Banach空间中κ-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法
Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近
Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。
不动点迭代总结
非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。
从具体的空间（如pL 空间或pl 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。
可以说成果丰富。
迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。
在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。
下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展一 算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。
2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。
Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理
Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理
卜香娟
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2012(028)003
【摘要】在Banach空间中,利用迭代方法,研究了满足一定条件的序压缩算子的一些性质,获得了一类序压缩映射的不动点定理,证明了相应的结果,推广和改进了原有的结论,使其应用范围更加广泛.
【总页数】9页(P333-341)
【作者】卜香娟
【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127
【正文语种】中文
【中图分类】O177.9
【相关文献】
1.Hilbert空间中一类强伪压缩映射的不动点定理与路径收敛 [J], 周冬梅;何中全
2.Banach空间中一类序压缩算子的不动点定理 [J], 彭荣
3.锥度量空间中一类压缩映射不动点定理 [J], 江秉华
4.Banach空间中α-序压缩映射的不动点定理 [J], 唐宏伟;朱传喜
5.序Banach空间中一类算子的不动点定理 [J], 黄梅娟; 卫亚茹; 王海霞
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Banach空间中几乎渐进拟非扩张型映像的具混合误差的迭代逼近
Banach空间中几乎渐进拟非扩张型映像的具混合误差的迭代
逼近
宋云燕;陈汝栋
【期刊名称】《天津工业大学学报》
【年(卷),期】2005(024)006
【摘要】在Banach空间中引入了一类新的几乎渐进拟非扩张映像,人们熟知的非扩张映像类、渐进非扩张映像类以及渐进非扩张型映像类都是这种映像的特例.本文研究了用于逼近几乎渐进拟非扩张型映像的具混合误差的修改了的Ishikawa迭代序列收敛性问题,并给出了此迭代序列收敛到不动点的充分必要条件.本文的结果推广了Chang S S等人的最新结果.
【总页数】4页(P57-59,63)
【作者】宋云燕;陈汝栋
【作者单位】天津工业大学,理学院,天津,300160;天津工业大学,理学院,天
津,300160
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.几乎渐近拟非扩张型映象具混合误差的迭代逼近问题 [J], 冯先智;倪仁兴
2.Banach空间中的渐近拟非扩张型映象不动点的具混合误差的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
3.渐近拟非扩张型映象不动点具混合误差的迭代逼近 [J], 冯先智
4.Banach空间中渐近拟非扩张型映象不动点的具误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 王绍荣
5.Banach空间中几乎渐近非扩张型映象具混合误差的迭代程序 [J], 姚永红;宋云燕;陈汝栋
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q-一致光滑Banach空间中非扩张映射和伪压缩映射混合迭代算法的强收敛定理
q-一致光滑Banach空间中非扩张映射和伪压缩映射混合迭
代算法的强收敛定理
潘灵荣;潘婵娟
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2024(37)3
【摘要】在q-一致光滑一致凸Banach空间中,研究非扩张映射和伪压缩映射的混合迭代算法,在适当参数控制条件下,证明了由这种新的算法产生的序列强收敛于以上两个映射的公共不动点,且该不动点是一类变分不等式系统的解,所得结果推广和改进了一些最近文献的相应结论.
