工程电磁场_倪光正第2章静态电磁场Ⅰ：静电场
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第2章 静态电磁场Ⅰ：静电场
2.1 基本方程与场的特性 2.2 自由空间中的电场 2.3 导体和电介质 2.4 电介质中的电场 2.5 边值问题 2.6 镜像法
2.7 数值计算方法——有限差分法 2.8 电容 • 部分电容 2.9 静电场能量 2.10 电场力
2.1 基本方程与场的特性
当电磁场中的源量（电荷或电流）不随时间变化时， 场中的场量也将不随时间变化而仅是空间坐标的函数。 因此，麦克斯韦方程组可简化为：
E 0
• Ev(rv) 0
rv
1
•
v E
rv
4 V rv rv
dV
1
4
V
rv
rv rv
dV
v
A
rv
1 4
V
Evrv
rv rv
dV
0
Ev(rv) (rv) Av(rv)
Ev(rv) (rv)
(rv) Ev(rv)
z
(rv)
dV (x, y, z)
v R
rv
rv
得 D 2πL L
D
2π
e
E
D
0
2π 0
e
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例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
球壳外的电场
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
图 q在金属球壳内
球壳内的电场
图±q分别在金属球内外
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
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积分形式： H • dl J • ds
l
s
c
(2-1a)
E • dl 0
l
B • dS 0
s
(2-1b) (2-1c)
D • dS dV (2-1d)
s
v
微分形式：
H Jc
E 0
•B 0
•D
(2-1e) (2-1f) (2-1g) (2-1h)
2.1.1 基本方程
P
q
4 0
1 r1
1 r2
r1
r r
q
4 0
r2 r1 r1r2
r2
r2 r1 d cos
r1r2 r 2
qd cos 40r 2
1
4 0
pv • evr r2
v
(2) E
v E
r
ewr
1 r
ev
Erewr E ev
p
4 0 r 3
2 cos ewr
sin ev
场源（静电荷q）——相对于观察者静止，且电量 不随时间而变化。
描述静电场基本规律的数学模型，应归结为：
积分形式： 微分形式：
D • dS dV 无旋
s
v
E • dl 0
l
v
•D
Ev(rv) 0
媒质构成方程： D E
对于理想化的真空(自由空间)，上式中的介电常数 0
静电场基本特征：有散（有源）、无旋场
• Ev(rv) 0
上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中 电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除 以真空的介电常数ε0
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
E 0 E 0 E 0
高斯定律的应用
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有 解析解。
计算技巧
a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。
b）选择适当的闭合面作为高斯面，使
D dS
S
中
的 D 可作为常数提出积分号外。
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例1 试求电荷线密度为τ的无限长均匀带电体的电场。
解: 分析场分布,取圆柱坐标系
由 S D dS q,
L S D dS S1 D dS
图 无限长均匀带电体
• 电偶极子远区的特征是：
v
1 r2
E
1 r3
• (r,) E(r, )
2.2.4 电场线和等位面(线)
1. Ev线
E dl 0
z
v
v
EP
dl
P(x, y, z)
v
E
线
evz
evx o evy
y
x
Exevx Eyevy Ezevz dxevx dyevy dzevz Eydz Ezdy evx Ezdx Exdz evy Exdy Eydx evz
2.2 自由空间中的电场
