北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9.曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10.4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11.离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p =_________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n = . (Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ)若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ)用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ)若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ)若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e x f x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.。
北京大学高等数学考题期末考试题考试试题复习_A卷
x
y x
xy
ez
x 1+ez
y 1+ez
(1+ez ) 2 z xy
1
2 z xy
1 1 ez
xyez (1 ez )3
考点：隐函数求导
f (x) (ex )' ex , x2 f (ln x)dx x2 (1)dx xdx 1 x2 c
x
2
对f x, y exy sin x 求全微分
x
（B）lim1 sin bx不一定为0，原式不一定为不定式 x1
（C）分子极限为无穷，分母极限不存在
考点：洛必达法则
D
x f (2t)dt 1
x f (2t)d (2t) 1
x
df (2t)
a
2a
2a
1 2
f
(2t)
|ax
1[ 2
f
(2x)
f
(2a)]
B
cos x ex
lim
x0
x y
df
[exy (dx
yx
dy) sin x exy cos x dx](x (x y)2
y) exy sin x(dx dy)
[(xy
y2
1) sin (x
x (x y)2
y) cos x]exy
dx
[( x 2
xy 1) sin (x y)2
x]e xy
dy
考点：全微分的计算
xk
lim
x0
sin x kx k 1
ex
lim
x0
1 kx k 1
1
考点：洛必达法则
三、填空题
z ez
xy, 对x求偏导 (1+ez )z x
2016-2017学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为．10．（5分）展开式中的常数项是．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且Eξ＝2，则p1＝；p2＝．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数＝．故选：A．2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e﹣x，则f′（x）＝﹣e﹣x，则f′（﹣1）＝﹣e﹣（﹣1）＝﹣e；故选：D．3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）＝，P（B）＝，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣＝．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S＝（x﹣x2）dx＝（x2﹣x3）＝﹣＝，故选：C．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2×2＝4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2＝8个比2000大的偶数，故选：D．7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．【解答】解：函数，∴f′（x）＝1﹣cos x；令f′（x）＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）＝﹣sin＝﹣1，f（0）＝0，f（π）＝π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为﹣．【解答】解：∵y＝∴y′＝﹣则y′＝﹣∴曲线y ＝在x ＝2处的切线的斜率为﹣． 故答案为：﹣ 10．（5分）展开式中的常数项是 24 ． 【解答】解：展开式的通项公式为 T r +1＝•24﹣r•（﹣1）r •x 4﹣2r，令4﹣2r ＝0，求得r ＝2，可得常数项是24， 故答案为：24．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且E ξ＝2，则p 1＝；p 2＝．【解答】解：∵E ξ＝2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P 2＝．故答案为：，．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 42 种．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置， 分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置， 甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A 33＝6种情况， 则此时有3×2×6＝36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33＝6种情况，则此时有1×1×6＝6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6＝42种；故答案为：42．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：由题意，f′（x）＝3ax2﹣2ax+1，a＝0显然不成立；a≠0时，对称轴为x＝∉（﹣1，0），f′（x）在（﹣1，0）为单调函数，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为0；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【解答】解：①若a＝e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y＝e x﹣ex的导数为y′＝e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x＝1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y＝e x﹣ax的导数为y′＝e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x＝lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）＝alna的导数为f′（a）＝lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a＝时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1＝1，，则a2＝×a1+1＝4，a3＝×a2+1＝9，a4＝×a3+1＝16，a5＝×a4+1＝25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n＝n2，用数学归纳法证明：①、当n＝1时，a1＝12＝1，即n＝1时，a n＝n2成立，②、假设n＝k（k≥1）时，结论成立，即a k＝k2，n＝k+1时，a k+1＝×a k+1＝（k+1）2，即n＝1时，结论也成立，根据①②可得：a n＝n2成立．