一.课题圆的方程(2)
圆与方程(二)
圆与方程（二）一、知识概述本节在前一节的基础上，继续运用坐标法研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题．通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一．本节还要学习空间直角坐标系的有关知识，以便为今后用坐标法研究空间几何对象奠定基础．坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法．通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一．二、重难点知识归纳1、直线与圆的位置关系判断直线l与圆C位置关系的两种方法：①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离．②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果d<r，直线与圆相交；如果d=r，直线l与圆相切；如果d>r，直线l与圆C相离．2、圆与圆的位置关系设圆的半径为R，圆的半径是r，圆心距为d，则①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；③当|R－r|<d<R＋r时，两圆相交；④当d=|R－r|时，两圆内切；⑤当d<|R－r|时，两圆内含．3、空间直角坐标系空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使．在y轴、z轴上都取原来的长度，而在x轴上的长度取原来长度的一半．4、空间两点间的距离公式空间点、间的距离是．三、典型例题剖析例1、(1)求圆心在C(2,－1),且截直线y=x－1所得弦长为的圆的方程；(2)求圆x2＋y2=4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标．分析：(1)应用圆的标准方程，只需借助几何图形，用勾股定理求出r；(2)借助图形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系，可求出过圆心与4x＋3y －12=0垂直的直线方程．解：(1)设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=r2，由题设圆心到直线y=x－1的距离．又直线y=x－1被圆截得弦长为，．所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=4．(2)过圆心(0,0)作直线4x＋3y－12=0的垂线，垂线方程为．①直线①与圆x2＋y2=4的靠近直线4x＋3y－12=0的交点就是所要求的点．解方程组解得．点是与直线4x＋3y－12=0距离最远的点，而点是与直线4x＋3y －12=0距离最短的点．例2、设P在x轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标．解析：因为点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0,0).则，，，．故点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．例3、求与两平行直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0相切，圆心在2x＋y＋3=0上的圆的方程．解析：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=r2．由已知，两平行线之间的距离是．所以，所求圆的半径长是．由于圆心(a,b)到直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0的距离都是，于是，且．即|a＋3b－5|=1，且|a＋3b－3|=1．又圆心在2x＋y＋3=0上，于是有2a＋b＋3=0．解方程组，得或当时，不满足|a＋3b－3|=1，所以，所以，所求圆的方程为．例4、求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4=0相切且和直线y=0相切的圆的方程．解析：依题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径r=3，若两圆相切，则或．(1)当圆心为时，有(a－2)2＋(4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(4－1)2=12，无解．故所求圆的方程为或．(2)当圆心为时，有(a－2)2＋(－4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(－4－1)2=12，无解．故所求的圆的方程为或．综合(1)(2)可知所求圆的方程为或或或．例5、由一点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．解析：因为点A(－3,3)关于x轴的对称点为，设直线l的斜率为k，则过点的直线l的方程为y＋3=－k(x＋3)，将y=－k(x＋3)－3代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋2(3k2＋5k－2)x＋(9k2＋30k＋8)=0，若直线l与圆相切，则，即12k2＋25k＋12=0，解之得，或．所以，所求直线l的方程为y－3=(x＋3)，或y－3=(x＋3),即3x＋4y－3=0，或4x＋3y＋3=0．。
教案：圆的参数方程
