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单级倒立摆系统中模糊控制理论的应用
1.引言
倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验平台，其具有成本低廉，结构简单，物
理参数和结构易于调整等优点，是一个高阶次、极不稳定、多变量、非线性和强耦
合的不稳定系统。在对倒立摆系统的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、随动性、鲁棒性以及跟踪等许多控制中关键性的问题，是检验各种控制理论的理想模型。迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了对多种倒立摆系统的稳定性的控制。同时倒立摆系统的动态过程与人类的行走姿态类似，平衡过程与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆的研究在实现双足机器人直立行走、
火箭发射过程的姿态调整以及直升机飞行控制领域中都有着重要的现实意义，有关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域当中。
1.1倒立摆简介
倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆
杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。现在由中国的师大学洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功的实现了对四级倒立摆的控制。使我国称为了世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。按其形式分，倒立摆还分为，悬挂式倒立摆、平行倒立摆、
环形倒立摆、平面倒立摆。按控制电机数量，又可分为单电机倒立摆和多级电机倒立摆等等。图 1-1 为集中倒立摆系统的，实物照片。
图 1-1各类倒立摆系统照片
本文所采用的倒立摆模型，直线单极倒立摆。
1.2倒立摆控制方法简介
对倒立摆系统这样一个典型的非线性、强耦合、极不稳定的复杂的被控对象进行
研究，无论在理论上还是在方法上都具有其重要的意义，各种控制理论，控制方法都可以在这里得到充分的实践，并且可以促成各种不同方法之间的有机结合。当前，倒立摆的控制方法大致可以分为线性控制、预测控制和智能控制三大类。下面本文将对现阶段应用较为广的几种控制方法进行简要介绍。
(1)常规 PID 控制：该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、
鲁棒性好、速度快、可靠性高等优点，至今仍广泛应用于工业过程控制中 [1] 。这种方法方法虽然可以用来实现对倒立摆系统的控制但由于其线性的本质，对于一个非线
性、绝对不稳定的系统是不能达到满意的控制效果的，振荡会比较厉害。若结合其它控制算法一起使用可发挥出取长补短的作用。
(2)状态反馈控制：状态反馈的极点配置法便是众多倒立摆控制方法中的一种最
基本的策略。极点配置法就是通过设计状态反馈控制器，然后将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置之上，从而使系统满足实际应用当中所要求的瞬态和稳态的
性能指标[2]。
(3)线性二次型 (LQR)：这种系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控
制变量的二次型[3]。这种方法是针对状态方程X Ax Bu 通过去顶最佳控制量
u tKx t 中的矩阵K，使得控制性能指标达到极小值[4] ：
J1x T Qx u T Ru dt（1-1 ）
2 0
将LQR控制方法应用于倒立摆系统当中，首先应该考虑的问题便是其平衡问题，
因此需引入全状态反馈。线性二次型 (LQR)最优控制，可以实现对倒立摆系统的平衡
控制，而且设计方案很简单、超调量也较小、响应速度较快；但是，LQR控制的抗干
扰性能和鲁棒性不强，当存在大扰动时，小车的跟随能力有限，存在滞后[5] ，尤其对
多级倒立摆进行稳定控制时，其困难更大。
(4)变结构控制：变结构控制系统的运动可以分为两个阶段，分别为能达阶段和
滑动阶段。其控制也分为两个部分：滑动模态域设计以及变结构控制律设计[6] 。变结
构控制方法对系统参数摄动和对外部扰动具有很强的鲁棒性，但是由于抖振的存在，使
得在一定程度上影响了其控制效果。抖振和鲁棒性是变结构控制方法的两大基本特点，也是变结构控制系统中的一对主要矛盾。因而在实际应用中必须考虑到如何才能消除
抖振带来的负面影响，否则不仅会影响控制效果，而且对仪器设备也会造成一定的破坏。
(5)自适应神经模糊推理系统 (ANFIS) ：这种方法是基于 Sugeno 模糊模型，并采用类似于神经网络的结构，因此该方法既具有模糊控制方法不要求掌握精确的被控对
象数学模型的优点，又具有神经网络控制方法可以自学习的特点，而且计算量小、收敛快，比较适合在微控制器的计算能力较差的场合下使用[7]。将ANFIS控制器应用在倒立摆控制系统当中，在保证摆角较小的情况下 ( 即小于± 10° ) ，可有效地控制倒立
摆系统，并且能跟踪目标位置信号、响应速度快、系统超调量较小[8]，但这种方法的鲁棒性较差不如基于遗传算法所设计。
(6)神经网络控制：神经网络控制能够任意充分地逼近各种极其复杂的非线性关系，能够学习并且适应严重不确定性系统的动态特性，因此具有很强的鲁棒性与容错性，
也可以将 Q学习算法与 BP神经网络算法有机的结合在一起，可以对实现状态未离散化
倒立摆系统的无模型学习控制。这种控制方法存在的主要问题就是缺乏一种专
门的，适合于控制问题的动态的神经网络，而且多层网络层数的确定、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择等也缺乏有指导性原则等[9] 。
(7)模糊控制：在倒立摆系统的稳定控制的众多方法中，模糊控制方法无疑是其中
一种比较优秀的解决途径，它的鲁棒性较好[10]。但是一般的模糊控制器的设计方法
存在着很大的局限性，首先就建立一组比较完善的多维的模糊控制规则而言，就是一
个很难解决的问题，即使凑成了一组不完整并且很粗糙的模糊控制规则，在实际控制
过程中其控制效果也难以得到保证。如果模糊控制方法能有效的结合其它控制方法就很
有可能会产生比较理想的控制效果。例如[11]：师大学已经采用模糊自适应控制理论
成功的研制了三级倒立摆装置并对四级倒立摆系统做了仿真实验。
(8)遗传算法：遗传算法是美国密歇根大学 Holland 教授倡导发展起来的，是模拟
生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。其基本思想
是：随着时间的更替，只有最适合的物种才能得以进化[12]。对于倒立摆系统，需要找
到一个可以使系统稳定，且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器，也就是要得到
的最优解。有关研究表明，遗传算法具有较好的抗干扰特性，但是计算量较大，适合于
微控制器计算能力较强的场合。
由于本文所采用的倒立摆系统模型为单级倒立摆系统模型，所以通过对上述各种控
制方法之间，优缺点的比较，最终本文采用了模糊控制方法。
1.3国外研究现状
对倒立摆系统的研究最早开始于二十世纪五十年代，由麻省理工大学的电机工程系设
计出了单级倒立摆系统这个实验设备，并投入使用。在此后的发展过程中，人们又在此
