1.5排列的生成算法
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
排列组合的生成
感谢您的观看
THANKS
详细描述
该算法从第一个位置开始，将元素逐个插入到已排序的序列中，每次插入后都重新对整个序列进行排序，直到所 有元素都插入完毕。这种方法简单易懂，但效率较低，时间复杂度为O(n^2)。
递归法
总结词
通过递归调用自身来生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，对于给定的n个元素，先考虑第一个元素，将其与其他元素进行全排列，然后 再考虑第二个元素，将其与剩余的元素进行全排列，以此类推，直到所有元素都被考虑完毕。这种方 法思路简单，但实现起来较为复杂，需要处理递归终止条件和回溯。
密钥管理
在密钥管理中，排列组合可用于生成唯一的密钥， 确保通信双方的安全通信。
加密算法
排列。
数据加密
数据加密标准
排列组合可用于实现数据加密标 准（DES），通过对数据进行一 系列的置换和组合操作，确保数
据的机密性和完整性。
排列组合的生成
目录
• 排列组合的基本概念 • 排列的生成算法 • 组合的生成算法 • 排列组合的应用场景 • 排列组合的优化策略
01
排列组合的基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0≤m≤n），按照一定的顺序排成 一列，称为从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。
排列的表示
迭代法
总结词
通过迭代的方式生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，从第一个元素开始，依次将每个元素放到当前位置，然后对剩余 的元素进行全排列，直到所有元素都被考虑完毕。这种方法需要使用额外的数据结构来
保存中间结果，但时间复杂度较低，为O(n!)。
03
组合的生成算法
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
12345排列组合公式
12345排列组合公式排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的排列或组合。
排列是指取出的元素有顺序，而组合则是指取出的元素无顺序。
对于12345这五个数字，我们可以进行不同的排列和组合。
例如，我们可以将它们排列成一个五位数，也可以将它们组合成一个四位数。
排列公式是用来计算从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的排列数。
排列公式可以用符号表示为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表示阶乘，即一个数从1乘到这个数。
对于12345这五个数字，我们可以使用排列公式来计算从这五个数字中取出3个数字的所有可能的排列数。
排列公式可以表示为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5 * 4 * 3 = 60。
因此，从12345这五个数字中取出3个数字的所有可能的排列数是60种。
组合公式是用来计算从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的组合数。
组合公式可以用符号表示为C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]，其中"!"表示阶乘。
对于12345这五个数字，我们可以使用组合公式来计算从这五个数字中取出3个数字的所有可能的组合数。
组合公式可以表示为C(5, 3) = 5! / [3! * (5-3)!] = 10。
因此，从12345这五个数字中取出3个数字的所有可能的组合数是10种。
需要注意的是，排列和组合是两个不同的概念。
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。
因此，在计算排列和组合时，我们需要使用不同的公式。
另外，排列和组合的计算也有一些重要的性质和公式。
例如，C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数。
此外，C(n, m) = P(n, m) / m!，即组合数等于排列数除以m 的阶乘。
这些性质和公式在计算排列和组合时非常有用。
排列的算法公式
排列的算法公式好的，以下是为您生成的关于“排列的算法公式”的文章：咱先来说说啥是排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，这就叫排列。
那怎么算出有多少种排法呢？这就得靠排列的算法公式啦。
排列的算法公式是：A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
这个公式看着有点复杂，但其实理解起来也不难。
我给您举个例子啊，就说咱们班要选 3 个同学去参加比赛，班里一共有10 个同学，那有多少种选法呢？这时候就可以用排列公式来算啦。
A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 ，所以一共有 720 种选法。
前几天我去菜市场买菜，看到水果摊摆着苹果、香蕉、橙子、草莓和西瓜。
我就想，如果我要挑 2 种水果带回家，那有多少种挑法呢？这其实就是一个简单的排列问题。
用排列公式算一下，A(5, 2) = 5! / (5 - 2)! = 5 × 4 = 20 ，居然有 20 种不同的挑选组合呢！再比如说，学校组织运动会，要从 8 个跑步健将里选 4 个参加4×100 米接力赛，那排兵布阵的方法可多了去了。