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•＝，故甲至少命中1次的概率为1﹣＝．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）＝，∴p＝．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•＝，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••＝，故两人共命中3次的概率为+＝．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，f（x）＝x3﹣3x2，f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x＝0是极大值点，极大值是f（0）＝0，x＝2是极小值点，极小值是f（2）＝﹣4；（Ⅱ）f′（x）＝3x2+6ax＝3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max＝f（2）＝12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，若a＝﹣时，f（x）max＝0；若﹣1＜a＜﹣时，f（0）＞f（2），可得f（x）max＝f（0）＝0；若﹣＜a＜0时，f（0）＜f（2），可得f（x）max＝f（2）＝12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max＝f（0）＝0．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）＝＝＝∴P（A）最小时n＝5．（Ⅱ）依题意有＝6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，整理，得：x2﹣29x+120＝0，解得x＝5或x＝24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，∴X的分布列为：EX＝．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a＝b＝1，即有f（x）＝x2+x，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+x﹣lnx，h′（x）＝2x+1﹣＝＝，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x＝处取得极小值，且为最小值，且h（）＝+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）＝ax2+bx的导数为f′（x）＝2ax+b，g（x）＝lnx的导数为g′（x）＝，可得2am+b＝，且n＝am2+bm＝lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2＝lnm，可得a＝（m＞0），令u（m）＝（m＞0），则u′（m）＝，当m＞时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m＝处取得极小值，且为最小值，且u（）＝＝﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣a＝（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）＝xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）＝﹣a＜0，g（a+1）＝ae a+1﹣a＝a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）＝xe x﹣﹣a＝[（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）＝0，则（x﹣1）e x﹣a＝0，由（Ⅱ）得g（x）＝（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a＝0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：∴函数h（x）的最小值是h （x0），h（x 0）＝（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a＝0，得x0﹣1＝，故h（x0）＝•﹣aln＝a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。
北京市海淀北大附中2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
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人大附中 2016-2017 学年度第二学期期末高二年级数学（理科）
一、选择题（共 8 道小题，每道小题 5 分，共 40 分，请将正确答案填涂在答题纸上．）
10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是 0 、1 2i 、 2 i ，则该正方形的 第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】 (1,3) 【解析】正方形三个顶点对应的坐标为 (0,0) ， (1, 2) ， (2,1) ， 设第 4 个顶点为 (a,b) ， 则 (a 1,b 2) (2 0,1 0) (2,1) ， ∴ a 1 ， b 3 ，即第 4 个顶点为 (1,3) ．
（1 ）若序列 A0 为1， 2 ， 3 ， 4 ，则序列 A2 为__________． （ 2 ）若序列 A0 为1， 2 ， ， n ，则序列 S( A0 ) __________． 【答案】（1） 8 ，12 （ 2 ） (n 2) 2n1
【解析】（1）由题意 A1 :1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，
sin
π 4
4
可化成
y
x
4
2 0，
圆
4
sin
π 4
可化成
(x
2)2 (y
2)2 4 ，
圆心 2, 2 到直线的距离 d | 2 2 4 2 | 2 r ， 12 12
说明圆与直线相切．
故选 C ．
D．相离
6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为 0.3 ；第一次落地没有打破，第二次
北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
北京大学高等数学 A 期末考试试卷2016~2017学年第 2 学期考试科目：高等数学 A 考试类型：(闭卷)考试考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业、填空题(本大题共 5小题，每小题 3分，共15分)1．二元函数 z ln(y 22x 1) 的定义域为 。
2. 设向量 a (2,1,2) ，b (4, 1,10) ， c b a ，且 a c ，则 3．经过(4,0, 2)和(5,1,7)且平行于 x 轴的平面方程为 。
4．设 u x ，则 du 。
15．级数 ( 1)n 1p ，当 p 满足条件时级数条件收敛。
n 1 n二、单项选择题 (本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分)1．微分方程 2(xy x)y' y 的通解是( )A ． y Ce 2x2 2xB ． yC eC ． y2e2y CxD ． e2y Cxy2．求极限 lim 2 xy 4()(x,y) (0,0)xy1 1 1 1A ．B ．C ．D ．42 4 23．直线 L : x y z 和平面 :3x 2y 7z 8 0 的位置关系是 ()32 7A．直线L 平行于平面B．直线L在平面上三、计算题(本大题共 7小题，每小题 7分，共49分)1. 求微分方程 y' y e x满足初始条件 x 0， y 2的特解。