基础上进行拓展，创造出了各式各样与众不同的倒立摆实验设备。自从倒立摆产生以后，国外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：
倒立摆系统的稳定控制的研究和倒立摆系统的自起摆控制研究从目前的研究情况来
看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。早在上个世
纪五十年代，国外就开始了倒立摆的研究，我国学者也从 80年代初开始倒立摆系统的
研究。 1966年Schaefer 和cannon就应用 bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒
置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。在 60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重
非线性证例，倒立摆的概念被提出，并将其用于检验控制方法对不稳定、非线性和快
速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，并寻找不同的控制方法实
现对倒立摆的控制[13]。
2.倒立摆系统特性分析和单级倒立摆数学建模
本章分析了倒立摆系的统特性，建立了单级倒立摆系统的数学模型，利用力学分析方法和 Lagrange 方程建立了倒立摆系统的动态方程。
2.1倒立摆系统特性分析
倒立摆系统作为一种典型的机械电子系统，无论是那种类型的倒立摆系统它们都
具有一下的几种特性。
(1)欠冗余性：一般的说来倒立摆控制系统都采用单电机驱动，因而它与冗余机构有较大的不同之处，比如说冗余机器人。我们之所以采用欠冗余的设计主要是要在不失去系统可靠性的前提下，节约成本或者节约空间。研究者常常都是希望通过对倒立摆控制系统的研究从而获得性能较为突出的新型控制器的设计方法，并同时验证其有效性以及控制性能。
(2)仿射非线性系统：倒立摆控制系统作为一种典型的仿射非线性系统，因此我
们在对它进行的分析时可以应用微分几何方法进行分析。
(3)不确定性：倒立摆系统的不确定性，主要是指我们建立系统数学模型的时候设
置的一些参数上误差，以及量测噪声、机械传动过程中的一些非线性因素导致的难
以量化的部分。
(4)耦合特性：倒立摆的摆杆与小车之间，以及在多级倒立摆系统中，上下摆杆
之间都是强耦合的。这就是为什么可以采用单个电机驱动倒立摆系统的原因，也是为什么使得控制系统的设计以及控制器参数调节变得很复杂的原因。
(5)开环不稳定系统：倒立摆系统拥有两个平衡状态，也就是竖直向下和竖直向
上两种平衡状态。竖直向下的平衡状态是系统本身稳定的平衡点，而竖直向上的平衡状态是系统本身不稳定的平衡点，开环的时候即使是微小的扰动都会使得系统离开竖直向上的平衡状态进而转入到竖直向下的平衡状态中去。
针对以上几种倒立摆系统的特性，因此在建模时，为了简单起见，我们一般忽略
掉系统中那些次要的往往难以建模的因素，例如：空气阻力、伺服电机因为安装而产生的静摩擦力、倒立摆系统在连接处的松弛程度、摆杆连接处质量的分布不均匀、传
动皮带自身的弹性、 传动齿轮的间隙问题等等。 因此我们将小车抽象成一个质点， 摆杆抽象成一个匀质的刚体， 摆杆绕着转轴转动， 这样就可以通过力学原理建立起一个较为精确的数学模型。 为了方便大家对倒立摆系统控制方法的研究， 所以建立一个较为精确的倒立摆系统的 “线性的倒立摆系统模糊控制算法的研究模型” 是必不可少的。就目前而言，人们对倒立摆系统的建模一般采用以下两种方法 [14] ：牛顿力学分析方法以及欧拉—拉格朗日原理。
应用欧拉—拉格朗目原理
[15]
可得如下方程：
d L L D （ 2-1 ）
dt
q i
q i
Q i ， L q,q T q,q V q, q
q i
其中， L 是拉格朗日算子， q i 是系统的广义坐标， q 是广义变量， Q i 是系统沿该
广义坐标方向上的广义外力。 T 就是系统的动能， V 就系统的势能， D 就是系统的耗散能。在建立系统数学模型时候所定义的坐标系、原点、及方向等，都应与实际当中的物理系统的方向一一对应。建模中我们发现，单级倒立摆系统拥有四个状态变量，
二级倒立摆系统拥有六个状态变量。一般说来， N 级倒立摆系统就拥有 2 N 1 个状态变量。因此通过定义状态变量我们可以将所建立起来的数学模型写成， 仿射非线性系统的形式：
x f xg i x u i
（2-2 ）
i
y
h x
其中 x
q, q T 是系统的状态变量，一般输出是 y q T ， u i 是系统的控制量。一
般说来， i
1 就是点击驱动系统。
2.2 单级倒立摆数学模型
单级倒立摆小车系统如图 2-1 所示，该系统由沿着导轨运动的小车以及通过转轴
固定在小车上面的摆杆组成。
m
L
O
u
m c
图 2-1
单级倒立摆小车系统图
单级倒立摆参数如表 2-1 所示。
表 2.1 单级倒立摆参数表
符号
含义 取值（单位）
x 1 摆角 rad x 2
摆速 rad/s
g
重力加速度 9.8 m s 2
m c
小车的质量 1kg m 摆杆质量 0.1kg
L 摆杆长度 1m u
控制输入
N
对系统做如下假设：摆匀质刚体，摩擦力与相对速度（角速度）成正比。
对小车和摆杆分别进行手受力析， 经过计算和推导过程最终得到单极倒立摆的动
态方程如下 [16] ：
x 1 x 2
（2-3 ）
g sin x 1
mlx 22 cos x 1 sin x 1
cos x 1
m c m
m c m
x 2
（2-4 ）
mcos 2 x 1 l
4
m cos 2 l
4
x 1 3
m c m
3 m c m
3.单级倒立摆的模糊控制方法
模糊控制理论是建立在模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理基础上的一种计算机数字控制理论。它因在设计系统时不需要建立被控对象精确的数学模型而得到了日益广泛的应用。所以模糊控制在研究像倒立摆这样的高度非线性系统上有很大的
优势。
3.1模糊控制理论简介
模糊控制方法是以模糊语言变量、模糊集合以及模糊逻辑推理为基础的一种新型的计算机数字控制方法。如果从线性与非线性的控制角度来分类，模糊控制方法是一种非线性的控制方法；如果从控制器的智能性来看，模糊控制方法则是属于智能控制的畴，并且它己经成为当今智能控制领域当中的一种重要并且行之有效的控制形式[17,18] 。
模糊控制系统的组成[14]：模糊控制方法属于计算机数字控制方法的一种，因此，模糊控制系统的主要组成部分类似于一般数控系统，其框图如图3-1 所示。
给定值
A D +
-
模糊控制器
（微处理机）
D A
传感器被控对象执行机构
图3-1 模糊控制系统框图
(1)模糊控制器：这是整个模糊控制系统中最核心的部分，它所采用的是基于模糊控制知识以及模糊规则推理的语言型的“模糊控制器” ，这个特点也就是模糊控制系统跟别控制系统最大的区别所在。
(2)输入／输出接口：在模糊控制系统中，模糊控制器经由输入／输出接口从而获取被控对象的数字信号量，并把模糊控制器发出的数字决策信号经过数模转换器转
变为模拟信号，最后送给被控对象。在I ／O 接口装置中，除我们所熟知的A／D，D ／A 转换外，还必须包括电平转换倒立摆系统模糊控制算法研究电路。
(3)执行机构等：包括交、伺服电机，步进电机，直流电机，气动调节阀以及液
压电动机、液压阀等。
(4)被控对象：这些被控对象可以是确定的也可以是者模糊的、可以是单变量的也可以是多变量的、可以是有滞后的也可以是无滞后的，可以是线性的也可以是非线性的，可以是定常的也可以是者时变的，并且可能具有强耦合以及强干扰等各种情况。对于那
