云南省开远市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
云南省开远市2017-2018学年下学期期中考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．若集合A={x∈Z|﹣2＜x＜2}，B={x|y=logx2}，则A∩B=（）2A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{1} D．{0，1}2．若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4 B．2 C．D．4．将函数y=的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．5．已知λ∈R，向量，则“λ=3”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件6．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0 时，则输出的i=（）A．6 B．5 C．4 D．37．若等比数列{a n }，前n 项和S n ，且a 2a 3=2a 1，为a 4与2a 7的等差中项，则S 4=（ ） A ．29 B ．30 C ．31 D ．338．甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ） A ．210 B ．84 C ．343 D ．3369．已知函数f （x ）=log 3|x ﹣t|是偶函数，记则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 10．如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A ．π+B ． +4C ．π+D ．π+411．已知数列{a n }为等差数列，满足，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2018的值为（ ）A ．B ．2017C ．D ．201812．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），满足f′（x ）＜f （x ），且f （﹣x ）=f （2+x ），f （2）=1，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（2，+∞） C ．（1，+∞） D ．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13．已知x ，y 满足约束条件，求z=（x+1）2+（y ﹣1）2的最小值是 ．14．的展开式中，x 2项的系数为 ．（用数字作答）15．已知双曲线与的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（双曲线的焦距2c），则该双曲线的离心率为．16．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为．三．解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分，写出证明过程或演算步骤）17．在公差不为零的等差数列{an }和等比数列{bn}中．已知a1=b1=1．a2=b2．a6=b3（1）求等差数列{an }的通项公式an和等比数列{bn}的通项公式bn；（2）求数列{an •bn}的前n项和Sn．18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．19．如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1=90°，BB1∥CC1，CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中点．四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1﹣CC1﹣A为120°．（1）若点E是线段A1B1上的动点，求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．20．现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．21．已知椭圆A，B满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣ax+a（a为常数，且为正实数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．云南省开远市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）x2}，则A∩B=（）1．若集合A={x∈Z|﹣2＜x＜2}，B={x|y=log2A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{1} D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x∈Z|﹣2＜x＜2}={﹣1，0，1}，x2}={x|x2＞0}={x|x＜0或x＞0}，B={x|y=log2∴A∩B={﹣1，1}．故选：A．2．若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求出z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解依题意得：，∴的共轭复数．故选：D．3．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4 B．2 C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：抛物线方程化为，∴，∴焦点到准线距离为，∴，故选D．4．将函数y=的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），由于m＞0，则m的最小值为．故选：A．5．已知λ∈R，向量，则“λ=3”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：由⇒λ（λ﹣1）﹣6=0，解得λ=3或﹣2．∴“λ=3”是“”的充分不必要条件．故选；B ．6．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0 时，则输出的i=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【考点】EF ：程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b ，i 的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0， i=1，不满足a ＞b ，不满足a=b ，b=8﹣6=2，i=2 满足a ＞b ，a=6﹣2=4，i=3 满足a ＞b ，a=4﹣2=2，i=4不满足a ＞b ，满足a=b ，输出a 的值为2，i 的值为4． 故选：C ．7．若等比数列{a n }，前n 项和S n ，且a 2a 3=2a 1，为a 4与2a 7的等差中项，则S 4=（ ） A ．29 B ．30 C ．31 D ．33【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合．【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 2a 3=2a 1，为a 4与2a 7的等差中项，可得a 1q•a 1q 2=2a 1，2×=a 4+2a 7=a 1q 3+2a 1q 6，解得q=，a 1=16，则S 4===30．故选：B ．8．甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ） A ．210 B ．84 C ．343 D ．336【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．故选：D ．9．已知函数f （x ）=log 3|x ﹣t|是偶函数，记则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 【考点】3L ：函数奇偶性的性质．【分析】由f （x ）为偶函数，可得t=0，讨论x ＞0时，f （x ）递增，化a=f （log 0.30.25），运用指数函数和对数函数的单调性，比较π 1.5、2、log 0.30.25的大小，即可得到a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：函数f（x）=log3|x﹣t|是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），即log3|﹣x﹣t|=log3|x﹣t|，即有|﹣x﹣t|=|x﹣t|恒成立，可得t=0，则f（x）=log3|x|，当x＞0时，f（x）=log3x为增函数，a=f（log0.34）=f（log0.30.25），c=f（2﹣t）=f（2），由1＜log0.30.25＜2，π 1.5＞π＞3，即有π 1.5＞2＞log0.30.25，则f（π 1.5）＞f（2）＞f（log0.30.25），即为b＞c＞a．故选：A．10．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．π+B． +4 C．π+D．π+4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．则体积V=+=．故选：A．11．已知数列{an}为等差数列，满足，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an }的前n项和为Sn，则S2018的值为（）A．B．2017 C．D．2018【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出a 3+a 2016=1由数列{a n }是等差数列，能求出{a n }的前2018项和．【解答】解：∵数列{a n }为等差数列，满足，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点， ∴a 3+a 2016=1∵数列{a n }是等差数列， ∴{a n }的前2018项和：S 2018=（a 1+a 2018）=（a 3+a 2018）=．故选：C ．12．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），满足f′（x ）＜f （x ），且f （﹣x ）=f （2+x ），f （2）=1，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞）B ．（2，+∞）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】令g （x ）=，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g （0）=1，即可得出．【解答】解：令g （x ）=，则g′（x ）=，∵f′（x ）＜f （x ），∴g′（x ）＜0． ∴g （x ）在R 上单调递减． ∵f （﹣x ）=f （2+x ）， ∴f （x+1）=f （﹣x+1）， ∴函数关于x=1对称， ∴f （0）=f （2）=1， 原不等式等价为g （x ）＜1，∵g （0）==1．∴g （x ）＜1⇔g （x ）＜g （0）， ∵g （x ）在R 上单调递减，∴x＞0．∴不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13．已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y﹣1）2的最小值是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义以及距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，1）的距离的平方，由图象知，D到直线AB：x﹣y+1=0的距离最小，此时d==，则z=d2=（）2=，故答案为：．