xy2. 计算二重积分 2 2 dxdy ，其中 D {( x, y) x 2 y 2 1,x y 1} D x y3．设 z z(x,y)为方程 2sin( x 2y 3z) x 4y 3z 确定的隐函数，求 xyC ．直线 L 垂直于平面D ．直线 L 与平面 斜交4．D 是闭区域 {( x, y)|a 2 x 2y 2 b 2} ，则 x 2 y 2dD3 32 3 3 4 3 3A ． (b a )B ． (b a )C ． (b a ) 2 3 3 5．下列级数收敛的是1 1 n 1 A ．1B ． 12nC ．1n 1 (n 1)(n 4) n 1 n 1 n 1 2n 1D ．3(b 3a 3)2D ．n11 3n(n 1)4.求曲线积分(x y)dx (x y)dy ，其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0) ，逆时针方L向。
2016-2017学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x，则f'（﹣1）＝（）A．B．C．e D．﹣e3．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．（5分）直线y＝x与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0B．C．D．8．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为．10．（5分）展开式中的常数项是．11．（5分）离散型随机变量ξ的分布列为：且Eξ＝2，则p1＝；p2＝．12．（5分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．（5分）若函数f（x）＝ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．（5分）已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a＝e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在数列{a n}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+3ax2．（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．（13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数＝．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．2．【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e﹣x，则f′（x）＝﹣e﹣x，则f′（﹣1）＝﹣e﹣（﹣1）＝﹣e；故选：D．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．3．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）＝，P（B）＝，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣＝．∴目标被击中的概率是．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．4．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．【点评】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．5．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S＝（x﹣x2）dx＝（x2﹣x3）＝﹣＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的运用，解题的关键是确定积分区间与被积函数．6．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2×2＝4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2＝8个比2000大的偶数，故选：D．【点评】本题考查分类计数原理的应用，解题时注意“大于2000”的数字的特征，由此对四位数的千位数字进行分类讨论．7．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：函数，∴f′（x）＝1﹣cos x；令f′（x）＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）＝﹣sin＝﹣1，f（0）＝0，f（π）＝π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．8．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B．【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是读清题意．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【考点】62：导数及其几何意义．【解答】解：∵y＝∴y′＝﹣则y′＝﹣∴曲线y＝在x＝2处的切线的斜率为﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及常见函数的导数，属于基础题．10．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1＝•24﹣r•（﹣1）r•x4﹣2r，令4﹣2r＝0，求得r＝2，可得常数项是24，故答案为：24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．11．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：∵Eξ＝2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P2＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、离散型随机变量ξ的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．12．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33＝6种情况，则此时有3×2×6＝36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33＝6种情况，则此时有1×1×6＝6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6＝42种；故答案为：42．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，解题时注意排列、组合公式与分步、分类计数原理的综合运用．13．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由题意，f′（x）＝3ax2﹣2ax+1，a＝0显然不成立；a≠0时，对称轴为x＝∉（﹣1，0），f′（x）在（﹣1，0）为单调函数，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．14．