1961年全国统一高考数学试卷

1961年全国统一高考数学试卷
一、解答题（共10小题，共100分）
1．（10分）求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数．
2．（10分）解方程2lgx=lg（x+12）．
3．（10分）求函数y=的自变量x的允许值．
4．（10分）求sin的值．
5．（10分）一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°（如图），求这个截面上有水部分的面积（取π=3.14）．
6．（10分）已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A1，设△ABC的面积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A1BC的面积=S•cosα．
7．（10分）一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？
8．（10分）有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面，求这水桶的容积是多少立方厘米？
9．（10分）在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．
10．（10分）两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．
1961年全国统一高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，共100分）
1．（10分）求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数．
考点：二项式系数的性质．
分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得展开式里含x7项的系数
解答：解：设所求的项是第r+1项，
则T r+1=C10r210﹣r（﹣x）r．
今r=7，∴T8=﹣C10723x7=﹣960x7．
故在求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数为﹣960．
点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
2．（10分）解方程2lgx=lg（x+12）．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：由对数函数的运算法则，把原式转化为lgx2=lg（x+12），由此得到x2﹣x﹣12=0，解出的根要进行检验，由此可得到原方程的解．
解答：解：原方程即lgx2=lg（x+12），
即x2=x+12，x2﹣x﹣12=0，
解得：x1=4，x2=﹣3，
但x2=﹣3使原对数方程无意义，应舍去，
故方程的解为：x=4．
点评：本题考查对数的运算性质和应用，解题时要注意验根．
3．（10分）求函数y=的自变量x的允许值．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：根据二次根式被开方数要为非负数及分母不为0可得x的范围．
解答：解：要使函数y有意义，
必须x﹣1≥0及x﹣5≠0，
故自变量的允许值为[1，5）∪（5，+∞）
点评：考查学生理解函数定义域及掌握求法的能力．
4．（10分）求sin的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：先利用诱导公式把sin转换才cos进而用倍角公式化简整理，利用特殊角的三角函数值求得结果．
解答：解：=．
点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值和倍角公式的应用．在运用诱导公式的时候要注意三角函数值的正负．
5．（10分）一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°
（如图），求这个截面上有水部分的面积（取π=3.14）．
考点：扇形面积公式．
专题：计算题．
分析：先求截面圆的面积，再求扇形的面积，再解三角形面积，最后解弓形面积即可．
解答：解：⊙O的面积=π•OA2=144π（cm2）
扇形OACB的面积=
△OAB的面积==
∴弓形ACB的面积=60π﹣36≈60×3.14﹣36=152.4（cm2）
故截面有水部分的面积为152.4cm2
点评：本题考查扇形的面积公式，是基础题．
6．（10分）已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A1，设△ABC的面
积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A1BC的面积=S•cosα．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；三垂线定理．
专题：证明题．
分析：由题意及所给的图形，利用三垂线定理及二面角平面角的概念和三角形的面积公式即可得证．解答：证明：在△ABC中，作AD⊥BC，
垂足为D，连接A1D，A1B，A1C，
因AD⊥BC，由三垂线定理可得
A1D⊥BC，
所以∠ADA1为平面ABC与平面M所构成的二面角的平面角，
∴∠ADA1=α
在△AA1D中，A1D=AD•cosα
∴△A1BC的面积=•AD•BC•cosα=△ABC的面积•cosα=S•cosα．
点评：此题重点考查了利用三垂线定理，借助二面角平面角的概念及三角形的面积公式得到以后常用的利用投影面积法求解二面角的大小这一常用的方法．
7．（10分）一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划
多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生
产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：先设出第一年的台数x，第二年的台数x+y，则第三年的台数为x+2y．找出原题中的两个等量关系，列出两个方程，求出解可得．
解答：解：设原计划第一年生产x千台，第二年生产x+y千台，
第二年生产x+2y千台，根据题意可得如下方程组：
将（2）代入（1）得y2=y+2，
∴y1=2，y2=﹣1（不合题意）
将y=2代入（2）得x=4．
故原计划生产机器的台数为：第一年4000台，第二年6000台，第三年8000台．
点评：考查学生列方程及解方程的能力
8．（10分）有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中
阴影部分）作圆台形水桶的侧面，求这水桶的容积是多少立方厘米？
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题．
分析：本题考查的知识点是圆台的体积与表面积计算，由环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，我们可以求出它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面时，对应圆
台的上下底面半径及母线长，进行求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可求解．
解答：解：圆台上底周长=
圆台下底周长=
圆台上底半径
圆台下底半径
圆台的母线长l=A1A=75﹣45=30（cm）
圆台的高
圆台体积=
故水桶的容积是．
点评：圆台体积，当r=0时，它可以变形为圆椎的体积公式，当r=R时，它可以变形为圆柱的体积公式．
9．（10分）在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300
米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．
考点：三角形中的几何计算．
专题：计算题．
分析：先设山高MN=h，依题意可得∠ABN，由正弦定理可求得AN，在直角△ANM中，h=AN•tan30°答案可得．
解答：解：设山高MN=h，∠ABN=180°﹣（65°+45°）=70°，
由正弦定理得．
在直角△ANM中，h=AN•tan30°=300×0.94×
=≈94×2.4495≈230（米）
故山高约为230米．
点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．属基础题．
10．（10分）两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？
（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．
考点：一元二次不等式与一元二次方程．
分析：根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值．
解答：（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式
△=b2﹣4ac≥0，
所以[﹣2（k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0，
即k2﹣3k﹣4≤0，∴﹣1≤k≤4．
故当﹣1≤k≤4时，原方程有实数根．
（2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式
△=b2﹣4ac=0，
所以（﹣8sinα）2﹣4•8•（2+cos2α）=0，
64sin2α﹣64﹣32cos2α=0，
2sin2α﹣cos2α﹣2=0，
点评：二次方程仍是高中研究的一个重点，本题中就有和三角函数衔接的综合考查．。