高考数学专项练习大题专练
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构造函数f(a)＝|a＋2|－|a－1|，
则等价于解不等式f(a)≤1。
因为f(a)＝
所以解不等式f(a)≤1，得a≤0。
所以实数a的取值范围为(－∞，0]。
(2)证明：因为x，y∈R＋，x＋y＝4，所以y＝4－x(0<x<4)，于是x2＋2y2＝x2＋2(4－x)2＝3x2－16x＋32＝3 2＋ ≥ ，当x＝ ，y＝ 时等号成立。
(1)若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；
(2)对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，求实数a的取值范围。
解(1)f(x)＝
如图所示，函数f(x)的图象与x轴围成的△ABC，求得A(－2a－1,0)，B ，C(－a，－a－1)。
∴S△ABC＝ ×|－a－1|＝ (a＋1)2≥4(a>0)，解得a≥ －1。
解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|。
由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4。
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，
解得x≥ ，所以x≥2；
当－ <x<2时，不等式等价于2－x＋2x＋1≥4，
即x≥1，所以1≤x<2；
当x≤－ 时，不等式等价于2－x－2x－1≥4，
当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥m|x|，
即为|x－2|＋2≥0显然恒成立。
当x≠0时，问题等价于m≤ 对任意非零实数恒成立，
∵ ≥ ＝1，
∴m≤1，即m的取值范围是(－∞，1]。
3．已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R。
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若存在x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围。
(2)由(1)中图，可知f(x)min＝f(－a)＝－a－1，
对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，
即(－a－1)＋2≥0，解得0<a≤1。
解得x≤－1，所以x≤－1。
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}。
(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|。
因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，
所以(f(x)＋|x－2|)min<3，
B级f(x)＝|2x－1|－|x＋1|。
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；
(2)若a＋b＝1，对∀a，b∈(0，＋∞)， ＋ ≥3f(x)恒成立，求x的取值范围。
解(1)由已知，得f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示。
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，
∴ ＋ ＝ (a＋b)＝5＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，
即a＝ ，b＝ 时等号成立。
∵ ＋ ≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，
∴|2x－1|－|x＋1|≤3，
结合图象知－1≤x≤5，
∴x的取值范围是[－1,5]。
6．(2017·陕西省教学质量检测(一))已知函数f(x)＝2|x＋a|－|x－1|(a>0)。
设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，
则m不大于函数g(x)的最小值，
又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
即g(x)的最小值为4。
所以m≤4。
(2)当m取最大值4时，原不等式等价于
|x－3|－2x≤4，
所以 或
解得x≥3或－ ≤x<3。
所以原不等式的解集为 。
2．(2017·湖北七市联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)。
(1)解关于x的不等式f(x)>5；
(2)若不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立，求m的取值范围。
解(1)由f(x)>5，得|x－2|>3，
∴x－2<－3或x－2>3，
解得x<－1或x>5。
故原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}。
(2)由f(x)≥g(x)，
得|x－2|＋2≥m|x|对任意x∈R恒成立，
所以|a＋4|<3，解得－7<a<－1，
故实数a的取值范围为(－7，－1)。
4．已知x，y∈R＋，x＋y＝4。
(1)要使不等式 ＋ ≥|a＋2|－|a－1|恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：x2＋2y2≥ ，并指出等号成立的条件。
解(1)因为x，y∈R＋，x＋y＝4，所以 ＋ ＝1。于是，应用基本不等式，得 ＋ ＝ ＝ ＋ ≥ ＋ ＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号。要使不等式 ＋ ≥|a＋2|－|a－1|恒成立，只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立。
大题专练·作业(二十二)选修4－5不等式选讲
见学生用书P131
A级 基础达标
1．(2017·兰州市诊断)已知函数f(x)＝ 的定义域为R。
(1)求m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x－3|－2x≤2n－4。
解(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立，
则等价于解不等式f(a)≤1。
因为f(a)＝
所以解不等式f(a)≤1，得a≤0。
所以实数a的取值范围为(－∞，0]。
(2)证明：因为x，y∈R＋，x＋y＝4，所以y＝4－x(0<x<4)，于是x2＋2y2＝x2＋2(4－x)2＝3x2－16x＋32＝3 2＋ ≥ ，当x＝ ，y＝ 时等号成立。
(1)若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；
(2)对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，求实数a的取值范围。
解(1)f(x)＝
如图所示，函数f(x)的图象与x轴围成的△ABC，求得A(－2a－1,0)，B ，C(－a，－a－1)。
∴S△ABC＝ ×|－a－1|＝ (a＋1)2≥4(a>0)，解得a≥ －1。
解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|。
由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4。
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，
解得x≥ ，所以x≥2；
当－ <x<2时，不等式等价于2－x＋2x＋1≥4，
即x≥1，所以1≤x<2；
当x≤－ 时，不等式等价于2－x－2x－1≥4，
当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥m|x|，
即为|x－2|＋2≥0显然恒成立。
当x≠0时，问题等价于m≤ 对任意非零实数恒成立，
∵ ≥ ＝1，
∴m≤1，即m的取值范围是(－∞，1]。
3．已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R。
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若存在x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围。
(2)由(1)中图，可知f(x)min＝f(－a)＝－a－1，
对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，
即(－a－1)＋2≥0，解得0<a≤1。
解得x≤－1，所以x≤－1。
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}。
(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|。
因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，
所以(f(x)＋|x－2|)min<3，
B级f(x)＝|2x－1|－|x＋1|。
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；
(2)若a＋b＝1，对∀a，b∈(0，＋∞)， ＋ ≥3f(x)恒成立，求x的取值范围。
解(1)由已知，得f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示。
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，
∴ ＋ ＝ (a＋b)＝5＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，
即a＝ ，b＝ 时等号成立。
∵ ＋ ≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，
∴|2x－1|－|x＋1|≤3，
结合图象知－1≤x≤5，
∴x的取值范围是[－1,5]。
6．(2017·陕西省教学质量检测(一))已知函数f(x)＝2|x＋a|－|x－1|(a>0)。
设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，
则m不大于函数g(x)的最小值，
又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
即g(x)的最小值为4。
所以m≤4。
(2)当m取最大值4时，原不等式等价于
|x－3|－2x≤4，
所以 或
解得x≥3或－ ≤x<3。
所以原不等式的解集为 。
2．(2017·湖北七市联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)。
(1)解关于x的不等式f(x)>5；
(2)若不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立，求m的取值范围。
解(1)由f(x)>5，得|x－2|>3，
∴x－2<－3或x－2>3，
解得x<－1或x>5。
故原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}。
(2)由f(x)≥g(x)，
得|x－2|＋2≥m|x|对任意x∈R恒成立，
所以|a＋4|<3，解得－7<a<－1，
故实数a的取值范围为(－7，－1)。
4．已知x，y∈R＋，x＋y＝4。
(1)要使不等式 ＋ ≥|a＋2|－|a－1|恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：x2＋2y2≥ ，并指出等号成立的条件。
解(1)因为x，y∈R＋，x＋y＝4，所以 ＋ ＝1。于是，应用基本不等式，得 ＋ ＝ ＝ ＋ ≥ ＋ ＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号。要使不等式 ＋ ≥|a＋2|－|a－1|恒成立，只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立。
大题专练·作业(二十二)选修4－5不等式选讲
见学生用书P131
A级 基础达标
1．(2017·兰州市诊断)已知函数f(x)＝ 的定义域为R。
(1)求m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x－3|－2x≤2n－4。
解(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立，