14．的展开式中，x2项的系数为﹣20 ．（用数字作答）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T=•x5﹣r•（﹣1）r，r+1令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．15．已知双曲线与的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（双曲线的焦距2c），则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求得a与b的关系，利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x﹣c）2+y2=4a2的圆心（c，0）到双曲线的渐近线的距离为： =b，∵渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦长为2b，∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e==．故答案为：．16．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为8 ．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可．【解答】解：设AB，AC，AD分别为a，b，c，则三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，∴a2+b2+c2=16，S=（ab+bc+ac）≤（a2+b2+c2）=8，故答案为：8．三．解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分，写出证明过程或演算步骤）17．在公差不为零的等差数列{an }和等比数列{bn}中．已知a1=b1=1．a2=b2．a6=b3（1）求等差数列{an }的通项公式an和等比数列{bn}的通项公式bn；（2）求数列{an •bn}的前n项和Sn．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出等差数列{an}的公差和等比数列{bn }的公比，由此能求出等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式．（2）由an •bn=（3n﹣2）•4n﹣1，利用错位相减法能求出数列{an•bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{an }和等比数列{bn}中．a1=b1=1，a2=b2，a6=b3，∴，且d≠0，解得d=3，q=4，∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，bn=q n﹣1=4n﹣1．（2）由（1）得an •bn=（3n﹣2）•4n﹣1，∴Sn=1•40+4×4+7×42+…+（3n﹣2）•4n﹣1，①4Sn=4+4×42+7×43+…+（3n﹣2）•4n，②①﹣②，得：﹣3Sn=1+3（4+42+43+…+4n﹣1）﹣（3n﹣2）•4n=1+3×﹣（3n﹣2）•4n=﹣3﹣（3n﹣3）•4n．∴Sn=1+（n﹣1）•4n．18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．19．如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1=90°，BB1∥CC1，CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中点．四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1﹣CC1﹣A为120°．（1）若点E是线段A1B1上的动点，求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示，连接B 1D ，DA 1．由已知可得四边形B 1BDC 是平行四边形，B 1D ∥BC ，可得B 1D ∥平面ABC ．同理可得：DA 1∥平面ABC ．可得平面B 1DA 1∥平面ABC ；即可证明DE ∥平面ABC ．（2）作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设平面ABC 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），则，可得．设平面A 1ACC 1ABC 的法向量为=（x 2，y 2，z 2），则，可得．利用=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接B 1D ，DA 1．由已知可得：，∴四边形B 1BDC 是平行四边形，∴B 1D ∥BC ， 而BC ⊂平面ABC ，B 1D ⊄平面ABC ； ∴B 1D ∥平面ABC ．同理可得：DA 1∥平面ABC ．又A 1D ∩DB 1=D ， ∴平面B 1DA 1∥平面ABC ；DE ⊂平面B 1DA 1； ∴DE ∥平面ABC ．（2）解：作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则C 1（0，0，0），A 1（，﹣1，0），B （0，2，1），C （0，0，2），A （，﹣1，1），=（，﹣1，﹣1），=（0，2，﹣1），=（0，0，2）．设平面ABC 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），则，即，取=（，1，2）．设平面A 1ACC 1ABC 的法向量为=（x 2，y 2，z 2），则，即，取=（1，，0）．∴===．∴二面角B ﹣AC ﹣A 1的余弦值是．20．现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动． （1）求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率；（2）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E （ξ）．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i （i=0，1，2，3，4），故P （A i ）=（）i （）4﹣i ．由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i （i=0，1，2，3，4），故P （A i ）=（）i（）4﹣i ．∴这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P （A 2）=．（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P （ξ=0）=P （A 2）=，P （ξ=2）=P （A 1）+P （A 3）=，P （ξ=4）=P （A 0）+P （A 4）=，∴ξ的分布列是：数学期望E ξ=0×+2×+4×=．21．已知椭圆A ，B 满足：过椭圆C 的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在直线y=2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过椭圆C 的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设点A ，B 的坐标分别为（t ，2），（x 0，y 0），由OA ⊥OB 知tx 0+2y 0=0，再由=4，利用基本不等式能求出线段AB 长度的最小值．【解答】解：（1）设椭圆的短轴端点为（0，﹣b ）（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率k==tan=1，∴，又，∴a=2，∴C 的方程为．…（2）设点A ，B 的坐标分别为（t ，2），（x 0，y 0），其中x 0≠0，∵OA ⊥OB ，∴ •=0，即就是tx 0+2y 0=0，…解得t=﹣．又=4，∴|AB|=（x 0﹣t ）2+（y 0﹣2）2=（）2+（y 0﹣2）2=+4（0＜x 0≤4），…∵≥4，（0＜x 0≤4），且当，即=4时等号成立，所以线段AB 长度的最小值为4．…22．已知函数f （x ）=（x+1）lnx ﹣ax+a （a 为常数，且为正实数）． （1）若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （2）若不等式（x ﹣1）f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数f （x ）的导数，问题转化为a ≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a ＞0），令g （x ）=lnx++1，（x ＞0），根据函数的单调性求出a 的范围即可； （2）当0＜a ≤2时，由（1）知不等式（x ﹣1）f （x ）≥0恒成立．若a ＞2，f′（x ）=，设p （x ）=xlnx+（1﹣a ）x+1，利用p′（x ）=lnx+2﹣a 可得到p （x ）单调性，从而得到f （x ）单调性，即可求出符合条件的a ．【解答】解：（1）解：（1）f （x ）=（x+l ）lnx ﹣ax+a ，f′（x ）=lnx++1﹣a ，若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，则a ≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a ＞0），令g （x ）=lnx++1，（x ＞0），g′（x ）=，令g′（x ）＞0，解得：x ＞1，令g′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1， 故g （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）=g（1）=2，故0＜a≤2；min（2）当0＜a≤2时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（1）=0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立．若a＞2，f′（x）=，设p（x）=xlnx+（1﹣a）x+1，p′（x）=lnx+2﹣a=0，则x=e a﹣2，当x∈（1，e a﹣2）时，p（x）单调递减，则p（x）＜p（1）=2﹣a＜0，即f′（x）=＜0，∴当x∈（1，e a﹣2）时，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0．此时（x﹣1）f（x）＜0，不符合题意．∴a的取值范围为（0，2]．。
云南省昆明市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
