5阶跃折射率光纤中的场解

J
J' (U) ; UJ(U)
K
K' (W) WK (W)
（2） (12JK)(JK)(12JK)(JK)0
JU J1J((U U));
KW K1K ((W W))
（3） J1(U)K1(W);
UJ(U) WK (W)
12(弱导)近似
§5-2 模式分类准则
• 0, Ez=0, or Hz=0, 对应于TE模或TM模
J
'
(
x
)
1 2
J 1 ( x ) J 1 ( x )
递推公式：
x J (x)
1 2
J 1 ( x ) J 1 ( x )
2
大宗量近似： lim x
J
(x)
x
cos(
x 4
) 2
小宗量近似：
lim
x
0
J
(x)
1 !
(
x 2
)
贝塞尔函数递推公式(II)
微分公式： 递推公式：
K
k1: HE, k12J k22K (k12/U2k22/W2)
模式分类的物理意义
• 偏振特性: TE模与TM模是偏振方向相互正交 的线偏振波;HE模与EH模则是椭圆偏振波, 其 中HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合 右手定则),EH模偏振旋转方向则与光波行进 方向相反;
• 场强关系: EH模电场占优势,而HE模磁场占 优势;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似为横场分布；
• 0, Ez=0, and Hz=0,对应于HE模或EH模
• 分类参数k:
k 0 H z I(1 /U 2 1 /W 2 ) k 1 2 J k 2 2 K
jE z I
J K
(k 1 2/U 2 k 2 2/W 2 )
k0: TM,
k: TE, (J0K0)(k12J k22K)0
k1: EH, J K (1/U21/W2)
• 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD 系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
(J' K ' )k (1 2J' k2 2K ' )2
U J W K U JW K
2(U 1 2 W 1 2)2
–又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的 一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时, 对 于不同的值,可求得相应的β值。由于贝塞 尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本 征值方程可以有多个不同的解β(0,1,2,3... 1,2,3...),每一个β都对应于一个导模。
• 纵向场分量满足：贝塞尔方程 d2dFr(2r)drF(dr)r(ki22)r22F(r)0 ki22i0ni2k02, i1,2
• 贝塞尔方程的解：
– 第一类和第二类贝塞尔函数：J, N – 第一类和第二类汉克尔函数：H(1) , H (2) – 第一类和第二类变态汉克尔函数：I , K
场解的选取
'
(x)
1 2
K 1 ( x ) K 1 ( x )
x
K
(x)
1 2
K 1 ( x )
K 1 ( x )
大宗量近似：
lim
x
K
(
x
)
1 ex x
小宗量近似： lim x 0
K
(x)
( 1)! 2 1 x
ln(
2 1 .781
x
)
( (
1) 0)
本征值方程的其它形式
（1） 22(U12 W12)2 (J K)(k12J k22K)
波导场方程与解的基本形式
• 六个场分量：Er,Eφ,Ez,Hr,Hφ,Hz • 波导场方程：(r22r r222j)H Ezz0 • 解的基本形式：
Ez(r,)F(r)ej H E ((rr,,,,zz,,tt))H E tt((rr,,)) H Ezz((rr,,))zˆzˆej(tz)
贝塞尔方程及其解
• 依据：
– 导模场分布特点:在空间各点均为有限值; 在 芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模 场在无限远处趋于零。
– 贝塞尔函数形式: J呈振荡形式, K则为衰减 形式。
• 本征解选取: 在纤芯中选取贝赛尔函数J, 在包层中选取变态汉克尔函数K..
J0 J1
K0 K1
本征解的确定
•
纤芯(0<r<a)：
§5 阶跃折射率光纤中的场解
• 数学模型 • 园柱坐标系中的波导场方程 • 边界条件 • 本征解与本征值方程 • 本征值与模式分析
§5-1 数学模型及波动方程的解
• 数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF) 是一种理想的数学模型,即认为光纤是一 种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率 为n1;包层沿径向无限延伸,折射率为n2; 光纤材料为线性、无损、各向同性的电 介质。
E H
I z
I z
A Ur
B
J
(
a
)e j
• 包层(r>a)：
E
H
II z
II z
C Wr
D
K
(
a
)e j
• 横向分量：（5-1-15）；（5-1-16）
本征值方程的导出
• 边界条件：在r = a, Ez, Hz, E, H 连续
– EIz|a = EIIz|a : AJ(U)-CK(W)=0 – HIz|a = HIIz|a : BJ(U)-DK(W)=0 – EI|a = EII|a : (5-1-20c) – HI|a = HII|a : (5-1-20d)
J1(U∞)＝0 J1(U∞)＝0
§5-3 模式本征值
• 模式的截止与远离截止:
–临近截止: W=0 , 场在包层中不衰减
–远离截止: W→∞, 场在包层中不存在
• 截止与远离截止条件:
模式
临近截止
远离截止
TE0(TM0)
J0(Uc)＝0
HE
J2(Uc)＝0
EH
J(Uc)＝0
J1(U∞)＝0
*除了HE1模式以外,U不能为零
• 模式本征值: Uc<U<U∞
• 相位关系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE 模的Hz分量落后于Ez90°。
本征解的确定
•
纤芯(0<r<a)：
E H
I z
I z
A Ur
B
J
(
a
)e j
• 包层(r>a)：
E
H
II zII zC Wr NhomakorabeaD
K
(
a
)e j
• 横向分量：（5-1-15）；（5-1-16）
归一化工作参数
• 归一化工作频率： V2 0an12n2 2k0a1n2
• 归一化横向传播常数：Ua n12k022
• 归一化横向衰减常数：Wa 2n22k02
• 有效折射率： • 归一化工作参数：
neff = /k0
bW V22
ne2ff n22 n12 n22
贝塞尔函数递推公式(I)
微分公式：