正弦余弦定理判断三角形形状专题56523
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2
2
2
sin sin sin +=,试判断三角形的形状．
例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο
60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.
例3：在△ABC 中，已知
22
tan tan b
a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA=
C
B C
B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．
例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，5
4
cos =
A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、
B 、
C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ）
∴△ABC 为钝角三角形。
例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ） 例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::2:6:(31)a b c =+，试判断三角形的形状。 所以三角形为锐角三角形。
3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.
4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB
→|AB →| +AC
→|AC →| )·BC →=0且AB
→|AB →| ·AC
→|AC →| =12
, 则△
ABC 为( )
A 、三边均不相等的三角形
B 、直角三角形
C 、等腰非等边三角形
D 、等边三角形
5、在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r 若,a b b c c a ?=?=?r r r r r r 判断ABC ?的形状。
6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状 故此三角形是等腰三角形.
7、在ABC ?中，如果lg a lg c -=lg sin lg 2B =-，且角B 为锐角判断此三角形的形状。 故此三角形是等腰直角三角形。
巩固练习：在ABC ?中，若
22
tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状。 ABC ∴?为等腰三角形或直角三角形。
1．（2014?静安区校级模拟）若，则△ABC 为（ ）
A ． 等腰三角形
B ． 直角三角形
C ． 锐角三角形
D ． 不能判断
2．（2014秋?郑州期末）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足6sinA=4sinB=3sinC ，则△ABC
A ．一定是锐角三角形
B ． 一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 3．A 为三角形ABC 的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（ ） A ． 锐角三角形 B ．
钝角三角形 C ．
等腰直角三角形 D ． 等腰三角形
4．（2014?天津学业考试）在△ABC 中，sinA ?sinB ＜cosA ?cosB ，则这个三角形的形状是（ ） A ． 锐角三角形
B ． 钝角三角形
C ． 直角三角形
D ． 等腰三角形
5．（2014春?禅城区期末）已知：在△ABC 中，，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形6．已知△ABC满足，则△ABC是（）
A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（2014?马鞍山二模）已知非零向量与满足且
=．则△ABC为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC 是
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．（2014?黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）?=0，且?=，则△ABC为（）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形10．（2014?奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若?（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定11．已知向量，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
12．（2014秋?景洪市校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC的形状为（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰或直角三角形D．直角三角形13．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形14．在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形但不是等边三角形15．在△ABC中，tanA?sin2B=tanB?sin2A，那么△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形16．（2014?漳州四模）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形17．（2014?云南模拟）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定18．（2013秋?金台区校级期末）双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形19．（2014?红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件20．（2014秋?德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
21．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为．
22．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．
23．已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于．
24．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．25．在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为．
26．（2014春?常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是．27．（2014春?石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是
三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．
28．（2013春?遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为三角形．29．（2013秋?沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）
30．（2014春?宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为三角形．
【考点训练】三角形的形状判断-2
参考答案与试题解析
一、选择题（共20小题）
1．（2014?静安区校级模拟）若，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能判断
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：利用平方差公式，由，推出AB=AC，即可得出△ABC 为等腰三角形．
解答：解：由，得：
，
∴故AB=AC，
△ABC为等腰三角形，
故选A．
点评：本小题主要考查向量的数量积、向量的模、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
2．（2014秋?郑州期末）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．
解答：解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，
∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8
设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣
∵C是三角形内角，得C∈（0，π），
∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角
因此，△ABC是钝角三角形
故选：C
点评：本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
3．（2014秋?祁县校级期末）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．
解答：解：∵sinA+cosA=，
∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，
∵sin2A+cos2A=1，
∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，
∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，
∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形
故选：B
点评：本题给出三角形的内角A的正弦、余弦的和，判断三角形的形状．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题．
4．（2014?天津学业考试）在△ABC中，sinA?sinB＜cosA?cosB，则这个三角形的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
考点：三角形的形状判断；两角和与差的余弦函数．
专题：计算题．
分析：对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出A+B的范围，即可判断三角形的形状．解答：解：因为在△ABC中，sinA?sinB＜cosA?cosB，所以cos（A+B）＞0，所以A+B∈（0，），C＞，
所以三角形是钝角三角形．
故选B．
点评：本题考查三角形的形状的判定，两角和的余弦函数的应用，注意角的范围是解题的关键．
5．（2014春?禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C ﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．
解答：解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，
故选C．
点评：本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（C﹣B）=0 及﹣π＜C﹣B＜π，是解题的关键．
6．（2014?南康市校级模拟）已知△ABC满足，则△ABC是（）
A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+?，得?=0．结合向量数量积的运算性质，可得CA⊥CB，得△ABC是直角三角形．
解答：解：∵△ABC中，，
∴
=（﹣）+?=?+?