些难以通过常规方法建立起精确的数学模型的复杂被控对象，往往更加适合采用模糊控
制方法进行控制。
(5)传感器：传感器就是将被那些控对象或者控制过程当中的各种被控量转换为电
信号的一类装置。由于被控制量往往都是非电信号，比如：温度、流量、压力、浓度、
湿度、速度、位移、加速度等等。传感器在整个模糊控制系统中有着十分重要的
地位，传感器的精确程度往往直接影响到整个控制系统的精确程度，因此，我们在传感
器的选型时，应该选择那些精确度高并且稳定性好的传感器。
3.2模糊控制器的设计方法
模糊控制系统的核心是模糊控制器(Fuzzy Controller)，其组成见图3-2。
规则库数据库
知识库
输清模清输
入晰糊晰出
量量模糊化量
推理机解模糊量量
接口接口
图 3-2模糊控制器结构图
模糊控制器一般是可以靠软件编程来实现的，实现模糊控制的一般步骤如下[14] ：
(1)确定模糊控制器的输入变量和输出变量；
(2)设计模糊控制器的控制规则；
(3)进行模糊化和去模糊化；
(4)选择模糊控制器的输入变量及输出变量的论域，并确定模糊控制器的参数 ( 如量化因子、比例因子 ) ；
(5)编制模糊控制算法的应用程序；
(6)合理选择模糊控制算法的采样时间；
3.3模糊控制方法简介
倒立摆系统是一个复杂的、非线性的、不稳定的高阶系统。倒立摆系统的控制一
直以来都是控制理论及应用的典型。我们在对倒立摆这类的多变量、非线性、强耦合系统的模糊控制方法进行时，通常会遇到的一个最大的难题就是规则爆炸的问题，比如说一个单级倒立摆系统的控制往往涉及到的状态变量有 4 个，其中每个状态变量的论域作 7 个模糊集的模糊划分，那么这样的话，一个完备的推理规则库就会包含共有
74=2401个推理规则；对于二级倒立摆系统就会有 6 个状态变量，那么推理规则将会
达到 76=11 7649个，很明显如此众多的规则是根本不可能实现的。
为了解决这个规则爆炸问题，乃尧等人提出了双闭环模糊控制方案的倒立摆控制方法，即环用于控制倒立摆的角度，外环用于控制倒立摆的位移[19]。后来醒哲等人将这
种控制方法推广到了三级倒立摆控当中，并且提出了两种模糊控制串级控制的方
案，用以解决像倒立摆这类多变量，非线性，强耦合的系统模糊控制时出现的规则爆炸
问题。 Shuliang Lei 和 Reza Langari 采用了分级的思想，将1，1，2，2这 4
个状态变量分成了两个子系统，分别用了两个模糊控制器进行控制，然后再通过设计
一个更上层模糊控制器用来协调这两个子系统之间的相互作用[20]。
本文则采用一个主模糊控制器的基础上，再配上一个监督控制器进行相互协调控制。从概念上讲，至少由两种不同的方法确保模糊控制系统的稳定性。第一种方法是为模糊
控制器选择特殊的结构和参数，使带有模糊控制器的闭环系统稳定；第二种方法是设计
模糊控制器时先不考虑稳定性，而是将另一个非模糊控制器添加到模糊控制器上以满足稳定性需要。第二种方法中模糊控制器的设计有很大的自由度和灵活性，
所以用此方法 的模糊控制器系 可 得更好的性能。
第二种方法的关 是 添加的第二 非模糊控制器，
使 定性得到保 。 模糊
控制器 行主要控制操作， 是主控制器， 第二 控制器 行 督功能， 如果模糊控制
器运行良好， 第二 控制器停止工作； 如果模糊控制器系 于不 定，
第二
控制器开始工作，以确保 定性。第二 控制器被称 督控制器。
3.4
模糊控制系统设计
二 模糊控制系 集合 U
1 ,
1
2 ,
2
R 2 上的一个函数，其解析式形式
未知。假 任意一个 x
U ， 可 一个模糊系 。模糊系 的 几步
步 一
：在 i , i 上定
N i
i 1,2
个 准 的， 一直 的和完 的模糊集
A 1 , A 2 , , A N i 。
i
i
i
步 二 ： 建 M N 1 N 2 条模糊集 IF-THEN ，滴 i 1i 2
条 表示
R u i 1 i 2 ： IF x 1 is A 1i 1 and x 2 is
A 2i 2 ，THEN y is
B i 1i 2
其中， i 1 =1 ， 2，? N 1 ， i 2
=1 ，2，?， N 2 ， 模糊集 B i 1i 2
的中心 ( 用 y i 1 i 2 表示 )
i 1 i 2
g e 1i 1 , e 2i 2
（3-1 ）
y
步 三 ：采用乘 推理机、 模糊器和中心平均模糊器， 根据 M N 1
N 2 条
来构造模糊系 f x
， f x
具体的表示如下 [16] ：
N 1
N 2
i 1i 2
i
i
y
A
1
x 1
A
2
x 2
i 1 1 i 2
1
2
u
fuzz
x
（3-2 ）
N 1 N 2
i
i x 1
x 2
A 1 A 2
1
2
i 1 1
i 2
3.5 模糊监督控制器设计
考 如下非 性系 ：
x n f x, x, , x n 1
g x, x,
, x n 1
（3-3 ）
其中， x R 是系统输出， u R 为控制输入， x x, x, , x n 1T
是系统状态向量，
f 和
g 为未知非线性函数，并假设g>0。
在系统（ 3-3 ）中假设 f x 的上界和g x的下界已知，即存在可确定函数 f U x 和 g L x ，使得 f x f U x ，0< g L x g e1i1 ,e2i2。
主模糊控制器设计为
uu
fuzz x
（3-4 ）
为了确保闭环系统的稳定性，需要设计一个控制器，且要求带有此控制器的闭环系统是全局稳定的。在模糊控制器 u fuzz x 上添加一个监督控制器 u s x ， u s x 只是在
状态变量达到约束集合x: x M x的边界时才不为零，其中M x为设计者给定的大于零的实数。
监督控制器设计为
u u
fuzz x I* u x（3-5 ）s
式中， I *为指示函数。
控制的主要任务由模糊控制器 u fuzz x 承担，通过设计监督控制器u s，使对所有的 t0 ，有 x M x。监督控制器式（ 3-5 ）的控制策略为
当 x M x时， I *=1；
当 x M
x 时，
I
*
。
=0
将式（ 3-5 ）带入式（ 3-3 ）中，得
x n= f x g x u
fuzz x I * u x（3-6 ）s
为了证明稳定性，需要将闭环系统的方程式写成向量形式。
由被控对象式（ 3-3 ）的表达式，可定义使闭环系统的稳定的理想控制器为
u*1 f x k T X（3-7 ）
g x
其中， k = k n ,, k1T R n使得多项式s n k1s n 1k n的所有根都在复平面的左半边平面上。
将式（ 3-7 ）代入式（ 3-6 ），得
x n
f x
g x u * g x u *
g x u fuzz x I * u s x
k T
X
g x u fuzz x u
*
I *
u s
（3-8 ）
定义：
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
， b
（3-9 ）
0 0
1
k n k n 1
g x
k 1
则式（ 3-8 ）可以写成向量形式 [16]
x
X b u fuzz x u * I * u s
（ 3-10 ）
3.6 稳定性分析
定义 Lyapunov 函数为
V
1
X T PX
（ 3-11 ）
2
其中 P 是满足 Lyapunov 方程的正定对称矩阵，且满足
T
P
PA Q
（ 3-12 ）
其中 Q 0 由设计者给定。因为 是稳定的，所以这样的 P 总是存在的。
利用式（ 3-10 ）和式（ 3-12 ），并考虑到 x M x 时， I * 1 , 得：
V
1
x T
Px
1
x T Px
2 x
2
u *
u s
Px