【总页数】15页(P825-839)
【作者】潘灵荣;潘婵娟
【作者单位】浙江开放大学温岭学院;浙江水利水电学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.q-一致光滑、一致凸Banach空间中关于变分不等式问题和严格伪压缩映射的不动点问题的粘性迭代算法
2.Banach空间中关于非扩张映射的修改的Mann迭代算法的强收敛定理
3.一致光滑Banach空间中Ф-半压缩映射具误差Mann迭代收敛定理的注释
4.q一致光滑Banach空间中非线性Ф-强伪压缩映射和强增生映射
的Ishikawa迭代过程5.q-一致光滑和严格凸的Banach空间中的无穷个严格伪压缩映射的混合迭代算法
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Banach空间中平衡问题与渐进非扩张映像的迭代
Banach空间中平衡问题与渐进非扩张映像的迭代朱寿国【摘要】在Banach空间中,引入了一种混合投影迭代算法用来构造平衡问题与渐进非扩张映像不动点问题的公共元,并利用广义投影算子证明了此迭代算法生成的序列强收敛于这两个问题的公共元.【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2011(011)012【总页数】4页(P25-27,39)【关键词】平衡问题;混合投影迭代算法;广义投影;渐进非扩张映像【作者】朱寿国【作者单位】南京师范大学泰州学院,江苏泰州225300【正文语种】中文【中图分类】O177.91设C是实Banach空间X的非空闭凸子集.对于二元函数f∶C×C→R，考虑下面的平衡问题：寻找z∈C，使得f(z，y)≥0，∀y∈C.用 EP(f)表示平衡问题的解集，即称 T是非扩张映像，如果‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，∀x，y∈C;称T是渐进非扩张映像［1］，如果存在序列{kn}⊂［1，+∞)且=1，使得最近，Xu［2］在Banach空间中利用广义投影关于非扩张映像引入了一个迭代序列，并证明了一些强收敛定理.为寻求非扩张映像的不动点问题和广义平衡问题的公共元，Kamraksa［3］等利用度量投影引入了一个迭代算法，并在适当的条件下证明了此迭代算法生成的序列强收敛于非扩张映像不动点问题和广义平衡问题的公共元.受以上文献的启发，本文在一致凸和一致光滑的Banach空间中，利用广义投影对平衡问题和渐进非扩张映像提出了一种混合投影迭代算法，并在适当条件下证明了由该迭代算法生成的序列强收敛于平衡问题和渐进非扩张映像的公共元.在定理1中取f=0，则有如下定理：定理2 设C为一致凸、光滑Banach空间X的非空有界闭凸子集，T∶C→C是具序列{kn}的渐进非扩张映像，{xn}是由下列算法生成的序列：【相关文献】［1］ Goebel K，Kirk W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings［J］.Proc Amer Math Soc，1972，35(1)：171 －174.［2］ Xu H K.Strong convergence of approximating fixed point sequences for nonexpansive mappings［J］.Bull Austral Math Soc，2006，74：143 －151.［3］ Kamraksa U，Wangkeeree R.Existence and iterative approximation for generalized equilibrium problem for a countable family of nonexpansive mapping in Banach spaces ［J/OL］.Fixed Point Theory and applications 2011，2011：11.doi：10.1186/1687 －1812 －2011 －11.