即=+?，得?=0
∴⊥即CA⊥CB，可得△ABC是直角三角形
故选：C
点评：本题给出三角形ABC中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．
7．（2014?马鞍山二模）已知非零向量与满足且
=．则△ABC为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．
解答：解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．
又因为，所以∠BAC=60°，
所以三角形是正三角形．
故选A．
点评：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．
8．（2014?蓟县校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且
2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：整理题设等式，代入余弦定理中求得cosC的值，小于0判断出C为钝角，进而可推断出三角形为钝角三角形．
解答：解：∵2c2=2a2+2b2+ab，
∴a2+b2﹣c2=﹣ab，
∴cosC==﹣＜0．
则△ABC是钝角三角形．
故选A
点评：本题主要考查了三角形形状的判断，余弦定理的应用．一般是通过已知条件，通过求角的正弦值或余弦值求得问题的答案．
9．（2014?黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）?=0，且
?=，则△ABC为（）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：设，由=0，可得AD⊥BC，再根据边形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAC，
再由第二个条件可得∠BAC=60°，由△ABH≌△AHC，得到AB=AC，得到△ABC是等边三角形．
解答：解：设，则原式化为=0，
即=0，∴AD⊥BC．
∵四边形AEDF是菱形，|?=||?||?cos∠BAC=，
∴cos∠BAC=，∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，∴△ABH≌△AHC，∴AB=AC．
∴△ABC是等边三角形．
点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题．
10．（2014?奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若?（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：依题意，可知+=；利用向量的数量积即可判断三角形ABC的形状．
解答：解：∵=，=，
∴+=+=；
∵?（+）＜0，
∴?＜0，
即||?||?cos∠BAC＜0，
∵||?||＞0，
∴cos∠BAC＜0，即∠BAC＞90°．
∴三角形ABC为钝角三角形．
故选B．
点评：本题考查三角形的形状判断，+=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
11．（2015?温江区校级模拟）已知向量
，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
考点：三角形的形状判断；数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：由数量积的坐标运算可得＞0，而向量的夹角=π﹣B，进而可得B为钝角，可得答案．
解答：解：由题意可得：=（cos120°，sin120°）?（cos30°，sin45°）=（，）?（，）==＞0，
又向量的夹角=π﹣B，故cos（π﹣B）＞0，即cosB＜0，故B为钝角，
故△ABC为钝角三角形
故选D
点评：本题为三角形性质的判断，由向量的数量积说明角的范围是解决问题的关键，属中档题．
12．（2014秋?景洪市校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC的形状为（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．等腰或直角三角形D．直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等，整理后得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．
解答：解：∵cos2=，
∴=，
∴cosA=，又根据余弦定理得：cosA=，
∴=，
∴b2+c2﹣a2=2b2，即a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形．
故选D．
点评：此题考查了三角形形状的判断，考查二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
13．（2014?咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等边三角形
C．非等边锐角三角形D．钝角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．
解答：解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C．
又∵A+B+C=180°，
∴B=60°．
设D为AC边上的中点，
则+=2．
又∵，
∴．
∴即△ABC为等腰三角形，AB=BC，
又∵B=60°，
故△ABC为等边三角形．
故选：B．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断△ABC为等腰三角形是解答本题的关键．
14．（2014?奎文区校级模拟）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：将c+a+b=转化为以与为基底的关系，即可得到答案．
解答：解：∵=﹣，=﹣，
∴c+a+b=c﹣a+b（﹣）=
即c+b﹣（a+b）=，
∵P是BC边中点，
∴=（+），
∴c+b﹣（a+b）（+）=，
∴c﹣（a+b）=0且b﹣（a+b）=0，
∴a=b=c．
故选A．
点评：本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题．
15．（2014秋?正定县校级期末）在△ABC中，tanA?sin2B=tanB?sin2A，那么△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：综合题．
分析：把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B为三角形的内角，得到2A与2B相等或互补，从而得到A与B相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形．
解答：解：原式tanA?sin2B=tanB?sin2A，
变形为：=，
化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，
即sin2A=sin2B，
∵A和B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选D．
点评：此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为sin2A=sin2B是解本题的关键．
16．（2014?漳州四模）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：通过两个等式推出b=c，然后求出A的大小，即可判断三角形的形状．
解答：解：因为在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA 所以，所以b=c，2bcosA=c，所以cosA=，A=60°，
所以三角形是正三角形．
故选C．
点评：本题考查三角形的形状的判断，三角函数值的求法，考查计算能力．
17．（2014?云南模拟）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
考点：三角形的形状判断．
专题：综合题．
分析：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB ＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．
解答：解：因为A和B都为三角形中的内角，
由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，
且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，
所以tan（A+B）=＜0，
则A+B∈（，π），即C都为锐角，
所以△ABC是锐角三角形．
故答案为：锐角三角形
点评：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．
18．（2013秋?金台区校级期末）双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
考点：三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
专题：计算题．
