离散数学样题2014

离散数学样题2014

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．令p：小明拿一个苹果，q：小明拿一个梨。命题“小明只能拿一个苹果或一个梨。”的符号化形式为。

2．令F(x)：x是素数，G(x)：x是偶数。命题“并非所有的素数都不是偶数。”的符号化形式为。

3．命题公式⌝ (p→r)∧r∧q 的类型为。

4．设个体域D={a, b }，消去公式∀x∃y (F(x) →G(y)) 中的量词后。5．┐∃x∀y F(x, y) 的前束范式为。

6．设A={a, b}，则A上有个偏序关系。

7．设L是格，∀a, b, c∈L，b∨(c∧a)≤(b∨c)∧a的对偶式是。8．在完全图K2k（k ≥2）上至少加条边，才能使得所得图为欧拉图。9．设完全二部图K r, s为哈密顿图，则r, s应满足。

10．图G是平面图当且仅当G中没有可以收缩到的子图。

二、判断题（每小题2分，共20分，正确的划√，错误的划×）

1．陈述句“火星上有生命”是假命题。

2．“A－(B∪C)＝(A－B)∪C”是真命题。

3．关系R可以既不是对称的也不是反对称的。

4．格L是分配格当且仅当L中不包含与五角格同构的子格。

5．集合A＝{ a, b, c }上有4个不同的等价关系。

6．阶为素数的群G一定是循环群。

7．两个子群的交和并都是子群。

8．设G为无向图，若G中恰有n个顶点，n-1条边，则G必为一棵树。

9．无向简单图G中结点间的连通关系是等价关系。

10．n ( n ≥2 ) 阶无向树不是欧拉图。

三、计算题（每小题5分，共15分）

1．求命题公式(p →(q →r )) ←→(r →(q →p ))的主合取范式。

2．设G = < a > 是24阶循环群，求出该群的所有子群。

3．无向树T有1个2度顶点，3个3度顶点，4个4度顶点，1个5度顶点，其余的都是树叶，则T有几片树叶？

四、证明题（共45分）

1．(8分)设A,B,C是任意集合，证明A－(B∪C)＝(A－B)∩( A－C)。

2．(8分) 在自然推理系统中构造推理的证明：

前提：∀x (F(x) →﹁G(x) )，∀x (G(x)∨H(x) )，∃x (﹁H(x) )

结论：∃x (﹁F(x) )

3．(8分) 设*、⊕是集合A上的二元运算，对任意的a, b, c∈A，满足：

(1) (a*b) *c = a* (b*c)，(a⊕b) ⊕c = a⊕ (b⊕c)

(2) a*b=b*a，a⊕b=b⊕a

(3) a* (b⊕a)=a，a⊕(b*a)=a

现定义A上的关系“≤”如下：a ≤b ⇔a*b = a。

证明：≤是A上的偏序关系。

4．(8分)设A,B,C,D是任意集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射。令：h：A⨯C→B⨯D，且∀∈A⨯C，h()＝，证明：h是双射。5．(8分) 设R为实数集，G = { | a, b∈R, a ≠ 0}。定义G上的运算如下：对于任意的， ∈G，︒ =，其中×和+分别是实数的乘法和加法。证明： 是群。

6．(5分) 设d1, d2, … , d n为n个互不相同的正整数，证明d1, d2, … , d n不可简单图化。