对应分析
对应分析数据
对应分析数据一、背景介绍在当今信息爆炸的时代，大量的数据被生成和收集，为了更好地理解和利用这些数据，对数据进行对应分析是非常重要的。
对应分析是一种统计方法，用于研究两组数据之间的关系和相互作用。
通过对数据进行对应分析，我们可以发现数据中的模式、趋势和相关性，从而为决策提供有价值的信息。
二、对应分析的定义和原理对应分析（Correspondence Analysis，简称CA）是一种多变量数据分析方法，它通过将高维数据映射到低维空间中，从而揭示数据之间的关系。
对应分析的原理基于数学上的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）和特征值分解（Eigenvalue Decomposition），通过计算数据矩阵的特征值和特征向量，将数据在低维空间中进行降维和可视化。
三、对应分析的步骤和方法1. 数据预处理：对数据进行清洗和标准化，去除异常值和缺失值，并将数据转换为适合对应分析的格式。
2. 计算数据矩阵：根据数据的特点，构建数据矩阵，其中行表示样本或观测对象，列表示变量或属性。
3. 计算对应分析的结果：通过对数据矩阵进行奇异值分解或特征值分解，得到对应分析的结果，包括特征值、特征向量和对应坐标。
4. 解释和解读结果：根据对应分析的结果，进行可视化和解释，发现数据中的模式、趋势和相关性，并提取有用的信息。
5. 结果验证和应用：对对应分析的结果进行验证和应用，评估模型的准确性和可靠性，并将结果应用于实际问题的决策和优化。
四、对应分析的应用领域对应分析广泛应用于各个领域，包括市场调研、消费者行为、社会科学、生物学、医学等。
以下是对应分析在几个典型领域的应用示例：1. 市场调研：通过对应分析，可以分析不同产品或品牌在市场中的位置和竞争关系，帮助企业制定市场策略和推广计划。
2. 消费者行为：对应分析可以帮助分析消费者对不同产品或服务的偏好和关联性，为企业提供精准的市场定位和产品定价策略。
对应分析
p12 / p1. p22 / p2. p n 2 / pn .
p1 p / p1. p 2 p / p 2. pnp / pn.
pij n pij E ( ) = ∑ . pi. = p. j , j = 1,2,, p pi. i =1 pi.
因为原始变量的数量等级可能不同,所以为了尽 量减少各变量尺度差异,将行轮廓中的(各列元素) 均除以其期望的平方根.得矩阵D(R)
32 6
15 1
62 8
11 1
40 8
58 6
35 10
58 67
21 23
70 95
17 25
70 71
62 89
83 91
American European Japanese Large Medium Small Family Sporty Work 1 Income 2 Incomes Own Rent Married Married with Kids Single
变量的叉积矩阵
∑ R = (X* )′X* ( p × p)
样品的叉积矩阵
∑ Q = X* ( X* )′ ( n × n)
显而易见,变量和样品的叉积矩阵的阶数不同,一般来说, 显而易见,变量和样品的叉积矩阵的阶数不同,一般来说, 他们的非零特征根也不一样,那么能否将观测值做变换. 他们的非零特征根也不一样,那么能否将观测值做变换.
含义 雪糕 纯水 碳酸饮料 果汁饮料 保健食品 空调 洗衣机 毛毯
代码 Feel1 Feel2 Feel3 Feel4 Feel5 Feel6 Feel7 Feel8
含义 清爽 甘甜 欢快 纯净 安闲 个性 兴奋 高档
name1
product1 product2 product3 product4 product5 product6 product7 product8 feel1 feel2 feel3 feel4 feel5 feel6 feel7 feel8 50 508 55 109 34 11 30 2 368 217 19 142 16 2 4 3
对应分析
p
∑ x1k=X1*
k=1
x21 x22 ⋯ x2 p
p
∑ x2k=X2*
k=1
⋮⋮
⋮
⋮
p
xn1 xn2 ⋯ xnp
∑ xnk= Xn*
k =1 np
∑ ∑ X*1 X*2 ⋯ X*p
xlk=X **=T
l=1 k=1
p11 p12 ⋯ p1 p
P1*
p21 p22 ⋯ p2 p
p2*
⋮⋮
⋮
⋮
pn1 pn2 ⋯ pnp
设有 n 个样品，每个样品观测 p 个指标，原始数据阵为
[ ] x11 x12 ⋯ x1p
X= x21 x22 ⋯ x2 p
⋮⋮
⋮
xn1 xn2 ⋯ xnp
x11 x12 ⋯ x1 p x21 x22 ⋯ x2 p
p
∑ x1k=X1*
k=1 p
∑ x2k=X2*
k=1
⋮⋮
⋮
⋮
其中，
n
∑ X*j= xij i=1
对应分析
可见 λk 也是ZZ’的特征根，相应的特征向量是 Zu k
因此将原始数据矩阵X变换成矩阵Z，则变量和 样品的协差阵分别可表示为 A = Z ′Z 和B=ZZ′ ，A和 B具有相同的非零特征值，相应的特征向量有很密 切的关系。 这样就可以用相同的因子轴去同时表示变量 和样品，把变量和样品同时反映在具有相同坐标 轴的因子平面上。
= ∑ z ak z aj
a =1
n
pak − pa. p.k xak − xa. x.k = z ak = pa. p.k xa. x.k
令Z为zij所组成的矩阵，则 A = Z′Z
p1 j 称 p. j
p2 j p. j
L
pnj x1 j = p. j x. j
L
第i个行变量的期望：
E( pij p. j )=∑
j =1 p
pij p. j
. p. j = pi.