［4］ Alber Y I.Metric and generalized projection operators in Banach spaces：properties and applications［M］.New York：Dekker，1996.［5］ Bruck R E.On the convex approximation property and the asymptotic behaviour of nonlinear contractions in Banach spaces［J］.Israel J Math，1981，38：304 －314. ［6］ Blum E，Oettli W.From optimization and variational inequalities to equilibrium problems［J］.Math Student，1994，63：123 －145.［7］ Takahashi W，Zembayashi K.Strong and weak convergence Theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mapping in Banach spaces［J］.Nonlinear Anal，2009，70：45 －57.。
Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近
Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近
周海云
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1999(20A)003
【摘要】设X为一致光滑的Banach空间，K为X的非空凸子集，T：
K→KLipschitzφ半压缩映象，设和为[0，1]中的实数列且满足一定条件，则Ishikawa迭代序列强收敛于T的唯一不动点。
【总页数】4页(P399-402)
【作者】周海云
【作者单位】石家庄军事工程学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近? [J], 王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明
2.非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义;宋晓光;万美玲;李丹
3.Lipschitz ψ-半压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义
4.非Lipschitz的渐近弱伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 沈霞;孟京华;刘文军
5.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩非自映象不动点的迭代逼近 [J], 张芳;向长合因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近
Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近何晓林【期刊名称】《泸州医学院学报》【年(卷),期】1999(022)006【摘要】目的：研究Ｂａｎａｃｈ空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近。
方法：运用不等式（２．５）分析带有误差项的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列在一定条件下的收敛性。
结果：得到了关于强伴伪压缩多值映象的Ｉｓｈｉｋａｗａ序列收敛于其相关点的一个定理，这一定理抗议了Ｊ．Ｃ．Ｄｕｎｎ等人的结果。