用排列公式一算，A(8, 4) = 8! / (8 - 4)! = 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 ，哇，有 1680 种不同的安排方式呢！在实际生活中，排列的算法公式用处可大了。
像抽奖活动，从一堆号码里抽出几个中奖号码，这也是排列；还有安排座位，一排有 10 个座位，选 5 个人坐，也能用排列公式算出多少种坐法。
排列的算法公式虽然看起来有点头疼，但只要多琢磨琢磨，多结合实际例子想想，就能发现它其实挺好玩的，也挺有用的。
咱别被那一堆数字和符号吓到，把它当成解决实际问题的小工具，就会发现数学的世界也挺有意思的。
组合数学 第一章 排列组合5全排列的生成算法合
1.5.2字典序法
[例] 求839647521的下一个排列
找出比右边数字小的标号最大的数4
8397655 72124124517
44><＜2157
大小为于于后44的的缀用用橙绿色 色表 表示 示
在 找接后出上即缀其前87中后3缀59比2将861缀4344中此97大、变65找后52的1得5出为缀的标到比对翻7下号84换转一3大2最916个的大5。1数的24数77 5
1.5.2字典序法
对给定的字符集中的字符 规定了一个先后关系，在此基 础上规定两个全排列的先后是 从左到右逐个比较对应的字符 的先后。
1.5.2字典序法
[例]字符集{1,2,3},较小的数字较 先,这样按字典序生成的全排列是: 123,132,213,231,312,321。
※※ 一个全排列可看做一个字符串，字
规则：令n个元素为1，2,…,n. p p1 p2 pn 是 这n个数的任意一个排列，我们可以找到一 个序列和它对应，其中ai 可以看作是排列P中 数i+1所在位置右边比i+1小的数的个数。
例 排列3214，它是元素1，2，3，4的一个 排列, 它对应的序列是什么？
例 序列311对应的排列是什么？
练习
求839763ห้องสมุดไป่ตู้421的下一个排列
1.5.3邻位对换法
序数法和字典排序法，求下一个排列在 不进位的情况下很容易。这就启发我们， 能不能设计一种算法，下一个排列总是 上一个排列某相邻两位对换得到的。
活动状态
以1←2←3←4←为初始排列，箭头所指一侧，相邻 的数比它小时，则称该数组处在活动状态， 1 2 3←4←的←2←，3，4都处于的活动状态。
符串可有前缀、后缀。
排列与顺序有关公式
排列与顺序有关的公式排列是数学中的一个概念，它与顺序和组合密切相关。
在组合数学和概率论中，对于一组元素的排列，我们可以使用排列公式来计算其可能性的个数。
一、排列的定义排列是从一组元素中取出部分元素进行排列，根据不同的顺序形成不同的组合。
如果从n个不同元素中取出m个元素进行排列，记作P(n, m)，则排列的个数为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
二、排列的计算步骤计算排列的方法可以通过以下步骤进行：1.确定元素的个数n和需要排列的个数m。
2.根据P(n, m) = n! / (n-m)!公式计算排列的可能性个数。
三、排列公式的应用排列公式在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
下面以几个具体问题为例，说明排列公式的应用。
1.求解某个组合问题的可能性个数。
假设有10个人参加某个比赛，要选出前3名，求解可能性个数。
根据排列公式，可以得到：P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = (10 * 9 * 8 * 7!) / 7! = 720因此，可能性个数为720。
2.计算不重复排列问题。
假设有5个不同的球员，要选取其中3个，计算不重复排列的个数。
根据排列公式，可以得到：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 60因此，不重复排列的个数为60。
3.解决带有限制条件的排列问题。
假设有8本书，其中3本是数学书，2本是语文书，3本是英语书，要将它们放入一个书架上，但要求数学书必须放在最左边，且语文书和英语书要分开放。
求解不同排列的个数。
根据排列公式，可以得到：P(7, 2) = 7! / (7-2)! = 7! / 5! = (7 * 6 * 5!) / 5! = 42因此，不同排列的个数为42。
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1.5.2 换位法
(三) 算法描述 三 生成集合{1,2,…,n}的所有排列的换位算法。
ss s 从 12L n 开始,当存在一个活动的整数时,做：
(1)求出最大的活动整数m (2)交换m和其箭头所指向的与其相邻的整数 (3)交换所有满足p＞m的整数的方向
1.5.3 序数法
(一) 基本思想 一 集合{1,2,…,n}的一个排列P＝P1P2…Pn
1.5.2 换位法
1234 1243 1423 4123 4132 1432 1342 1324 3124 3142 3412 4312 4321 3421 3241 3214 2314 2341 2431 4231 4213 2413 2143 2134
ss ss 1234 sss s 124 3 sss s 1423 s ss s 4123 r sss 4132 sr ss 1432 ssrs 1342 sssr 1324
5! 5! 5! 5! 5!－ a 2－ a 3 － a 4－ a 5 3! 5! 2! 4! 5! 5! 5! 5! ＝5!－ ×1 － × 0 － × 3－ ×1＝44 2! 3! 4! 5!
