新编人教a高中数学必修5全册教案导学案含答案
目录1.1正弦定理1.2余弦定理2.1数列的概念2.2等差数列2.3等差数列的前n和2.4等比数例2.5等比数例的前n项和3.1不等式关系3.2不等式一元二次不等式及其解法3.3一元二次不等式（组）与简单线性规划问题3.4基本不等式第一章 解斜三角形1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abc==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学过程 1[创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 2[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即=a c同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b cB C从而sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa =； β②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin32.0==≈a C c cm评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC= 证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-， 两式相除得BD ABDC AC= 五巩固深化反馈研究1已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ 3 D 2（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 （3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则a=------------------------，b=------------------------（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin + 六，课堂小结（有学生自己总结） 七 板书设计略五 [课堂小结]（由学生归纳总结）1.1.1 正弦定理 学案【预习达标】在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，A B Dβα 1800- α1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin aA= = 。
2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin aA= ，同理得 ，故有sin aA= 。
3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A = ，故有sin aA= 。
【典例解析】一 新课导入，推导公式 （1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC= 【达标练习】1. 已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ3 D 2（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -（3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=------------------------，b=------------------------（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin + 参考答案【预习达标】1．a,b,sin sin b c B C =. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin aA =sin c C ,sin bB =sin c C. 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin cC .【典例解析】如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA C同理，过点C 作⊥j BC ，可得 =b c从而sin sin ab=sin c=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin ab=sin c=例1解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-， 两式相除得BD ABDC AC= 【双基达标】1．（1）C （2）D （3）sin aA =sin b B =sin c C.（4）36-126 126-24（5）2, 2.5, 3 ，2．证明：设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C === sin sin sin sin sin sin a b k A k B A B c k C C+++∴==ABDβ β α 1800- α§1.1.2 正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
人教A版高二数学必修五导学案及答案全套高二数学必修五导学案：课程整合《数列求和》第1课时
第二章数列课程整合1数列乞降共两课时** 学习目标 **1．掌握数列乞降的方法；2．能依照和式的特点采纳相应的方法乞降．** 要点精讲 **1．公式法：等差、等比数列乞降公式；nk2 12 22 32 n 2 1n( n 1)(2n 1) ，公式：k 1 6n2 k3 13 23 n 31n( n 1) 等。
k 122．错位相减法：若a n 是等差数列，b n是等比数列，则求数列a n b n的前 n 项和 S n，常用错位相减法。
3．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。
4．分组乞降法：把一个数列分成几个可以直接乞降的数列。
5．并项乞降法：特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式6．倒序相加法：近似于等差数列前 n 项和公式的推导方法．** 模范解析 **例 1．乞降：S 1 (1 q) (1 q q2 ) (1 q q2 q n ) ．n例 2．（ 1）已知数列a n 满足 a n1，求 S n。
n n 1( n 1 n)（ 2）已知数列 a 的通项公式 a1 ，求 S 。
n2n n 2n n（ 3）已知数列 a 的通项公式 a4n2 ，求 S 。
n n (2n 1)(2n 1) n（ 4）乞降：S n 11 1 1。
1 2 1 2 3 1 2 3 n例 3 ．（ 1）乞降：1 2 2 33 4(1)n nS n（ 2）乞降： S 1 3 57 9( 1)n (2n1)n（ 3）已知函数对所有 x R ， f (x)f (1 x) 1 。
新 课 标第一 网乞降： Sf (0) f ( 1 ) f ( 2 )f (n2 )f (n 1) f (1) 。
n n nn例 4．在等差数列 { a n } 中 ,首项 a 11，数列 { b n } 满足 b n(1) a n ，且 b 1b 2 b 3 1 。
264（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）求证： a 1b 1 a 2b 2a nb n 2 。
人教A版高中数学必修5全册导学案
人教A版高中数学必修五全册导学案目录第一章解三角形 (1)1.1.1正弦定理 (1)1.1.2余弦定理 (4)1.2.1应用举例 (8)1.2.2解三角形实际应用举例习题 (12)必修五第一章测试题 (15)第二章数列 (19)2．1数列的概念与简单表示法 (19)2．2等差数列 (22)2．3等差数列的前n项和 (26)2．4等比数列 (31)2．5等比数列的前n项和 (34)必修五第二章测试题 (38)第三章不等式 (38)3.1不等式与不等关系 (38)课题：3.2一元二次不等式及其解法(1) (42)课题：3.2一元二次不等式及其解法(2) (47)课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1） (50)课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2） (52)课题：3.3.2简单的线性规划（1） ........................................................... 56 课题：3.3.2简单的线性规划（2） ........................................................... 61 课题：3.3.2简单的线性规划（3） ........................................................... 65 课题：3.42a b+ ................................................................ 69 课题：3.42a b + (73)必修五第三章测试题 (76)高中数学必修五全册导学案第一章解三角形1.1.1正弦定理【学习目标】1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理，初步学会由特殊到一般的思想方法发现数学规律。
（难点）2.掌握正弦定理，并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。
人教A版必修5数学 精品导学案：1.2应用举例—①
§1.2应用举例—①班级姓名学号学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC=α，∠ACB=β. 求A、B两点的距离.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.例3、坡度、仰角、俯角、方位角探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时2. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．4.在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c A:B:C 的值.1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C 、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 在∆ABC中，b=2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学人教A版必修5自主学习导学案2.6数列求通项公式的典型方法(学生版 教师版) Word版含解析
数列求通项公式的典型方法（学生版）
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，
而数列的前项和可视为数列的通项
求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等
．归纳法
【例】已知数列试写出其一个通项公式：
练习．已知数列，试写出下列数列的一个通项公式：
练习．数列，－，，－，…的一个通项公式是( )
．＝(－)＋·．＝(－)－·．＝(－)＋·．＝(－)－·
．公式法
利用＝(\\(，＝，－－，≥.))或利用等差、等比通项公式.