工程电磁场分析的首要任务——正问题：已知源量、 媒质及其特性参数，求场量分布（场分布问题）。
源量：电荷
场量：
Ev(rv)
基本场量
(rv) 辅助场量（位函数）
2.2.1 自由空间中的 Ev(和rv) (rv)
基于亥姆霍兹定理，可知
Ev(rv) (rv) Av(rv)
2.1.3 静电场的无旋性
微分形式：
v E 0
0
积分形式：
vv
Ñ E •dl 0
l
v
E
数学意义： Ev的线积分与积分路径无关
静电场可引入标量电位函数
v
物理意义：
v E
F
qt
蜒 Ev
•
v dl
l
1 qt
vv
F • dl 0
l
沿任一闭合路径 l，移动单位正电荷一周，电场 力所作的功为零。换句话说，沿任一闭合路径，静电 场对电荷作功，系统的功或能量始终是守恒的——静 电场守恒场（保守力场——作功与路径无关的力场）。
2.1.2 真空中的高斯定理 • 静电场的有散性
真空中静电场的电场强度E与源量q之间的关系为：
D • dS dV D E
s
v
0
E 0
• dS
dV
s
v
E • dS
s
dV
v
q
0
0
上式称为真空中的高斯定理积分形式
定理表明，在真空中，通过任一闭合曲面S的电场强度 通量(电通量)，等于该曲面所包围的电量除以真空中的 介电常数。
2.2.3 场分布：基于位函数φ的分析
例2.2 求电偶极子的远区( r >> d )电场。
z
r1
q
r
P(r,, )
do
r2
电偶极矩(简称电矩)
pv
v qd
q
百度文库
电偶极子——一对等量异号的点电荷，间隔距离 d 很小， 组成的场源系统。
[解] (1) P
z
q p
do
q
d cos
(r d )
evR
rv
V
rv
P(x, y, z) •
o
y
x
求任意场点 P 处的 Ev(rv) 示意图
Ev(rv) (rv)
• 规定电位的参考点 Q 后，任一场点 P 处的电位为
P
rv
Q
v E
•
v dl
0
P
P
rv
v E
•
v dl
P
工程上，以大地表面为电位参考面 大地 0
2.2.2 场分布：基于场量E的分析
0
dx dy dz Ex Ey Ez
v
(x, y, z) const C E 线方程
2.等位面(线)——场中电位相等的各点的轨迹(等位面)
(x, y, z) const
电场线与等位面(线)的性质：
• Ev线不能相交；
沿等势面移动电荷，
• 等 面不能相交；
电场力不因做为功电。场中某一点 （因为W电=场qU的，方任向就是此
2.1 基本方程与场的特性 2.2 自由空间中的电场 2.3 导体和电介质 2.4 电介质中的电场 2.5 边值问题 2.6 镜像法
2.7 数值计算方法——有限差分法 2.8 电容 • 部分电容 2.9 静电场能量 2.10 电场力
2.1 基本方程与场的特性
当电磁场中的源量（电荷或电流）不随时间变化时， 场中的场量也将不随时间变化而仅是空间坐标的函数。 因此，麦克斯韦方程组可简化为：
E 0
• Ev(rv) 0
rv
1
•
v E
rv
4 V rv rv
dV
1
4
V
rv
rv rv
dV
v
A
rv
1 4
V
Evrv
rv rv
dV
0
Ev(rv) (rv) Av(rv)
Ev(rv) (rv)
(rv) Ev(rv)
z
(rv)
dV (x, y, z)
v R
rv
rv
得 D 2πL L
D
2π
e
E
D
0
2π 0
e
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例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
球壳外的电场
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
图 q在金属球壳内
球壳内的电场
图±q分别在金属球内外
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
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积分形式： H • dl J • ds
l
s
c
(2-1a)
E • dl 0
l
B • dS 0
s
(2-1b) (2-1c)
D • dS dV (2-1d)
s
v
微分形式：
H Jc
E 0
•B 0
•D
(2-1e) (2-1f) (2-1g) (2-1h)
2.1.1 基本方程
P
q
4 0
1 r1
1 r2
r1
r r
q
4 0
r2 r1 r1r2
r2
r2 r1 d cos
r1r2 r 2
qd cos 40r 2
1
4 0
pv • evr r2
v
(2) E
