【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步双基限时练9(含解析)北师大版必修2
A．EF 与平面α平行 B．EF 与平面α不平行 C．EF 与平面α可能平行也可能相交 D．EF 与平面α相交 解析 ∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF∥BC，故 EF∥α.
1
答案
A )
4．设 a，b 为直线，α，β为不重合的平面，下列条件能得出α∥β的是( A．存在一条直线 aα，a∥β B．存在两平行直线 a，b，aα，bβ，且 a∥β，b∥α C. aα，bα，a∩b＝P，a∥β，b∥β D. a，b 为异面直线 aα，bβ 解析 答案 根据两平面平行的判定定理，可知答案为 C. C
面 ABC.同理，EF∥面 ABC.又 DE∩EF＝E，∴面 DEF∥面 ABC. 12.
如图在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别为 BC，CC1，CD1，A1A 的中点，求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥面 BB1D1D； (3)面 BDF∥面 B1D1H. 证明 (1)取 BB1 的中点 M，连接 C1M，
6
解
点 M 在 FH 上时， 有 MN∥平面 B1BDD1.如图所示， 平面 B1BDD1 是正方体 ABCD－A1B1C1D1
的对角面，探究过点 N 且与平面 B1BDD1 平行的直线，可取 B1C1 的中点 N1，连接 N1N，则 NN1 ∥平面 B1BDD1，连接 NH，则 NH∥平面 B1BDD1. ∵NH∩NN1＝N，∴平面 NN1FH∥平面 B1BDD1. ∵MN平面 NN1FH，∴MN∥平面 B1BDD1.此时，点 M 在 FH 上．
面 AB1D，B1D面 AB1D，∴BC1∥面 AB1D.
答案
平行
三、解答题 10．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E，F 分别为 PB，PC 上的
PE PF 2 点，且 ＝ ＝ ， EB FC 1
求证：EF∥面 PAD. 证明 ∵在△PBC 中，
PE PF 2 ＝ ＝ ， EB FC 1
二、填空题 7．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，与 AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是________．
2
解析 面 A1C1D.
如图所示截面一定过 A1，C1 两点，又截面过三个顶点，故所求截面为 A1C1B 和平
答案
平面 A1C1B 和平面 A1C1D
8．如图所示，在三棱锥 A—BCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，图中 满足线面平行位置关系的所有情况为________．
解析
由 EF∥AC∥HG，得
AC∥面 EFGH，EF∥面 ACD， HG∥面 ABC，
由 EH∥BD∥FG，得
3
EH∥面 BCD，FG∥面 ABD，BD∥面 EFGH.
答案
AC∥面 EFGH，EF∥面 ACD，
HG∥面 ABC，EH∥面 BCD，FG∥面 ABD， BD∥面 EFGH
9． 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D 是 CB 延长线上的一点， 且 BD＝BC， 则直线 BC1 与面 AB1D 的关系是________． 解析 ∵DC∥B1C1，DB＝BC＝B1C1，∴四边形 BDB1C1 为平行四边形，∴DB1∥C1B.又 BC1⃘
A．OQ∥面 PCD C．AQ∥面 PCD 解析 ∵O 为▱ ABCD 对角线的交点，
B．PC∥面 BDQ D．CD∥面 PAB
∴AO＝OC，又 Q 为 PA 的中点，∴QO∥PC. 由线面平行的判定定理，可知 A、B 正确，又 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，故 CD∥ 面 九)
一、选择题 1．下列命题(其中 a，b 表示直线，α表示平面)中，正确的个数是( )
①若 a∥b，bα，则 a∥α；②若 a∥α，b∥α，则 a∥b；③若 a∥b，b∥α，则 a ∥α；④若 a∥α，bα，则 a∥b. A．0 个 C．2 个 解析 B．1 个 D．3 个
对于①，a∥b，bα，则 aα，或 a∥α；对于②，当 a∥α，b∥α时，可
能 a∥b， 也可能 a 与 b 相交或异面， 对于③， 当 a∥b， b∥α时， 可能 a∥α， 也可能 aα； 对于④，当 a∥α，bα时，a 与 b 可能平行，也可能异面，故①②③④均不对． 答案 A
2．若一条直线 l 上有相异的三个点 A，B，C 到平面α的距离相等，那么直线 l 与平面
5
∵C1F 綊 BM， ∴四边形 BMC1F 为平行四边形． ∴BF∥MC1. 又 MH 綊 A1B1 綊 D1C1， ∴四边形 MHD1C1 为平行四边形． ∴D1H∥C1M，∴BF∥D1H. (2)连接 D1B，∵G，E 分别为 D1C 与 BC 的中点， ∴GE∥BD1，又 BD1面 BDD1B1，GE⃘ 面 BDD1B1， ∴GE∥面 BDD1B1. (3)∵BD∥B1D1，又 BD⃘ ∴BD∥面 B1D1H. 面 B1D1H，B1D1B1D1H，
5．若两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点的 个数( ) B．无限个 D．0 个或无限个
A．有限个 C．0 个 解析 答案 两平面可能平行也可能相交，故选 D. D
6．如图 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，Q 为 PA 的中点，O 为 AC 与 BD 的交点， 下面说法错误的是( )
α的位置关系是(
A．l∥α
) B．l⊥α D．l∥α或 lα
C．l 与α相交但不垂直 解析
∵当 l∥α时，直线 l 上任意一点到α的距离相等；当 lα时，直线 l 上所有
点到α的距离都是零，也相等，其他情况不符合． 答案 D )
3．如图，△ABC 的边 BC 在平面α内，点 A 在α外，EF 是△ABC 的中位线，则(
同理可证 BF∥面 B1D1H， 又 BD∩BF＝B，BD面 BDF，BF面 BDF， ∴面 BDF∥面 B1D1H. 思 维 探 究 13．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E， F， G， H 分别是棱 CC1，C1D1， D1D，CD 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 的边及其内部运动，试探求点 M 在怎样的位置 时，有 MN∥面 B1BDD1?
7
4
∴EF∥BC. 又四边形 ABCD 为平行四边形， ∴BC∥AD. ∴EF∥AD. 又 EF⃘ 面 PAD，AD面 PAD， ∴EF∥面 PAD.