1 x T P x b u fuzz u * u s
1
b u fuzz
T
2
2
1 x T T
P
P x
1
b T
Px u fuzz u *
u s
1
x T Pb u fuzz
u *
u s
2
2
2
1
x T Qx
x T Pb u fuzz u *
u s
2
可得
V x T Pb u fuzz u*x T Pbu（3-13）为保证 V 0 ,根据式（3-13）和式（3-7），设计监督控制项u s为
T 1
U T
u s sgn X Pb f k X u fuzz（3-14）
将式（ 3-14 ）代入式（ 3-13 ），有
V 0
式（3-5 ）中的 I *式一个阶跃函数，每到x碰到边界 x M x时，监督控制器就开始工作，
每当 x 回到约束条件x M x的部时，监督控制器就挺直工作，因此，系统在跨
越边界时将收到冲击，克服这种“振荡”的一个办法就式，另I *在 0 ~ 1 之间连续变化。可以选择如下：
0,x a
I *
x a , a x M x（ 3-15 ）
M x a
1,x M x
式中， a0,M x为设计者给定的一个常数。在式（3-15 ）中，当x从a变到M x时，
监督控制器 u s将从挺直状态连续变化到“最大值”1。
通过上述分析克制[16]，通过设计监督控制器u s，可以力图使x M x。
4.仿真平台 matlab
MATLAB就是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）的简称，该软件是由美国MathWorks 公司出品的一款商业数学软件，其主要用途就是数据可视化、算法开发、数据分析以
及数值计算等，是一种高级技术计算语言与交互式环境，其主要组成部分包括MATLAB
和Simulink 两大块。
4.1 matlab 发展历程
其实 matlab 雏形是 20 世纪 70 年代，美国新墨西哥大学的一位叫做Cleve Moler
计算机科学系的主任为了减轻他学生们在编程过程中的负担，而用 FORTRAN编写出来
的。 Little 、 Moler 、Steve Bangert 等人于 1984 年合作成立了 MathWorks公司并正式
的把 MATLAB市场化，从此 MATLAB成为了国际控制界的标准计算软件。
4.2 matlab 的强大功能
MATLAB是由美国的 mathworks 公司发布一款主要面向可视化、科学计算以及交
互式程序的设计等应用的高科的技计算软件。它可以将矩阵计算、数值分析、科学数
据可视化、非线性动态系统建模、仿真等等诸多强大的功能合并集成在一个便于使用的
视窗环境当中。 MATLAB的出现不仅为科学研究、工程设计以及那些必须进行有效数值
计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，而且它还在很大程度上摆脱了传统的
非交互式程序设计语言的编辑模式，代表了二十一世纪国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB和 Mathematica 、Maple 并称为三大数学软件。 MATLBA在数值计算方面的
能力可以说在数学类的科技应用软件中算得上是首屈一指的。MATLAB可以进如：绘制函数和数据、行矩阵运算、创建用户界面、实现算法、连接 matlab 开发工作界面与其
他编程语言的程序等。其主要应用于控制设计、工程计算、图像处理、信号处理与通讯、金融建模设计、信号检测与分析等领域。
MATLAB的基本数据单元是矩阵， MATLAB的指令表达形式跟数学、工程中常用的表
达形式十分相似，所以用 MATLAB来解计算的问题比起用 C，FORTRAN等语言来完成相同的任务要简单快捷得多，不仅如此 MATLAB还吸收了像 Maple 这样的软件的优点，这使得 MATLAB成为一款非常强大的数学应用软件。在 MATLAB的新版本当中也加入了
对C、C++、FORTRAN、JAVA的支持。并且可以进行直接调用，如今如此用户还可
以将自己编写的应用程序导入到MATLAB函数库当中去，进一步方便自己以后的调用，此外世界各地的许多MATLAB爱好者也都编写了很多经典的程序，用户都可以直接去
相关的下载，并且直接就可以用。[21]
5.仿真
第二章建立了单级倒立摆的数学模型，在此基础上，第三章详细讨论了模糊控制
倒立摆的方法， 给出了模糊控制器的设计方法， 证明了利用模糊策略控制倒立摆系统是可行的。本章是将在上面几章的基础上， 用 Matlab 和 Simulink 工具进行单级倒立摆模糊控制系统的仿真研究。 Simulink 是 Matlab 最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。 在该环境中，可以构造出复杂的仿真模型，如单级倒立摆控制系统。 在介绍倒立摆控制系统的仿真之前， 需要先根据第三章给出的倒立摆的线性状态方程，利用 Simulink 实现倒立摆系统模型，然后根据模糊控制倒立摆系统的方法实现倒立摆的系统仿真 [24] 。单级倒立摆系统 Simulingk 模型如图
5-1 所示。
图 5-1 单级倒立摆模型主程序框图
本文所采用的单级倒立摆系统的动态方程如下：
x 1 x 2
（5-1 ）
g sin x 1 mlx 22 cosx 1 sin x 1
cosx 1
m c m
m c m
x 2
（5-2 ）
l
4
mcos 2 x 1
l
4
mcos 2 x 1
3 m c m
3 m c m
模糊控制 u fuzz 式一句下面 4 条模糊规则设计的： 如果 1
是正且 x 2 是正，则 u
是负最大值；
x
如果 x 1 是正且 x 2 是负，则 u 是零； 如果 x 1 是负且 x 2 是正，则 u 是零；
如果 x 1 是负且 x 2 是负，则 u 是正最大值。
模糊集“正”、“负”、“负最大值” 、“零”和“正最大值”的隶属函数分别为：
正
x
1
1
，
负
x
1 1 ，
负最大值
u
e u 5 2
，
零
u
e u 2
，
e 30x
e 30 x
正最大值
u
e u
5 2
。
要设计监督控制器，首先要确定边界
f U 和
g L 。对本系统，本文要求 x 1
9 ，
g sin x 1 mlx 22 cosx 1 sin x 1
9.8
0.1 0.5
0.5sin 2x
1
x 22
m c m
f x 1, x 2
1 0.1
4
mcos 2 x 1
4
0.1cos 2 x 1
l 0.5 则有
3
m c m
3
1 0.1
9.8
0.025 x 22 15.78 0.0366x 22
f U
x 1 , x 2
2 1.1
0.05 3 1.1
cos x 1
cos 9 g x 1, x 2 m c m
0.1
1
4
m cos 2 x 1
4
0.1
cos 2 x 1
l 0.5
3
m c m
3 1.1
cos 9
1.1
g L x 1 , x 2
2 0.05 cos 2
1.1
3
1.1
控制的目标能将任意初始角度
x 1
9 , 9 的倒立摆控制到平衡点，并同时保证
x 1 , x 2 2
9 M x 。
采 用 乘 积 推 理 机 、 单 值 模 糊 器 和 中 性 平 均 解 模 糊 器 ， 根 据
M N 1 N 2 N 1 2, N 2
2 条规则来构造模糊控制器 u fuzz 。由 4 条规则的结论克制：
11 12 21
22
y 5 ， y 0 ， y 0 ， y 5 。则由式（ 3-2 ）得模糊控制器为
y
11
正
x 2 21
负
x 1
正 x 2 12
正
x 1
负 x 2 22
负
x 1
负
x 2
正
x 1