云南省昆明市2017-2018学年下学期期中考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12题，每题5分，共60分）1．已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（CUB）=（）A．[1，2] B．（1，2）C．（1，2] D．[1，2）2．（5分）（2014长安区校级三模）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．603．（5分）（2011重庆三模）条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知f（1）=1，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=7，f（5）=11，…，则f（10）=（）A．28 B．76 C．123 D．1995．（5分）（2013乌鲁木齐一模）复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）6．（5分）（2016山西模拟）曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=07．（5分）（2016春玉溪校级期中）等差数列{an }的前n项和为Sn，a7+a8+…+a11=35，则S17的值为（）A．117 B．118 C．119 D．1208．（5分）（2016湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π9．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知函数f（x）=x+x3+x5，x1，x2，x3∈R，x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定小于0 B．一定大于0 C．等于0 D．正负都有可能10．（5分）（2015太原一模）已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．6C．D．211．（5分）（2016春玉溪校级期中）在等比数列{an }中，a1+a2+…+a6=10，，则a1a2…a6=（）A．2 B．8 C．D．12．（5分）（2014嘉兴一模）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若≥，则λ的取值范围是（）A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，]二、填空题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值是．14．（5分）（2014赤峰模拟）在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y=围成的区域内（阴影部分）的概率为．15．（5分）（2010春高淳县校级期末）已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x ﹣4）=﹣f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，则f （﹣25），f （80），f （11）的大小顺序是 ．16．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好在以F 2为圆心，|OF 2|（O 为坐标原点）为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共有6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2007秋海淀区期末）已知函数f （x ）=cos 2x+2sinxcosx ﹣sin 2x ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若且a 2=bc ，试判断△ABC 的形状．18．（12分）（2016春玉溪校级期中）已知数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=（n ∈N *）．（1）求a 2，a 3，a 4；（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（12分）（2015福安市校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）如果如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．20．（12分）（2015重庆模拟）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）（2016陕西校级一模）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．22．（10分）（2014福州一模）在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ，直线l 的参数方程为：（t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若P （﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．云南省昆明市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12题，每题5分，共60分）1．已知全集U=R ，设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（C U B ）=（ ）A ．[1，2]B ．（1，2）C ．（1，2]D ．[1，2） 【分析】由题意求出A ，求出C U B ，然后求出A∩（C U B ）．【解答】解：集合A={x|y=ln （x ﹣1）}={x|x ＞1}，C U B={x|x ＜2}， A∩（C U B ）=）}={x|x ＞1}∩{x|x＜2}={x|1＜x ＜2}，故选B ．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意补集的运算，是解题的关键．2．（5分）（2014长安区校级三模）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．3．（5分）（2011重庆三模）条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知中条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，我们可以求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q是p的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案．【解答】解：∵条件p：a≤2，∴P=（﹣∞，2]∵条件q：a（a﹣2）≤0，∴Q=[0，2]∵Q⊊P∴q是p的充分不必要条件根据互为逆否的两个命题真假性一致可得￢p是￢q的充分不必要条件故选A【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q与p之间的关系是解答本题的关键．4．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知f（1）=1，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=7，f（5）=11，…，则f（10）=（）A．28 B．76 C．123 D．199【分析】根据各个值归纳出：从第三项起，每一项都等于前两项之和，根据数据依次求出f（10）的值．【解答】解：由题意可得，f（3）=f（1）+f（2），f（4）=f（2）+f（3），f（5）=f（3）+f（4），则f（6）=f（4）+f（5）=18，f（7）=f（5）+f（6）=29，f（8）=f（6）+f（7）=47，f（9）=f（8）+f（7）=76，f（10）=f（8）+f（9）=123，故选：123．【点评】本题考查归纳推理，难点是根据已知的式子找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．5．（5分）（2013乌鲁木齐一模）复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）【分析】把给出的复数利用复数的除法运算化简，然后求其共轭复数，则答案可求．【解答】解：因为，其共轭复数为2+i，即a+bi=2+i，所以a=2，b=1．所以点（a，b）为（2，1）．故选C．【点评】本题考查了复数的代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6．（5分）（2016山西模拟）曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=0【分析】先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．【解答】解：由题意得，y′=3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选A．【点评】本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．7．（5分）（2016春玉溪校级期中）等差数列{an }的前n项和为Sn，a7+a8+…+a11=35，则S17的值为（）A．117 B．118 C．119 D．120【分析】利用等差数列的性质可得a9，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列{an }满足：a7+a8+…+a11=35，∴5a9=35，解得a9=7．则S17==17a9=119．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）（2016湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．9．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知函数f（x）=x+x3+x5，x1，x2，x3∈R，x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定小于0 B．一定大于0 C．等于0 D．正负都有可能【分析】由f（x）=x+x3+x5，显然在定义域R上为增函数，且f（﹣x）=﹣x﹣x3﹣x5=﹣f（x），所以函数是奇函数，利用条件，即可得出结论．【解答】解：由f （x ）=x+x 3+x 5，显然在定义域R 上为增函数，且f （﹣x ）=﹣x ﹣x 3﹣x 5=﹣f （x ），所以函数是奇函数．因为x 1+x 2＜0，所以x 1＜﹣x 2，所以f （x 1）＜f （﹣x 2）=﹣f （x 2），所以f （x 1）+f （x 2）＜0，同理f （x 2）+f （x 3）＜0，f （x 1）+f （x 3）＜0，所以f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＜0．故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性及单调性等知识．考查学生的计算能力，确定函数的奇偶性及单调性是关键．10．（5分）（2015太原一模）已知在圆x 2+y 2﹣4x+2y=0内，过点E （1，0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．6C ．D ．2【分析】圆x 2+y 2﹣4x+2y=0即（x ﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M （2，﹣1），半径r=，最长弦AC 为圆的直径．BD 为最短弦，AC 与BD 相垂直，求出BD ，由此能求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x+2y=0即（x ﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M （2，﹣1），半径r=，最长弦AC 为圆的直径为2，∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直，ME=d=，∴BD=2BE=2=2，∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =BD×EA+×BD×EC=×BD×（EA+EC ）=×BD×AC==2．故选：D【点评】本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．11．（5分）（2016春玉溪校级期中）在等比数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 6=10，，则a 1a 2…a 6=（ ）A ．2B ．8C ．D ．【分析】设等比数列{a n }的公比为q≠1，根据a 1+a 2+…+a 6=10，，利用等比数列的前n项和公式可得：=2．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q≠1，∵a 1+a 2+…+a 6=10，，∴=10， =5，∴=2．