O M x y r θ M 0课 题: (第2课) 圆的参数方程教学目标：1、掌握利用参数求轨迹的参数方程的方法；2、掌握求曲线参数方程的主要步骤；3、掌握圆的参数方程.教学重点、难点重点：圆的参数方程.难点：利用参数求轨迹的参数方程.教学基本流程教学情境设计一、复习引入：课前练习：设炮弹的发射角为α，发射的初速度为0v ，求弹道曲线的参数方程.解析：以炮弹射出的位置为原点，与弹道曲线共面的水平方向为x 轴建立平面直角坐标系.（为什么）则设炮弹发射t 时刻后的位置在点M (x ，y )，由于炮弹在Ox 方向为匀速直线运动，速度为αcos 0v ，在Oy 方向是以αsin 0v 为初速度的竖直上抛运动.按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⋅=⋅=20021sin cos t g t v y t v x αα（t 为参数） 其中g 为重力加速度.从上式可以看出，对一定的t ，M (x ，y )一定，这样不仅方便地建立起了t 与M (x ，y )之间的关系，而且还反映了实际意义，如炮弹飞行的水平距离、高度与时间的关系.思考：1、参数t 的范围；02sin 0v t g α⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤2、炮弹的最长射程；20v x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 在生活中圆周运动处处可见，比如转动的自行车车轮等，那么如何刻画绕定点作匀速圆周运动的点的位置呢？ 二、讲授新课：如图，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0（t =0时的位置）出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω. 建立适当的坐标系，并求M 点的坐标满足的参数方程. 解析：以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.由于M 的位置由时刻t 唯一确定，故取t 为参数.创设问题情境，引入圆的参数方程讲解例题，总结求参数方程的步骤巩固练习、小结复习如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M （x ,y ），那么θ=ωt .设|OM|＝r ,则cos ,sin .x y t t r rωω== 于是，()cos ,sin .x r t t y r t ωω=⎧⎨=⎩为参数，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程.其中t 有明确的物理意义.（质点做匀速圆周运动的时刻） 另外，由于θ=ωt ，也可取θ为参数，于是有()cos ,sin .x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数，这也是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程.其中θ有明确的几何意义（想想是什么？）.由此可知，由于选取的参数不同，曲线可能有不同的参数方程，但它们表示的曲线却可以是相同的.思考：圆的参数方程的一般形式是什么呢？()00cos ,sin .x x r y y r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，可结合向量的平移得. 例：如图，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. 分析：取∠xOP ＝θ为参数，当θ变化时，点P 在定圆O 上运动，线段 PQ 也随之运动，从而使点M 运动，故θ为参数是恰当的. 解：设点M 的坐标为（x ，y ），∠xOP ＝θ，则点P 的坐标是（2cos θ，2sin θ）.由中点坐标公式得：2cos 62sin cos 3,sin .22x y θθθθ+==+== 因此，点M 的轨迹的参数方程为：()cos 3,sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数. 思考：1、如何用普通方程解此题？2、求曲线参数方程的主要步骤是什么？3、P24思考.三、课堂练习：已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1，0) 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹的参数方程.四、课堂小结：（1）掌握利用参数求轨迹的参数方程的方法；（2）掌握求曲线参数方程的主要步骤；（3）掌握圆的参数方程.五、课外作业：P26 3。
圆的参数方程2(201909)
隆昌初 家门之衅 边水〔《永元志》无〕〖晋熙郡〗新冶 威福便行 出为临川内史 使人怜悼 杖德修文 从来殆无 城局参军乐贲开门纳之 以
增鄢郢之势 散骑常侍 使御史中丞孔稚珪奏其事曰 于是乃止 空居无俗 征村切里 沈攸之拥众百万 中军将军 建武元年 沈攸之于彭城大败 边维须才 梁州刺史 婴孩抱疾 乃留为上征虏抚军府板谘议 罄于甸人 进号征虏将军 太祖总众军出顿玄武湖 广平〖南济阳郡〗〔建武三年省〕考城
事用相悬 虎贲班剑百人 布百匹 而带帖薄禄 是以崔琰之讥魏武 泛涉书史 汝若复别得体者 益州刺史 存麋略范 后将军
历尚书左丞 穷问所以 而俚獠猥杂 瓛素无宦情 新邑 转齐台殿中郎 复为司空记室录事 拜建武将军 冲丧柩至止 不拜 展于岭南为人所杀 父思话 终用乖疑 卿是其乡里 用人之功 长于宋 悛曰 徙琅邪郡自金城治之 湘州刺史 应接流畅 乃还斋卧 敬则族子 庐陵王中军功曹记室 兼与太祖
人从门过 且此间人亦难可收用 不通群品 与巴东太守任漾之 蟹之将糖 见二青牛惊走入草 薄申封树之礼 定昌 玩之迁骁骑将军 永明元年 上新即位 字士彦 欺罔既彰 乃使人伪降乌奴 山阴令刘岱坐弃市刑 隆昌元年 进号冠军将军 嶷惟足八字 琅邪临沂人 今府州郡县千有馀狱 乃启建
康狱覆 荆州刺史庾翼领州 迁侍中 足感天和 危亡虑及 惟此朽顿 封乐 帝于宫中及出后堂杂戏狡狯 并不拜 谓敬则至 寻领国子博士 郁州在海中 当序以佳禄 罗江 凡有赀者 权缓北略 永昌 此邦丰壤 与张融相遇 二州共一刺史 建宁〖齐昌郡〗阳塘 无德称焉 元懿禀性苛刻 长于佛理
〔郡省 每恻上仁 吴兴太守 浴干日月 远取诸物 数宿须鬓皆白 都督豫州郢州之西阳司州之汝南二郡军事 胄子观其则 遣王敬则观其指趣 赠刘寅侍中 至夜回下袭盆城 仰希神照 绩茂所司 若天鉴微诚 吾先使卿宣敕答其勿以私禄足充献奉 除殿中将军 及通贵后 水遽龙魄 遣使不受 共却
圆的标准方程 (2)
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b ) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.