y y
y
u
fuzz
x 1 正
x 2
负
x
1
正
x 2
x
1负
x
2
负
x
1
负
x 2
正
正
5 正 x 1 正 x 2 5 负 x 1 负 x
2
正
x 1 正 x 2
负 x 1 正 x 2
正 x 1 负 x 2 负
x 1 负
x 2
1
1 1 1
5
30 x
1 e 30 x 1 e 30 x 1 e 30 x
1 e
1 1
1
1
1
1
1 1
1 e 30x 1 e 30 x 1 e 30 x 1 e 30 x 1 e 30 x 1 e 30x 1 e 30 x 1 e 30x
根据隶属函数设计程序，可得到隶属函数图，如图
5-2 和图 5-3 所示。位置指令
为 x d t
0 ，倒立摆初始状态为
60,0 ，采用控制律式（3-3 ）。取 Q
10 0 2 ，
0 ，k 1
10
k 2 1，则求解 Lyapunov 方程得： P
15 5 9 ，取 a
18 ，仿真结
5 。由于 M x
5
果如图 5-4 至图 5-6 所示
1 0.9
0.8
x f o e 0.7
e r g e d 0.6
n o t i c n 0.5
u f p i h 0.4
s r e b
m 0.3
e
M
0.2
0.1
0 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
-0.4
x
图 5-2
加速度 x 1的隶属函数
1
0.9
u0.8
f
o
e
0.7
e
r
g
e
d
0.6
n
o
i
t
c0.5
n
u
f
p
i
h0.4
s
r
e
b
m0.3
e
M
0.2
0.1
-5-4-3-2
-1012345
u
图 5-3控制输入 u 的隶属函数
0.06
0.05
0.04
e
s
n
o0.03
p
s
e
r
n
o
i
t
0.02
s
o
P
0.01
-0.01
02468101214161820
time(s)
图 5-4位置响应
0.06
0.05
0.04
e
s
n0.03
o
p
s
e
r
d
e0.02
e
p
S
0.01
-0.01
02468101214161820
time(s)
图 5-5速度响应
z
z
u0
f
u
t
u
p
n-1
i
l
o
r
t
n-2
o
C
02468101214161820
time(s)
s
u-14
t
u
p
ni
l-16
o
tr
n
o
C -18
02468101214161820
time(s)
t0
u
t
u
p
n
-1
l
o
r
t
n
o
C-2
02468101214161820
time(s)
图 5-6控制输入信号u
一阶倒立摆系统的双闭环模糊控制方案范文,毕业设计
系统仿真课程设计报告 题目：一阶倒立摆系统的双闭环模糊控制方案专业、班级： 学生姓名： 学号： 指导教师： 分数: 2012 年 6 月9 日
目录 摘要： (2) 一、引言 (2) 二、设计目的 (3) 三、设计要求 (3) 四、设计原理 (3) 五、设计步骤 (3) 1、单级倒立摆系统的构成........................ 错误！未定义书签。 2、单级倒立摆的数学模型 (4) 3、模糊控制器的设计 (6) 3.1单阶倒立摆模糊控制的基本思路 (6) 3.2隶属函数的定义 (6) 3.3模糊控制器规则 (7) 3.4解模糊 (8) 4、仿真实验 (8) 4.1MATLAB模糊逻辑工具箱 (8) 4.2系统数字仿真模型的建立 (11) 5、基于MATLAB的数字仿真结果 (12) 六、结论 (13) 七、感想和建议 (13) 八、致谢 (14) 九、参考文献 (15)
摘要：通过对单阶倒立摆的双闭环的控制数学模型的分析，采用模糊控制理论对倒立摆的控制系统进行计算机仿真。其中，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位置。在Matlab环境下的仿真步骤包括：定义隶属函数及模糊控制规则集，解模糊。结果表明，摆杆角度和小车位置的控制过程均具有良好的动态性能和稳定性能。 关键词：倒立摆；模糊逻辑控制；计算机仿真；MATLAB Abstract：based on the ChanJie inverted pendulum double closed loop control mathematical model analysis, the fuzzy control theory of the inverted pendulum control system by computer simulation. Among them, the inner loop control the point of view of the inverted pendulum, outside loop control the position of the inverted pendulum. In the Matlab environment simulation steps include: definition membership function and fuzzy control rule sets, solution is fuzzy. The results show that, swinging rod Angle and the car position control process are good dynamic performance and stable performance. Keywords: inverted pendulum; Fuzzy logic control; The computer simulation; Matlab 一、引言 在人类自然科学的发展历史上，人们总是以追求事物的精确描述为目的来进行研究，并取得了大量的成果。随着科学技术的进步，在社会生产和生活中存在的大量的不确定性开始引起人们的注意。有关模糊不确定性的研究直到1965年，美国的L.A.Zadeh教授首次提出模糊集合的概念之后得到广泛开展。 “模糊”是与“精确”相对而言的概念，模糊性普遍存在于人类的思维和语言交流中，是一种不确定性的表现。随机性则是客观存在的另一类不确定性，两者虽然都是不确定性，单存在本质上的区别。模糊性主要是人对概念外延的主观理解上的不确定性，而随机性则主要反映客观上的自然的不确定性，即对事件或行为的发生与否的不确定性。 一阶直线倒立摆系统是一个典型的“快速、多变量、非线性、自不稳定系统”，将模糊控制方法应用于一阶倒立摆系统的控制问题，能够发挥模糊控制在非线性系统控制、复杂对象系统控制方面的优势，简化设计，提高控制系统的鲁棒性。
基于模糊控制的一级倒立摆控制系统设计【毕业作品】
BI YE SHE JI （20 届） 基于模糊控制的一级倒立摆控制系统设计 所在学院 专业班级自动化 学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月 II
摘要 倒立摆系统是研究控制理论的典型实验装置，具有价格低廉，结构简单，参数易于调整等优点。但是倒立摆同时也是一个典型的快速，非线性，多变量，本质不稳定系统，对于其稳定性的控制绝非易事。也正因为如此，对于倒立摆系统控制方法的研究和开发才具有重要和深远的意义。目前适用此系统的控制理论包括变结构控制，非线性控制，目标定位控制，智能控制等。 本文根据一级直线倒立摆系统，建立了数学模型，依据模糊控制的相关规则设计了模糊控制规则，并从位移和角度观点出发设计了双模糊控制器，经过仿真调试对重要参数进行不断的调试和优化，最终实现了“摆杆不倒，小车稳住”的总体目标。 对于实物实验系统，本文对构成倒立摆运动控制系统的电机，编码器和运动控制模块进行了比较选择，选择了交流伺服电机，增量式光电编码器和基于DSP技术的运动控制器作为主要的硬件组合，该运动控制器具有良好的性能，可以保证控制的精度。 关键词：倒立摆，模糊控制，系统设计，仿真，稳定 II