v E
r
ewr
1 r
ev
Erewr E ev
p
4 0 r 3
2 cos ewr
sin ev
场源（静电荷q）——相对于观察者静止，且电量 不随时间而变化。
描述静电场基本规律的数学模型，应归结为：
积分形式： 微分形式：
D • dS dV 无旋
s
v
E • dl 0
l
v
•D
Ev(rv) 0
媒质构成方程： D E
对于理想化的真空(自由空间)，上式中的介电常数 0
静电场基本特征：有散（有源）、无旋场
• Ev(rv) 0
上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中 电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除 以真空的介电常数ε0
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
E 0 E 0 E 0
高斯定律的应用
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有 解析解。
计算技巧
a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。
b）选择适当的闭合面作为高斯面，使
D dS
S
中
的 D 可作为常数提出积分号外。
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例1 试求电荷线密度为τ的无限长均匀带电体的电场。
解: 分析场分布,取圆柱坐标系
由 S D dS q,
L S D dS S1 D dS
图 无限长均匀带电体
• 电偶极子远区的特征是：
v
1 r2
E
1 r3
• (r,) E(r, )
2.2.4 电场线和等位面(线)
1. Ev线
E dl 0
z
v
v
EP
dl
P(x, y, z)
v
E
线
evz
evx o evy
y
x
Exevx Eyevy Ezevz dxevx dyevy dzevz Eydz Ezdy evx Ezdx Exdz evy Exdy Eydx evz
2.2 自由空间中的电场
工程电磁场分析的首要任务——正问题：已知源量、 媒质及其特性参数，求场量分布（场分布问题）。
源量：电荷
场量：
Ev(rv)
基本场量
(rv) 辅助场量（位函数）
2.2.1 自由空间中的 Ev(和rv) (rv)
基于亥姆霍兹定理，可知
Ev(rv) (rv) Av(rv)
2.1.3 静电场的无旋性
微分形式：
v E 0
0
积分形式：
vv
Ñ E •dl 0
l
v
E
数学意义： Ev的线积分与积分路径无关
静电场可引入标量电位函数
v
物理意义：
v E
F
qt
蜒 Ev
•
v dl
l
1 qt
vv
F • dl 0
l
沿任一闭合路径 l，移动单位正电荷一周，电场 力所作的功为零。换句话说，沿任一闭合路径，静电 场对电荷作功，系统的功或能量始终是守恒的——静 电场守恒场（保守力场——作功与路径无关的力场）。
2.1.2 真空中的高斯定理 • 静电场的有散性
真空中静电场的电场强度E与源量q之间的关系为：
D • dS dV D E
s
v
0
E 0
• dS
dV
s
v
E • dS
s
dV
v
q
0
0
上式称为真空中的高斯定理积分形式
定理表明，在真空中，通过任一闭合曲面S的电场强度 通量(电通量)，等于该曲面所包围的电量除以真空中的 介电常数。
2.2.3 场分布：基于位函数φ的分析
例2.2 求电偶极子的远区( r >> d )电场。
z
r1
q
r
P(r,, )
do
r2
电偶极矩(简称电矩)
pv
v qd
q
百度文库
电偶极子——一对等量异号的点电荷，间隔距离 d 很小， 组成的场源系统。
[解] (1) P
z
q p
do
q
d cos
(r d )
evR
rv
V
rv
P(x, y, z) •
o
y
x
求任意场点 P 处的 Ev(rv) 示意图
Ev(rv) (rv)
• 规定电位的参考点 Q 后，任一场点 P 处的电位为
P
rv
Q
v E
•
v dl
0
P
P
rv
v E
•
v dl
P
工程上，以大地表面为电位参考面 大地 0
2.2.2 场分布：基于场量E的分析
0
dx dy dz Ex Ey Ez
v
(x, y, z) const C E 线方程
2.等位面(线)——场中电位相等的各点的轨迹(等位面)
(x, y, z) const
电场线与等位面(线)的性质：
• Ev线不能相交；
沿等势面移动电荷，
• 等 面不能相交；
电场力不因做为功电。场中某一点 （因为W电=场qU的，方任向就是此