11．如图，已知三棱锥 P－ABC，D，E，F 分别为 PA，PB，PC 的中点， 求证：面 DEF∥面 ABC. 证明 在△PAB 中，∵D，E 分别为 PA，PB 的中点，∴DE∥AB，又 DE⃘ 面 ABC，∴DE∥
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形双基限时练3(含解析)新人教A版必修5
双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C . 则cos C ＝ 2a 2＋ 3a 2－ 4a 22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知a ＝b sin A sin B，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A .答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形． 解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°.∴BCsin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B＝3×2232＝ 2.答案 28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5. 答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ，∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2.答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22.即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a＝3.(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练3(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练20
双基限时练(二十)1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3.∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1满足题意，因此选A. 答案 A3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B.答案 B4．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析 由于53>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案 B5．函数y ＝log a (2x －3)＋22的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )A.13B. 3 C ．3D ．9解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x－3)＋22的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，设f (x )＝x α，则22＝2α，故α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (9)＝9－12＝3－1＝13.答案 A6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 构造幂函数y ＝x 34(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .答案 D7．函数y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②8．给出以下列结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案 ④9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x ) (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．12．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p 2的实数a 的取值范围．解 ∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x 3－p是偶函数．又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数， ∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *，∴p ＝1，∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p2化为：(a ＋1) 12<(3－2a ) 12.∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a <23，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。
高中数学 第一章 立体几何初步阶段检测卷(含解析)新人
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步阶段检测卷（含解析）新人教B 版必修2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．10条解析 与AC 相交的直线有AB 、AD 、AA 1、CB 、CD 、CC 1，其他6条均与AC 异面． 答案 B2．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两个球的半径之差为( )A.12B ．1C ．2D ．3 解析 设两个球的半径分别为R 与r (R >r ) 则⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，∴⎩⎪⎨⎪⎧R 3＋r 3＝9，R ＋r ＝3，∴R －r ＝1. 答案 B 3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定答案 A4．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( ) A．a∥b，c∥dB．a、b、c、d中至少有一对直线互相平行C．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行D．a、b、c、d中任何两条直线都不平行解析当a与b相交或a与b异面时，c∥d；当a∥b时，c∥d或c与d异面．答案 B5．一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两段，那么圆锥被分成的两部分的侧面积的比为( )A．