ ｔ ｔ ｗ ｔ ａ ｄ ｆ ｒ ｔｒ ｎ ｏ ｉｉ ａ ｚ ｔ ｎ ｏ ａｓ ｈ ｅ ｉ ｌ ｏ ｅｅ ｎ ｘ ｉ ｔ ｎ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ Ｆ ｕ ｉｒｔ ｎ ｆｒ ｒｌｔ ｎ ｈｐ ｂ ｔ ｅ ｅ ａｍｙ ｆｃｏ ｎ ｅ ｅｅ ｎ ｘ ｉ — ｌｍｅ ｔｅ ｃｔ ｉ ｓｂ ｓｎ ｏ ｒ ａ ｓ ｍ ａｉ ｓ ｉ ｅ ａｏ ｈ ｅ ｒ ｏ ｅ ｏ ｗｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｔｒａ ｄ ｔ ｌｍｅ ｔｅ ｃｔ ｈ ｈ ａ
稀疏编码的原理及应用
稀疏编码的原理及应用稀疏编码是一种在机器学习和信号处理领域广泛应用的技术。
它的原理是通过寻找最少的非零系数来表示一个信号或数据，从而实现数据的压缩和降维。
本文将介绍稀疏编码的原理、算法和应用。
一、稀疏编码的原理稀疏编码的核心思想是利用信号或数据的稀疏性来进行表示。
在现实世界中，很多信号和数据都具有稀疏性，即大部分系数都是接近于零的。
例如，自然图像中的大部分像素值都是接近于零的，只有少数像素值是非零的。
稀疏编码的目标就是找到一种能够用尽可能少的非零系数来表示信号或数据的方法。
稀疏编码的原理可以用数学公式表示如下：y = Ax其中，y表示观测到的信号或数据，A是一个稀疏基（也称为字典），x是信号或数据在稀疏基上的系数。
稀疏编码的目标就是找到最优的系数x，使得y能够用最少的非零系数来表示。
二、稀疏编码的算法稀疏编码的求解可以通过优化算法来实现。
其中，最常用的算法是基于L1范数的优化算法，例如LASSO算法和基于L1范数的最小角回归（LARS）算法。
LASSO算法是一种基于L1范数正则化的线性回归方法。
它的优化目标是最小化残差的平方和，同时加上L1范数的惩罚项。
通过调整惩罚项的权重，可以控制稀疏程度。
LARS算法则是一种逐步逼近的方法，它通过不断调整L1范数正则化的权重，逐渐增加非零系数的个数，直到找到最优的稀疏解。
除了基于L1范数的优化算法外，还有其他一些稀疏编码的算法，例如基于L0范数的优化算法和基于贪婪算法的字典学习方法。
这些算法都有各自的特点和适用场景，可以根据具体的问题选择合适的算法进行求解。
三、稀疏编码的应用稀疏编码在信号处理和机器学习领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 图像压缩：稀疏编码可以用来对图像进行压缩。
通过找到图像的稀疏表示，可以将图像的信息用更少的数据量来表示，从而实现图像的压缩和传输。
2. 信号恢复：稀疏编码可以用来恢复受损的信号。
通过观测到的部分信号，可以利用稀疏编码的方法来恢复原始信号，从而实现信号的重建和恢复。
大型稀疏矩阵的求解
• 引言 • 大型稀疏矩阵的存储方法 • 大型稀疏矩阵的求解算法 • 大型稀疏矩阵求解的优化技术 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
01
大型稀疏矩阵在科学计算、工程 技术和经济领域中广泛存在，如 有限元分析、电路分析、交通流 建模等。
02
由于其非零元素数量远小于总元 素数量，因此存储和计算效率成 为关键问题。
3
矩阵压缩存储的另一个重要原理是利用矩阵的稀 疏性，通过一些优化技术来进一步提高存储效率。
矩阵压缩存储的优点和局限性
01
矩阵压缩存储的主要优点是能够显著 减少存储空间的需求，特别是对于那 些稀疏度较高的矩阵。
02
此外，由于只存储了非零元素，因此 在某些计算过程中也可以减少计算量 ，提高计算效率。
03
算矩阵的逆或矩阵的行列式值来求解线性方程组。
02
直接法适用于小规模稠密矩阵，但对于大型稀疏矩阵
，由于计算量巨大，效率较低。
03
常见的直接法求解算法包括高斯消元法、LU分解法
等。
迭代法求解
迭代法是通过不断迭代逼近解的一种方法，适用 于大规模稀疏矩阵的求解。
迭代法利用矩阵元素的稀疏性，减少了计算量， 提高了求解效率。
预处理技术
预处理技术是指在求解稀疏矩阵之前，对原始数据进行一系列处理，以改善矩阵的性质，提高求解效率。常见的预处理方法 包括对角化预处理、不完全LU分解预处理等。
预处理技术可以减小矩阵的条件数，从而减小迭代方法的收敛速度，提高计算精度。同时，预处理技术还可以减少迭代过程 中的数值不稳定性，提高计算结果的可靠性。
理，从而显著缩短计算时间。
03
软件库和工具的开发
稀疏编码的参数选择与调优方法
稀疏编码的参数选择与调优方法稀疏编码是一种在机器学习和信号处理领域中常用的技术，用于处理高维数据的降维和特征选择问题。