1.5.1 翻转法
(三) 算法描述 生成集合{1,2,…,n}的所有排列的翻转算法 从排列PnPn-1…P2P1 ＝ 12…n开始，当 PnPn-1…P2P1 ≠ n(n－1)…21时，做： (1)从左向右扫描找出使得Pi≠i的最大整数 i(1≤i≤n) (2)PnPn-1…P2P1＝Pi-1Pi-2…P2P1PiPi+1…Pn-1Pn
1.5.2 换位法
(一)基本思想 构造集合{1,2,…,n}的所有排列可分步： (1)生成{1,2,…,n－1}的排列，有(n－1)！个 结果 (2)选定(1)的一个排列，将数n依次插入该排 列的元素之间(包括首尾位置)，有n个结果
1.5.2 换位法
从集合{1}的排列1开 始，归纳描述如下： n＝2 12 21 n＝3 1 23 132 31 2 32 1 231 2 13
1.5.2 换位法
上述归纳描述已明确对任意正整数n，生成 {1,2,…,n}的所有排列的系统过程。其中 (1)第一个排列为12…(n－1)n，最后一个排 列为2134…(n－1) n。 (2)每一个排列都是由前一个排列交换两个相 邻的数而得到的。 (3)交换最后排列中的相邻数1与2就得到第一 个排列，因此该算是循环的。
1.5.4 字典序法
例如，设排列P＝P1P2P3P4＝2341，则 (1) i＝max{2,3}＝3 (2) j＝max{3}＝3 (3) P2与P3互换得排列p ＝ p1 p 2 p 3 p 4 ＝2431 (4) 将排列 p中 p 3 p 4 顺序逆转得到下一个排 列2413
1.5.4 字典序法
1.5.4 字典序法
(一) 基本思想 一
1
2
3
2
Hale Waihona Puke 3131
2
3
2
3
1
2
1
1.5.4 字典序法
二 算法描述 字典序法给出由一个排列P＝P1P2…Pn生成下一个排 列的算法： (1) i＝max{j︱Pj-1＜Pj} (2) j＝max{k︱Pi-1＜Pk} (3) Pi-1与Pj互换得排列 p＝ p1 p 2 L p n (4)把 p＝ p1 p 2 L p i −1 p i p i +1L p n 中 p i p i +1L p n 部分 的 p1 p 2 L p i −1 p n L p i +1 p i 顺序逆转得下个排列
… 第n位
可选1,2,…,n中任一个
第二项本身不独立于第 一项，虽第二项的方案 数独立于各项的方案数
构造逆序列a1a2…an-1，a1可选0,1,2,…,n－1中的任 一个，a2可选0,1,2,…,n－2中的任一个，显然a2的 选择与a1的选择无关。 ak类似
1.5.3 序数法
逆序列a1a2a3 000 001 010 011 020 021 … {1,2,3,4}的排列P1P2P3P4 1234 1243 1324 1423 1342 1432 …
1.5.1 翻转法
上述归纳描述已明确对任意正整数n，生成集 合{1,2,…,n}的所有排列的系统过程。其中 (1)第一个排列为12…(n－1)n，最后一个排 列为n(n－1)…21 (2)当Pn≠n时，排列PnPn-1…P2P1的直接后继 排列为Pn-1Pn-2…P2P1Pn
1.5.1 翻转法
(二) 计算机实现 二
s sss 3124 s sss 3 142 ss ss 34 12 s s ss 4312 r rs s 432 1 rrs s 3421 rsr s 324 1 rs sr 3214
s r ss 2314 s rs s 234 1 ss r s 2431 ss r s 423 1 rs sr 4213 sr sr 24 13 s sr r 2 14 3 s srr 2134
1.5.1 翻转法 1.5.2 换位法 1.5.3 序数法 1.5.4 字典序法
1.5.1 翻转法
(一) 基本思想 一 构造集合{1,2,…,n}的所有排列可分两步： (1)将n插入{1,2,…,n－1}的每个排列后，得 到{1,2,…,n}的(n－1)！个不同排列； (2)选定(1)的一个排列，依次将该排列的前i 位(i＝0,1,2,…,n－1)调到该排列的尾部， 得{1,2,…,n}的n个不同排列。
1.5.1 翻转法