1 1 B．1 2 C．1 3 D．1 4解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由于截面过圆锥高的中点，截得小圆锥的母线长为l2，底面半径为r2，∴圆锥被分成的两部分的侧面积之比为π×r2×l2π×r×l－π×r2×l2＝13.答案 C6．若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于( )A．6 B．6π C．35π D．65π解析圆台的侧面积S＝π(r1＋r2)l，其中r1、r2是上、下底面半径，l是母线长，∴该圆台的侧面积为35π.答案 C7．如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12 解析由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S －ABCD ，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A.答案 A8．如图 ，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°解析 由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．答案 D 9.如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥y ′轴，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 2 解析 平面图形还原如图所示．CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2，AB ＝A 1B 1＝2，∠ADC ＝90°.∴S ABCD ＝12×(2＋3)×2＝5.答案 B 10.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 如图①所示，这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成，如图②所示，这个几何体最小时有5个小正方体构成，因此，这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)11．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α其中，真命题是________．解析 平行于同一个平面的两个平面平行，①是真命题；若一个平面平行于另一个平面的垂线，则两个平面垂直，③是真命题．答案 ①③12．在一个半径为13 cm 的球内有一个截面，此截面面积是25π cm 2，则球心到这个截面的距离为________．答案 12 cm 13.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度是________．解析 将三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如下图．在(1)中，EF ＝A 1E 2＋A 1F 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝222；在(2)中，EF ＝EG 2＋FG 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋222＝14＋422； 在(3)中，EF ＝EG 2＋FG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32 2.比较知(3)最小． 答案 322 14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD ＝BD ＝2，∠BAC ＝30°，若它们的斜边AB 重合，让三角板ABD 以AB 为轴转动，则下列说法正确的是________．①当平面ABD ⊥平面ABC 时，C 、D 两点间的距离为2；②在三角板ABD 转动过程中，总有AB ⊥CD ；③在三角板ABD 转动过程中，三棱锥D －ABC 的体积最大可达到36. 解析 取AB 中点O ，当三角板ABD 转动的过程中，AB 不垂直平面COD ，故AB 不垂直CD ，故②错，①③正确．答案 ①③三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、F 、G 分别为MB 、PC 、PB 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG∥平面ADPM；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．解析(1)证明：∵F、G为PC、PB中点，∴FG∥BC，又BC∥AD，∴FG∥AD，∵E、G为BM、PB中点，∴EG∥PM，又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面ADPM.(2)不妨设AB＝2a，V P－MAB＝23a3，V P－ABCD＝83a3，所以V P－MABV P－ABCD＝14.16．(12分)如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝PQ，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°.证明：BC⊥PQ.证明如图，过C做CO⊥PQ交PQ于O，连接OB.∵α⊥β，∴CO ⊥α. ∵BO ⊂α，∴CO ⊥BO ； 在Rt △COA 与Rt △COB 中，CA ＝CB ，CO ＝CO ，∴Rt △COA ≌Rt △COB .∴OA ＝OB .又∵∠BAP ＝45°，∴∠BOA ＝90°，即OB ⊥PQ . ∵PQ ⊥OC ，PQ ⊥OB ，OC ∩OB ＝O ， ∴PQ ⊥面OBC .∵BC ⊂面OBC ，∴PQ ⊥BC . 17．(12分)某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形、下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到0.01)．解 设圆锥底面半径为r ，高为h ，∵2πr ＝25π·10，∴r ＝2，h ＝102－22＝46，∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π×1025＋2π·22＝28π≈87.96 cm 2.体积V ＝13×π·22×46＋23π×23＝163(6＋1)π≈57.80 cm 3.故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96 cm 2，体积约为 57．80 cm 3. 18．(14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且BC ＝2AD ，AB ＝4，SA ＝3.