结论：设Ｘ是一致光滑的实Ｂａｎａｃｈ空间，映象Ｔ：Ｘ→２＾ｘ关于ｘ是强半伪压缩的，且Ｒ（Ｔ）＝∪ｘ∈ｘＴｘ有界，又设｛ａｎ｝，｛βｎδ＝「０，１」满足条件αｎ，βｎ→０，（ｎ→∞），∑ｎ＝１＾∞αｎ＝∞；序列｛ｕｎ｝，｛ｖｎ｝，＝Ｘ满足条件∑ｎ＝１＾∞｜｜ｕｎ｜｜〈∞，｜｜ｖａ｜｜→０（ｎ→∞），则发中下定义的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列｛ｘａ｝。
ｘ０∈Ｘｙｎ（１－βα）ｘａ＋βｎξｎ＋ｖｎ，ξｎ∈Ｔｘｎ，ｎ≥０ｘａ＋１＝（１－ａｎ）ｘａ＋ａｎηａ【总页数】4页(P471-474)【作者】何晓林【作者单位】泸州医学院数学教研室【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳2.迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点 [J], 张云艳3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒4.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩型映象不动点的迭代逼近 [J], 谷峰;韩旸;刘彩平5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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２ １ 拄 ０ ２
河北大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ｉＵｎ ｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＨｅ ｅ ｉ ｅｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） Ｓ
２ ２ ０１
第３ ２卷
第 ２期
Ｖｏ． Ｏ １ ３２ Ｎ ．２
（） ４ ２ ｏ ｘ， ） ｏ（ ２ ＋ ｏ ｚ ） ２ — ｚ ． 一 ． ． ） （ 一 ｘ， ） （， ＋ ＜ ，２ ， ， ＞
定义 ２１ 设 Ｘ 是 实 自反 、 ＿ ］ 光滑 、 严格 凸 的 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， Ｃ是 Ｘ 中的一 个非 空 闭凸 子集 ， 义投 影算 子 广
Ｉｃ ＋ ｐ Ｉｃ ） ｏ ｙ， ， Ｃ． Ｉｚ） （Ｉｚ， ≤ （ ） ｙ∈
引理 ２７ 设 Ｘ 是 自反 的严格 凸且 光滑 的 Ｂ ｎ ｃ ＿ ］ ａ ａｈ空 间 ， Ｃ是 Ｘ 中的非空 闭 凸子 集 ， ∈Ｃ， 。 ｚ∈Ｘ， 。 ｚ一 Ｉ （ 当且仅 当 （ ｏ ， —Ｊ ０ ≥Ｏ Ｙ∈Ｃ Ｉ ） ｃ ｚ— Ｊ ＞ ， ．
可 得 ， ， ｙ 一 Ｉ２Ｉ 一 【 。 （ Ｊ ） １７Ｉ ． 。 ｌ ｌ Ｉ Ｙ 定 义 ３ ］ 称 Ｔ： — Ｃ为渐 近 ｋ一 伪压 缩映像 ， 果 Ｖｚ ［ Ｃ 拟 如 ∈Ｃ， ∈Ｆ（ ≠ ， １ ｌ ， Ｅ（ ， ） ｐ Ｔ） 电 ≥ ， ｍｋ 一１ ｋ Ｏ １ ｉ
在 文献 ［］ １ 的基础 上 ， 引进 Ｋ 渐近拟 伪压 缩算 子 ， 修 正 了迭 代算 法 ， 明 了在 自反 的 、 ＿ 并 证 严格 凸 、 滑 的 光
Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间中 ， 近拟伪压 缩 映像不 动点迭 代算 法的强 收敛定 理． 渐
１ 预备 知 识
Ｆ（ 一 ｛ 丁） ｚ∈Ｘ： 工：ｚ） 示 映 像 的 不动 点 集 ， “ ＋ 和 “ 丁 表 用 二 ” — ” 别 表示 序 列 的“ 收 敛 ” 强 收 分 弱 与“ 敛 ” ｘ 为 Ｘ 的对偶 空 间 ， ． 正规 对偶 映像 ．： ２ 定义 为 ： ， Ｘ一 Ｊ ｚ ： ｛∈Ｘ ： Ｊ ： Ｉ 。 Ｉ 。 ， ２ （） （ ＞ Ｉ Ｉ 一 ｌ Ｉ ｝ Ｖ．∈Ｘ． ， ｌ Ｉ ｚ 【 Ｊ ７ （） ２
