高考数学二轮复习 第1部分 专题3 必考点8 解三角形的综合问题课件 理
2 2
∴ x＝1， 1 1 2π ∴△ABC 的面积 S＝ · CA· CB· sin C＝ · 2x· 2x· sin ＝ 3. 2 2 3
大题 规范
类型二 解三角形的实际应用
[ 例2]
π 如右图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝ ， 2 3 a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公
4 利用正弦定理和余弦定理求解含有两个或两个以上三角形的问题， 体现解三角形在平面几何中的应用．
知识 回扣
必记知识 重要结论
1．正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． sin A sin B sin C 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
(2)∵ sin C＋ sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin(B＋A)＋ sin(B－A)＝4sin Acos A， ∴ sin Bcos A＝2sin Acos A， (8 分) π ①当 cos A＝0 时，A＝ ；(9 分 ) 2 ②当 cos A≠0 时， sin B＝2sin A，由正弦定理得 b＝2a，
知识 回扣
必记知识 重要结论
abc 1．三角形面积S＝ (R为外接圆半径) 4R 1 S＝ (a＋b＋c)r(r为内切圆半径) 2 1 1 S＝ PP－aP－bP－cP＝ a＋b＋c 2 2
2．在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B.
知识 回扣
必记知识 重要结论
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
π (1)∵ c＝2，C＝ ， 3 π 2 ∴由余弦定理得 4＝a ＋b －2abcos ＝a ＋b2－ab， 3
2 2
∵△ABC 的面积等于 3， 1 ∴ absin C＝ 3，∴ab＝4，(4 分 ) 2
a2＋b2－ab＝4 联立 ，解得 a＝2，b＝2.(6 分 ) ab ＝ 4
知识 回扣
必记知识 重要结论
2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋ c2－2accos B， c2＝ a2＋b2－2abcos C. b2＋ c2－a2 a2＋ c2－b2 推论：cos A＝ ， cos B＝ ， 2bc 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab 1 1 1 面积公式S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B. 2 2 2
从而有C＝π－2A. 又 sin A＝－cos C＝ cos 2A＝1－2sin2A， ∴2sin2A＋ sin A－1＝0， 1 ∴ sin A＝－1(舍去 )，或sin A＝ . 2 π 2π 故A＝B＝ ，C＝ . 6 3
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
自我挑战
(2)设 BC＝2x， 则 AC＝2x， 在△ACM 中， AM2＝AC2＋ MC2－2AC· MCcos C， 2π ∴7＝4x ＋x －2· 2x· x· cos ， 3
(2)第一问中，若只是 a，b 之一求解错，第一问只得 4 分．
π (3)第二问中，不讨论 cos A，只得出 A＝ 者，只得到总分 10 分． 6
(4)第二问中，虽然讨论且正确，但缺少结论：“综上所述……”，扣 1 分．
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
确定三角形的形状主要的途径及方法 途径一：化边为角 主 要 方 法 途径二：化角为边
(1)通过正弦定理实现边角互化 (2)通过余弦定理实现边角互化 (3)通过三角变换找出角之间的关系 (4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界 性判断三角形形状
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
自我挑战
1．(2016· 山西省高三质检)在△ABC中，sin A＝sin B＝－cos C. (1)求角A，B，C的大小； (2)若BC边上的中线AM的长为 7，求△ABC的面积． (1)由 sin A＝ sin B可知A＝B，
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
[ 例1]
(2016· 太原高三模拟)(本小题满分12分)
π 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝ . 3 (1)若△ABC的面积等于 3，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值．
专题复习·数学（理）
必考点八
解三角形的综合问题
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、 边长及面积
类 型
类型二 解三角形的实际应用 类型三 三角形与三角函数、向量的综合问 题
高考·预测
பைடு நூலகம்
运筹帷幄之中
1 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，解决三角形中的边角计算 问题．
2 利用正弦定理和余弦定理及其变形解决三角形的形状问题． 3 解三角形与三角函数的性质、向量相结合的问题．
π 3．若三角形ABC为锐角三角形，则A＋B＞ ，sin A＞cos B，cos A＜sin 2 B，a2＋b2＞c2. 若三角形ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B＜ B，cos A＞sin B. π ，sin A＜cos 2
4．在△ABC中，ccos B＋bcos C＝a.