Abstract Inverted pendulum system is the study of the typical experiment device control theory, which is inexpensive, simple structure and easy to adjust the parameters. But it is also a system that typical rapid, nonlinear, many variables, and its essence is not stable, for its stability control is not going to be easy. Also because of this inverted pendulum system control method of the research and development are important and profound significance. At present the system for the control theory including variable structure control, nonlinear control, the goal positioning control, intelligent control, etc. According to the level of linear inverted pendulum system, this paper established the mathematical model, based on the fuzzy control rules we designed its fuzzy control rules, and from the view point of view design displacement and the dual fuzzy controller, through the simulation test of continuing the important parameters of debugging and optimization, and finally achieved "swinging rod, the car is not steady overall goal. For physical experiment system, this paper constitutes inverted pendulum motion control system of motor, encoder and motion control module are compared choice. Choose the ac servo motor, the solid-axes photoelectric encoder and the motion controller based on DSP technology as the main combination of hardware, this controller has good performance, and can ensure the precision of the control. Key words: inverted pendulum，Fuzzy control，System design ，The simulation，stability II
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 1.1模糊控制理的发展历史、研究现状及展望 1.1.1模糊控制理论的发展历史 模糊逻辑控制(Fuzzy Logic Control)简称模糊控制(Fuzzy Control),是以模糊集合论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制技术。在人类自然科学的发展历史上，人们总是以追求事物的精确性描述为U的来进行研究，并取得了大量的成果。随着科学技术的进步，在社会生产和生活中存在的大量的不确定性开始引起人们的注意。1965年，美国的L.A.Zadeh教授创立了模糊集合论；1973年他给出了模糊逻辑控制的定义和相关的定理。1974年，英国的E.H.Mamdani首先用模糊控制语句组成模糊控制器，并把它应用于锅炉和蒸汽机的控制，在实验室获得成功。这一开拓性的工作标志着模糊控制论的诞生。 模糊控制实质上是一种非线性控制，从属于智能控制的范畴。模糊控制的一大特点是既具有系统化的理论，乂有着大量实际应用背景。模糊控制的发展最初在西方遇到了较大的阻力；然而在东方尤其是在日本，却得到了迅速而广泛的推广应用。近20多年来，模糊控制不论从理论上还是技术上都有了长足的进步，成为自动控制领域中一个非常活跃而乂硕果累累的分支。其典型应用的例子涉及生产和生活的许多方面，例如在家用电器设备中有模糊洗衣机、空调、微波炉、吸尘器、照相机和摄录机等；在工业控制领域中有水净化处理、发酵过程、化学反应釜、水泥窑炉等的模糊控制；在专用系统和其它方面有地铁靠站停车、汽车驾驶、电梯、自动扶梯、蒸汽引擎以及机器人的模糊控制等。U前，模糊控制技术日趋成熟和完善。各种模糊产品充满了日本、西欧和美国市场，如模糊洗衣机、模糊吸尘器和模糊摄像机等等，模糊技术儿乎变得无所不能，各国都争先开发模糊新技术和新产品。多年来一直未解决的稳定性分析问题正在逐步解决。模糊芯片也已研制成功且功能不断加强，成本不断下降。直接采用模糊芯片开发产品己成为趋势。模糊开发软件包也充满市场。模糊控制技术除了在硬件、软件上继续发展外，将在自适应模糊控制、混合模糊控制以及神经模糊控制上取得较大发展。随着其它学科新理论、新技术的建立和发展，模糊理论的应用更加广泛。模糊理论结合其它新技术和人工神经网络和遗传基因形成交叉学科神经网络模糊技术(Neuron Fuzzy Technique)和遗传基因模糊技术(Genetic Fuzzy Technique),用于解决单一技术不能解决的问题。模糊理论在其它学科技术的推动下，正朝着更加广泛的方向发展。 1.1.2模糊控制的研究现状 1.1. 2. 1 Fuzzy-PID 复合控制 控制工程与仿真课程设计报告 报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准 评分项目权重评价内容评价结果项目得分 内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整 70-50分 设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整 50-30分 设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整 0-30分 语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确 10-15分语言基本通顺， 标点符号基本正 确 5-10分 语言不通顺，有 错别字，标点符 号混乱 5分以下 格式15 报告格式较正 确，排版较规范 美观 10-15分 报告格式基本正 确，排版不规范 5-10分 报告格式不正 确，排版混乱 5分以下总分 直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。 