则a 1a 2...a 6=q 1+2+ (5)=23=8．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2014嘉兴一模）在直角△ABC 中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P 为AB 边上的点且=λ，若≥，则λ的取值范围是（ ）A ．[，1]B ．[，1]C ．[，]D ．[，]【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围．【解答】解：∵直角△ABC 中，∠B CA=90°，CA=CB=1，∴以C 为坐标原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，如图：C （0，0），A （1，0），B （0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．≥，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想．二、填空题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值是8 ．【分析】根据x+2y=（x+2y）（+）=2+++2，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：x+2y=（x+2y）（+）=2+++2≥4+2=8，当且仅当=时，等号成立，故 x+2y的最小值为 8，故答案为：8．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2014赤峰模拟）在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线y=围成的区域内（阴影部分）的概率为．【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．15．（5分）（2010春高淳县校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣25），f（80），f（11）的大小顺序是f（﹣25）＜f（80）＜f（11）．【分析】先由“f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x）”转化得到f（x﹣4）=f（﹣x），然后按照条件，将问题转化到区间[0，2]上应用函数的单调性进行比较．【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣4）=f（﹣x），f（0）∴f（﹣25）=f（21）=﹣f（17）=f（13）=﹣f（9）=f（5）=﹣f（1）f（80）=﹣f（76）=f（72）=﹣f（68）=f（64）=﹣f（60）=f（54）=..=﹣f（0）f（11）=﹣f（7）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）又∵函数在区间[0，2]上是增函数0=f （0）＜f （1） ∴﹣f （1）＜f （0）＜f （1） ∴f （﹣25）＜f （80）＜f （11） 故答案为：f （﹣25）＜f （80）＜f （11）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题．16．（5分）（2016春玉溪校级期中）已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好在以F 2为圆心，|OF 2|（O 为坐标原点）为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 2 ．【分析】首先求出F 1到渐近线的距离，利用F 1关于渐近线的对称点恰落在以F 2为圆心，|OF 2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：由题意，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设一条渐近线方程为y=﹣x ，则F 1到渐近线的距离为=b ．设F 1关于渐近线的对称点为M ，F 1M 与渐近线交于A ，可得|MF 1|=2b ，A 为F 1M 的中点，又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 2M ，则∠F 1MF 2为直角， 由△MF 1F 2为直角三角形， 由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2即有3c 2=4（c 2﹣a 2），即为c 2=4a 2，即c=2a ，则e==2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2007秋海淀区期末）已知函数f （x ）=cos 2x+2sinxcosx ﹣sin 2x ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若且a 2=bc ，试判断△ABC 的形状．【分析】﹙Ⅰ﹚通过倍角公式和两角和公式，对函数f （x ）进行化简．进而求出最小正周期和值域；﹙Ⅱ﹚通过求出A 的值．在根据余弦定理及a 2=bc ，进而通过b=c 求出B ，C 的值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚==∴T=π，f （x ）∈[﹣2，2]﹙Ⅱ﹚由，有，∴． ∵0＜A ＜π，∴，即．由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 及a 2=bc ， ∴（b ﹣c ）2=0 ∴b=c ，∴．∴△ABC 为等边三角形．【点评】本题主要考查余弦定理的应用．解本题的关键是求出A 的值．18．（12分）（2016春玉溪校级期中）已知数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=（n ∈N *）．（1）求a 2，a 3，a 4；（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）由a n+1=，可求a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n =（n ∈N *），再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由a n+1=，可得a 2==，a 3===，a 4===．（2）猜测a n =（n ∈N *）．下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=a 1=a ，右边==a ，猜测成立．②假设当n=k （k ∈N *）时猜测成立，即a k =．则当n=k+1时，a k+1====．故当n=k+1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n ∈N *都有a n =成立．【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，考查数列的通项公式，正确运用数学归纳法是关键，属于中档题．19．（12分）（2015福安市校级模拟）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）如果如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为，求的值．【分析】（1）连结AC，由勾股定理得AB⊥AC，从而AC⊥CD，由线面垂直得PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．（2）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，利用向量法能求出的值．【解答】（1）证明：连结AC．因为在△ABC中，AB=AC=2，，所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC．因为AB∥CD，所以AC⊥CD．又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC∩PA=A，所以CD⊥平面PAC．（4分）（2）解：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），因为M是棱PD的中点，所以M（﹣1，1，1）．所以，设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，则，令y=1，得平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），因为N是在棱AB上一点，所以设N（x，0，0），=（﹣x，2，0）．因为直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，设直线CN与平面MAB所成角为α，则sinα=|cos＜＞|===，解得x=1，即AN=1，NB=1，所以=1．【点评】本题考查向面垂直的证明，考查满足条件的线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2015重庆模拟）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E （m ，0），使恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标，可得c ，再求出b 的值，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴…（1分）又∵椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形，∴b=1，∴椭圆的方程为…（3分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：y=k （x ﹣1）代入椭圆方程，消去y ，可得（4k 2+1）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣4=0设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则…（5分）∵∴=m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2===…（7分）==…（9分）当，即时，为定值…（10分）当直线l 的斜率不存在时，由可得，∴综上所述，当时，为定值…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2016陕西校级一模）已知a ∈R ，函数f （x ）=xln （﹣x ）+（a ﹣1）x ．（Ⅰ）若f （x ）在x=﹣e 处取得极值，求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[﹣e 2，﹣e ﹣1]上的最大值g （a ）．【分析】（I ）先对函数y=f （x ）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x 的范围，根据f′（x ）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x ）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（II ）先研究f （x ）在区间[﹣e 2，﹣e ﹣1]上的单调性，再利用导数求解f （x ）在区间[﹣e 2，﹣e ﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x ）=ln （﹣x ）+a ，（2分） 由题意知x=﹣e 时，f'（x ）=0，即：f'（﹣e ）=1+a=0，∴a=﹣1（3分）∴f （x ）=xln （﹣x ）﹣2x ，f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1 令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（6分）（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，∴﹣x∈[e﹣1，e2]，∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，（7分）①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数，f（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1（9分）max②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数，f（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2（11分）max③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减，（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）∴fmax综上：（14分）【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．