B＋C A 5．sin A＝sin(B＋C)，sin ＝cos . 2 2 a＋b＋c a b c 6. ＝ ＝ ＝ . sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
a2＋b2－ab＝4 2 3 4 3 联立 ，解得 a＝ ，b＝ ， 3 3 b ＝ 2 a
π π ∴b2＝a2＋ c2，∵C＝ ，∴A＝ . 3 6 π π 综上所述，A＝ 或 A＝ .(12 分) 2 6
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
得分点及踩点说明
(1)第一问中，正确应用余弦定理和面积公式，各得 2 分，错一个只得 2 分；错 2 个，第一问不得分．
∴ x＝1， 1 1 2π ∴△ABC 的面积 S＝ · CA· CB· sin C＝ · 2x· 2x· sin ＝ 3. 2 2 3
大题 规范
类型二 解三角形的实际应用
[ 例2]
π 如右图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝ ， 2 3 a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公
4 利用正弦定理和余弦定理求解含有两个或两个以上三角形的问题， 体现解三角形在平面几何中的应用．
知识 回扣
必记知识 重要结论
1．正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． sin A sin B sin C 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
(2)∵ sin C＋ sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin(B＋A)＋ sin(B－A)＝4sin Acos A， ∴ sin Bcos A＝2sin Acos A， (8 分) π ①当 cos A＝0 时，A＝ ；(9 分 ) 2 ②当 cos A≠0 时， sin B＝2sin A，由正弦定理得 b＝2a，
知识 回扣
必记知识 重要结论
abc 1．三角形面积S＝ (R为外接圆半径) 4R 1 S＝ (a＋b＋c)r(r为内切圆半径) 2 1 1 S＝ PP－aP－bP－cP＝ a＋b＋c 2 2
2．在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B.
知识 回扣
必记知识 重要结论
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
π (1)∵ c＝2，C＝ ， 3 π 2 ∴由余弦定理得 4＝a ＋b －2abcos ＝a ＋b2－ab， 3
2 2
∵△ABC 的面积等于 3， 1 ∴ absin C＝ 3，∴ab＝4，(4 分 ) 2
a2＋b2－ab＝4 联立 ，解得 a＝2，b＝2.(6 分 ) ab ＝ 4
知识 回扣
必记知识 重要结论
2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋ c2－2accos B， c2＝ a2＋b2－2abcos C. b2＋ c2－a2 a2＋ c2－b2 推论：cos A＝ ， cos B＝ ， 2bc 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab 1 1 1 面积公式S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B. 2 2 2
从而有C＝π－2A. 又 sin A＝－cos C＝ cos 2A＝1－2sin2A， ∴2sin2A＋ sin A－1＝0， 1 ∴ sin A＝－1(舍去 )，或sin A＝ . 2 π 2π 故A＝B＝ ，C＝ . 6 3
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
自我挑战
(2)设 BC＝2x， 则 AC＝2x， 在△ACM 中， AM2＝AC2＋ MC2－2AC· MCcos C， 2π ∴7＝4x ＋x －2· 2x· x· cos ， 3
(2)第一问中，若只是 a，b 之一求解错，第一问只得 4 分．
π (3)第二问中，不讨论 cos A，只得出 A＝ 者，只得到总分 10 分． 6
(4)第二问中，虽然讨论且正确，但缺少结论：“综上所述……”，扣 1 分．
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
确定三角形的形状主要的途径及方法 途径一：化边为角 主 要 方 法 途径二：化角为边
(1)通过正弦定理实现边角互化 (2)通过余弦定理实现边角互化 (3)通过三角变换找出角之间的关系 (4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界 性判断三角形形状
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
自我挑战
1．(2016· 山西省高三质检)在△ABC中，sin A＝sin B＝－cos C. (1)求角A，B，C的大小； (2)若BC边上的中线AM的长为 7，求△ABC的面积． (1)由 sin A＝ sin B可知A＝B，
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
[ 例1]
(2016· 太原高三模拟)(本小题满分12分)
π 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝ . 3 (1)若△ABC的面积等于 3，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值．
专题复习·数学（理）
必考点八
解三角形的综合问题
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、 边长及面积
类 型
类型二 解三角形的实际应用 类型三 三角形与三角函数、向量的综合问 题
高考·预测
பைடு நூலகம்
运筹帷幄之中
1 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，解决三角形中的边角计算 问题．
2 利用正弦定理和余弦定理及其变形解决三角形的形状问题． 3 解三角形与三角函数的性质、向量相结合的问题．
π 3．若三角形ABC为锐角三角形，则A＋B＞ ，sin A＞cos B，cos A＜sin 2 B，a2＋b2＞c2. 若三角形ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B＜ B，cos A＞sin B. π ，sin A＜cos 2
4．在△ABC中，ccos B＋bcos C＝a.