(1)求证：平面SBC ⊥平面SAB ；(2)若E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点(端点除外)，满足SF FB ＝CEEB＝λ.①求证：不论λ为何值，都有SC ∥平面AEF ；②是否存在λ，使得△AEF 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，∴SA ⊥AD . ∵∠BAD ＝90°，∴AD ⊥AB . ∵SA ∩AB ＝A ，SA 、AB ⊂平面SAB ，∴AD ⊥平面SAB ，∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面SAB . ∵BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SAB . (2)①证明：∵在△SBC 中，SF FB ＝CE EB， ∴EF ∥SC .∵EF ⊂平面AEF ，SC ⊄平面AEF ，∴SC ∥平面AEF .11 ②当AF ⊥SB 时，由(1)知平面SAB ⊥平面SBC ，且平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，∴AF ⊥平面SBC .∵EF ⊂平面SBC ，∴AF ⊥EF ，∴此时△AEF 为直角三角形．在Rt △SAB 中，AB ＝4，SA ＝3，∴AF ＝125.∴SF ＝95，FB ＝165，∴λ＝SF FB ＝916.∴存在λ＝916时，△AEF 为直角三角形．。
高中数学 第一章 立体几何初步单元同步测试(含解析)北师大版必修2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步单元同步测试（含解析）北师大版必修2时间120分钟 满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．下列说法正确的是( ) A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形D ．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点解析 梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面． 答案 C2．室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．垂直答案 D3．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( ) A ．b α B ．b ∥αC ．b α或b ∥αD ．b 与α相交或b α或b ∥α答案 D4．若三球的半径之比是1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍D ．1倍解析 设三个球的半径依次为a,2a,3a ，V 最大＝43π(3a )3＝36πa 3，V 1＋V 2＝43πa 3＋43π(2a )3＝363πa 3＝12πa 3，V 最大V 1＋V 2＝3.答案 B5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案 C6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④解析根据公理4，知①正确；根据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确．答案 C7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有( )A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADCC．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC解析如图，在四面体ABCD中，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，∴AD⊥面BCD.又AD面ADC，∴面ADC⊥面BCD.答案 D8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，下列说法中正确的个数有( )①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1A1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，由两平面垂直的性质定理，可知CD⊥面ABB1A1，又CD面ADC，故面ADC⊥面ABB1A，故①、③正确，对于②连接AC 1，BC 1，设A 1C ∩AC 1＝O ，则O 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点，∴OD ∥BC 1. 又OD 面A 1DC ，BC 1面A 1DC ，∴BC 1∥面A 1DC ，故②正确． 答案 D9．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.73 m 3B.92 m 3C.72m 3D.94m 3 解析 由三视图可知，原几何体如图所示，故V ＝3×13＋12×13＝3＋12＝72m 3.答案 C10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，连接A′C，则在四面体A′BCD的四个面中，互相垂直的平面有( )①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC.A．1个B．2个C．3个D．4个解析由于面ABD⊥面BCD，故①正确．又AB⊥BD则A′B⊥BD，则A′B⊥BD，∴A′B ⊥面BCD，故面A′BC⊥面BCD，又CD⊥BD，∴面A′CD⊥面ABD，故②③正确，④显然不正确．答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是4π×4－2×2×4＝16π－16.答案16π－1612．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为________．解析 由题可知，上底面三角形的高为2sin60°＝3，下底面三角形的高为8sin60°＝43，故棱台的高h ＝52－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－3×232＝13.答案1313．已知圆锥的表面积为a m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则πl ＝2πr ，即l ＝2r ，S 圆锥表＝πr 2＋πrl ＝3πr 2＝a ，则r ＝3πa3π. 答案3πa3πm 14．如图四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为SA 上的点，当E 满足条件：________时，SC ∥面EBD .解析当E为SA的中点时，设AC∩BD＝O，连接EO，EB，ED，∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，∴SC∥面EBD.