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：①若a＝e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y＝e x﹣ex的导数为y′＝e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x＝1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y＝e x﹣ax的导数为y′＝e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x＝lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）＝alna的导数为f′（a）＝lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a＝时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1＝1，，则a2＝×a1+1＝4，a3＝×a2+1＝9，a4＝×a3+1＝16，a5＝×a4+1＝25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n＝n2，用数学归纳法证明：①、当n＝1时，a1＝12＝1，即n＝1时，a n＝n2成立，②、假设n＝k（k≥1）时，结论成立，即a k＝k2，n＝k+1时，a k+1＝×a k+1＝（k+1）2，即n＝1时，结论也成立，根据①②可得：a n＝n2成立．【点评】本题考查数学归纳法的使用，涉及数列的表示方法，关键是依据求出数列的前几项分析归纳数列的通项公式．16．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•＝，故甲至少命中1次的概率为1﹣＝．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）＝，∴p＝．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•＝，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••＝，故两人共命中3次的概率为+＝．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．17．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，f（x）＝x3﹣3x2，f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x＝0是极大值点，极大值是f（0）＝0，x＝2是极小值点，极小值是f（2）＝﹣4；（Ⅱ）f′（x）＝3x2+6ax＝3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max＝f（2）＝12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，若a＝﹣时，f（x）max＝0；若﹣1＜a＜﹣时，f（0）＞f（2），可得f（x）max＝f（0）＝0；若﹣＜a＜0时，f（0）＜f（2），可得f（x）max＝f（2）＝12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max＝f（0）＝0．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．18．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）＝＝＝∴P（A）最小时n＝5．（Ⅱ）依题意有＝6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，整理，得：x2﹣29x+120＝0，解得x＝5或x＝24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，∴X的分布列为：EX＝．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a＝b＝1，即有f（x）＝x2+x，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+x﹣lnx，h′（x）＝2x+1﹣＝＝，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x＝处取得极小值，且为最小值，且h（）＝+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）＝ax2+bx的导数为f′（x）＝2ax+b，g（x）＝lnx的导数为g′（x）＝，可得2am+b＝，且n＝am2+bm＝lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2＝lnm，可得a＝（m＞0），令u（m）＝（m＞0），则u′（m）＝，当m＞时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m＝处取得极小值，且为最小值，且u（）＝＝﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，分离参数法，考查运算能力，属于中档题．20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣a＝（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）＝xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）＝﹣a＜0，g（a+1）＝ae a+1﹣a＝a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）＝a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）＝xe x ﹣﹣a ＝[（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）＝0，则（x﹣1）e x﹣a＝0，由（Ⅱ）得g（x）＝（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a＝0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：∴函数h（x）的最小值是h（x0），h（x0）＝（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a＝0，得x0﹣1＝，故h（x0）＝•﹣aln＝a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数的零点以及函数恒成立问题，是一道综合题．。
北京大学高等数学考题未知年份高数期末考试题试题(含答案)
xk =k/n, dx=1/n
三、解答题
考察了变限积分求导
考察分步积分
考察 极限（洛必达）、变限积分求导
考察多元函数的（条件）极值
考察微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理）、积分中值定理
二、填空题
考察二重积分概念，基本计算
a=1 b=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa=-1
1. 方程e^z-xyz=0,可确定二元隐函数z=z(x,y) ，等式两边对x取
偏导（将y视为常数），则类似于之前学过的一元隐函数求导。
2.F=ez-xyz,
积分区域是圆，用极坐标表示更简便，且被积函数用极坐标 表示更简便，故使用极坐标。
文科高等数学 期末考试
一、选择题
定积分：观察积分区域是否 具有对称性，被积函数奇偶 性来简化问题计算。
多元（两元）函数的极限 ，注意：所谓二重极限，指 P(x,y)以任何方式区域P0时，f(x,y)都无限接近同一值。
换元：