22．（10分）（2014福州一模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【分析】（Ⅰ）根据x=ρcos θ、y=ρsin θ，写出曲线C 的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l 的普通方程．（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得到，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t 1+t 2|，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）根据x=ρcos θ、y=ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ，用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x ﹣y ﹣2=0．（Ⅱ）直线l 的参数方程为：（t 为参数），代入y 2=4x ，得到，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1+t 2=12，t 1t 2=48，∴|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=． 【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．。
2015-2016年云南省红河州开远四中高二(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年云南省红河州开远四中高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题包括17小题，每小题3分，共51分．每小题只有一个选项符合题意.）1．（3分）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{﹣2，0，1}，则A∩B等于（）A．{0，﹣1}B．{1}C．{0}D．{﹣1，1} 2．（3分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是直径为2的半圆，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．4πB．πC．2πD．3π3．（3分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）4．（3分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且SA＝AD，则异面直线DC与SB所成的角为（）A．60°B．30°C．45°D．90°5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1C．y＝x3D．y＝2﹣|x|6．（3分）已知直线的点斜式方程是y﹣2＝（x﹣1），那么此直线的倾斜角为（）A．B．C．D．7．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．48．（3分）设a＝log3π，b＝21.1，c＝log3，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 9．（3分）圆x2+y2+4x＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相离C．外切D．相交10．（3分）根据如下样本数据：得到了回归方程＝x+，则（）A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0 11．（3分）在下列区间中，函数f（x）＝2x+x3﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．（3分）点（0，b）到直线x+y﹣2＝0的距离为，则b等于（）A．0或4B．4C．0D．13．（3分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50B．40C．25D．2014．（3分）高二年级某班有50人，某次数学测验的分数在[50，100]内，现将这次数学测验的分数分成如下5个组：[50，60），[60，70），…，[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，则图中的a值为（）A．0.032B．0.16C．0.32D．0.016 15．（3分）经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：则至少3人排队等候的概率是（）A．0.44B．0.56C．0.86D．0.1416．（3分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）18．（3分）计算log35+log3＝．19．（3分）28的二进制数是．20．（3分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为．21．（3分）若函数f（x）＝（3m﹣1）x m为幂函数，则m等于．22．（3分）直线ax+y＝0与x+ay+1＝0平行，则实数a等于．三、解答题（本大题共4小题，共34分，其中第23，24，25每小题各4分，第26题（1）问3分、（2）问7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）23．（8分）某校夏令营有2名男同学A，B和2名女同学X，Y，其年级情况如表：先从这4名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．24．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、CC1的中点．（1）求证：AE∥平面BFD1．（2）设正方体棱长为1，求三棱锥C1﹣D1BF的体积．25．（8分）2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为y＝﹣2x+90．（1）当x＝40时，求该产品每吨的生产成本；（2）若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．26．（10分）已知圆C的圆心为（2，3），半径为1．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）且斜率为k的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2时，求斜率k的值．2015-2016学年云南省红河州开远四中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括17小题，每小题3分，共51分．每小题只有一个选项符合题意.）1．（3分）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{﹣2，0，1}，则A∩B等于（）A．{0，﹣1}B．{1}C．{0}D．{﹣1，1}【解答】解：∵A＝{﹣1，1}，B＝{﹣2，0，1}，∴A∩B＝{1}，故选：B．2．（3分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是直径为2的半圆，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．4πB．πC．2πD．3π【解答】解：由三视图可知：该几何体为半球．∴表面积＝+π×12＝3π．故选：D．3．（3分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．4．（3分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且SA＝AD，则异面直线DC与SB所成的角为（）A．60°B．30°C．45°D．90°【解答】解：由题意DC∥AB，∴∠SAB等于异面直线DC与SB所成的角．∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且SA＝AD，∴∠SAB＝45°，∴异面直线DC与SB所成的角等于45°．故选：C．5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1C．y＝x3D．y＝2﹣|x|【解答】解：A中，函数y＝lnx是非奇非偶函数，不满足条件；B中，函数y＝x2+1既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件；C中，函数y＝x3是奇函数，不满足条件；D中，函数y＝2﹣|x|在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件；故选：B．6．（3分）已知直线的点斜式方程是y﹣2＝（x﹣1），那么此直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线的倾斜角为α．∵直线的点斜式方程是y﹣2＝（x﹣1），∴直线的斜率k＝＝tanα．∵α∈[0，π），∴．故选：B．7．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由程序框图知：第一次循环n＝1，21＞1；第二次循环n＝2，22＝4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n＝2．故选：B．8．（3分）设a＝log3π，b＝21.1，c＝log3，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：2＞a＝log3π＞1，b＝21.1＞2，c＝log3＝，∴b＞a＞c．故选：A．9．（3分）圆x2+y2+4x＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相离C．外切D．相交【解答】解：∵x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4的圆心为（﹣2，0），半径为r1＝2，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的圆心为（2，1），半径为r2＝3，∴两圆的圆心间的距离d＝＝而半径之差的绝对值|r1﹣r2|＝1．半径之和r1+r2＝5因此，|r1﹣r2|＜d＜r1+r2所以两圆的位置关系是相交．故选：D．10．（3分）根据如下样本数据：得到了回归方程＝x+，则（）A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0【解答】解：样本平均数＝5.5，＝0.25，∴＝﹣24.5，＝17.5，∴b＝﹣＝﹣1.4，∴a＝0.25﹣（﹣1.4）•5.5＝7.95，故选：A．11．