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。 (文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案： 证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形 （2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷 题型：解答题，难度：中档 (文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。 答案： （1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5， 从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷 题型：解答题，难度：容易 在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 例3：在△ABC 中，已知 22 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，5 4 cos = A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、 B 、 C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ） ∴△ABC 为钝角三角形。 例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ） 例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::1)a b c =，试判断三角形的形状。 所以三角形为锐角三角形。 3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形. 4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ ABC 为( ) A 、三边均不相等的三角形 B 、直角三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、等边三角形 5、在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c === 若,a b b c c a ?=?=? 判断ABC ?的形状。 6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状 故此三角形是等腰三角形. 7、在ABC ?中，如果lg a lg c -=lgsin B =-B 为锐角判断此三角形的形状。 故此三角形是等腰直角三角形。 巩固练习：在ABC ?中，若 22 tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状。 ABC ∴?为等腰三角形或直角三角形。 一、运用正弦定理进行判断 基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。 二、运用余弦定理进行判断 基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。 三、运用正、余弦定理综合判断 基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。 1、已知在△ABC 中，A c b cos ?=，试判断△ABC 的性状。 2 222222cos 22cos c b a a c b A bc b A c b =+∴-+=?=∴?=Θ ∴ΔABC 为直角三角形 2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。 2 2 2) 2cos(cos sin cos π π π π ＞＜＜＞＞C B A B A B A B A ∴+∴-∴-∴Θ ∴ΔABC 为钝角三角形 3、已知在△ABC 中，C a b sin ?=，且)2sin(B a c -?=π ，试判断△ABC 的形状。 2 222222cos 22cos )2sin(a c b b c a B ac c B a B a c =+∴-+=?=∴?=-?=π Θ ∴ΔABC 为直角三角形，且a c C =sin c b C a b =∴?=sin Θ ∴ΔABC 为等腰直角三角形 4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=?，试判断△ABC 的性状。 b a b c a c B ac c B a =∴-+==?∴=?∴=?2222cos 2cos 2C sin cosB 2sinA Θ 解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形. 教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心 【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理 一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识.自主学习 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以 变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余 弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并 可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 利用平面向量判断三角形形状 1．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ?=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述均不是 【答案】B 【解析】 【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】 如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ， 则G 在AD 上，1 3 GD AD = ，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ?=+?=?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111()()()53326 GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =?=?=?+?-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 2．若O 为ABC ?所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -?-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则 ABC ?的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 三角形的形状的判定 浙江奉化江口中学（315504）毛显勇 在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。 1、复习三角形中有关知识： 1.1角的关系：A+B+C=ππ=?C -(A+B)、 2 22B A C +-=π 或A+B=π-C 、2 22C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===。 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=。 三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。 按边分：等腰Δ，等边Δ。 其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。 2、三角形形状的判定： 在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。 2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ? A=B 则三角形是等腰三角形； 2.2若2 22c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形； 22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形； 222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。 2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形； cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。 2.4若a ?b =0?a ⊥b ，则三角形是直角三角形。 