掌握常见的第一类、第二类换元类型，基本积分公式 （详见课件）
x>a,f’>0 ; x<a,f’<0; x=a,f(a)=limf’(a)=0,所以A
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二数学(文科)试卷答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2.D ；3. A ；4. D ；5. A ；6. D ；7. D ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ，都有e 0x ≥； 10. 14-； 11. 4； 12.13.5,[2,1]6-； 14.{4} ；{1,2,4}A =，{3,5}B =，或{1,2,5}A =，{3,4}B =，或{2,4,5}A =，{1,3}B =．注：14题第二个空只需填对一组即可；一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)由题意得 1146242410a d a d +=-⎧⎨+=-⎩， ……………4分解得16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由32()3f x x x =-，得2()36f x x x '=-. …………… 3分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.(f '…………… 6分所以，)(x f 在区间(,0)-∞ 、(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减. …8分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，函数)(x f 在区间(1,0)-和(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减.且(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =.所以，当03m ≤≤时，)(x f 的值域为[4,0]-；当3m >时，()(3)0f m f >=，)(x f 的值域为[4,()]f m -. ……………12分所以，m 的最大值等于3. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1a =时，不等式()4f x >整理得2230x x +->，即(1)(3)0x x -+>， …………… 3分 解得3x <-或1x >，所以，不等式()4f x >的解集为{3,1}x x x <->或. …………… 6分 (Ⅱ)由已知，抛物线()y f x =的对称轴为212ax a=-=-. …………… 9分 所以函数()f x 在区间(1,2)上是单调函数.若()f x 在区间(1,2)上恰有一个零点，则(1)(2)0f f <， ……………11分 即(81)(31)0a a ++<，解得1138a -<<-. 所以，a 的取值范围为11(,)38--. ……………13分 18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1x =时，甲用水量为5吨，需交水费4 1.81310.20⨯+⨯=元. …………2分 乙用水量为3吨，需交水费3 1.8 5.40⨯=元. ……………4分 (Ⅱ)当54x ≤，即0.8x ≤时，甲、乙两户用水量均不超过4吨.(53) 1.814.4y x x x =+⨯=； ……………6分当54x >，34x ≤，即4453x <≤时，甲用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨.3 1.84 1.8(54)320.4 4.8y x x x =⨯+⨯+-⨯=-； ……………8分 当34x >，即43x >时，甲、乙用水量均超过4吨.(44) 1.8(5434)3249.6y x x x =+⨯+-+-⨯=-. ……………9分所以414.4,0,54420.4 4.8,,534249.6,.3x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩……………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，函数()y f x =在各分段区间上都是增函数.当4[0,]5x ∈时，4()26.45y f ≤<；当44(,]53x ∈时，4()26.43y f ≤<；当4(,)3x ∈+∞时，令249.626.4x -=，解得 1.5x =.57.5x =，3 4.5x =，所以，甲用水量为7.5吨；乙用水量为4.5吨. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当0k =时，()(1)e 2xf x x =-+.则()e (1)e e x x xf x x x '=+-=， ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，()f x 是减函数；在区间(0,)+∞上()0f x '>，()f x 是增函数. ……………4分又(0)1f =，所以，()f x 的极小值为1；没有极大值. ……………6分 (Ⅱ) 由2()(1)e 2xf x x kx =--+，得()e 2(e 2)xxf x x kx x k '=-=-. ……………7分当0k ≤时，e 20xk ->，所以，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，()f x 在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上是增函数. ……………8分所以()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为(0)f ，且(0)1f =，符合题意. …………9分 当0k >时，令()0f x '=，得0x =或ln 2x k =， 所以，当102k <≤时，ln 20k ≤在区间(0,)+∞上()0f x '>，()f x 是增函数， 所以()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为(0)1f =，符合题意. ……………11分 当12k >时，ln 20k >， 当(0,ln 2)x k ∈时，()0f x '<，()f x 在区间(0,ln 2)k 上是减函数.所以(ln 2)(0)1f k f <=，不满足对于任意的[0,)x ∈+∞，()1f x ≥恒成立. …13分 综上，k 的取值范围为1(,]2-∞. ……………14分 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………6分(Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………8分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=，依题意，方程200ln 10ax x +-=有解.……………9分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，0F =≤，所以()F x 有零点. 当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，所以()F x 有零点.……………11分当0a <时，令()0F x '=，解得x =(F '与在区间上的情况如下：令302≥，得 312ea ≥-. 此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分。
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实用标准文档北京大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （ ）A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y∂∂+∂∂。