因为原始变量的数量等级可能不同，所以为了尽量 减少各变量尺度差异，将列形象中的各行元素均除以 其期望的平方根。得矩阵D(Q)
p11 p.1 p1. p21 D (Q ) = p.1 p2. M p n1 p.1 pn. p12 p.2 p1. p22 p.2 p2. M pn 2 p.2 pn.
X ⋅ X*
*
′
x11 − x1 x21 − x1 L xn1 − x1 x11 − x1 x12 − x2 L x1p − xp x12 − x2 x22 − x2 L xn2 − x2 x21 − x1 x22 − x2 L x2 p − xp = × M M M M M M x − x x − x L x − x x −x x − x L x − x np p n1 1 n2 2 np p 1p p 2 p p
对应分析数据
对应分析数据一、概述对应分析数据是一种数据分析方法，用于研究两个或者多个变量之间的关系。
通过对数据进行对应分析，可以揭示变量之间的相关性，并匡助我们理解数据暗地里的模式和趋势。
本文将介绍对应分析数据的基本概念、步骤和应用场景。
二、基本概念1. 对应分析对应分析是一种多元数据分析方法，它通过将多个变量映射到一个低维空间中，从而揭示变量之间的关系。
对应分析可以匡助我们发现数据中的结构和模式，进而进行更深入的分析。
2. 对应图对应图是对应分析结果的可视化表示。
对应图通常是一个二维平面图，其中每一个数据点表示一个观测值，不同的颜色或者符号表示不同的组别或者类别。
通过观察对应图，我们可以看到数据点之间的关系和趋势。
三、步骤对应分析数据的步骤如下：1. 数据准备首先，需要准备要进行对应分析的数据。
数据可以是任何类型的，可以是定量数据（如数值）或者定性数据（如类别）。
确保数据的质量和完整性非常重要。
2. 数据标准化对应分析需要对数据进行标准化，以消除不同变量之间的量纲差异。
常用的标准化方法包括Z-score标准化和归一化等。
3. 计算对应分析利用对应分析的算法，对标准化后的数据进行计算，得到对应分析的结果。
对应分析的算法有多种，常用的包括主成份分析（PCA）和多维尺度分析（MDS）等。
4. 绘制对应图将对应分析的结果绘制成对应图，以便更直观地观察数据之间的关系和趋势。
对应图可以通过各种数据可视化工具来实现，如散点图、气泡图等。
5. 解读对应图通过观察对应图，我们可以解读数据之间的关系和趋势。
可以观察数据点的分布情况、类别之间的距离和相对位置等。
根据对应图的结果，可以进一步进行数据分析和决策。
四、应用场景对应分析数据在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 市场调研对应分析数据可以匡助市场调研人员了解不同产品或者品牌之间的关系和竞争状况。
通过对应分析，可以发现市场中的潜在细分市场和目标客户群体。
对应分析原理
对应分析原理
对应分析原理是一种用来确定两个或多个事物之间的对应关系的方法。
它主要包括以下几个步骤：
1. 收集相关数据：首先，需要收集与待分析事物相关的数据。
这些数据可以是各种类型的，比如数字、文字、图像等。
2. 建立对应关系：在收集到足够的数据之后，需要根据数据的特征建立对应关系。
对应关系可以是一对一的，也可以是一对多的。
3. 分析数据特征：根据建立的对应关系，可以对数据的特征进行分析。
可以使用统计学方法、机器学习算法等来识别数据的模式和规律。
4. 验证对应关系：在分析数据特征之后，需要对建立的对应关系进行验证。
可以使用交叉验证、模型评估等方法来验证对应关系的准确性和可靠性。
5. 应用对应关系：最后，根据对应分析的结果，可以应用对应关系来解决实际问题。
比如，可以根据对应关系预测未知数据的属性或进行分类。
通过对应分析原理，我们可以更好地理解不同事物之间的对应关系，从而为实际问题提供科学的解决方案。
无论是在科学研究、工程设计还是商业决策中，对应分析都具有重要的应用价值。
对应分析
对应分析法一、简介对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据的方法，也是强有力的数据图示化技术。
对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系，适用于两个或多个定类变量。
对应分析是由法国人Benzenci于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。
对应分析法是在R型和Q型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法，因此对应分析又称为R－Q型因子分析。
在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R型因子分析。