ｉｅ ａ ｉ ｌ ｏｒｔ ｔ ｒ ｔｏｎ ａ ｇ ｉｈｍ ｏｒｆｘ ｄ ｐ ｎ ｓ ｏ － ｓ ｍ ｐｔ ｉａ ｌ ａ ｉｐ ｅ ｄ — ｏｎ ｒ ｃ ｉ ｎ ｍ ａ ｐ ｎｇ ｉ ｎ ｃ ｐａ ｅ ｆ ｉ ｅ ｏｉ ｔ ｆｋ ａ ｙ ｏｔｃ ｌｙ ｑｕ ｓ ｓ ｕ ｏ ｃ ｔ ａ ｔｏ ｐ ｉ ｎ Ｂａ ａ ｈ ｓ ｃ ｓ ｉ ｒ ｏｓ ｄ，ｔ ｎ ａ ｓ ｒ ｎ ｏｎ ｒ ｎ ｅｔ ｏｒ ｍ ｓｐｒ ｖｅ ｙ ｕｓｎ ｈ ｓ ｐ ｏｐ ｅ ｈｅ ｔ ｏ ｇ ｃ ｖｅ ｇｅ ｃ ｈｅ ｅ ｉ ｏ ｄ ｂ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍｏｄ ｆｅ ｌ ｒｔ ｍ ．Ｔｈ ｏ ｎ ｒ — ｉｉｄ ａ ｇｏ ｉｈ ｅ ｋｎ ｗ ｅ ｌｔ ｄ ｒ ｓ ｔ ｒ ｘｔ ｎｄ ｄ ａ ｅ ｅ ｕｌｓａ ｅ ｅ ｅ ｅ ．
ｎ — － 。 。
满足 ：
（ Ｐ， ） 走 （ ， ＋ｋ （ ≤ Ｐ ） ｏ ｘ， ） ． （） ５
当ｋ 一０时 ， Ｔ为渐 近拟 非扩 张映 像．
性质 （ 称 空间 Ｘ 满足性 质 （ ， Ｋ） Ｋ） 如果 Ｖ｛ ｝ ＣＸ， ∈Ｘ， ｚ － ｚ 并且 Ｉ ｌ 当 ＿ ， ＝ Ｉ ｌ 一
注１ ［ 在 自反 的 、 滑 的 Ｂ ｎ ｃ 间 Ｘ 中 ， ： ２ 映像 为单值 的 、 光 ａ ａｈ空 ． Ｘ一 ， 次连续 的满值 映像． 定 义 １３ 设 Ｘ 是实光 滑 的 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ＿ ］ ａ ａｈ空 Ｃ是 Ｘ 的非 空闭 凸子集． 义泛 函 定 ｏ ｘ， 一 Ｉ 。 （ Ｊ ） ｌ ， Ｙ∈Ｘ． （ ） Ｉ Ｉ 一２ ， ｙ ＋ ｌ Ｉ Ｚ， Ｉ ｚ ｌ ｙ 根据 的定义 ， 以得 到 以下结论 ： 可 １ （１ — ｌ ）≤ｏ ｘ ） （１ ） Ｉ ｌ ＿ Ｉ。 （， ≤ Ｉ ｌ ｚ Ｙ Ｊ ＋ ｌ ）； Ｉ ｌ Ｉ。 Ｙ （） ３
２ 主要 结 果
定 理 ２ 设 Ｘ 是 自反 的严 格 凸且光 滑 的 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， 并且 空 间 Ｘ 和 ｘ 满 足性 质 （ ， 是 Ｘ 中的非 Ｋ） Ｃ 空闭 凸子集 ， ｃ Ｔ： —Ｃ为 闭的渐 近 是 拟 伪压缩 映像 ， 一 假设 Ｆ（ 是有 界的 ， Ｆ（ ≠ ， Ｔ） 且 Ｔ） 构造下 列迭代 算 法 ：
・１ ５ １ ・
其 中 是 ≥０ ｌ １ 一 ， ｍｋ 一 ， ｉ 收敛 于 Ｐ 一Ⅱ （ ） 。 Ｆ 。．
Ｍ ｖ 丁） （ ， ） ， ＥＦ（ ， ｚ ≤ ， ∈ （ ， ） 则 由式 （ ） 产 生 的序 列 ｛ 强 ｋ ０１． ６所 ｚ）
分 ７步完 成定 理 的证 明． 第 １步 ： Ｆ是 闭 凸的．
第 ３ 卷 ２
定 理 １ 设 Ｘ 是 自反 的严格 凸并且 光 滑 的 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， 间 Ｘ 及 其 对偶 空 间 Ｘ 都 具 有性 质 （ ， 空 Ｋ） Ｃ 是 Ｘ 的非空 闭 凸子 集． Ｃ Ｔ： —Ｃ为严 格拟伪 压缩 映像． ｚ ） ｛ 由迭代格 式 （ ） １ 生成 ， 中 ｋ ０ １ ， 序列 ｛ 其 ∈［ ， ） 则 ｚ） 强收敛 到某 一点 Ｐ ＝ｎ ｃ ｚ ） ｏ ｎ（ ｏ．
第一作者 ： 陈东 青 （９ ２一 ， ， 宁 锦 县 人 ， 械 工 程 学 院 副 教授 ， 要 从 事 非 线 性 泛 函分 析 研 究 １６ ）男 辽 军 主
Ｅ —ｍ ａｌｌ ｌｈ ｎ ２ ０ ＠ ｓ ｈ ． ｏ ｉ：ｉ ｉｏ ｇ ０ ３ ｏ ｕ ｃ ｍ ｕ
