煤层储量的计算方法

煤层储量的计算方法小结- [笔记]
目前我实现过三种方法：
1，根据等值线数据，用每条等值线的“走势”区分其所在柱体的体积的正负。

所谓趋势是指柱体位于“谷”还是“峰”上。

这种方法不能处理煤体中有空洞的情况，比如同一标高有数条等值线，有的勾勒的是煤体轮廓，有的勾勒的是煤体内部的岩体的轮廓。

2，根据等值线数据，用等值线面积的正负剔除每一梯级的无效面积。

对每一梯级按台体模型计算体积。

等值线的面积正负由其被包围圈数决定：偶数为正，奇数为负。

这种方法能处理空洞，但目前的实现的效率不高，判断两个等值线的包含关系很费时，一条等值线很容易有近千个顶点。

利用等值线数据计算体积的一个致命缺点是：没法处理边界上的未闭合等值线。

看过国外一个人的做法是人为在原始数据点周围增加一圈伪数据点。

3，根据三角网数据，把上表面为三角网、下表面为水平面的实体分解为一系列三角柱体（顶部一般是斜的）。

这种方法既快又好。

以上方法都受限于数据源：离散点坐标->三角网->等值线。

4，商业软件Surfer是先把数据点网格化，在网格数据的基础上进行包括体积在内各种统计。

网格数据有很多好处：
1，可以生成相对平滑的等值线。

从三角网得用等值线是大尺度的折线，要拟合成平滑的曲线并不是件容易的事。

从网格数据得到的等值线最然也是折线，但尺度要小得多。

2，可以计算上下两个表面都是曲面的实体的体积。

如果用三角网，不易处理上下两个表面相交的情况。

3，生成剖面很容易。

§2 矿藏储量计算
1.Бауман方法
假定有一张矿藏的等高线图，高程差是h，地图上所表示的一圈，实际上便是一定高程的矿体的截面积.我们来估计两张这样的平面之间的矿藏的体积.这两张平面之间的距离便是高程差h.我们以A，B各表示下、上两个等高线圈所包围的截面(见图1，它们的面积亦记为A，B).Бауман建议用
来估算这两个高程间的一片的体积υ，此处T(A，B)是用以下方法所画出的图形的面积，称它为Бауман改正数.
如图2中，从制高点O出发，作放射线OP，这放射线在地图上A，B之间的长度是l.另作图3，取一点O′，与OP同方向取O′P′=l.当P 延着A的周界走一圈时，P′也得一图形，这图形的面积就称为Бауман改正数.因为它依赖于两截面A与B，所以我们用T(A，B)来表示它.
把算出来的矿体体积一片一片地加起来，就得到矿藏的体积V.换言之，设矿体的等高线图的n+1条等高线所围成的面积依次为S0，S1，…，S n，则矿体的体积V由下式来近似计算：
此处h为高程差(图4).
定理①(Бауман)已知物体的下底A与上底B 其面积亦记为A，B)均为平面，且A平行于B，h为它们之间的高，O为B上一点，若用任意通过O而垂直于B的平面来截物体，所得的截面都是四边形，则物体的体积υ恰如(1)式所示.
证以O为中心，引进极坐标(见图5).命高度为z的等高线的极坐标方程为
ρ=ρ(z，θ)(O≤θ≤2π)，
其中，ρ(z，O)=ρ(z，2π).今后我们常假定ρ(z，θ)(O≤θ≤2π，O≤z≤h)是连续的，我们不妨假定A，B的高程各为O及h.并且记
ρ1(θ)=ρ(O，θ)，ρ2(θ)=ρ(h，θ).
由假定可知
因此物体的体积为，．
定理证完.
2.Бауман公式，截锥公式与梯形公式的关系
假定物体的下底A与上底B均为平面，且A平行于B，h为它们之间的高，O为B上一点，除Бауман公式外，常用下面两公式来近似计算物体的体积：