B＋C A 5．sin A＝sin(B＋C)，sin ＝cos . 2 2 a＋b＋c a b c 6. ＝ ＝ ＝ . sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
a2＋b2－ab＝4 2 3 4 3 联立 ，解得 a＝ ，b＝ ， 3 3 b ＝ 2 a
π π ∴b2＝a2＋ c2，∵C＝ ，∴A＝ . 3 6 π π 综上所述，A＝ 或 A＝ .(12 分) 2 6
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
得分点及踩点说明
(1)第一问中，正确应用余弦定理和面积公式，各得 2 分，错一个只得 2 分；错 2 个，第一问不得分．
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第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件
22
∴ba＝ssiinn BA＝
3 3
＝2 3
6.
3
目录
解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
解 证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos
目录
2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理，三角形面积公式)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； 解：由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a. 结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝16＋2450－36＝18，所以 sin
C＝ 1－cos2C＝387， 所以 S△ABC＝12absin C＝12×4×5×387＝154 7.
目录
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由．
解：设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos
C＝
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 2ab
＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a
目录
三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1
高考数学(理)二轮ppt课件：三角函数、解三角形、平面向量
三角函数、解三角形、平面向量
要点回扣
易错警示
查缺补漏
要点回扣
1.α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)⇔α＝θ ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的 角不一定相等. 任意角的三角函数的定义：设 α 是任意一个角，P(x，y)是 α 的终边上的任意一点 ( 异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ y x y 2 2 x ＋y >0，那么 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)，三角 r r x 函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关.
π 0， 2
.
[ 问 题 3] 函 数 π 5 kπ－ ，kπ＋ π(k∈Z) ________________________. 12 12
π y ＝ sin －2x＋ 的 递 减 区 间 是 3
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
[问题6]
下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；
②若 |a| ＝ |b| ，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a∥b ，则
|a|＝ |b|；④若 a＝ 0，则－ a＝ 0.其中正确命题是
________. ④
7.向量的数量积 |a| ＝a ＝a· a，
＝kπ，k∈Z； 对称中心： y＝ sin x， (kπ， 0)， k∈Z； y ＝ cos x，
kπ π kπ＋ ，0，k∈ Z；y＝tan x， ，0 ，k∈Z. 2 2
(3)单调区间：
π π y＝sin x 的增区间：－ ＋2kπ， ＋2kπ 2 2 π 3π 减区间： ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)； 2 2
要点回扣
易错警示
查缺补漏
要点回扣
1.α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)⇔α＝θ ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的 角不一定相等. 任意角的三角函数的定义：设 α 是任意一个角，P(x，y)是 α 的终边上的任意一点 ( 异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ y x y 2 2 x ＋y >0，那么 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)，三角 r r x 函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关.
π 0， 2
.
[ 问 题 3] 函 数 π 5 kπ－ ，kπ＋ π(k∈Z) ________________________. 12 12
π y ＝ sin －2x＋ 的 递 减 区 间 是 3
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
[问题6]
下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；
②若 |a| ＝ |b| ，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a∥b ，则
|a|＝ |b|；④若 a＝ 0，则－ a＝ 0.其中正确命题是
________. ④
7.向量的数量积 |a| ＝a ＝a· a，
＝kπ，k∈Z； 对称中心： y＝ sin x， (kπ， 0)， k∈Z； y ＝ cos x，
kπ π kπ＋ ，0，k∈ Z；y＝tan x， ，0 ，k∈Z. 2 2
(3)单调区间：
π π y＝sin x 的增区间：－ ＋2kπ， ＋2kπ 2 2 π 3π 减区间： ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)； 2 2
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 解三角形应用举例课件 理
问题.