(k＋2)(k＋1)PkPk-1…P2P1与 Pk-1Pk-2…P2P1Pk(k＋1)(k＋2) 集合{1,2,…,k＋2}前后相邻两个排列 …… n(n－1)…(k＋2)(k＋1)PkPk-1…P2P1与 Pk-1Pk-2…P2P1Pk(k＋1)(k＋2)…(n－1)n 集合{1,2,…,n} 前后相邻两排列。
1.5.1 翻转法
定理1.5.2 上面描述的算法，对每个正整数n 产生集合{1,2,…,n}的n!个不同排列。 证明 (1)算法用于n＝1,2时，定理成立 (2)假设算法用于每个正整数k(k≤n－1)， 产生集合{1,2,…,k}的k!个不同排列
1.5.1 翻转法
设当前排列PnPn-1…Pk+1PkPk-1…P2P1 (Pn＝n,Pn-1＝n－1,…,Pk+1＝k＋1, Pk≠k) PkPk-1…P2P1与Pk-1Pk-2…P2P1Pk 集合{1,2,…,k}相邻前后排列 (k＋1)PkPk-1…P2P1与Pk-1Pk-2…P2P1Pk(k＋1) 集合{1,2,…,k＋1}相邻前后排列
1.5 排列的生成算法
生成集合{1,2,…,n}的所有排列的算法 (1)算法结果须是一个表，该表含{1,2,…,n} 的每个排列，且每个排列只出现一次。 (2)仅使用当前排列一次一个地生成下一个排 列，且要求不保留所有排列的列表就能够 简单地用后面的排列覆盖当前的排列。 (3)算法必须是循环的。
1.5 排列的生成算法
其中常数ai(i＝2,3,…,n－1,n)为该排列中排在 数i前和数i+1后的小于i的元素的个数(注意， 常数an即为该排列中排在数n前且小于n的元 素的个数，因该排列中无数n+1)。
1.5.1 翻转法
证明设Pn-1Pn-2…P2P1为{1,2,…,n－1}第t个排 Pn-1Pn-2…P2P1n (t－1)n＋1＝tn－(n－1)＝tn－an Pn-2Pn-3…P2P1nPn-1 Pn-3…P2P1nPn-1Pn-2 P1nPn-1Pn-2…P3P2 nPn-1Pn-2…P2P1 tn－n＋2＝tn－an tn－n＋3＝tn－an tn－n＋n－1＝tn－an tn－n＋n＝tn－an
1234 ↓ 1234 2341 3412 4123
2314 3124 2134 1324 3214 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2314 3124 2134 1324 3214 3142 1243 1342 3241 2143 1423 2431 3421 2413 1432 4231 4312 4213 4132 4321
一一对应
逆序列a1a2…an-1，其中ai(i＝1,2,3,…,n－1)为排列P 中先于i且大于i的整数的个数 全部逆序列a1a2…an-1的集合恰可表示为有限集合的 笛卡尔(Cartesian)积： {0,1,2,…,n－1}×{0,1,2,…,n－2}×…×{0,1}
1.5.3 序数法
序数法的成功之处 通过独立的选择来代替相关的选择。 构造集合{1,2,…,n}的一个排列 第一位 第二位
n＝4 1 2 34 1 243 142 3 41 2 3 41 3 2 143 2 1 342 1 3 24 3 1 24 3 142 341 2 43 1 2 43 2 1 342 1 3 241 3 2 14 2 3 14 2 341 243 1 42 3 1 42 1 3 241 3 2 143 2 1 34
1.5.2 换位法
(二) 计算机实现 二 给定一个正整数k，在其上划一个指向左或右 r s 的箭头来表示一个方向： 或 k k 对集合{1,2,…,n}的一个排列，其中每一个正 整数都给定一个方向。若正整数k的箭头指向 与其相邻的正整数比它要小，则称这个正整 数k是活动的。
rrr r s s 例如，对 263154 ，3,5和6是活动的
例如，按字典序生成集合{1,2,3,4}的排列 解 1234 1243 1324
1.5.3 序数法
例1.5.1 确定{1,2,3,4,5,6,7,8}的一个排列，其中该排列的逆 序列为75543210。 1 解 1 2 3 1 3 2 3 1 4 4 2 3 1 5 5 4 2 3 1 6 6 5 4 2 3 1 7 7 6 5 4 2 3 1 8 8 7 6 5 4 2 3 1 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）