答案E为SA的中点15．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD＝12，则线段CD的长为________．解析 连接BC ，∵AC ⊥l ，∴∠CAB ＝90°，CB ＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝5.又BD ⊥l ，α⊥β， ∴BD ⊥平面α. 又BC α，∴BD ⊥BC . ∴CD ＝BD 2＋BC 2＝122＋52＝13. 答案 13三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解 设圆台的母线长为l ，则圆台的上、下底面面积为S 上＝π·22＝4π，S 下＝π·52＝25π，∴圆台的两底面面积之和S ＝S 上＋S 下＝29π， 又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋5)·l ＝7πl ， 由7πl ＝29π，得l ＝297，即母线长为297.17．(12分)如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG .求证：EH∥BD.证明∵EH∥FG，E H⃘面BDC，FG面BDC，∴EH∥面BDC，又EH面ABD，面ABD∩面BDC＝BD，∴EH∥BD.18．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.19．(13分)如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点，∠PDA＝45°.(1)求证：EF∥面PAD；(2)求证：面PCE⊥面PCD.证明 (1)设PD 中点为G ，连接FG ，AG ，∵F ，G 分别为PC ，PD 的中点，∴FG 綊12CD .又E 为AB 的中点， ∴AE 綊FG .即四边形EFGA 为平行四边形．∴EF ∥AG .又EF 面PAD ，AG 面PAD ，∴EF ∥面PAD .(2)PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .又∵在Rt △PAD 中，∠PDA ＝45°，∴PA ＝AD ，∴AG ⊥PD .又CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，且PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥面PAD ，CD ⊥AG ，又PD ∩CD ＝D ，∴AG ⊥面PCD .由(1)知EF ∥AG ，∴EF ⊥面PCD ，又EF 面PCE ，∴面PCE ⊥面PCD .20．(13分)如图①，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，将△AEF 沿EF 折起，使A ′在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图②.(1)求证：EF ⊥A ′C ；(2)求三棱锥F —A ′BC 的体积．解 (1)证法1：在△ABC 中，EF 是等腰直角△ABC 的中位线，在四棱锥A ′—BCEF 中，EF ⊥A ′E ，EF ⊥EC ，∴EF ⊥平面A ′EC ，又A ′C 平面A ′EC ，∴EF ⊥A ′C .证法2：同证法1 EF ⊥EC ，∴A ′O ⊥EF ，∴EF ⊥平面A ′EC .又A ′C 平面A ′EC ，∴EF ⊥A ′C .(2)在直角梯形EFBC 中，EC ＝2，BC ＝4，∴S △FBC ＝12BC ·EC ＝4. 又∵A ′O 垂直平分EC ，∴A ′O ＝A ′E 2－EO 2＝3，∴三棱锥F —A ′BC 的体积V F —A ′BC ＝V A ′—FBC ＝13S △FBC ·A ′O ＝13×4×3＝433. 21．(13分)如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：A1C⊥平面AB1D1；(3)若AA1＝2，求三棱锥A1—AB1D1的体积．解(1)证明：设B1D1的中点为O1，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴C1O1綊AO.故AOC1O1为平行四边形．∴AO1∥C1O，又AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1.(2)证明：∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，A1C1∩C1C＝C1. ∴B1D1⊥面ACC1A1，A1C面ACC1A1.∴B1D1⊥A1C.同理可证A1C⊥AB1.又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.(3)VA1—AB1D1＝VA—A1B1D1＝13×12×2×2×2＝43.。
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练6
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练6双基限时练(六)1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析 A 中一个x 对应的y 值不唯一．答案 A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1与g (x )＝(x ＋1)(x －1) B ．f (x )＝(2x －5)2与g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝(x )4x 与g (t )＝?t t 2 解析 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为?x |x ≥52，g (x )＝2x－5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不是相函数等．D 中，f (x )＝(x )4x ＝x (x >0)与g (x )＝? ??t t 2＝t (t >0)的定义域与对应关系都相同，它们是相等函数．答案 D3．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝kx ＋2(k 为常数)C ．y ＝x 2＋x －1 D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析 y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．答案 B5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在解析因为函数f (x )的定义域和值域都为R ，所以函数f (x )是一次函数，所以?a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1.