实用标准文档4.求曲线积分()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方向。
5.计算Dy ⎰⎰，其中D是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6．判断级数1(1)1n n n n ∞=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7．将函数1(1)(2)x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1(1)(1)!n nn nx n ∞=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知[()()]()LDxydx yf x g x dy yg x d σ++=⎰⎰⎰，求()f x 和()g x 。
实用标准文档参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．33．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2．C 3．C 4．B 5．A三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分得21()2x h x e C =+………………5分故通解为12x x y e Ce -=+………………6分将初始条件0x =，2y =带入得32C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分则10,12sin cos r πθθθ≤≤≤≤+………………3分所以1212220sin cos cos sin Dx y r r dxdy d rdr x y r πθθθθθ+++=+⎰⎰⎰⎰………………5分 20(sin cos 1)d πθθθ=+-⎰………………6分42π-=………………7分1.5CM3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z zx y∂∂+∂∂。
解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分12cos(23),44cos(23),36cos(23)x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分2cos(23)14cos(23)4,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ∂+--∂+-+=-==-=∂++-∂++-……6分 所以1z z x y∂∂+=∂∂………………7分4. 求曲线积分()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方向。
解：圆的参数方程为：cos ,sin (0)2x a t y a t t π==≤≤……………1分220()()(cos sin (cos sin )cos )sin Lx y dx x y dy a t a t da a t a t da t t ππ++-=+-+⎰⎰⎰……3分220(cos 2sin 2)at t dt π=-⎰………………4分220[sin 2cos 2]2a t t π=+………………6分 2a =-………………7分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5.计算Dy ⎰⎰，其中D是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分111Dy dx y -=⎰⎰⎰………………2分31262112[(1)63x y -=-⨯+-⎰………………4分实用标准文档1311(||1)9x dx -=--⎰………………5分1302(1)9x dx =--⎰………………6分16=………………7分6.判断级数1(1)1n n n n ∞=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解：(1)11n n n n n -=++1分 1()n n→∞………………3分 所以级数发散。
………………4分 又(1)1(1)(111n n n n n -=--++5分1n n +=………………6分显然，交错级数1n n ∞=1nn ∞=都收敛，所以原级数收敛。
因此是条件收敛。
………………7分7. 将函数1(1)(2)x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
解：111(1)(2)12x x x x=-----………………2分而1,||11n n x x x ∞==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x xx x =+++<-………………4分所以22111[1()](1)(2)222x xx x x x =+++-+++--………………5分101(1)2nn n x ∞+==-∑………………6分 成立范围||1x <………………7分四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。
原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分2222022020010x yzF x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪=++-=⎪⎩………………4分解得1(12x =-………………5分得两个驻点为121111(2(22222P P =---=---- …………………6分………………7分2. 求幂级数1(1)(1)!n nn nx n ∞=-+∑的和函数。
解：因为0!n xn x e n ∞==∑，所以0(1)!n n xn x e n ∞-=-=∑，………………1分00(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n nn n nx n x S x n n ∞∞==--+-==++∑∑………………2分00(1)(1)!(1)!n n n nn n x x n n ∞∞==--=-+∑∑………………3分实用标准文档(1)!n nx n x e n ∞-=-=∑………………4分 110010010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x xn x n ∞+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++⎡⎤--=-=--⎢⎥⎣⎦=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)x ≠…………5分所以1()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠故1()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分当0x =时，()0S x =。
………7分另解：当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞∞∞===⎡⎤---==⎢⎥++-⎣⎦⎰∑∑∑ 1111001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪==-⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰∑∑ 001(1)!n x n n x n x x dx ∞=-=-∑⎰0011xx x xx dx e xd e x x --=-=⎰⎰()11x x e e x x--=+- 11x x e e x x --=+-当0x =时，()0S x =。