第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件
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张量分析TensorAnalysisppt课件
的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi
r xi
zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi
j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk
1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分 量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；
02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-02张量共98页PPT
生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢你的阅读
清华大学弹性力学冯西 桥FXQ-Chapter-02张
量
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
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清华大学弹性力学冯西 桥FXQ-Chapter-02张
量
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2 ： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
a b ( ai i i ) (b j i j ) ai b j ij ai bi b a ; a , b V
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
例6 ：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a ) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b )
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
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张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。
求迹运算，即缩并，对应于求3 矩阵的对角线元
素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
w T u
该运算具有线性性质：
T (u v) T u T v
两个二阶张量的点积
只有取 2 ，3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。
二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 6 例如，并乘运算。
(J1 )3
1 2
J1
J
2
1 3
J
3
以及
J1 J1
J
2
( J1 )2
2J2
J
3
( J1 )3
3J1J2
3J3
12
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T u v w u T v w u v T w J1T u v w
T u
T v
wu
T v
T w T u
v
T
w
J
T 2
u
v
w
T u
T v
T
w
J
T 3
u
v
w
.
正则二阶张量，有Nanson公式
T
u
T
v
J
T 3
TT
1 u v
13
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
.
➢ 实对称二阶张量的标准形
• 简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力
σ ijeie j
σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3
正则与退化的二阶张量
➢ 行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。
.
➢ 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。 • 任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0
• 任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
l
(i)u(i) 0
i 1
0
T
l i 1
.
➢ 实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N
g1
N 1 1
g1
N a a
N
g2
N 2 2
g2
特征方程，λ即N的特征
N g3 N特33 g征3 值为什么值是，三a即个N？的特征向量。
Nija j ai
分量形式
(Nij ij )a j 0
利用指标升降关系
det( Nij
i j
)
0
a为非0矢量
.
第2章 二阶张量
2021年3月16日
1
主要内容
.
二阶张量的矩阵
正则与退化的二阶张量
二阶张量的不变量
二阶张量的标准型
几种特殊的二阶张量
二阶张量的分解
正交相似二阶张量
2
二阶张量的矩阵
.
➢ 二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T
Tij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
(i)u(i)
l
(i)(T
i 1
u(i))
7
正则与退化的二阶张量
.
• 3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
T u T v T w detT u v w
➢ 正则二阶张量的特性：
• 正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的 二阶张量T存在唯一的逆T-1。
• 二阶张量T是正则的充要条件是 T u 0，当且仅当
u 0。
• 单射性。若 T u T v ， 则 u v
8
• 满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u
.
二阶张量的不变量（代数）
➢ 力学是用张量的不变量写成的！
➢ Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基 本不变量只有有限个。
通常定义
T 3
的行列式为张量T的行列式
det T
det(
T 3
)
T
i j
det T T
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
det(1T
T
)
det(
T 1
),
det(
T 4
T
)
det(
T 4
)
det(
T 2
T
)
det(
T 3
),
det(
T 3
T
)
det(
T 2
)
5
.
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
)T
4
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的行列式
.
det(1) g det( 2 ) g det(3) g 2 det( 4 )
15
()
3
J1N 2
伟大的抽象代数之母诺特，石 破天惊的思想： 任何对称性，都对应某种形式 的守恒律！！
9
埃米·诺特 Emmy Noether （1882-1935）
.
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的标量不变量：
G
:T
G
T
Tii
tr(T )
C1
T i i
（力学中，11 22 33 对应静水应力）
T
:T
gi
g
j
T ij gi g j
➢ 以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
1 Tij
2 Ti j
3
T
i j
4 T ij
其中， 3矩阵是最重要的张量矩阵。
➢ 二阶张量的转置张量
WHY?
T T Tji gi g j Tij gi g j Tji gi g j T ji gi g j
3
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的转置张量所对应的矩阵
TT 1
(
T 1
)T
TT 2
(
T 3
)T
TT 3
(
T 2
)T
TT 4
(
T 4
)T
.
➢ 对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
Nij N ji
N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
应力张量的三个主方向是正交的。
• 对称二阶张量 N Nij gi g j 必定存在一组正交基矢量 g1 ，g2 ，g3 ，使得
N
N 1 1
g1
g1
N 2 2
g2
g
2
N 3 3
g3
g
3
则 N11，N22，N33 为N的主分量，g1 ，g2 ，g3为N的主方向14 。
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
T
Ti j
j i
tr(T
T)
C2
T
Ti j
j i
ijk
T T T lmn i j k l m n
C3
10
二阶张量的不变量（代数）
.
➢ 二阶张量T的三个主不变量：
J1
G :T
Ti l
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
➢ 二阶张量T的矩：
J1 tr(T ) Tii
2
tr(T
T)
T
Ti j
j i
J
3
tr(T
T
T)
T
T T i j k
j k i
11
二阶张量的不变量（代数）
.