【例】已知下面各数列的前项和为的公式，求的通项公式．
()＝－；()＝－.
练习．已知下面各数列{}的前项和的公式，求数列{}的通项公式．() ＝＋；()＝＋＋.
【例】已知数列{}的前项和＝＋，求{}通项公式．
练习．设数列{}的前项和为，已知＝，＋＝(＝，…)．求证：数列是等比数列．
．累加法
累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求和．其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解．
【例】已知数列满足，，求．
【例】已知数列满足，，求．
练习．已知数列满足，求数列的通项公式。
练习．已知数列中，满足,求数列的通项公式．
练习．已知数列中，满足,求数列的通项公式．
．累乘法
累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有。
新人教A版必修5高中数学第一章1.2应用举例(一)导学案
§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题 1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45° 解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．。
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数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
【范文】高二数学必修五全套导学案及答案(人教A版)
高二数学必修五全套导学案及答案（人教A版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址1．1．1正弦定理【学习目标】．掌握正弦定理的推导过程；2．理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用；3．能应用正弦定理解斜三角形【重点难点】正弦定理及其应用；解三角形中知两边一对角型中解的判断。
【知识梳理】．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即===2R（R为△ABc外接圆半径）2．正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角3．中，已知及锐角，则、、满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？（见图示）:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:【范例分析】例1．（1）已知下列三角形的两边及其一边对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。
①；②；③；④。
（2）在中,,若有两解,则的取值范围为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、例2．（1）在△ABc中，已知，求的值；（2）在△ABc中，已知，求的值。
例3．（1）在△ABc中，已知AB=l，∠c=50°，当∠B 多大时，Bc的长取得最大值.？（2）△ABc的三个角满足A<B<c,且2B=A+c,最大边为最小边的2倍,求三内角之比。
（2）在中，，求的外接圆半径和面积。
【规律总结】．正弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关涉及到三角形的其他问题中，也常会用到正弦定理。
正余弦定理的边角互换功能①，，②，，③==④2．结合正弦定理，三角形的面积公式有以下几种形式：其中分别表示的边上的高、外接圆半径。
一、选择题．在△ABc中，a＝10，B=60°,c=45°,则c等于（）A．B．c．D．2．在中，若，则的值为（）A．B．c．D．3、已知△ABc的面积为，且，则∠A等于（）A．30°B．30°或150°c．60°D．60°或120°4．△ABc中,∠A、∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°,, 那么满足条件的△ABc（）A．有一个解B．有两个解c．无解D．不能确定5．在△ABc中，已知60°，如果△ABc两组解，则x的取值范围是A．B．c．D．二、填空题6．在△ABc中，若∠A:∠B:∠c=1:2:3,则7．在△ABc中，，则此三角形的最大边长为，外接圆半径为，面积为。
数学人教A版高中必修5数列专题导学案
高考数列专题考情分析——全国卷中数列与三角函数基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题，从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题，难度中等。
题型1 等差、等比数列的基本运算方法归纳: 五个基本量，熟悉公式，方程思想，多用性质可以简化运算。
1．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二 等差、等比数列的判定与证明方法归纳——紧抓定义证明，难度不大。
5．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.题型3 数列的通项与求和问题方法归纳——数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本量问题；求和问题关键在于分析通项的结构体征，选做适合的求和方法，常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(一)导学案
1．1.2 余弦定理(一) 课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322³7³43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B 解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°答案 B 解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2³2³4³cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．。
高二数学必修五全套导学案及答案人教A版
高二数学必修五全套导学案及答案（人教A版）1．1．1 正弦定理【学习目标】 1．掌握正弦定理的推导过程； 2．理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用； 3．能应用正弦定理解斜三角形【重点难点】正弦定理及其应用；解三角形中知两边一对角型中解的判断。
【知识梳理】 1．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） 2．正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 3．中，已知及锐角，则、、满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？（见图示）: ⑴若A为锐角时: ⑵若A为直角或钝角时: 【范例分析】例1．（1）已知下列三角形的两边及其一边对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。
① ；② ；③ ；④ 。
（2）在中, , 若有两解, 则的取值范围为 ( ) Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、例2．（1）在△ABC中，已知，求的值；（2）在△ABC中，已知，求的值。
例3．（1）在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B多大时，BC的长取得最大值.？（2）△ABC的三个角满足A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍 ,求三内角之比。
（2）在中，，求的外接圆半径和面积。
【规律总结】 1．正弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决�ピ谏婕暗饺�角形的其他问题中，也常会用到正弦定理。
正余弦定理的边角互换功能① ，，② ，，③ = = ④ 2．结合正弦定理，三角形的面积公式有以下几种形式：其中分别表示的边上的高、外接圆半径。
一、选择题 1．在△ABC中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c等于（） A． B． C． D． 2．在中，若，则的值为（） A．B． C． D． 3、已知△ABC的面积为，且，则∠A 等于（） A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 4．△ABC中,∠A、∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°, , 那么满足条件的△ABC（） A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定 5．在△ABC中，已知60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围是( ) A． B． C． D．二、填空题 6．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 7．在△ABC中，，则此三角形的最大边长为，外接圆半径为，面积为。