答案 B6．周长为定值a 的矩形，它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数，则这个函数的定义域是( )A ．(a ，＋∞)B ．(a2，＋∞) C ．(a2，a )D.?0，a 2解析根据题意知，矩形的另一边长为a －2x 2＝a2－x ，由x >0，a2－x >0，得0<a<="" p="">2，故这个函数的定义域为?0，a 2.答案 D7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析由题意3a －1>a ，则a >12.答案 ? ??12，＋∞8．若f (x )＝x 2＋x 的定义域为{－1,0,1}，则函数的值域为________．解析f (－1)＝(－1)2－1＝0，f (0)＝02＋0＝0，f (1)＝12＋1＝2，∴函数的值域为{0,2}．答案 {0,2}9．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________.解析由f (a )＝5aa 2＋1＝2，得2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12，或a ＝2. 答案 12或210．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a . 解因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－2，于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0，所以a ＝22或a ＝0.11．若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．解由函数f (x )的定义域为－2≤x ≤1知，f (－x )的定义域为－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤2.由?－2≤x ≤1，－1≤x ≤2，得－1≤x ≤1. 故g (x )的定义域是[－1,1]． 12．已知函数f (x )＝x 2x 2＋1.(1)求f (2)与f ? ??12，f (3)与f ? ??13；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ? ??1x 有什么关系？并证明你的发现．(3)求值：f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ? ??12＋f ? ??13＋…＋f ?12014.解(1)∵f (x )＝x 2x 2＋1，∴f (2)＝2222＋1＝45；f ? ????12＝? ??122? ????122＋1＝15. f (3)＝323＋1＝910；f ? ????13＝? ???132? ????132＋1＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f ? ?? 1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ? ????1x ＝x 2x 2＋1＋? ??1x 2? ????1x 2＋1＝x 2x 2＋1＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)知，f (2)＋f ? ????12＝1，f (3)＋f ? ????13＝1，…， f (2014)＋f ? ??12014＝1，∴原式＝＝2013.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计双基限时练8(含解析)北师大版必修3
"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练8（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )A．正方体的棱长与表面积B．单位面积产量为常数时，土地面积与产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D项均为函数关系．答案C2．下列各图形中，其中两个变量不是相关关系的是( )解析由相关关系的概念可知答案为A.答案A3．下列关系中是函数关系的是( )A．将门出虎子B．产品成本与生产数量C．球的体积与表面积D．家庭的收入与支出解析A、B、D项为相关关系，C项为函数关系．答案C4．下列两个变量具有相关关系的是( )A．凸多边形的内角和与边数B．学生的学习态度与学习成绩C．球的半径与表面积D．圆的半径与周长解析A、C、D项为函数关系．答案B5．收看电视中新闻节目与观众年龄是( )A．函数关系B．相关关系C．无任何关系D．以上答案均不对答案B6．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以做出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．答案C二、填空题7．下列命题中的两个变量具有相关关系的是________．(填序号)①学生的身高与学生的数学成绩；②学生的数学成绩与外语成绩；③人的身高与体重；④正方形的面积及其边长；⑤人体内脂肪含量与人的年龄．解析①②没有必然联系，④是函数关系，只有③⑤是相关关系．答案③⑤8．2010年世博会期间，上海市某旅行社在5.1长假高峰期间接待游客人数如下表：人数与日期不具有相关关系；③根据数据作出散点图，可知日期与人数具有线性相关关系．其中正确的是________．解析画出散点图可知，只有①③正确．答案①③9．根据两个变量x，y之间的观测数据画出散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系(答是与否)________．解析因为此散点图没在一条直线附近分布，故不是相关关系．答案否三、解答题10．关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：解以年龄作为x轴，脂肪含量(百分比)作为y轴，可得相应散点图．11．某种树木的树龄与木材体积之间有如下的对应关系：(1)(2)你能从散点图中发现树木的树龄与木材体积近似呈现什么关系吗？(3)若近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．解(1)作出数据的散点图如下．(2)从散点图中发现树木树龄与木材体积近似呈线性关系．(3)用一条直线l来近似地表示这种线性关系．(如图所示)12．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：(1)(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．解(1)散点图如下：(2)由图知，所有数据点接近直线排列．因此认为y与x有线性相关关系．思维探究13．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：解画出散点图如图所示．由图可知y与x具有线性相关关系．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用双基限时练3(含解析)新人教A版选修2-2