（3分）在下列区间中，函数f（x）＝2x+x3﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝2x+x3﹣2在R上单调递增，∴f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝2+1﹣2＝1＞0，∴f（0）f（1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝2x+x3﹣2的零点所在的区间是（0，1），故选：B．12．（3分）点（0，b）到直线x+y﹣2＝0的距离为，则b等于（）A．0或4B．4C．0D．【解答】解：∵点（0，b）到直线x+y﹣2＝0的距离为，∴＝，解得b＝0或b＝4．故选：A．13．（3分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50B．40C．25D．20【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40＝25．故选：C．14．（3分）高二年级某班有50人，某次数学测验的分数在[50，100]内，现将这次数学测验的分数分成如下5个组：[50，60），[60，70），…，[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，则图中的a值为（）A．0.032B．0.16C．0.32D．0.016【解答】解：根据频率和为1，得；2a×10＝1﹣（0.008+0.032+0.028）×10＝0.32，a＝0.016．故选：D．15．（3分）经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：则至少3人排队等候的概率是（）A．0.44B．0.56C．0.86D．0.14【解答】解：设排队人数至少3个人排队为事件H，并且H＝D+E+F，∵P（D）＝0.3，P（E）＝0.1，P（F）＝0.04，∴P（H）＝P（D+E+F）＝P（D）+P（E）+P（F）＝0.3+0.1+0.04＝0.44，16．（3分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P＝，故选：B．17．（3分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：f（x）＝，则其图象为，由图象可知，图象为不是偶函数也不是奇函数，在（﹣∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，也不是周期函数，值域为[﹣1，+∞）故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）18．（3分）计算log35+log3＝2．【解答】解：log35+log3＝log3（5×）＝log39＝2，19．（3分）28的二进制数是11100（2）．【解答】解：28÷2＝14 014÷2＝7 07÷2＝3 (1)3÷2＝1 (1)1÷2＝0 (1)故28（10）＝11100（2）．故答案为：11100（2）．20．（3分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．【解答】解：∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是＝11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]＝[9+4+1+4+16]＝6.8故答案为：6.8．21．（3分）若函数f（x）＝（3m﹣1）x m为幂函数，则m等于．【解答】解：若函数f（x）＝（3m﹣1）x m为幂函数，则3m﹣1＝1，解得：m＝，故答案为：．22．（3分）直线ax+y＝0与x+ay+1＝0平行，则实数a等于±1．【解答】解：因为直线ax+y＝0与x+ay+1＝0平行，所以必有，解得a＝±1．故答案为：±1．三、解答题（本大题共4小题，共34分，其中第23，24，25每小题各4分，第26题（1）问3分、（2）问7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）23．（8分）某校夏令营有2名男同学A，B和2名女同学X，Y，其年级情况如表：先从这4名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【解答】解：（1）所有可能的结果为（A，B），（A，X），（A，Y），（B，X），（B，Y），（X，Y），共6种．（2）由（1）可知满足事件M的所有可能的结果为（A，Y），（B，X），共2种，所以事件M发生的概率．24．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、CC1的中点．（1）求证：AE∥平面BFD1．（2）设正方体棱长为1，求三棱锥C1﹣D1BF的体积．【解答】（1）证明：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，∵E、F分别为DD1、CC1的中点，∴EF∥CD，EF＝CD，又CD∥AB，CD＝AB，∴EF∥AB，EF＝AB，则四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF，又AE⊄平面BFD1，BF⊂平面BFD1，∴AE∥平面BFD1 ；（2）解：∵BC⊥平面C1D1F，且正方体棱长为1，∴＝．25．（8分）2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为y＝﹣2x+90．（1）当x＝40时，求该产品每吨的生产成本；（2）若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．【解答】解：（1）该产品每吨的生产成本＝+﹣2，当x＝40时，＝﹣2＝4.25万元；（2）L＝6x﹣（﹣2x+90）＝﹣0.1（x﹣40）2+70，∴x＝40万元时，最大利润为70万元．26．（10分）已知圆C的圆心为（2，3），半径为1．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）且斜率为k的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2时，求斜率k的值．【解答】解：（1）由题意可知（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）由（1）可知联立方程得则有（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7＝0，△＝﹣3k2+8k ﹣3＞0所以①②因为|AB|＝2所以③由①②③可得k＝1．。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。
高二数学下学期期中试题word版本
2016-2017 学年度第二学期高二数学期中考试卷试卷总分： 150 分；考试时间： 120 分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1．已知命题： x R,sin x1，则（）A ． p : x R, sin x 1B ． p : x R,sin x 1C ．p : x R, sin x 1D．p : x R,sin x 12．已知 aR ，则“ a 2 ”是“ a 22a ”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D．既非充足也非必需条件3．椭圆 x 2y 2 1 的离心率为（）25 16A ．3B．3C ．4D．9545254．以下命题中错误的选项是（）A ．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“ pq ”为真命题B ．命题“若 a b 7 ，则 a 2 或 b 5 ”为真命题C ．命题 p :x0,sin x 2x 1 ，则为x 0,sin x 2x1D ．命题“若 x 2 x0 ，则 x0 或 x 1”的否命题为“若 x 2x 0 ，则 x0 且 x 1”5．抛物线 y ＝ax 2 的准线方程为 y ＝2，则实数 a 的值为A ．－1B．1C ． 8D ．－ 88 81的两个交点，过的直线与椭圆交于M ,N 两点，则MNF2的周6．已知F1, F2是椭圆916长为（）A．16B． 8C．25D． 327．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的焦距与短轴长之比为（）A．1B．3C． 3D．338．设 F （－ 4，0）， F（4， 0）为定点，动点M知足 |MF | ＋ |MF | ＝8，则动点 M的轨迹是1212A．椭圆B．直线C．圆D．线段9．经过双曲线x2y 21右焦点的直线与双曲线交于A, B 两点，若AB4，则这样的直线的4条数为（）A．4 条B． 3 条C． 2 条D． 1 条10．已知双曲线 C的离心率为2，焦点为、，点 A在 C上，若F1A 2 F2 A ，则 cos AF2 F1（）A．1B．1C．2D．2 434311．直线y kx 1 k R与椭圆 x2y21恒有两个公共点，则的取值范围为（）5mA．1,B． 1,C． 1,55,D． 1,55,第 II卷（非选择题）二、填空题（每题 5 分，共 20 分）12．已知双曲线x2y 21y3x，则实数的值为______.的一条渐近线方程为2m m413．抛物线y 212x 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是．14．设、分别是椭圆2(6,4) ，则251 的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为16| PM || PF 1 || 的最小值为 ________．15．有以下四个命题 ①“若 x y0，则互为相反数”的抗命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则 x 2 2 x q0 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的抗命题.此中真命题为 _______________.三、解答题（共 70 分）16．（此题满分 10 分）斜率为1的直线经过抛物线x 2 4 y 的焦点，且与抛物线订交于A ，B 两点，2求线段的长 .17．（此题满分 12 分）已知 P : x 28x 20 0 ； q :1 m 2 x 1 m 2.（ 1）若 p 是 q 的必需条件，求 m 的取值范围；（ 2）假如的必需不充足条件，求m 的取值范围 .18．（此题满分 12 分）分别求合适以下条件的双曲线的标准方程．4（Ⅰ）焦点在轴上，焦距是，离心率e；3（Ⅱ）一个焦点为 F 6,0 的等轴双曲线．19．（此题满分12 分）已知双曲线x2y2，若双曲线上一点使得91的左、右焦点分别为、16F1PF2 90，求△ F1PF2的面积．20．（此题满分 12 分）已知椭圆C: x2y 21(a b0)，22，a2b2经过点 M (1) ，其离心率为22设直线 l： y kx m 与椭圆订交于A、B 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线与圆x 2y22相切，求证： OA OB （为坐标原点）；321．（此题满分 12 分）双曲线 x2y2 1(b 0) 的左、右焦点分别为F1、 F2，直线过 F2且与双曲b2线交于 A、 B两点．（ 1）若的倾斜角为，△ F1 AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；2（ 2）设b 3 ，若的斜率存在，且|AB|=4 ，求的斜率．参照答案1．C2．A 3 ．A 4 ．D 5 ．A6．A7．D 8 ．D9．B 10．A11．C12． 413． (3,6) 或 (3, 6)14． 15．①③ 16． 55【分析】由已知可知，抛物线 x 2 4 y 的焦点为 F (0,1) ，（2 分）因此直线的方程为1 1. （5 分）yx2由y1x 1,2)2 4y ，即 y 22 得 (2 y 3y 1 0．（7分）x 24 y,设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，则 y 1 y 2 3 ，因此 | AB | y 1y 2 p 3 2 5. （10分）17．（ 1） [3, 3] ；（2） ( , 3] [3, )【分析】由 x 2 8x 20 0 得2 x 10 ，即 P : 2 x10，（3 分）又 q :1m 2 x 1 m 2 .（ 1）若 p 是 q 的必需条件，1 m2 2 m 23 3 ，解得3m3 ，（ 5 分）则m 210，即m 2，即 m 21 9即 m 的取值范围是[3,3]。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