但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。
因此，因子分析对于分析样品的属性和样品之间的内在联系，就比较困难，因为样品的属性是变值，而样品却是固定的。
于是就产生了对应分析法。
对应分析就克服了上述缺点，它综合了R型和Q型因子分析的优点，并将它们统一起来使得由R型的分析结果很容易得到Q型的分析结果，这就克服了Q 型分析计算量大的困难；更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因子轴上，这样就把变量和样品联系起来便于解释和推断。
对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析；多个变量间——多元对应分析。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
对应分析
首先选取了数据如下：欲分析该省这么多年各种产业生产总值的特征以及该省每一年的人口数与每一年各产业生产总值之间的关系。
一、对应分析对应分析又称为相应分析，是一种多元相依变量统计分析技术。
通过分析由属性变量构成的交互汇总数据来解释变量之间的内在联系。
同时，使用这种技术，还可以揭示同一变量的各个类别之间的差异及不同变量各个类别之间的对应关系。
而且变量划分的类别越多，这种方法就越明显。
对应分析的过程由两部分组成：表格和关联图。
对应分析中的表格是一个二维表格，由行和列构成。
每一行代表事物的一个属性，依次排开。
列则代表不同的事物本身，它由样本集合构成，排列顺序没有特别要求。
在关联图上，各个样品都浓缩为一个点集合，而样品的属性变量在图上同样也是以点集合的形式显示出来。
对应分析的基本思想就是利用降维的思想，通过分析原始数据结构，对一个列联表中的行与列同时进行处理。
它的最大特点就是可以在同一张图上同时表示出两类属性变量的各种状态，以直观、明了的方式揭示属性变量之间及属性变量各种状态之间的相互关系。
另外，对应分析还省去了公因子的选取和因子旋转等复杂的数学运算及中间过程，可以从因子载荷图上对事物进行分类，而且能够揭示分类的主要参数及依据。
具体实验步骤：（1）数据录入：打开SPSS文件，按顺序：文件——新建——数据打开一个空白数据文件，首先进行变量的编辑，点击在SPSS变量视图中建立变量“人口数”、“产业”、“数值”分别表示“全省户籍人口”、“生产总值情况”和“数据的权重”。
“人口数”为数值变量，分别将每年该省的户籍人口数赋值为“1”、“2”、“3”、“4”.....“24”。
“生产总值情况”为名义变量，分别将“农业生产总值”、“工业生产总值”、“建筑业生产总值”、“第三产业生产总值”赋值为“1”、“2”、“3”、“4”。
如图所示：在SPSS活动数据文件的数据视图中，把相关数据输入到各个变量中。
（2）打开数据文件，进入SPSS Statistics 数据编辑器窗口，在菜单栏中选择“数据——加权个案”命令，将变量“数值”选入加权个案，单击“确定”按钮。
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第九章对应分析（一）教学目的通过本章的学习，对对应分析有一个全面地认识，理解对应分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
（二）基本要求了解对应分析的定义，理解对应分析方法的方法和原理，掌握对应分析的计算步骤。
（三）教学要点1、对应分析的定义和基本思想；2、对应分析方法的原理；3、R型因子分析和Q型因子分析的对应关系；4、对应分析方法及计算步骤；（四）教学时数3课时（五）教学内容1、对应分析的基本思想；2、对应分析方法的方法和原理；我们知道，主成分分析、因子分析都是研究多维变量之间相互的关系。
但在某些实际问题中，既要研究变量之间的关系，还需要研究样品之间的关系。
不仅如此，人们往往还希望能够在同一个直角坐标系内直观地同时表达变量和样品之间的相互关系。
为实现这一目的就需要进行对应分析。
对应分析能够提供变量之间，样品之间以及变量和样品之间相互关系的信息。
第一节对应分析的基本思想一、什么是对应分析对应分析（correspondence analysis）又称为相应分析，是一种目的在于揭示变量和样品之间或者定性变量资料中变量与其类别之间的相互关系的多元统计分析方法。
根据分析资料的类型不同，对应分析分为定性资料（分类资料）的对应分析和连续性资料的对应分析（基于均数的对应分析）。
其中，根据分析变量个数的多少，定性资料的对应分析又分为简单对应分析和多重对应分析。
对两个分类变量进行的对应分析称为简单对应分析，对两个以上的分类变量进行的对应分析称为多重对应分析。