3、举例应用： 高三文科数学：三角函数与正余弦定理专题 一、选择题： 1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－2 2 B.22 C.3 2 D ．1 2．(2013·江西高考)若sin α 2＝3 3，则cos α＝( ) A ．－2 3 B ．－1 3 C.1 3 D.2 3 3．已知tan ????α－π 6＝3 7，tan ????π 6＋β＝2 5，则tan(α＋β)的值为( ) A.29 41 B.1 29 C.1 41 D ．1 4．把y ＝sin 1 2x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( ) A ．1 B ．4 C.1 4 D ．2 5．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移1 2个单位 D ．向右平移1 2个单位 6.若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题： 7．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________. 8.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角为________． 9．函数y ＝cos ????2x ＋π 6的单调递增区间为________． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ， 则角C ＝________. 三、解答题： 11. (2015·山东高考)设2()sin cos cos ()4f x x x x π =-+ （1）求()f x 的单调区间 （2）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02A f =，1a =， 求ABC ?面积的最大值 12.已知2tan =θ， 求（Ⅰ）θ θθθsin cos sin cos -+；（Ⅱ）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有：为外接圆的半径 三角形的面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状： 为锐角三角形 ，为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有： 形为正三角形 成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式： α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式： 判断三角形形状的常用方法 判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。 一、配方法 例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若?ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足 a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则?ABC 是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得 a b c a b b c c a 4442222220++---= 配方得： 12 022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，， 得a b c BC ==，?A 为等边三角形，故选D 。 例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）?ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c a b c 222325215++=?+..，则?ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 以上答案都不对 解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得： 44138120222a b c ac bc ++--= 到此思路已经明朗，配方得 423022()()a c b c -+-= 所以a c -=0且230b c -= 得c a b a ==，32 所以?ABC 是等腰三角形，故选B 。 二、因式分解 例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则?ABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定 理夯基提能作业本文 1.在△ABC中,若=,则B的值为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(xx广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b 正弦定理和余弦定理 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法。 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B . 两类问题n 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 双基自测 1．()在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．56 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° §4.1 弧度制及任意角的三角函数 知识梳理： 1．弧度制 (1)弧度与角度的换算：360°＝ rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′. (2)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_____；扇形面积公式S 扇＝________＝__________． 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝__________，cos α＝__________，tan α＝__________ (x≠0)． (3)三角函数值在各象限的符号 sin α cos α tan α 基础自测： 如果sin α＞0，且cos α＜0，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 已知α是锐角，那么2α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角 若点P 在2π 3 的终边上，且|OP |＝2，则点P 的 横坐标为( ) A ．1 B ．－1 C .3 D ．－3 若点P ()x ，y 是30°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为________． 半径为R 的圆的一段弧长等于23R ，则这段 弧所对的圆心角的弧度数是____________． 例题分析： 如图所示，已知扇形AOB 的圆心角 ∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求： (1)AB ︵ 的长；(2)弓形ACB 的面积． 扇形AOB 的周长为8 cm .若这个扇形的面 积为3 cm 2，求圆心角的大小． 已知角α的终边经过点P (3m －9，m ＋2)． (1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围． 作业： 1．若sin θcos θ<0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第二或第四象限角 2．(2014·全国)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A .45 B .3 5 C ．－3 5 D ．－45 3．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25 B .2 5 C ．0 D .25或－2 5 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C .2 sin1 D ．sin2 5．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |的值域是( ) A ．{－1,1} B ．{1,3} C ．{1,－3} D ．{－1,3} 6．点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针 判定三角形形状的十种方法 数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。 1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则△ABC为等腰三角形。 2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, 则△ABC为等边三角形。 