云南省开远市第四中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
开远市第四中学2017-2018学年下学期高二期中考试卷数学说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）及答卷卡三部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至5页,共100分。
考试时间100分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共51分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前考生务必在答卷卡填上自己的班级、考号、姓名。
2．每小题选出答案后，将答案选项填入答卷卡选择题答案栏上，答在其它位置无效。
3．考试结束，监考人员只须将答卷卡收回。
一、选择题（本题包括17小题，每小题3分，共51分。
每小题只有一个选项符合题意.）1.若集合{}-1,1A =，{}-20,1B =，，则A B ⋂等于（ ）A.{}01-， B. {}1 C. {}0 D. {}11-，2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是直径为2的半圆，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积．．．为 （ ） .4A π.B π .2C π .3D π3.函数()lg 1()1x f x x +=-的定义域为（ ）A.()1,-+∞ B. [)1,-+∞ C. ()()1,11,-⋃+∞ D. [)()1,11,-⋃+∞4.如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA AD =,则异面直线DC 与SB 所成的角为（ ） A.060 B. 030 C. 045 D. 0905.下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增 的是（ ） A.ln y x = B. 21y x =+ C. 3y x= D.2xy -=6.已知直线的点斜式方程是21)y x -=+，那么此直线的倾斜角为（ ）A.3πB.6π C.23π D.56πBACDS俯视图7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48.设 1.133log ,2,log a b c π===，则（A.b ac >> B.a b c >> C.c b a >> D.c a b >>9.圆22+40x y x +=与圆()()22-2-19x y += 的位置关系为（ ）A.内切B.相离C.外切 10.根据如下样本数据：得到的回归方程为y bx a ∧=+，则（ ）A.0a >，0b >B. 0a <，0b >C. 0a >，0b <D. 0a <， 0b < 11.在下列区间中，函数3()22xf x x =+-的零点所在的区间为（ ） A. ()1,0- B. ()0,1 C.()1,2 D. ()2,3 12.点()0,b 到直线+20x y -=的距离为，则b 等于( )A ．0或4B ．4C ．0D 13.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A. 50B. 40C.25D. 2014.高二年级某班有50人，某次数学测验的分数在[50,100]内，现将这次数学测验的分数分成如下5个组：[50,60)，[60,70)，L ，[90,100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，则图中的a 值为（ ）oA. 0.032B. 0.16C.0.32D. 0.016 15.经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：则至少3人排队等候的概率是（ ）A. 0.44B. 0.56C. 0.86D. 0.14 16.在区间[]2,3-上任意取一个数X ，则1X ≤的概率等于（ ）A.45 B.35C. 25D. 15 17.已知函数21,0,()1,0,x x f x x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是增函数C.()f x 是周期函数 D. ()f x 的值域为[)1,-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共49分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 18.计算339log 5log 5+=______.19.28的二进制数是_________.20.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差________．21.若函数()()31mf x m x =-为幂函数，则m 等于 _____.22.直线+0ax y =与10x ay ++=平行，则实数a 等于_______.三、解答题（本大题共4小题，共34分，其中第23,24,25每小题各4分，第26题（1）问3分、（2）问7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）23.(本小题满分8分）某校夏令营有2名男同学A ，B 和2名女同学X ，Y ，其年级情况如下表：0 8 1 0 53 9先从这4名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. （1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.24.(本小题满分8分）在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点. （1）求证：AE //平面1BFD .（2）设正方体棱长为1，求三棱锥11C D BF -的体积．25．(本小题满分8分）2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x （吨）之间的关系可表示为229010x y x =-+. （1）当40x =时，求该产品每吨的生产成本；（2）若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值.26.(本小题满分10分）已知圆C 的圆心为()2,3，半径为1. （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,1P 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，若2AB =时，求斜率k 的值.1A 1开远市第四中学2015-2016学年高二下学期期中考数学参考答案18、 2 19、 11100 20、345或6.8 21、23 22、1±三、解答题（共34分，其中23、24、25各8分，26题10分） 23、（1）所有可能的结果为()()(),,,,,A B A X A Y ，()(),,,B X B Y ，(),X Y ，共6种.（2）由（1）可知满足事件M 的所有可能的结果为(),A Y ，(),B X ，共2种，所以()2163P M == 24、(1)连接EF ,证明四边形ABFE 为平行四边形；（2）证明 BC ^平面11C D F ,所以1116C D BFV -=25、（1）174或4.25万元；（2）40x =万元时，最大利润为70万元. 26、(1)（3分）由题意可知()()22231x y -+-=或2246120x y x y +--+=(2) （7分）设点()11,A x y ，()22,B x y 由（1）可知 联立方程得()()221231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 则有()()221+4170k x k x -++= 2=-3k 830k ∆+->所以 ()122411k x x k ++=+（1） 12271+x x k ⋅=（2） 因为 2AB = 2=（3）由（1）（2）（3）可得 1k =。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版
2017-2018学年第二学期高二年段期中考数学（理）试卷（满分：150分，完善时间：120分钟）班级姓名座号一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3-i，则的值为（）A.1B.C.2D. 42. 一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，分别从两个包内各取一本的取法有（）种．A.15B.4C.9D.203.已知对任意x∈R，恒有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A.f′（x）＞0，g′（x）＞0B.f′（x）＞0，g′（x）＜0C.f′（x）＜0，g′（x）＞0D.f′（x）＜0，g′（x）＜04.函数y=f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.y=f（x）在（-∞，0）上单调递增B. y=f（x）的递减区间为（3，5）C.函数y=f（x）在x=0处取得极大值D.函数y=f（x）在x=5处取得极小值5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度6.设f（x）=，则f（x）dx=（）A. B. C. D.不存在7.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a48.有八名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字（如：4，5，6），则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有（）A.360种 B.4320种 C.720种 D.2160种9.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A.ln2B.1-ln2C.2-ln2D.1+ln210.若函数f（x）=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0＜a＜311.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A. B. C. D.12.已知，则导函数f′（x）是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为14. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法15.若函数存在极值，则m的取值范围是16.用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是三、解答题(本大题共6小题，共72分)17. 已知m∈R，复数z=+（m2+2m-3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；18.设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19.设a、b∈R+且a+b=3，求证．20.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．21.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a 为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．22.已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=-时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）-x≤0恒成立，求实数a的取值范围．。