一般认为对应分析起源于20世纪30～20世纪40年代的一批互相独立的文献如Richardson 和Kuder(1933)、Hirshfeld(1935)、Horst(1935)、Fisher(1940)、Cuttman (1941)等,很难说哪位统计学家是该方法的真正作者，但所有方法的基本原理是相同的。
这里主要介绍的是1970年由Beozecri提出的主要是用于连续性资料分析的对应分析方法。
对应分析实际是在R型因子分析和Q型因子分析的基础上发展起来的一种方法。
因子分析可以用最少的几个公共因子去提取研究对象的绝大部分信息，既减少了因子的数目，还把握住了研究对象间的相互关系。
因子分析有R型因子分析和Q型因子分析两种类型,R型因子分析是将变量转换为变量因子,其实质是对变量进行降维和消除相关性,变量因子的个数小于或等于变量的个数,并且变量因子之间不相关。
Q型因子分析是将样品转换为样品因子,其实质是对样品进行降维和消除相关性,样品因子的个数小于或等于样品的个数,并且样品因子之间不相关。
但是，因子分析也有其局限性：一是，R型因子分析和Q型因子分析是分开进行的。
当研究的对象是变量时，通常作R型因子分析，当研究的对象是样品时，则采用Q型因子分析，而且把R型和Q型看成两种分离的概念，无法使R型和Q型因子分析同时进行，这样将R型和Q型割裂开后就会损失很多有用的信息，而且还不能揭示指标与样品之间的相关信息。
二是，在处理实际问题中,样品容量往往较大,使Q型因子分析的计算量非常巨大,比如有100个样品,就要计算100×100阶矩阵的特征根和特征向量,这对于一般小型计算机的容量和速度都是难以胜任的。
三是，在进行数据处理时，为了将数量级相差很大的变量进行比较，需要对变量进行标准化处理，然而这种只按照变量列进行的标准化处理对于变量和样品是非对等的，这给寻找R型因子分析和Q型因子分析的联系带来—定的困难。
对应分析就是为了克服因子分析的上述不足而发展起来的。
对应分析将R型因子分析和Q型因子分析结合起来进行统计分析，它是从R型因子分析出发，而直接获得Q型因子分析的结果。
克服了由于样品容量大，进行Q型因子分析带来的计算上的困难。
另外根据对原始数据进行规格化处理，找出R型因子分析和Q型因子分析的内在联系，可将变量和样品同时反映到相同坐标轴的一张图形上，便于对问题的分析和解释。
对应分析的重要输出结果之一在于，把变量与样品同时反映到相同坐标轴(因子轴)的一张图形上,结合计算结果,在绘出的图形上能够直观地观察变量之间的关系、样品之间的关系以及变量与样品之间的对应关系。
为此也有人认为，对应分析的实质是将变量、样品的交叉表变换成为一张散点图，从而将表格中包含的变量、样品的关联信息用各散点空间位置关系的形式表现出来。
随着计算机软件的应用，对应分析的方法在社会科学和自然科学领域都有着广泛的应用价值。
特别是近年来在市场调查与研究中，有关市场细分、产品定位、品牌形象以及满意度研究等领域正得到越来越广泛的重视和应用。
二、对应分析的基本思想对应分析的关键是利用一种数据变换，使含有p 个变量n 个样品的原始数据矩阵，变换成为一个过渡矩阵Z ，并通过矩阵Z 将R 型因子分析和Q 型因子分析有机地结合起来。
具体地说，首先给出进行R 型因子分析时变量点的协差阵Z Z A '=和进行Q 型因子分析时样品点的协差阵Z Z B '=，由于Z Z '和Z Z '有相同的非零特征根，记为m λλλ≥≥≥ 21，),min(0n p m ≤<，依据证明，如果A 的特征根i λ对应的特征向量为i U ，则B 的特征根i λ对应的特征向量就是i i V ZU ∆，根据这个结论就可以很方便地借助R 型因子分析而得到Q 型因子分析的结果。
因为求出A 的特征根和特征向量后很容易地写出变量点协差阵对应的因子载荷矩阵，记为F 。
则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m pm p p m m m m u u u u u u u u u F λλλλλλλλλ 221122221211212111 这样，利用关系式i i V ZU ∆也很容易地写出样品点协差阵B 对应的因子载荷阵，记为G 。
则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m nm n n m m m m v v v v v v v v v G λλλλλλλλλ 221122221211212111 从分析结果的展示上，由于A 和B 具有相同的非零特征根，而这些特征根正是公共因子的方差，因此可以用相同的因子轴同时表示变量点和样品点，即把变量点和样品点同时反映在具有相同坐标轴的因子平面上，以便显示出变量点和样品点之间的相互关系，并且可以一并考虑进行分类分析。