➢ 二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
J1 J1
J2
1 2
(J1 )2
J
2
J3
1 6
求迹运算，即缩并，对应于求3 矩阵的对角线元
素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：
w T u
该运算具有线性性质：
T (u v) T u T v
两个二阶张量的点积
只有取 2 ，3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。
二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 6 例如，并乘运算。
(J1 )3
1 2
J1
J
2
1 3
J
3
以及
J1 J1
J
2
( J1 )2
2J2
J
3
( J1 )3
3J1J2
3J3
12
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T u v w u T v w u v T w J1T u v w
T u
T v
wu
T v
T w T u
v
T
w
J
T 2
u
v
w
T u
T v
T
w
J
T 3
u
v
w
.
正则二阶张量，有Nanson公式
T
u
T
v
J
T 3
TT
1 u v
13
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
.
➢ 实对称二阶张量的标准形
• 简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力
σ ijeie j
σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3
正则与退化的二阶张量
➢ 行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。
.
➢ 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。 • 任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0
• 任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
l
(i)u(i) 0
i 1
0
T
l i 1
.
➢ 实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N
g1
N 1 1
g1
N a a
N
g2
N 2 2
g2
特征方程，λ即N的特征
N g3 N特33 g征3 值为什么值是，三a即个N？的特征向量。
Nija j ai
分量形式
(Nij ij )a j 0
利用指标升降关系
det( Nij
i j
)
0
a为非0矢量
.
第2章 二阶张量
2021年3月16日
1
主要内容
.
二阶张量的矩阵
正则与退化的二阶张量
二阶张量的不变量
二阶张量的标准型
几种特殊的二阶张量
二阶张量的分解
正交相似二阶张量
2
二阶张量的矩阵
.
➢ 二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T
Tij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
(i)u(i)
l
(i)(T
i 1
u(i))
7
正则与退化的二阶张量
.
• 3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
T u T v T w detT u v w
➢ 正则二阶张量的特性：
• 正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的 二阶张量T存在唯一的逆T-1。
• 二阶张量T是正则的充要条件是 T u 0，当且仅当
u 0。
• 单射性。若 T u T v ， 则 u v
8
• 满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u
.
二阶张量的不变量（代数）
➢ 力学是用张量的不变量写成的！
➢ Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基 本不变量只有有限个。
通常定义
T 3
的行列式为张量T的行列式
det T
det(
T 3
)
T
i j
det T T
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
det(1T
T
)
det(
T 1
),
det(
T 4
T
)
det(
T 4
)
det(
T 2
T
)
det(
T 3
),
det(
T 3
T
)
det(
T 2
)
5
.
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
)T
4
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的行列式
.
det(1) g det( 2 ) g det(3) g 2 det( 4 )
15
()
3
J1N 2
伟大的抽象代数之母诺特，石 破天惊的思想： 任何对称性，都对应某种形式 的守恒律！！
9
埃米·诺特 Emmy Noether （1882-1935）
.
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的标量不变量：
G
:T
G
T
Tii
tr(T )
C1
T i i
（力学中，11 22 33 对应静水应力）
T
:T
gi
g
j
T ij gi g j
➢ 以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
1 Tij
2 Ti j
3
T
i j
4 T ij
其中， 3矩阵是最重要的张量矩阵。
➢ 二阶张量的转置张量
WHY?
T T Tji gi g j Tij gi g j Tji gi g j T ji gi g j
3
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的转置张量所对应的矩阵
TT 1
(
T 1
)T
TT 2
(
T 3
)T
TT 3
(
T 2
)T
TT 4
(
T 4
)T
.
➢ 对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
Nij N ji
N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
应力张量的三个主方向是正交的。
• 对称二阶张量 N Nij gi g j 必定存在一组正交基矢量 g1 ，g2 ，g3 ，使得
N
N 1 1
g1
g1
N 2 2
g2
g
2
N 3 3
g3
g
3
则 N11，N22，N33 为N的主分量，g1 ，g2 ，g3为N的主方向14 。
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
T
Ti j
j i
tr(T
T)
C2
T
Ti j
j i
ijk
T T T lmn i j k l m n
C3
10
二阶张量的不变量（代数）
.
➢ 二阶张量T的三个主不变量：
J1
G :T
Ti l
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
➢ 二阶张量T的矩：
J1 tr(T ) Tii
2
tr(T
T)
T
Ti j
j i
J
3
tr(T
T
T)
T
T T i j k
j k i
11
二阶张量的不变量（代数）
.
➢ 二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
J1 J1
J2
1 2
(J1 )2
J
2
J3
1 6