2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试卷
2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．．．．．．．题目要求的．．．．．。
1.下列说法正确的是（）Ａ．若0()0f x '=，则0()f x 是函数()f x 的极值.Ｂ．若0()f x 是函数()f x 的极值，则()f x 在0x 处有导数. Ｃ．函数()f x 至多有一个极大值和一个极小值.Ｄ．定义在R 上的可导函数()f x ，若方程()0f x '=无实数解，则()f x 无极值.2.用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ．a ，b 都能被5整除Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被整5除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除3.设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()yf x =的图象最有可能的是（）4.下列计算错误的是（）Ａ．ππsin 0xdx -=? Ｂ．23=Ｃ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx-=??Ｄ．π2πsin 0xdx -=?5.如右图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( ) A ．400种B ．460种 C ．480种D ．496种6.已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行，则0x 的值为（）Ａ．0Ｂ．23-Ｃ．０或23-Ｄ．0或17.定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A ，B 可能是下列（）的运算的结果（）Ａ．B D *，A D * Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *8.函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点对称，则()f x 在[44]-，上（）Ａ．单调递增Ｂ．单调递减Ｃ．[40]-，单调递增，[04]，单调递减Ｄ．[40]-，单调递减，[04]，单调递增9.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，不同选课方案共有（）．A ．84种B ．168种C ．42种D ．336种10.在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy”的结构，这时可类比某公式．如：设a ，b 是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba ＝( )A ．4B ．15C ．2D ．311.定义在R 上的奇函数()y f x =满足(3)0f =，且不等式()()f x xf x '>-在+∞(0,)上恒成立，则函数()()lg |1|g x xf x x =++的零点个数为（） A.5 B.3 C.4 D.212.已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线方程为:l ()y g x =，若函数()f x 满足x ?∈I （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -- ()462f x x x'=--，则函数()f x 的“分界点”的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个第Ⅱ卷(非选择题满分90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二第二学期期中数学试卷理科及答案
2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分）1．设复数z满足11zz-+=2i,则z =A．35-45-B．35-+45i C．35+45i D．3545-i2.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→夹角为()A．30° B．45° C．60° D．90°4.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20 5．中心在原点，焦点在x轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝16．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋17．已知函数 的导函数 图象如图所示,则函数 有 A．两个极大值,一个极小值 B．两个极大值,无极小值 C．一个极大值,一个极小值 D．一个极大值,两个极小值 8．设a ≠0，a ∈R，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14a9.三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) A.V=abcB.V=ShC.V= (S 1+S 2+S 3+S 4)· r(S 1,S 2,S 3,S 4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)11．若直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 A ．B ．C ．D ．12．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知()20d f x x ⎰＝8，则()202d f x x x ⎡⎤-⎣⎦⎰＝______14．若双曲线11622=-m x y 的离心率2=e ，则=m ______________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．( 本小题满分10分)（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 word版
2017-2018学年度第二学期高二年级数学（理科）期中考试试卷（卷面分值：150分，考试时间：120分钟）选择题（共17题，每小题5分，共85分）1．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A ．1＋1＋1＝3 B ．3＋4＋2＝9 C ．3×4×2＝24 D ．以上都不对 2．已知C2n ＝10，则n 的值等于 ( ) A ．10 B ．5 C ．3 D ．23．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有 ( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人 D ．4人4．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是 ( ) A ．C16C294B ．C16C299C ．C3100－C394D ．C3100－C2945已知回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^ ，其中a ^＝3且样本点中心为(1,2)，则回归直线方程为 ( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于( )ξ －1 2 4P15 23 P1 A.0B.215C.115D ．17．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是 ( ) A.23B.14C.25D.158．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.2279．若随机变量ξ的分布列为ξ1P m n，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是 ( ) A ．E(ξ)＝m ，D(ξ)＝n3B ．E(ξ)＝n ，D(ξ)＝n2C ．E(ξ)＝1－m ，D(ξ)＝m －m2D ．E(ξ)＝1－m ，D(ξ)＝m210．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( )A.19B.112C.115D.11811．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.71812．位于西部地区的A 、B 两地，据多年的资料记载：A 、B 两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A 地为雨天时，B 地也为雨天的概率为 ( ) A.17 B.14 C.13 D.34 13. 一人有n 把钥匙，其中只有一把可把房门打开，逐个试验钥匙，房门恰好在第k 次被打开（1≤k ≤n ）的概率是（ ）A ．1!nB ．1nC ．k nD ．1(1)!k n - 14．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程20x bx c ++=有相等实根的概率为（ ）A ．112B ．19C ．136D ．11815．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．C28A23 B ．C28A66 C ．C28A26 D ．C28A2516．设(2－x)6＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a6x6，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值是( )A ．665B ．729C ．728D ．6317．将正方体ABCD —A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（ ） A ．15种 B ．14种 C ．13种 D ．12种 填空题（共4题，每5分，共20分）18.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为______．(用数字作答)19．已知随机变量ξ～B(5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E(η)＝________.20.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P （X=4）=.（用数字表示）21．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有________种． 解答题（共4题，共45分）22（11分）．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排． （1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？（用数字表示）23（12分）．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .24（12分）同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题： 求两个骰子都出现2点的概率；（2）若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？（χ2＝n n11n22－n12n212n1＋n2＋n ＋1n ＋2）25．（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0），其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ρθ=，C3：23cos ρθ=。