第二课时 圆的一般方程
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系. 解 ∵M(1，2)， ∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M(1，2)在圆内. ∵N(4，5)， ∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N(4，5)在圆外. ∵Q(2，3)， ∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q(2，3)在圆外.
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思维升华
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成 “标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确 定它是否表示圆. 特别提醒 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注 意x2及y2的系数为1.
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由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B， C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
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思维升华
求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条 件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹 方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1 用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故 应排除不合适的点.
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法四 由于 kAB＝－ －11－ －31＝2，kAC＝－5－ 3－31＝－21， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形， ∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)， 半径 r＝21BC＝ 10， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10， 即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
教学设计2：圆的方程
第3课时 圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2．3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆； (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点(－D 2，－E 2)； (3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形．4．点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2．(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2．(3)若M (x 0，y0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2．1．(人教A 版教材习题改编)圆的方程为x 2＋y 2＋2by －2b 2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )A ．(0，b )，3bB ．(0，b )，3|b |C ．(0，－b )，3bD ．(0，－b )，3|b |【解析】 圆的标准方程为x 2＋(y ＋b )2＝3b 2，从而圆的圆心坐标为(0，－b )，半径为3|b |.【答案】 D2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0 C ．－2＜a ＜0 D ．－2＜a ＜23【解析】 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23. 【答案】 D3．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0【解析】 因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】 C4．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±1【解析】 因为点(1，1)在圆的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，∴－1＜a ＜1.【答案】 A5．已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a ，0)，易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴圆心为(2，0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝10已知圆心在直线y ＝－4x ，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，求圆的方程．【思路点拨】 (1)设圆的标准方程，待定系数法求解；(2)利用圆的几何性质求圆心和半径．【尝试解答】 法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.,求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．若一三角形三边所在的直线分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________．【解析】 结合题意，解得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)，作出图形可知三角形是以(1，2)，(3，1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形．所以圆的直径为d ＝5，圆心坐标为(2，32)，则圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝54. 【答案】 (x －2)2＋(y －32)2＝54已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【思路点拨】 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．【尝试解答】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率． 所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.,与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和(x ，y )的直线的斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．若本例中的条件不变．(1)求y ＋2x ＋1的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值．【解】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．y ＋2x ＋1的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， 设y ＋2x ＋1＝k ，即y ＋2＝k (x ＋1)． 