式(4).
定理1 不等式
υ≤υ1≤υ2(5)
恒成立，当且仅当物体为截锥，且此锥体的顶点至底面A的垂线通过点O时，υ=υ1，当且仅当A=B时，υ1=υ2.
证如Бауман定理中的假定.由Бауман公式及Буняков-cкий-Schwarz不等式可知
当且仅当ρ1(θ)=cρ2(θ)(0≤θ≤2π，c为常数)时，即当这物体为一截头锥体，而此锥体的顶点至底面A的垂线通过点O时，才会取等号(图6).
又由于
所以，υ1≤υ2
当且仅当A=B时取等值，定理证完.
关于这三个公式的比较问题，我们认为主要应该从量纲来看，面的量纲为2.所以把面的量纲考虑为1所得出的公式，局限性往往是比较大的.
梯形公式是把中间截面看成上底与下底的算术平均而得到的，所以把面的量纲当作1.
Бауман公式则是将中间截面作为量纲2来考虑的.详言之它假定了ρ(z，θ)，为ρ(0，θ)，与ρ(h，θ)关于z的线性_到的(见1).
截锥公式亦是将中间截面的量纲考虑为2.但比Бауман公式还多假定了ρ(0，θ)=cρ(h，θ)(0≤θ≤2π)，此处c为一常数.
因此我们认为Бауман公式更具有普遍性，所以用它来近似计算物体的体积，一般说来，应该比较精确，但这并不排斥对于某些个别物体，用其他两个公式更恰当些的可能性.例如有一梯形，其上底与下底的宽度相等(如图7所示).用梯形公式反而能获得它的真正体积，而用Бауман公式与截锥公式来计算，结果就偏低了.不过，我们注意此时这梯形的截面的量纲为1(由于沿y轴未变).
相对于Бауман公式，我们还可以估计用梯形公式与截锥公的相对偏差.
对于Бауман公式算出的结果的相对偏差为_
因为T(A，B)≤A-B 即
此不等式显然成立)，所以
3.建议一个计算矿藏储量的公式
Бауман公式是假定ρ(z，θ)为ρ(0，θ)与ρ(h，θ)关于z的线性关系而得到的.如果我们将两相邻分层放在一起估计，即已知相邻三等高线ρ(0，θ)，ρ(h，θ)与ρ(2h，θ).我们用通过ρ(0，θ)，ρ(h，θ)与ρ(2h，θ)的抛物线所形成的曲面ρ=ρ(z，θ)来逼近矿体这两分层的表面，因此我们建议用如下的计算方法.
命A，B，C分别表示连续三等高线所围成的截面(面积亦记为A，B，C)，A与B及B与C之间的距离都是h，则这两片在一起的体积可用以下公式来近似计算
+2T(B，C)-T(A，C)).(6)
如果不计(6)式中的第二项，就是熟知的(Соболевский公式.把二片二片的体积总加起来，就得到矿藏的总体积V的近似公式.
换言之，设矿藏的等高线图的2n+1条等高线所围成的面积依次为
S0，S1，…，S2n，而高程差为h，则矿藏的体积V由下式来近似计算
注意：如果等高线图含有偶数条等高线，则最上面一片可以单独估计，其余的用公式(7).
定理2 已知物体的上底C与下底A均为平面，B为中间截面(面积亦分别记为C，A，B)，且A，C都与B平行，A与B之间及B与C间的
距离都是h，O为C上一点(图8).若用任意通过O而垂直于C的平面截物体，所得的截面的周界均由两条直线及两条抛物线所构成，则物体的体积υ3恰如(6)式所示.
证以O为中心，引进极坐标，命高度为z的等高线的极坐标方程为
ρ=ρ(z，θ)(O≤θ≤2π，ρ(z，O)=ρ(z，2π)).
不妨假定A，B，C的高程分别为0，h，2h，并且记
ρ1(θ)=ρ(O，θ)，ρ2(θ)=ρ(h，θ)，ρ3(θ)=ρ(2h，θ)
由假定可知
因此物体的体积υ3为
定理证完.。