张量分析——初学者必看课件
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张量分析——初学者必看PPT
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
张量分析TensorAnalysisppt课件
的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi
r xi
zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi
j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk
1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分 量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；
数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件
精选课件 31
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24
张量分析——初学者必看87页PPT
张量分析——初学者必看
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 Nhomakorabea韧勤 勉。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例
在坐标系R′中，
fR u fR u1,u2 u1 cos sin u2 sin cos
一般来说，同一个函数在不同的坐标系中， fR u1,u2,u3
与fR u1,u2,u3 的形式是不同的。
X~ ~
（2）若X=u 为矢量，则
X~ u~ Q u uQT
（3）若X=T 为二阶张量，则 X~ T~ Q T QT
为T 的正交相似张量。上面各式中Q 为任一正交张量。
定···，义Xn一改函为数其旋=转f (X量1，X~1X, 2X~，2,···，, X~Xnn）时，，当函将数自值变 必量相X1，应X地2，变
fR u1,u1,u1 fR u1,u2,u3
若标量函数的表示形式不因坐标系（因而基矢量）的刚性旋 转而改变，则称这样的标量函数为各向同性标量函数。即定 义满足下式：
f u1,u2,u3 f u1,u2,u3
x2
x2′
u2′
F λJ1G 2μ 为Lamé参数，为剪切模量
例3.11 二阶张量T 的二阶张量函数 H
H FT T 2
例3.12 二阶张量T 的二阶张量函数 H
H F T
a0
J1T
,
J
T 2
,
J
T 3
G a1
J1T
,
J
T 2
fR u~1,u~2 fR u1,u1
定义 矢量的标量函数=f (u)，如将自变量u 改为 u~ Q u
(Q 为任意正交张量），函数值保持不变，则称此标量为各向 同性标量函数。
推广至各种张量函数，定义张量X 的旋转量 X~ ：
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6
§ A-1 指标符号 三 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
11 12 13 1 0 0 ij 21 22 230 1 01
31 32 33 0 0 1
ijaj i1a1i2a2i3a3ai
imAmjAij
7
直角坐标系的 基矢量
的分量
一、矢量点积
ei ej ij
14
§A-2 矢量的基本运算 一、矢量点积
A 张量分析
abaiei bjej aibjij
aibi ajbj
二、矢量叉积
ei ej eijkek
15
§A-2 矢量的基本运算
二、矢量叉积
证明
ei ik ek e j jk ek
A 张量分析
i1 i2 i3 ei ej j1 j2 j3
kp kq kr
pk
eijkekqr iq jq
ir jr
iqjr irjq
12
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32 eijka1ia2 ja3k eijkai1aj2ak3
x1 x1cosx2sin x2 x1sinx2cos
附A 张量分析
§ A-1 指标符号
例如, 三维空间任意一点P在笛卡儿坐 标系
x1, x2, x3
用指标符 号表示为
xi, i1,2,3
1
数
a1,a2,a3,,an
x1,x2,x3,,xn
变量
ai,i1,2,,n xi,i1,2,,n
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数 n—维数
2
i1 i2 i3 p1 q1 r1 e e ijk pqr j1 j2 j3 p2 q2 r2
k1 k2 k3 p3 q3 r3
i1p 1 i2p 2 i3p 3 i1p 1 ip
11
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijk 1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等 指标相
e123 e231 e3121 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
奇次置换
9
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义
abc eijk aibjek crer
eijk aibjcrkr
eijk aibjck
ei ej ek eijrer ek
e e ijr rk
Ricci符号
ijk
18
§A-2 矢量的基本运算 四、矢量的并乘(并矢)
A 张量分析
aaiei,bbjej 并乘 abaieibjej aibjeiej
i 11 22 33 3 ik kj ij ij ij i j 3 ij jk kl il a ik kj a ij a ij ij a i a 11 a 22 a 33 a i ij a j e i e j ij
8
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
i1 j1
双重求和
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3
A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
Aijkxi yj zk
代表27项 的和式
4
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11x1 A12x2 A13x3 b1 A21x1 A22x2 A23x3 b2 A31x1 A32x2 A33x3 b3
i1 i2 i3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2
k1 k2 k3 i3 j3 k3
31 32 33 0 0 1 e321 21 22 23 0 1 0 1
11 12 13 1 0 0
10
eijkejikeikjekji eijkejkiekij
aba1b1e1e1a1b2e1e2a1b3e1e3 a2b1e2e1a2b2e2e2a2b3e2e3 a3b1e3e1a3b2e3e2a3b3e3e3
19
§A-3 坐标变换与张量的定义
xxcosysin yxsinycos
A 张量分析
xxcosysin yxsinycos
20
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
§ A-1 指标符号 一、求和约定和哑指标
A 张量分析
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
求和指标 与所用的 字母无关
指标重复 只能一次
指标范围 3
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
33
Aij xi y j
Kronecker-和Ricci符号的关系
ekቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ik j s t is j t jsit
13
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
e1, e2 , e3
a a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 a ie i
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
e1 e2 e3
erstir jset eijt et eijk ek 16
§A-2 矢量的基本运算 二、矢量叉积
A 张量分析
abaiei bjej aibjei ej aibjeijkek eijkaibjek c ck eijkaibj
17
§A-2 矢量的基本运算 三、矢量的混合积
A 张量分析
筒写为 Aijxj bi
j ——哑指标
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式
中必须相同
5
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Kronecker-符号定义
ji
ij
1 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有
11 22 33 1 12 21 23 32 31 13 0