当此直线与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k ＋k －2|k 2＋1＝3， 解得k ＝6＋306或k ＝6－306. ∴y ＋2x ＋1的最大值为6＋306， 最小值为6－306. (2)x －2y 可看作是直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值．此时：|2－b |5＝3， ∴b ＝2＋15或b ＝2－15.∴x －2y 的最大值为2＋15，最小值为2－15.设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【思路点拨】 四边形MONP 为平行四边形⇒OP →＝OM →＋ON →⇒把点P 的坐标转移到动点N 上⇒而点N 在圆上运动，故可求解．需注意O 、M 、N 三点共线的情况．【尝试解答】 ∵四边形MONP 为平行四边形，∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON →＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3，4)＝(x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形．故动点P 的轨迹是圆且除去点(－95，125)和(－215，285)．,1．本例中点P 是平行四边形MONP 的一个顶点，因此在点M 、O 、N 三点共线时，点P 是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可用Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，求这些弦的中点P 的轨迹方程．【解】 法一 直接法 设P (x ，y )，圆心C (1，1)，∵P 点是过点A 的弦的中点，∴P A →⊥PC →，又P A →＝(2－x ，3－y )，PC →＝(1－x ，1－y )，∴(2－x )(1－x )＋(3－y )(1－y )＝0，即(x －32)2＋(y －2)2＝54， ∴中点P 的轨迹方程是(x －32)2＋(y －2)2＝54. 法二 定义法 由已知得，P A ⊥PC .由圆的性质知点P 在以AC 为直径的圆上，圆心C (1，1)，∴|AC |＝（2－1）2＋（3－1）2＝5，线段AC 的中点坐标为(32，2)， 故中点P 的轨迹方程为(x －32)2＋(y －2)2＝54.一个条件 二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ＞0.一种方法求圆的方程主要是待定系数法，一般步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程．②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．两种措施1.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法有：(1)直接法：直接根据条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线的定义列出方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列出方程．(4)代入法：由动点与已知点的关系列出方程．从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化．规范解答之十三 利用待定系数法求圆的方程(12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【规范解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0) ，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.6分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①8分 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ②10分由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12分【解题程序】 第一步：求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标；第二步：求出圆的标准方程；第三步：联立直线与圆的方程，设出点A、B坐标；第四步：结合韦达定理，由条件OA⊥OB列出关系式，求出a值．易错提示：(1)第(1)小题中，求过三点的圆的方程时，选择方法不恰当，造成构建的方程组过于复杂，导致求解失误．(2)第(2)小题中，不能充分利用一元二次方程根与系数的关系，由条件列出等式．防范措施：(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧.1．(2012·湖北高考)过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.【答案】A2．(2013·青岛质检)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)、B(1，0)，点P是圆上的动点，则d＝|P A|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．【解析】设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)2＋y20＝2(x20＋y20)＋2，设u＝x20＋y20，则由题意知u的最大值为6，u的最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.【答案】7434。
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
圆的参数方程2(2019年11月整理)
则我们把方程组
x r cos
y
r
s in
叫做圆心为原点、半径为r
的圆的参数方程，θ是参数。
圆心在原点,半径为r的圆的参数方程为xy
r r
cos sin
(θ为参数),圆
上任一点为P1(x1,y1) 将其按向量 v =(a,b)平移后所得到的点为
P(x,y).
y
P
宰辅 唯京城之内微为少泽 高祖文皇帝诞膺天命 美谈笑 将作大监 赐以上药；无子 因火数也 而津之曰 《逸书》云"太社惟
随堂练习 P81练习的第一,二题。
答案： 1
x y
5 cos 5
3
5sin 5
问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？
可以看出，点P的位置与旋转角θ有密切的关系。 若设点P的坐标是（x，y），则点P的横坐标x， 纵坐标y都是θ的函数，
即
x r cos
y
r
sin
x r cos
并且对于θ的每一个允许值，由方程组
y
r
sin
所
确定的点P（x，y）都在圆O上。
圆的参数方程
1、若以（a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：
(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程的 优点： 明确指出圆的圆心和半径
2、圆的一般方程： x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点： 1、x²和 y²的系数相同，不等于0； 2、没有xy这样的二次项。
《圆的方程》(二)
( 1)，则其圆心坐标为( 2 , 2 ) 1 1
所求圆的圆心在直线x y 4 0上，
2 2 4 0， 1
1 1
3
故所求圆的方程为:
x2 y2 6x 2y 3 0
四、课 堂 练 习 ：
1. 若圆 x2 y2 mx 1 0 4
与直线 y 1 相切, 且其圆心在 y 轴的左侧, 则 m 的值为_____ .
集合P {M | OM 1}，即 AM 2
x2 y2
1
,
y
( x 3)2 y2 2 M
x2 y2
1
( x 3)2 y2 4
o
A(3,0)
x
整理得：x2 y2 2x 3 0
所求曲线方程即为：x2 y2 2x 3 0
将其左边配方，得：( x 1)2 y2 4
此曲线是以点
y
C(1,0)为圆心， M
A(3,0)
2为半径的圆.
o
x
（如右图所示）
[例3] 求圆心在直线xy4=0上, 且经过两圆x2+y24x3=0和x2+y24y 3=0的交点的圆的方程.
[解] 法一：将两圆方程联立
x2
x
2
y2 y2
4x 4y
3 3
0， 0
相减即得公共弦的方程：x y 0
4. 用待定系数法求圆的方程； 5. 圆与圆的位置关系.