双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →018t ＋Δt2－18t 2Δt＝lim Δt →014t Δt ＋18Δt 2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x x ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0＋Δx 2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →011－x ＋Δx －11－xΔx＝lim Δx →01[1－x ＋Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1－2＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－－2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013＋Δx3－＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 计数原理双基限时练7(含解析)新人教A版选修2-3
双基限时练(七)1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 510 B ．27C 410 C ．－9C 510 D ．9C 410解析 通项T r ＋1＝C r10x10－r(－3)r ＝(－3)r C r 10x10－r.令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9C 410. 答案 D2．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－1)r C r 20220－r 3－r2 ·x 20－r.要使系数为有理数，只要20－r 3－r 2为整数，即40－5r6为整数．∵0≤r ≤20，∴r ＝2,8,14,20，∴共有4项． 答案 A 3．(2x －1x)9的展开式中，常数项为( )A ．－672B ．672C ．－288D ．288解析 T r ＋1＝C r9(2x )9－r(－1x)r ＝(－1)r 29－r C r9·x 9－r －r 2，令9－r －r2＝0，得r ＝6.∴常数项为23C 69＝8C 39＝672. 答案 B4．设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( ) A ．x 5B ．(x ＋2)5C ．(x －1)5D ．(x ＋1)5解析 P ＝C 05＋C 15(x ＋1)＋C 25(x ＋2)2＋…＋C 55(x ＋1)5＝(x ＋1＋1)5＝(x ＋2)5. 答案 B5．在(x ＋2x)n的展开式中，常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r (2x)r ＝2r C rn xn －r2－r .令n －3r2＝0，则n ＝3r .∴2r C r3r ＝60，试验知r ＝2，∴n ＝6. 答案 B6．(x 2＋2x)8的展开式中x 4的系数是( )A ．16B ．70C ．560D ．1120解析 (x 2＋2x )8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·(x 2)8－r ·(2x)r ＝2r ·C r 8·x 16－3r，令16－3r ＝4，得r ＝4.因此x 4的系数为24·C 48＝1120.答案 D7．对于二项式(1x＋x 3)n(n ∈N ＋)，四位同学作出四种判断：甲：存在n ∈N ＋，展开式中有常数项； 乙：对任意n ∈N ＋，展开式中没有常数项； 丙：对任意n ∈N ＋，展开式中没有x 的一次项； 丁：存在n ∈N ＋，展开式中有x 的一次项． 其中判断正确的是________． 解析 由通项公式T r ＋1＝C r n (1x)n －r ·(x 3)r ＝C r n x 4r －n若r ＝1，则n ＝4，T 2就是常数项，令r ＝1，n ＝3时，就存在x 的一次项． 因此应填甲、丁． 答案 甲丁8．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)． 解析 x 的系数为C 13C 22＋C 23C 11＋C 33＝3＋3＋1＝7. 答案 7 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax－x 29的展开式中x 3的系数为94，则常数a 的值为________． 解析答案 410．在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________． 解析 (4x －2－x )6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r·(－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )2(6－r )－r，由2(6－r )－r ＝0，得r ＝4，∴(－1)4C 46＝15.即常数项为15.答案 1511．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)当f (x )展开式中x 2的系数取最小值时，求f (x )展开式中x 7的系数． 解 (1)由题设条件，得m ＋n ＝19. ∴m ＝19－n ，x 2的系数为 C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝－n－n2＋n n －2＝n 2－19n ＋171＝(n －192)2＋3234，∵n ∈N *，∴当n ＝9，或n ＝10时，x 2的系数取最小值(12)2＋3234＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数取最小值，此时x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156.12．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列． (1)求和：a 1C 02－a 2C 12＋a 3C 22，a 1C 03－a 2C 13＋a 3C 23－a 4C 33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并证明． 解 (1)a 1C 02－a 2C 12＋a 3C 22＝a 1－2a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1－q )2，a 1C 03－a 2C 13＋a 3C 23－a 4C 33＝a 1－3a 1q ＋3a 1q 2－a 1q 3＝a 1(1－q )3.(2)归纳概括的结论为：若数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则a 1C 0n －a 2C 1n ＋a 3C 2n －a 4C 3n ＋…＋(－1)n a n ＋1C n n ＝a 1(1－q )n，n 为正整数．证明：a 1C 0n －a 2C 1n ＋a 3C 2n －a 4C 3n ＋…＋(－1)n a n ＋1C nn ＝a 1C 0n －a 1q C 1n ＋a 1q 2C 2n －a 1q 3C 3n ＋…＋(－1)n a 1q n C nn＝a1[C0n－q C1n＋q2C2n－q3C3n＋…＋(－1)n q n C n n] ＝a1(1－q)n.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学选修1-2双基限时练6(含答案)
