离散数学试题(2006)_A(答案)
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一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设F(x):x是苹果,H(x,y):x与y完全相同,L(x,y):x=y,
则命题“没有完全相同的苹果”的符号化(利用全称量词)为∀x∀y(F(x)∧F(y)∧⌝L(x,y)→⌝H(x,y)).
2.命题“设L是有补格,在L中求补元运算‘′’是L中的一元
运算”的真值是0.
3.设G={e,a,b,c}是Klein四元群,H=〈a〉是G的子群,则商
群G/H={〈a〉,{b,c}}={{e,a},{b,c}}.
4.设群G=〈P({a,b,c}),⊕〉,其中⊕为集合的对称差运算,则
由集合{a,b}生成的子群〈{a,b}〉 ={∅,{a,b}}.
5.已知n阶无向简单图G有m条边,则G的补图有n(n-1)/2-m
条边.
二、选择题(每小题3分,共15分)
1.命题“只要别人有困难(p),小王就会帮助他(q),除非困难已
经解决了(r)”的符号化为【B】A.⌝(p∧r)→q.B.(⌝r∧p)→q.
C.⌝r→(p∧q).D.⌝r→(q→ p).
2.设N为自然数集合,“≤”为通常意义上的小于等于关系,则
偏序集〈N,≤〉是【C】
A.有界格.B.有补格.
C.分配格.D.布尔代数.
3.设n (n≥3) 阶无向图G=〈V,E〉是哈密尔顿图,则下列结论中
不成立的是【D】A.∀V1⊂V,p(G-V1)≤|V1|.B.|E|≥n.
C.无1度顶点.D.δ(G)≥n/2.
4.设A={a,b,c},在A上可以定义个二元运算,其
中有个是可交换的,有个是幂等的.【A】A.39,36,36.B.39,36,33.
C.36,36,33.D.39,36,39.
5.下列图中是欧拉图的有【C】
A.K4,3.B.K6.
C.K5.D.K3,3.
三、计算与简答题(每小题8分,共40分)
1.利用等值演算方法求命题公式(p∨q) → (q→p)的主合取范式;
利用该主合取范式求公式的主析取范式,并指出该公式的成真赋值和成假赋值.
(p∨q) → (q→p)
⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)
⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)
⇔(⌝p∨⌝q∨p)∧(⌝q∨⌝q∨p)
⇔⌝q∨p⇔p∨⌝q
⇔M1
此为公式的主合取范式.
该公式的主析取范式是m0∨m2∨m3.
公式的成真赋值为00,10,11.
公式的成假赋值为01.
哈尔滨工程大学试卷
考试科目:离散数学(041121,041131-32)
考试时间:14:00-16:30
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2. 求群〈Z 18,⊕18〉的所有生成元和子群,画出〈Z 18,⊕18〉的子群格,指出该子群格的全下界、全上界和有补元,并求其补元. 与18互质的数有1,5,7,11,13,17,因此,1,5,7,11,13,17是群〈Z 18,⊕18〉的生成元.
18的因数有1,2,3,6,9,18,因此,群〈Z 18,⊕18〉的子群有 〈1〉=〈Z 18,⊕18〉,
〈2〉=〈{0,2,4,6,8,10,12,14,16},⊕18〉, 〈3〉=〈{0,3,6,9,12,15},⊕18〉,
〈6〉=〈{0,6,12},⊕18〉, 〈9〉=〈{0,9},⊕18〉,
〈18〉=〈{0},⊕18〉. 〈Z 18,⊕18〉的子群格为〈{〈18〉,〈9〉,〈6〉,〈3〉,〈2〉,〈1〉},⊆〉,其哈斯图为 全下界为〈18〉,全上界为〈1〉, 〈18〉’=〈1〉,〈1〉’=〈18〉,
〈2〉’=〈9〉,〈9〉’=〈2〉,〈3〉和〈6〉没有补元. 3. 若R 1,R 2均是非空集合A 上的等价关系,那么R 1,R 2的交R 1∩R 2、并R 1∪R 2和复合R 1○ R 2也是A 上的等价关系吗?若是,证明你的结论.
R 1∩R 2是A 上的等价关系.事实上, (1) 因R 1,R 2是A 上的自反关系,有I A ⊆R 1,I A ⊆R 2,因此,I A ⊆R 1
∩R 2,即R 1∩R 2是A 上的自反关系.
(2) 因R 1,R 2是A 上的对称关系,有R 1=R 1-1,R 2=R 2-1,而(R 1
∩R 2)-1=R 1-1∩R 2-1=R 1∩R 2,因此,R 1∩R 2是A 上的对称关系.
(3) 因R 1,R 2是A 上的传递关系,有R 12⊆R 1,R 22⊆R 2,而(R 1∩
R 2)2=(R 1∩R 2)ο(R 1∩R 2)=R 12∩R 22∩R 1οR 2∩R 2οR 1⊆R 12∩R 22⊆R 1∩R 2,因此,R 1∩R 2是A 上的传递关系.
4. 设无向连通图G 如下图,求其最小生成树T 及T 的权W (T ),写出G 的对应于T 的基本回
路系统和基本割集系统.
G 的最小生成树T 如图(以实
线表示),权W (T )=11. G 的对应于T 的基本回路系统为{C bd ,C cd ,C de },其中 C bd =bdab ,C cd =cdabc , C de =dead .
G 的对应于T 的基本割集系统为{S ab ,S ad ,S ae ,S bc },其中 S ab ={ab ,bd ,cd },S ad ={ad ,bd ,cd ,de }, S ae ={ae ,de },S bc ={bc ,cd }.
5. 设〈B,∧,∨,′,0,1〉是布尔代数,a ,b ,c ∈B ,化简公式 (a ∧b )∨(a ∧(b ∧c )’ )∨c .
(a ∧b )∨(a ∧(b ∧c )’ )∨c =(a ∧b )∨(a ∧(b’∨c’ ))∨c =(a ∧b )∨((a ∧(b’∨c’ ))∨c ) =(a ∧b )∨((a ∨c )∧(b’ ∨c’ ∨c )) =(a ∧b )∨(a ∨c ) =(a ∨(a ∨c ))∧(b ∨a ∨c ) =(a ∨c )∧(a ∨c ∨b ) =a ∨c
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