第二节 对应分析方法的方法和原理一、对原始数据规格变换，使R 型和Q 型因子分析有机结合在以往的对实际问题的统计分析中，若变量值的量纲不同以及数量级相差很大时，通常先将对变量作标准化的处理，然而这种对变量进行的标准化处理是按各个变量列进行的，并没有考虑到样品之间的差异，对于变量和样品而言是非对等的，为了使之具有对等性，以便将R 型因子分析和Q 型因子分析建立起联系，就需将原始数据阵)(ij x X =变换成矩阵)(ij z Z =，即将ij x 变换成ij z 之后，ij z 应满足使变量和样品具有对等性，并且能够通过ij z 把R 型因子分析和Q 型因子分析的联系建立起来。
具体数据矩阵Z 是按照如下的方法变换得到的，即......i j i j ij ij x x x x x x z -=其中，∑==pj iji xx 1. ∑==ni ijj xx 1. ∑∑==ij ijxx T ..这一数据变换，实际是根据在列联表上进行独立性检验时，计算2χ统计量的方法所启发得到的。
2χ统计量的计算公式是：∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=i jj i j i ijn n n nn n n ..2..2χ为了便于理解上述的数据变换，下面给出进一步的解释。
设有n 个样品，每个样品有p 项指标，原始资料阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X212222111211假定矩阵X 的元素0>ij x ，否则对所有的数据同加上一个适当的数，便可满足这个要求，然后写出X 的行和、列和总和，分别记为j i x x ..，和..x 。
其中，∑==j iji xx 1. ∑==ni ijj xx 1. ∑∑==ijijxx T ..。
这里把..x 记为T ，用它去除矩阵X 的每一个元素，相当于改变了测度尺度，使变量与样品具有相同比例大小，即Tx x x p ij ij ij =∆..，显然10<<ij p ，且1=∑∑ijijp，因而ij P 可解释为“概率”，这样得到一个规格化的“概率”矩阵p n ij p P ⨯=)(。
类似地可写出P 阵的行和、列和，分别记为j i p p ..,。
其中∑==j iji pp 1.，∑=niijj pp .。
（一）对于R 型因子分析的情况如果将n 个样品，看成是p 维空间的点，则其n 个点的坐标用⎪⎪⎭⎫⎝⎛..2.1i ip i i i i p p p p p p ，，，（n i ，， 1=）表示，称为n 个样品点。
这实际是用各变量在该样品中的相对比例来表示的一种常见的方法，这样对n 个样品之间相互关系的研究就可转化为对n 个样品点的相对关系的研究。
如果要对样品分类，就可用样品点的距离远近来刻划了。
若引入欧氏距离则任两个样品点k 与l 之间的欧氏距离为∑=-=pj l lj k kj p p p p l k D 12..2)(),(为进一步消除各变量的数量级的不同，如第k 个变量有较大的数量级，在计算距离时就会抬高这个变量的作用尺度差异的影响。
所以再用系数jp .1去乘距离公式就得到一个加权的距离公式，有∑=-=pj j l lj k kj p p p p p l k D 1.2..2*)(),(21....∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=pj l j lj k j kjp p p p p p 上式也可以说是坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛...2.2.1.1,,,i p ipi i i i p p p p p p p p pn i ,,1 = 的n 个样品点中两个样品点k 与l 之间的距离。
更进一步的，把各个样品点的坐标写出来，实际上也可以得到概率加权后的样品点的数据矩阵为，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛p p np p n p n p p p pp p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p ..2..21..1..222..2221..221..112..1121..111通过计算两两样品点或两两变量点之间的距离，可对样品点或变量点进行分类，但这样做还不能用图表示出来。
为了更直观地表示变量点和样品点之间的关系，采用R 型因子分析的处理方法时，就需要根据上述的数据矩阵给出变量点协差阵的定义。
为此先给上述数据矩阵中第i 个变量的均值为，j jj niij ji ni i j ij p p p p p p p p p (1)..1===∑∑=p j ,,1 =这里不是求算术平均，而是按概率.i p 进行加权，可以验证上式的结果不仅是诸样品平均点坐标，恰好也是各变量的平均值。