双基限时练（六）1. 在不等边三角形中，a为最大边，要想得到/ A为钝角的结论，三边a, b, c应满足什么条件（）A. a2<b2+ C2B . a2= b2+ c2C. a2>b2+ C2D . a2< b2+ C2_a2b2+ C2解析若/A为钝角，由余弦定理知cosA=——<°，二b2+C2_ a2<0.答案C2. 设数列®｝为等差数列，且a2=_ 6,氏=6, Si是｛為｝的前n 项和，则（）A. S4<S5B. S4 = S5C. S6<S S D . S s = S5解析T a2+ a8=_ 6+ 6= 0,二a5= 0,又公差d>0,「. S s= S4. 答案B3 .在△ ABC中，“ AB AC>0”是“△ ABC为锐角三角形”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件T T解析由AB AC>0? / A为锐角，而角B, C并不能判定，反T T之若△ ABC为锐角三角形，一定有AB AC>0.答案B4. 已知函数y= sin(2x +册的图象关于直线x =詁寸称，贝0可能是()C nD 3C .4D . 4兀解析由题意知，sin(4+妨=± ,所以当0= 4时，sin(4+ 44)= sin2= 1.答案C5. 已知a, b, c是三条互不重合的直线，a B是两个不重合的平面，给出四个命题：①a // b, b // a,贝U a // a；②a, b? a, a// 3 b// B,贝U all®③a丄a, a 贝U a丄B；④a丄a b / a,贝卩a丄b.其中正确命题的个数是()A . 1 B. 2C. 3D. 4解析①因为a// b , b//O? a// a或a? a,所以①不正确.②因为a , b? a, a// B, b//B,当a与b相交时，才能all B,所以②不正确.③a// B过a作一平面Y设幻B= c ,贝U c// a,又a丄a? c丄a ? a 丄B,所以③正确.④a丄a b// a? a丄b,所以④正确.综上知③，④正确.答案B6. a>0, b>0,则下列不等式中不成立的是（）1 iiA. a+b+a2+ b2, 2ab ,C. ------ > a+ bD.-------- >ab寸ab a+ b 、解析特殊法，取a= 1, b = 4,则D项不成立.答案D_____ lb d7. p = p ab + ^Cd, q = p ma+nc \ m+£，(m, n, a, b, c, d 均为正数)，则p与q的大小关系为 __________________ .解析p2= ab+cd+ 2 abcd,/ 、/b d2q =(ma+ nc)( m+ n)=ab+ nbc+ mad+ cd m n> ab + cd + 2 abcd2 2q2>p2,「. p< q.答案p< q8. 当x€ (1,2)时，不等式x2+mx+ 4<0恒成立，则m的取值范围是 ________ .c 4 4解析x2+ mx+ 4<0? m< —x —_,v y=—(x+-)在(1,2)上单调递x x4增，二一(x+ x) € (—5,—4)--m W —5.答案(―汽―5]9. 求证：ac+ bd< a2+ b2- c2+ d2.证明（1）当ac+ bd<0时,ac+ bd< a2+ b2• c2+ d2显然成立.(2)当ac+ bd> 0 时，要证ac+ bd< a2+ b2• c2+d2成立，只需证(ac + bd)2< (a2+ b2)(c2+d2)成立，只需证2abcd< a2d2+ b2c2,只需证(ad—be)2》0成立.而(ad—be)2》0显然成立.所以ac+ bd< a2+ b2• c2+d2成立.综上所述ac+ bd< a2+ b2• c2+d2成立.10. 在厶ABC 中，若a2= b(b + c)，求证：A= 2B.证明因为a2= b(b + c), 所以a2= b2+ bc.由余弦定理得b2+ c2—a2 b2+ c2—(b2+ be)c—bcosA=2bc =2bc =2b .a2 + c2—b2又因为cos2B = 2co$B—1 = 2( - 20^—)2—12 2b+ c 2 1 (b+ c) —2a=2( 2a ) —1= 2a22 2(b + c) —2b —2bc c—b= 2b b + c = 2b .所以cosA= cos2B.又因为A, B是三角形的内角，所以A= 2B.11. 如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B, A1C 的中点，点D在B1C1上，AQ丄B1C.B求证：(1)EF//平面ABC;(2)平面A i FD丄平面BB i C i C.证明(1)由E, F分别是A i B, A1C的中点，知EF / BC,v EF?平面ABC而BC?平面ABC.••• EF // 平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC i丄平面A i B i C i，又A i D?平面A i B i C i,•- A i D _L CC i，又A i D _L B i C.CC i A B i C= C,又CC i, B i C?平面BB i C i C,•A i D 丄平面BB i C i C，又A i D?平面A i FD ,•平面A i FD丄平面BB i C i C.i2.已知数列｛a n｝的首项a i = 5, S n+i = 2S n + n + 5(n€ N ).(i)证明数列｛a n + i｝是等比数列；⑵求数列｛a n｝的通项公式a n.解(i)证明：v S n+1 = 2S n + n+ 5,•S n=2S n)-1 + (n —i) + 5(n》2).•- a n+i = S n+i —S n = 2(S n —S n-1)+ i = 2a n+ i(n > 2).a n +1 + 1 2 a n + 1二---- =-------- =2.a n + 1a n + 1又 n = 1 时，S 2= 2S 1 + 1 + 5,且 a 1 = 5, 「• S 2= 16, a 2= S 2 — S 1= 16— 5= 11.•••数列｛a n + 1｝是以2为公比的等比数列. ⑵由(1)知，a 〔+ 1= 6,a n + 1 = 6X 2n —1=3X 2n ,a n = 3 x 2n — 1. 又•••a 2+ 1 11+ 1 a 〔+ 1 5+ 1。