图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。 图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F = 单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。通过仿真说明控制器的有效性和实现性。关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；Simulink Design of single stage inverted pendulum control system and Simulink simulation Abstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortings of mon physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motion of the inverted pendulum, and designs the 一级直线倒立摆系统模糊控制器设计 实验指导书 目录 1 实验要求 (3) 1.1 实验准备 (3) 1.2 评分规则 (3) 1.3 实验报告内容 (3) 1.4 安全注意事项 (3) 2 倒立摆实验平台介绍 (4) 2.1 硬件组成 (4) 2.2 软件结构 (4) 3 倒立摆数学建模（预习内容） (6) 4 模糊控制实验 (8) 4.1 模糊控制器设计（预习内容） (8) 4.2 模糊控制器仿真 (12) 4.3 模糊控制器实时控制实验 (12) 5 附录：控制理论中常用的MATLAB 函数 (13) 6 参考文献............ .. (14) 1 实验要求 1.1 实验准备 实验准备是顺利完成实验内容的必要条件。实验准备的主要内容包括如下的几个方面：（1）复习实验所涉及的MATLAB 软件和模糊控制理论知识； （2）熟悉实验的内容和步骤； （3）根据实验要求，作必要的理论分析与推导。 1.2 评分规则 实验满分为100 分，其中实验考勤及实验态度占15% ，实验预习占25% ，实验报告占60% （其中技术内容占50% ，报告书写占10% ）。 （1）实验考勤与实验态度 实验考勤和实验态度主要针对课内的学时进行考核。 （2）实验预习报告 实验预习内容分为两大部分，即倒立摆数学建模和模糊控制的预习内容。 （3）实验报告的技术内容 实验报告的技术内容主要包括实验数据的记录与分析和实验思考题的解答。 （4）实验报告书写 实验报告书写水平主要考虑文字表达水平（要求层次分明、表述清晰、简洁明了）和规范程度（如图是否有坐标、单位和标题、公式书写及编号是否规范等）。实验报告的书写不仅体现了作者的文字功底，而且反映了作者的治学态度。 提示1：报告正文原则上不超过10 页。 提示2：一旦发现抄袭行为，抄袭者和被抄袭者均按作弊处理。 1.3 实验报告内容 实验报告包含以下的内容。可根据实验的具体情况和要求进行适当调整。 （1）理论分析的主要步骤； （2）仿真和硬件实物调试结果及分析（包括Matlab 程序或仿真模型，实物调试框图）； （3）回答思考题； （4）总结实验心得及对实验的意见或建议。 1.4 安全注意事项 （1）实验之前一定要做好预习。 （2）为了避免设备失控时造成人身伤害，操作时人员应该与设备保持安全距离，不要站在摆的两端。 （3）实验前，确保倒立摆放置平稳；要检查摆杆的可能摆动范围，确保不会发生碰撞。 （4）如果发生异常，马上关闭电控箱电源。 （5）系统运行时禁止将手或身体的其他部位伸入小车运行轨道之间。 2 倒立摆实验平台介绍 倒立摆是一个典型的不稳定系统，同时又具有多变量、非线性、强耦合的特性，是自动控制理论中的典型被控对象。它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有一定的稳定性和良好的性能。许多抽象的控制概念如控制系 2011级自动化1班 杨辉云 P111813841 一级倒立摆的模糊控制 一．倒立摆的模型搭建 1. 单级倒立摆系统的数学模型 对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数 f c =0.1。 摆杆 θ 传送带 导轨 直线单级倒立摆 2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。 一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为 L （q ，。 .q ）=V （q ，。 q ）—G （q ，。 q ） （1） 式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。 dt d x ??L — x ??L + x ??D = fi （2） 式中：D 是系统耗散能， f c 为系统的第i 个广义坐标上的外力。 一级倒立摆系统的总动能为： V=θθcos x ml ml 3 2)(212 22。。。+++x m M （3） 一级倒立摆系统的势能为： G=θcos mgl θ （4） 一级倒立摆系统的耗散能为： D= 2 2 1 。x f c （5） 一级倒立摆系统的拉格朗日方程为： 0=??+??-??θ θθD L L dt d (6) F X D X L X L dt d =??+??-?? (7) 将（1）到（5）式带入（6）式得到如下： 0sin sin sin cos m 3 422=-+。。。。。。 ——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8） （M+m ）F x ml ml x f c =+ +θθθθsin cos 2。 。 — （9） 一级倒立摆系统有四个变量：。 。，，， θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得 到系统的状态空间模型如下： =。X ? ?????0 000 0189.000748 .01-- 579.20 386.00 ??????0100+x ? ???? ? ??? ???-8173.007467 .00 一级倒立摆的模糊控制 一、 立题背景 倒立摆( Inverted Pendulum)是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。 倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。 本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了倒立摆的控制系统仿真问题。仿真 的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好的稳定性。 二、 倒立摆的数学模型 质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。倒立摆模型如图2-1所示。 图 2-2 单机倒立摆模型图 小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。 以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入 以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入。 