3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； 若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形； 若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。 4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形。 5、若有a=b且a2+b2=c2， 则△ABC为等腰直角三角形。 以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。 6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB, 则△ABC为直角三角形或等腰三角形。 7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。 8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中 的最大角), 则△ABC为钝角三角形。 9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如 tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。 10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如 cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。 以下就一些具体实例进行分析解答： 一、利用方程根的性质： 例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一 个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三 角形为（） （A）锐角三角形；（B）钝角三角形； （C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角 三角形； (“缙云杯”初中数学邀请赛) 解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加， 得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾， ∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根， ∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边 的直角三角形，故应选（D） 二、利用根的判别式 正余弦定理与三角形形状的判断 一、掌握基本原理 常用的定理或公式主要有以下几个： （1）在△ABC 中，A + B + C = π， 2 22C B A -=+π， () C B A s i n s i n =+，()C B A cos cos -=+， sin （A+B/2）=cos （C/2），2 cot 2tan C B A =+ ． （2）正余弦定理及其变式： 如a = 2R sin A ，b 2 + c 2－a 2 =2b c cos A ，这里， R 为三角形外接圆的半径． （限于篇幅，定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出）． （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ．（用余弦定理很容易证得，请读者作为练习自行证之） 二、弄清题目类型 1.目标明确型 例1 在△ABC 中，a 2+b 2=c 2+ab ，且sin A sin B = 4 3 ，求证：△ABC 为等边三角形. 分析：由a 2+b 2=c 2+ab ，知，用余弦定理可求出C 角， 证明：由余弦定理，得c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ∵a 2+b 2=c 2+ab ， ∴ab －2ab cos C =0. ∴cos C = 21 ，∴C =60° ∵sin A sin B =43，cos （A +B ）=cos （180°－C ）=cos120°=－2 1 ， cos （A +B ）=cos A cos B －sin A sin B ， ∴cos A cos B = 4 1. ∴cos （A －B ）=cos A cos B +sin A sin B =1. ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B =0. ∴A =B =60° ∴△ABC 是等边三角形. 评注：这类题目往往由于目标明确，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步结论之后能够很快确定后续思路．尤其本题中首先得出了一个特殊角，加之sin A sin B =4 3 ，则更容易联想到三角形内角和定理了． 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心 【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。使用！！！】 主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理 一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识.自主学习 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余 弦定理可以变形：cos A ＝ b 2＋ c 2－a 2 2bc ，cos B ＝ a 2＋c 2－ b 2 2ac ，cos C ＝ a 2＋ b 2－ c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形切圆的半径)， 并可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： 三角函数部分专题 题型分析：1，化简题，充分运用和差公式和和差化积公式，以及倍角公式化简，高幂的先降幂，低幂的先升幂，趁着思考，冷静应对。 2，求三角形类型题，主推正余玄定理。 两角和与差的三角函数 sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]*cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]*sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]*cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]*sin[(α-β)/2] sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan²α) cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec²α/(1-tan²α) csc(2α)=1/2*secα·cscα 半角公式 sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2] tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) 正弦定理.余弦定理农其应用 【高考风向】1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考 查. 【学习要领】1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转 换，和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 sin A sin B 启=2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以 变形：(1)a : b : c = sin_A : sin_B : sin_C ； (2)a = 2Rsin_A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin_C ； ［难点正本疑点清源］ 1. 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大, 即在△ ABC 中，A>B? a>b? sin A>sin B ； tanA+tanB+tanC=tanA tanB t a nC ;在锐角三角 形中，cosA高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式
三角函数正弦定理和余弦定理
正弦余弦定理判断三角形形状专题
正余弦定理与三角形形状判断附标准答案
(完整版)解三角形三类经典题型
三角函数之正余弦定理
利用平面向量判断三角形形状练习题专题
三角形的形状的判定
高中数学：三角函数与正余弦定理专题
正余弦定理、三角形的一些公式
判断三角形形状的常用方法
2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文
正余弦定理中等题讲义
三角函数正余弦定理
判定三角形形状的十种方法
正余弦定理三角形形状判断
三角函数之正余弦定理
三角函数公式大全(和差化积公式、正余弦公式)
正弦定理和余弦定理详细讲解