角函数的性质交汇命题，且多以解答题的形式呈现，
解题时要注意一些常用术语，充分结合数形结合及
转化化归思想的运用.
课时思维激活
教材知识梳理和小题探究
回扣教材
1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的角叫仰角，在水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．
又 sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°
＝ 23× 22－12× 22＝
6－ 4
2，
所以 AB＝AsCinsi1n56°0°＝3
2＋ 20
6，
因此，BD＝3
2＋ 20
6≈0.33(km)．
故 B，D 的距离约为 0.33 km.
距离问题的类型及解法 (1)类型：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、 两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题， 从而利用正余弦定理求解.
MN＝
900＋300－2×30×10
3×
3 2
＝ 300＝10 3(m)．
考点多维探究
考点 1 测量距离问题 研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档 题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余 弦定理求解，且主要有以下几个命题角度.
高考第二轮复习利用正余弦定理解三角形课件
π ∵C∈(0，π)，∴C＝ 3 . (2)由(1)及余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝21， 又 c＝2 3，∴a2＋b2－12＝ab， ∴(a＋b)2－12＝3ab≤3a＋2 b2， 即(a＋b)2≤48(当且仅当 a＝b＝2 3时等号成立)． ∴△ABC 周长的最大值为 6 3.
【解析】 ∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又 sin Bsin C＞0，∴sin A＝21. 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝28bc＝b4c＞0，
∴cos A＝ 23，bc＝co4s A＝833，
【解析】 (1)根据正弦定理，由已知得 (sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0. 即 sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C， ∴sin(A＋C)＝2sin Bcos C， ∵A＋C＝π－B，∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B＞0， ∴sin B＝2sin Bcos C，∴cos C＝12.
【解析】 (1)方法一：由 2ccos B＝2a＋b 及余弦定理，得 2c·a2＋2ca2c－b2＝2a＋b，
得 a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即 a2＋b2－c2＝－ab， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2aabb＝－21， 又 0＜C＜π，∴C＝23π.
方法二：∵sina A＝sinb B＝sinc C， ∴由已知可得 2sin Ccos B＝2sin A＋sin B， 则有 2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B， ∴2sin Bcos C＋sin B＝0， ∵B 为三角形的内角，∴sin B≠0，∴cos C＝－12. ∵C 为三角形的内角，∴C＝2π 3 .
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
《高二数学解三角形》课件
方向测量
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
解三角形PPT课件
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解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
第15页/共40页
2 sin15 sin45
6 2
2
第19页/共40页
方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
2
cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
第4页/共40页
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
第15页/共40页
2 sin15 sin45
6 2
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方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
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cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
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(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.
解三角形的综合应用课件-2023年高三数学二轮复习 课件
【例 3】在 ABC中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c
满足 b2 c2 a2 bc ， a 3 ， 2
求 b c 的取值范围.
小结：
求取值范围的问题经常利用正、余 弦定理，转化为角的关系，利用三角变 换进行化简，或者利用正、余弦定理化 边后利用基本不等式解决.
【练一练】
在 ABC中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， a 2 且 (2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ， 求 ABC面积的最大值.
课堂小结:
1.正弦定理与余弦定理多种表达 形式的灵活应用.
2.解题过程中注意转化的思想， 消元思想和方程的思想.
【 高 考 实战演练】
cos A 1 2
A(0, ) A
3 又 sin A 2sin B cosC
sin B cos C cos B sin C 0
sin(B C) 0 在ABC中，B C,
ABC
3 ABC为等边三角形.
sin(B C) 2sin B sin C
sin B cosC cos B sin C 2sin B cosC
1. ABC的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，
若 B 2A， a 1， b 3 ，则△ABC 的形状为（ A）.
A.直角三角形
B.锐角三角形 C.钝角三角形
D.不确定
2. 在 ABC中，已知 AB AC tan A ，当 A 时，
1
6
ABC的面积为_____6_______.
且 sin A 2sin BcosC .判断 ABC的形状.
解1：
(a b c)(b c a) 3bc a2 b2 c2 ab