第三章 正规子群和群的同态与同构

第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
结论3 设ϕ：G → G是群同态映射，那么必存在唯一的群同态 映射σ ：G / Kerϕ → G，使三角图转换（ϕ = στ），其中τ 是自 然同态，且σ 必是单同态，而且σ 是满射 ⇔ ϕ是满射。
G
ϕ
G
τ
σ
G / Kerϕ
推论1
设G和G为两个有限群，如果G ∼ G，则 | G | | G | 。
(G, ) 是群。
则ϕ a） （a除以4的余数）是G → G同态映射，所以 （ =r
(2)定理1中条件部分满足时，结论不成立
例2 定理中的满射不可以去掉：G = (Q + , ×)为一个群; G = (2 Z + , ), a b = 2是一个半群，则ϕ ( x) = 2是 一个 G → G （非满射）同态映射，但(G, )是群， (G, )不是群。
H ≤G
事实上，设H ≤ G，则下面条件等价：
(1) aH = Ha, ∀a ∈ G； −1 ( 2 ) aHa = H ∀a ∈ G； ( 3) aHa −1 ⊆ H ∀a ∈ G； 4 ) aha −1 ⊆ H ∀a ∈ G, ∀h ∈ H (
例2 考虑：∀a ∈ S n , ∀x ∈ An , axa −1是一个偶排列，所以 axa −1 ∈ An，于是An Sn
结论1
设ϕ : G → G是群同态映射，那么 Kerϕ G , Im ϕ ≤ G。
结论2
设ϕ : G → G是群同态映射，那么
ϕ是单同态 ⇔ Kerϕ = {e}。
二 自然同态 群的同态基本定理（FHT）
定理1 设G为群，N 为G的任一正规子群，那么必有群同态满射
τ : G → G / N，其中τ ( x) = xN , ∀x ∈ G。
称上述二式为陪集的乘法。
结论
陪集的乘法是全体陪集上的一个代数运算。
定理4 设G为群，N
G。则N的全体陪集关于陪集的乘法
做成一个群，记为G / N。
注：
(1) ∀m ∈ Z , a ∈ G, (aN )m = a m N；
| ( 2 )由Lagrange定理，G |< +∞，当N G时，G / N |= | |G| = [G : N ]； |N|
定理3
同态映射ϕ : G → G为单射 ⇔ ϕ (e ) = {e}。
－1
三 应用举例
例5 证明不循环群6阶群G一定满足G ≅ S3。
作
业
P86：习题3.1, Ex.1,3
§2正规子群和商群
(Normal Subgroups and Quatient groups)
一 正规子群
1．定义
设N ≤ G，如果∀a ∈ G, aN = Na，则称N 为G 的一个正规子群。
2．简单性质
(1) ∀群G,{e}和G都是它的平凡正规子群； ( 2 ) 如果N G, N ≤ H ≤ G, 则N H； ( 3) 如果G是交换群，则∀H ≤ G，H G； ( 4 ) 如果G是群，则∀H ≤ C (G )，H G
例1 在S3中，N = A3 = ((123)) = {(1), (123), (132)}, N S3的正规子群。
均不是单群，但n ≥ 5时，为An单群。
定理 n ≥ 3, n ≠ 4, An是单群。
推论
S n只有一个非平凡正规子群An
定理 6 有限交换群是单群的充分必要条件是 它是素数阶群。
作 业：
P95：习题3.2 1，3－4，6－7 （2，5作为例题讲解）
§3群同态基本定理
（The Elementary Theorem of Group Homomorphism)
定理1 设σ ：G → G是群同态满射，Kerϕ ⊆ N 则 G/N ≅G/N
推论 （第一同构定理）设H G且K G，若K ≤ H，那么 G/H ≅G/K H /K 若K 和H中没有包含关系，则 G / HK ≅ G / H
G, N = ϕ ( N )，
(G / HK ≅ G / K HK / K ) HK / H
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。Biblioteka 二1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
2 子群在同态映射下的象与原象
定理2
设ϕ : G → G是一个同态映射，则 满同态映射；
(1) H ≤ G时，H ϕ(H ) ≤ G；ϕ |H : H → ϕ(H )为
2 ) H ≤ G时，ϕ −1(H ) ≤ G; ϕ |ϕ −1(H ) : ϕ −1(H ) → H 为 ( 同态映射。
3 单射同态的判定
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
( 3) 在上述讨论中，如果为加群，则符号要做相应的改变，即从 " aN "
变为" a + N "
2．商群的应用
定理5 G为pn阶交换群，p是素数，则G有p阶元素，从而 有p阶子群。 注：G为非交换群时，定理5仍成立。 推论 pq ( p < q, 素数)阶交换群必为循环群。
三
3.1 Hamilton群
ϕ −1[ϕ ( H )] = H
定理4 设σ ：G → G是群同态映射，K = Kerϕ，则G的所 有包含K的子群和 G的子群之间存在着一个保持包 含关系的双射f .