在稀疏编码中，通过选择适当的参数和进行调优，可以提高算法的性能和效果。
本文将探讨稀疏编码的参数选择与调优方法。
一、稀疏编码的基本原理稀疏编码的基本原理是通过表示输入信号为少量的非零系数的线性组合，从而实现数据的降维和特征选择。
在稀疏编码中，输入信号可以表示为一个稀疏向量s，通过一个稀疏矩阵D进行编码，即s=Dx，其中x为编码系数向量。
二、参数选择与调优方法2.1 字典选择在稀疏编码中，字典D的选择对算法的性能有着重要的影响。
常用的字典选择方法包括K-SVD算法和OMP算法。
K-SVD算法通过迭代更新字典的列向量，使其逼近训练数据；OMP算法则通过逐步选择字典的列向量，使其逼近训练数据。
在实际应用中，可以根据具体问题选择适合的字典选择方法。
2.2 稀疏性度量稀疏编码的目标是使得编码系数向量x尽可能地稀疏。
为了衡量稀疏性，通常使用L0范数、L1范数或L2范数等进行度量。
L0范数表示向量中非零元素的个数，L1范数表示向量元素的绝对值之和，L2范数表示向量元素的平方和。
在实际应用中，可以根据问题的特点选择适合的稀疏性度量方法。
2.3 正则化参数选择正则化参数在稀疏编码中起到平衡稀疏性和重构误差的作用。
常用的正则化参数选择方法包括交叉验证、网格搜索和启发式方法。
交叉验证通过将数据集划分为训练集和验证集，选择使得验证集上的误差最小的正则化参数；网格搜索则通过遍历正则化参数的组合，选择使得误差最小的参数；启发式方法则通过经验或规则选择正则化参数。
在实际应用中，可以根据问题的复杂度和数据集的大小选择适合的正则化参数选择方法。
2.4 迭代算法调优稀疏编码中常用的迭代算法包括迭代收缩阈值算法（ISTA）、加速迭代收缩阈值算法（FISTA）和坐标下降算法。
这些算法通过迭代更新编码系数向量x，使其逼近稀疏解。
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现1大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现随着计算机技术的不断发展和数学建模需求的增加，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现日益受到人们的关注。
在实际应用中，大型稀疏矩阵经常出现在各种科学计算、工程计算以及机器学习等领域。
因此，如何高效地求解大型稀疏矩阵成为了一个十分重要的问题。
一般来说，大型稠密矩阵的求解可以使用各种经典算法，如高斯消元、LU分解等。
然而，大型稀疏矩阵的求解却需要特殊的算法和数据结构。
传统的直接求解方法存在着效率低下和存储空间过大等问题，因此研究者们提出了许多改进方法和优化方案。
稀疏矩阵存储结构是求解算法中的重要问题之一。
目前，广泛应用的稀疏矩阵存储格式包括压缩列（Compressed Column，CC）、压缩行（Compressed Row，CR）以及双重压缩（Double Compressed）等。
这些存储格式各有优缺点，具体用哪一种存储格式取决于矩阵的具体特点和求解算法的需求。
比如，在随机梯度下降等机器学习算法中，常常使用压缩行存储方式来优化矩阵乘法操作的速度。
多核并行、GPU加速等技术也被广泛应用于大型稀疏矩阵的求解算法中，以提高计算效率。
并行求解算法可以将巨大的计算任务划分成多个子任务，并分配给多个核心同时执行，充分利用计算机的计算资源。
而GPU加速则充分利用了GPU的特殊架构，通过将计算任务映射到各个流处理器上并行执行，进一步提高求解效率。
除了以上所述的算法优化和技术应用，近年来还出现了一些新的求解算法。
比如，基于埃米尔特矩阵分解的求解算法，具有比传统LU分解更快的求解速度；基于内点法的求解算法，在高稀疏性的情况下，具有比其他算法更优的求解速度和精度。
综上所述，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现是一个充满挑战的领域。
在实际应用中，选择适合的算法和存储结构，并结合多核并行、GPU加速等技术，可以有效提高求解速度和精度。
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I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09540 x 191
• 第2个小九宫格：
0927 I99 I99 I99 09270927 I99 I99 I99 0927 0927 I99 I99 I99 09513 x