河 北 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
ｃ ｎ ｒ ｃｉｎ ｍａ ｉ ｇ ｉ ｎ ｃ ｐ ｃｓ ｏ ｔ ａ ｔｏ ｐｐ ｎ ｎ Ｂａ ａ ｈ ｓ ａ ｅ
ＯＨＥ Ｄｏｎ ｑｉｇ，ＨＥ Ｂｉ ＬＩ — ｏ ｇ Ｎ ｇ— ｎ ｎ， Ｕ Ｌｉｈ ｎ
（ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｓｃＣｏ ｒｅ ，Ｏｒ ｎ ｎ ｅＥｎ ｉｅ ｒｎ ｌｅ ｅ ｈｊ ｚ ｕ ｎ ５ ０ ３ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＢａ ｉ ｕ ｓ ｓ ｄ ａ ｃ ｇｎ ｅ ｉｇ Ｃｏ ｌｇ ，Ｓ ｉ ａ ｈ ａ ｇ ０ ０ ０ ，Ｃｈｎ ） ｉ ｉａ
工 ｉ— Ｏ Ｉ ．
ｌ时 ， ｌ ｌ 有 Ｉ 一 Ｘ
注 ４ 关 于性质 （ 的更 多 内容 ， 详见参 考文 献［ ］ Ｋ） 可 ６．
引理 １７ 设 Ｘ 是 自反 的严格 凸且 光滑 的 Ｂ ｎ ｃ Ⅲ ］ ａ ａｈ空 间 ， Ｃ是 Ｘ 中的非 空 闭凸子集 ， ∈Ｘ， 足 ｏ ｙ Ｖ 满 （，
ｚ ∈ Ｃ， 。
Ｃｌ Ｃ ， —
Ｘｌ ｍ ． 。 ， — （ ）
（） １
ｃ ｛Ｃ 一 ｌ ｆ
ｚ ＋ 一皿 （ ｏ ， １ Ｘ ）
） Ｘ ｇ，～ ） ≤ 一（－￣ Ｊ ｌ ｌ ｎ ． ｚ ｆ ，
并 且证 明了下面 的强 收敛 定理 ．
收 稿 日期 ：０ １ ０ —１ ２１ — ９ ０ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （１ ７ ０ ３ ； 械 工 程 学 院基 金 项 目（ ＪＸ ｌＯ ３ １０ １５ ）军 Ｙ Ｊ Ｍ ｌ０）
首先 ， 设序 列 ｛ Ｃ Ｆ（ ） 且 Ｐ 一 （ Ｐ｝ 丁， —ｃ ） 由于 丁是 ｋ一 近拟伪 压缩 映像 ， ×， ３ 渐 故
Ｏ（ Ｔ＇ ≤ 志０（ ， ＋ｋ （ Ｐ ， ｐ） ） ｏ ｐ， ） ． ＞ 尼 （ ， ＋ ｋ （ Ｔ＂ ． ≤ ） ｏ ｐ， ｐ）
ｚ０ Ｃ， ∈
Ｃ１ Ｃ， ：
ｚ ： Ⅱｃ （ 。 ， ： ｚ ） ＝
（） ６
ｃ
ｚｎ ＋１
ｃ （
（ ）， ｚｏ
≤
（一 ｚ～
一． ，
＋
第 ２期
陈 东青 等 ： ａａｈ空 间 中 一 近 拟 伪 压 缩 映 像 不 动 点 的迭 代 算 法 Ｂ ｎｃ 渐
再 由式 （） ４ 得
Ｏ ｐ ， ４ Ｏ（ 户） ２ 一Ｐ， Ｐ— Ｊ （ ） － Ｐ， ＋ ＜ Ｊ
化 简 可得
，
） ≤
（ 户～Ｐ ， Ｐ一． Ｊ ，
） ＋
） ，
上式两边 同时取极限 ， 由于 Ｆ是有界的 ， 则定义的泛函 亦有界 ， 因此 （ ， 是 一有界泛 函， 而 ） 从 ） ． 一ｏ 由于 ： —Ｘ 是单值的、 次连续 的， ｛ Ｔ ｐ｝ 故 Ｊ ＂ 是有 界 的． Ｐ 一 （一 。 ） 及 ｛ 由 。，
Ｂ ｎｃ 间中 一 ａａｈ空 渐近拟伪压缩 映像不动点 的迭代算法
陈东 青 ， 斌 ， 立 红 何 刘
（ 械工程学院 基础部 ， 北 石家庄 军 河 ０００） ５ ０ ３
摘 要 ： 在严 格拟 伪压 缩 映像 不 动点 的迭代 算 法基础 上 ， 出 了 Ｂ ｎ ｃ 给 ａ ａ ｈ空 间 中渐近 忌拟 伪 压缩 映像 不 一 动 点 的迭 代 算法 ， 改进 了算 法 ， 并证 明 了一 个强 收敛 定理 ， 扩展 了已知 的相 关 结果．
Ｋｅ ｏｄ ：Ｂ ｎ ｃ ｐ ｃｓ 一ｓ ｍｐ ｏｉ ｌ ｕ ｓ ｐ ｅ ｄ —ｏ ｔａｔ ｎ ｍａ ｐｎ ：ｇ ｎ ｒ［ ｅ ｙ ｒ ｙ ｗ ｒ ｓ ａ ａｈ ｓ ａｅ ；是ａ ｙ ｔｔ ａｌ ｑ ａ ｉ ｓｕ ｏｃ ｎｒｃｉ ｐ ｉｇ ｅ ｅａｉ ｄ ｈ ｂ ｉ ｃ ｙ ｏ ｚ ｄ
Ⅱ ： — Ｃ定 义 为 ： ｃ ｚ ＝ ｛ ∈Ｃ： （ ０ ｚ 一 ｍｉ（ ， ）２ ｃｚ Ｉ （ ） ０ Ｉ ｏｘ ， ） ｎ ２ ｚ ， ∈Ｃ｝ ．