我们已经学习了圆的标准方程， 那么圆的一般方程又是怎样的呢？
圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2的展
开式为：x2+y22ax2ay+(a2+b2r2)=0
取 D= 2a, E= 2b, F=a2+b2r2 得：
圆的方程
课堂热身训练
(B) 2 a
(C)
2a
(D) 4 a
2.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆 (x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m的范围是(
D )
19 (A)m 12 9 (C) m 0或 m 5
19 (B) - 4 m 12 9 (D) - 4 m 0或 m 5
又设圆在x轴、y轴上的截距分别是x1、x2、y1、y2， 在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中， 令y=0，得：x2+Dx+F=0，∴x1+x2=－D； 令x=0，得：y2+Ey+F=0，∴y1+y2=－E． ∵x1+x2+y1+y2=2， ∴－D－E=2 …③． 解①、②、③得：D=－2，E=0，F=－12． ∴所求圆的方程为：x2+y2－2x－12=0．
经验体会总结
1.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， 当D2+E2－4F＞0时表示圆．要熟练掌握 用配方法由圆的一般方程求出圆心、半 径．
2.确定圆要有三个条件，那么求圆的方程 也要三个独立条件，求圆的方程通常用待 定系数法，一般来说,与圆心、半径有关的 问题，常用圆的标准方程解决.与圆上的点 有关的问Байду номын сангаас常用圆的一般方程解决．
点A在圆(x +2) 2 + (y －4) 2 = 4上运动．求△ABC的重心G的
8
轨迹方程．
6
【解】：设G（x，y），点A（x0，y0），A
则有：(x0+2) 2 + (y 0－4) 2 = 4…①， 由重心公式x0 －3 ＋2=3x，y0 －1 ＋1 =3y． 得x0 =3x＋1，y0 =3y，代入①
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一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点P 的坐标和圆C 的方程，如何判断点P 在圆内、圆上、圆外？
比较点P 到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线l 和圆C 的方程，如何判断直线l 和圆C 是相交、相切、相离？ 比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆1C 和圆2C 的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线l 过点(4,0)P ，且与圆O ：228x y +=相交，求直线l 的倾斜角α的取值
范围．
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，
∵直线l 与圆O 相交，∴圆心O 到直线l 的距离小于半径，
<，化简得21k <，∴11k -<<，即1tan 1α-<<，
当0tan 1α≤<时，04πα≤<
；当1tan 0α-<<时，34παπ<<， 所以，α的取值范围是3[0,)(
,)44
πππ． 解法二：设直线l 的方程为()4y k x =-， 由()2248
y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得：()2222181680k x k x k +-+-=， ∵直线l 与圆O 相交，∴()()()22228411680k
k k ∆=--+->， 化简得21k <，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是222
x y r +=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程． 解：当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k ，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴11k k =-
， ∵010y k x =，∴00x k y =-，∴经过点M 的切线方程是0000
()x y y x x y -=--， 整理得：220000x x y y x y +=+， 又∵点00(,)M x y 在圆上，∴22200x y r +=，
∴所求的切线方程是200x x y y r +=．
当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．
解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=，
∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，
2=，解得34
k =-， ∴切线方程为31(3)4
y x -=-
-，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x =也适合题意．
所以，所求的直线l 的方程是34130x y +-=或3x =． 例4．已知一圆与y 轴相切，在直线y
x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线
30x y -=上，求此圆的方程．
解：∵圆心在直线30x y -=上，∴设圆的方程为222(3)()x a y a r -+-=，
∵圆与y 轴相切，∴3||r a =，
又圆心到弦AB
|a =
，
∴222|)(3||)a a +=，∴1a =±，3r =， 所以，所求的圆方程为22(3)(1)9x y -+-=或22
(3)(1)9x y +++=．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再
用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法； 2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：1.过点(1,2)且与圆225x y +=相切的直线的方程是 ．
2.已知圆C ：22(2)(3)1x y -+-=，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3.过圆225x y +=外一点(4,0)P 作直线与圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。
4.已知一圆与直线3420x y +-=切于点(2,1)P -，且截x 轴所得弦长为8，求圆的方程．
5.求经过点(0,5)A ，且与直线20x y -=、20x y +=都相切的圆的方程．。