作
P100,习题3.3: 1－5.
业
§4群的同构定理
（The Theorem of Group Isomomorphism)
一 群的第一同构定理
二 群的第二同构定理
定理2 （第二同构定理） 设H ≤ K 且K G，那么
(1) H ∩ K H ( 2 ) HK / K ≅ H /( H ∩ K )
例2 证明S 4 / K 4 ≅ S3
三 群的第三同构定理
定理3 （第三同构定理） 设G是群，N G, H ≤ G / N，那么
(1) 存在G的唯一子群H ⊇ N , H = H / N ( 2 )当H G / N时，有唯一的H G, H = H / N ,
例4 设两个群( Z , + )和( Z , )，其中： Z = { , −3, −2, −1, 0,1, 2,3,
ϕ
, Z = 10n n ∈ Z }
= { ,10−3 ,10−2 ,10−1 ,100 ,101 ,102 ,103 , Z ≅ Z。
{
}，
}
注：两个群( Z , + ), ( Z , )没有实质性差异，其中一个是另 一个以不同符号和名称实现出来的结果。
S3，
但是H1 = {(1), (12)} ≤ S3，(13)H1 ≠ H1(13)，所以H1不是
命题1 如果H ≤ G且[G : H ] = 2，则H
G。
更一般地，在S n中， n : An ] = 2 ⇒ An [S
Sn
3．正规子群的判定
定理1 设G是一个群，N ≤ G，则 N 注： 定理1可改为：设G是一个群，N ≤ G，则 N G ⇔ ∀a ∈ G, ∀x ∈ N , axa −1 ⊆ N G ⇔ ∀a ∈ G, aNa −1 ⊆ N
例3 在S 4中，K 4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}， K4 S4
问题： 已知“子群”的概念具有传递性—N ≤ H , H ≤ G ⇒ N ≤ G， 那么“不变子群”是否也具有传递性？即若N ⇒N
?
H 且H
G
G
4. 同态映射下的正规子群
定理2 设ϕ : G ∼ G，则 (1) N
注：
定理1变形：设ϕ是代数体系(G, )到代数体系(G, )的同态映 射（不一定满射），设G = ϕ (G ) = {ϕ (a ) ∀a ∈ G}是G在ϕ下 的像的集合，那么ϕ 就是(G, )到(G, )的同态满射。
(4) (G, )和(G, )均为代数系统，G ≅ G，则(G , )为群时， (G, )也为群。
(5)
结论1：设ϕ : G → G是群同构映射，那么ϕ的逆映射
ϕ −1 : G → G也是群同构映射。 结论2：设ϕ1 : G1 → G2 , ϕ2 : G2 → G3都是群同构映射， 那么ϕ2ϕ1 : G1 → G3也是群同构映射。
结论3：在群之间的同构“ ≅ ”做关系时，“ ≅ ”必是 一个等价关系。
注：
τ → 1) 上述同态满射x ⎯⎯ xN 称作群的自然同态； (
( 2)由定义1知，自然同态G ~ G / N的同态核：Kerτ = N。
τ
定理2 （同态基本定理）设G和G是同态的群：G ~ G， 则N = Kerϕ G且G / N ≅ G