即X=????????????4321x x x x =?? ? ??? ??????x'x 'θθ Y=??????x θ=??? ???31x x 一级倒立摆控制方法比较 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。根据状态方程判断系统的能控、能观性。通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。 关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;Matlab DISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB. Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab 0引言 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。 倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。 1）线性理论控制方法 应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用 《现代控制理论》课程综合设计 单级旋转倒立摆系统 1 引言 单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。 图1 单级旋转倒立摆系统模型 单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。 本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。 2 模型建立 本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆 分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量； 1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。 图2 倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程： 2 111222(0sin )2 l d N m l dt θθ=++ （1θ2l —横杆的转动弧长即位移） 摆杆垂直方向受力平衡方程： 211 1122(cos )22 l l d H m g m dt θ-=- 摆杆转矩平衡方程： 22111222sin cos 22 d l l J H N dt θθθ=- 横杆转矩平衡方程： 21 222 d M Nl J dt θ-= N 单级倒立摆稳定控制实验 一．实验目的 1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立； 2.掌握LQR控制器的设计方法； 3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。 二．实验内容 图1 一级倒立摆原理图 一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。 图2 直线一级倒立摆系 统 其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图3 （a ）小车隔离受力图； （b ） 摆杆隔离受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： Mx F bx N =--&&& (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()2 2sin d N m x l dt θ=+ (2) 即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-&&&&& 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 一级直线倒立摆系统 令狐采学 模糊控制器设计 实验指导书 目录 1 实验要求....................................................................................................................... .. (3) 1.1 实验准备....................................................................................................................... .. (3) 1.2 评分规则....................................................................................................................... .. (3) 1.3 实验报告内容....................................................................................................................... (3) 1.4安全注意事项....................................................................................................................... (3) 一级倒立摆控制的极点配置方法 摘要 倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。实现了倒立摆控制系统的仿真。仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。 关键词:倒立摆，数学建模，极点配置 THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLE INVERTED PENDULUM Abstract Inverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot. Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit. Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placementdq075阶倒立摆系统的双闭环模糊控制与MATLAB仿真
一级倒立摆的建模与控制分析
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中仿真
一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书
单级倒立摆
一级倒立摆的模糊控制
一级倒立摆控制方法比较
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一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书之令狐采学创编
单级倒立摆控制的极点配置方法