关于数独的求解方法有暴力破解法、约束规划、 比较排除法等，比较排除法是一系列直观的求解方 法。（能否更加具体点说明比较排除法）暴力破解 （Brute-Force）法，缺陷就是需要大量的时间和 内存；而约束规划是通过设置一个目标函数与约束 函数，采用分支定界法求解，由于它本质上为一个 NP-C问题，所以需要的时间较多，而且对初值的 选取很敏感，相对约束规划求解方法的一种改进方 法是采用随机搜索或智能优化，随机生成解，然后 计算误差，通过不断迭代使得误差为0，这种方法 比前面的稍快，但同样需要大量的时间，而且性能 不稳定。
(1)
其中row，col，box分别表示每行、每列、每 个小九宫格只出现一次数字1-9。
• 实数编码 由于问题（1）也是一个整数规划问题，求解困难， 因此采用一种编码方法，将x放宽到实数域，然后去 除整数约束。
所要的编码方法，将原来的整数编码中的每一个 xij 用 9 个 0-1 之间的实数 xijk （k=1,2，，9）表示
稀疏优化算法求解数独
什么是数独
数独（Sudoku，也叫九宫格，如下图）是 一种数字游戏，在格的大九宫格中有9个格 的小九宫格，并提供一定数量的数字。根 据这些数字，利用逻辑和推理，在其它的 空格上填入1到9的数字。每个数字在每个 小九宫格内只能出现一次，每个数字在每 行、每列也只能出现一次。
传统54 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09486 x
191
• 填充约束条件（每一个格子中的数必须是19之间的数，以第一行第一列的格子为列）
1 10 0 x 1 720 9
基于稀疏优化算法的数独求解
基本思想是通过将数独的填字数字1-9映射 为只含有0和1的向量，对数独所要满足的 求解条件，建立相应的线性方程。这时， 数独的求解问题就转化为求解线性方程的 最大稀疏解问题，即所谓的0-范数问题。0范数问题由于近年来压缩感知理论的盛行， 得到极大的关注。
• 基本思想和原理 给出一个数独，假设解为x，则依据数独的约 束条件可得一约束规划问题：
1 2 3 4 5
100000000 0.50.500000000 0.50.40.100000000 0.50.30.10.100000000 0.50.20.10.10.100000000
0
已知提示数目34
芬兰数学家设计的世界“最难”数独。
• 作业: 1. 编程得到关于数独求解的线性方程组 2. 将问题1的数独形式推广到任意阶的情形, 如16*16, 25*25等.
Aeq x beq .
其中在约束条件中可以让x在实数范围内取 值，而且依照上述所表达的式子中可以知道 此约束是线性的。这时矩阵的行数为324+， 表示已知数独提示的数字数目，而的维数为 729，因此上述方程显然是一个欠定方程组。
• 稀疏优化
Min
x
0
s.t.
Aeq x beq .
xij
xij
• 行约束条件 第1行可以写为：
I 99 I 99 I99 09648 x 191 9
第2行可以写为：
0981 I99 I99 I99 09567 x 191 9
• 列约束条件 第1列可以写为：
I 99 0972 I99 0972 x 191 9
• 第2列可以写为：
099 I99 0963 099 I99 0963 x 191 9
• 小九宫格约束条件（以左上角的小九宫格开 始编号，编号为1，第一行小九宫格从左到右 编号，再到第二行小九宫格，再到第三行小 九宫格，右下角的小九宫格编号为9）
xij I ( xij k ),
xij k ( xijk max( xijk )).
k
（2） （3）
上述式中 I（ ）是指示函数，等式成立时为 1，不成立是为 0.
图2 实数编码
• 约束条件 依据上述的实数编码方法去除整数约束，同 时转换成为一个线性方程组。下面我们分别 描述行、列等所要满足的约束条件。
则第 i 行，第 j 列的提示数字 n（ i, j , n 1, 2, ,9 ） ： 设 m=81(i-1)+9(j-1)+n-1
0 010 0 x 1 720 m m
• 因此所有的约束条件转换成一个线性方程组 简单的可以表示为：
• 提示数字约束条件 依据已经给出的提出数字可以得出相应的约 束条件： 第1行，第3列的提示数字8：
0 0 000000010 0 0 x 1 702 18
• 第1行，第4列的提示数字3：
0 0 0010 0 x 1 699 27
min 1
rowi ( x) 1, 2, ,9 , coli ( x) 1, 2, ,9 , st. boxi ( x) 1, 2, ,9 , Cluei ( x) Cluei , x 1, 2, ,9 , ij