第三章 阶跃与渐变折射率光纤的波动理论分析—1剖析

这种分析方法不仅适用于阶跃多模光纤，而且适用于单模 光纤。讨论中将首先从麦克斯韦、亥姆霍兹方程出发，导 出圆柱坐标系的阶跃光纤(均匀波导)波动方程，进而在设 定物理模型条件下，通过对纤芯与包层物理约束条件的具 体分析，利用边界条件求解波动方程，获得与各特定本征 值相联系的本征方程，进而进行阶跃光纤中存在的各种模 式及其截止条件的系统分析。
模称为标量模。
应该指出的是，在用波动理论分析阶跃光纤时，最重要也最 基本的概念就是传导模或简称为“模”。所谓“模”乃是指， 在求解表征光纤中光波的波动方程时，对应于能满足边界条 件的各本征传输常数(或称为“本征值”)的“本征解”所得 到的波动电磁场分布状态;而光纤中的场解则是各模式场的叠 加。
在对阶跃折射率光纤进行深人波动理论分析的基础上，本章 还对渐变折射率光纤进行了简要的标量近似理论分析，建立 了传输常数的本征方程，并给出了传输模式的计算公式。
3.1阶跃折射率光纤的波动理论分析与模式概念
3.1.1阶跃光纤中基本波动方程的推导
对于阶跃型圆柱光纤中的波动方程，其表述与求解应 采用圆柱坐标系更为合适。为此，首先应在建立直角坐标系 波动方程的基础上，将其变换到圆柱坐标系中。
1.直角坐标系波动方程的建立 设波导中存在如下形式的模式解:
E E0e j(t z)
H x y
)k
j Exi j Ey j j Ezk
(3.10)
比较(3. 9)式和(3. 10)式各自的等式两端，可写出各 直角坐标分量对应的方程:
Ez y
j Ey
j
H
x①
j
Ex
Ez x
j H y②
E y x
Ex y
j H z③
H z y
j H y
j Ex①
j
Hx
H z x
j
E
第3章 阶跃与渐变折射率光纤的波动理论 分析
在第2章中运用光线理论与方法分析了阶跃光纤与渐变 折射率光纤的传播规律与特性。但应指出，光线光学的分析
研究方法是在 0 条件下的一种近似处理方法，具有一
定的局限性:它只适用于阶跃多模光纤，对渐变折射率多模 光纤则近似程度较差，而对单模光纤则完全不适用;尤其是 无法进行多模光纤中的模式理论分析，获得有关模的概念。 本章将运用波动理论即求解波动方程的方法，对阶跃多模光 纤进行系统的模式理论分析。
在不考虑时间因子的条件下，上述模式解以复振幅形式表示 应有
E E0 e j z
(3.3)
H H0 e jz
(3.4)
在介质各向同性、线性、无电荷电流存在的条件下，正弦 稳态形式的矢量形式麦克斯韦方程组为
E B jH
t
(3.5)
H D j E
t
(3.6)
上场式量中为，代对表时，间将的(3微. 分5 )式t 展均开以，j表为取3代个。直若角以坐电标
上式中， 2 k 2 ， kz 因而可定义
2
k2
kz
k
2 x
t2
(3.14)
t (kx ) 称为“横向位相常数”、“横向波数”或“横向传
输常数”。它反映芯中光波能量向包层的横向辐射损失。 kz
与t
k
的表示如图3.
x
1所示。
图3.1轴向与横向传输常数
将(3. 12)式代人(3. 13)式，则有
Ex
j
t2
(
Ez x
H z y
)
类似的方法可得到
Ey
j
t2
(
Ez y
H z x
)
Hx
j
t2
(
H z x
Ez y
)
Hy
j
t2
(
H z y
Ez x
)
(3.15) (3.16) (3.17) (3.18)
上述以纵向场分量表示横向场分量的公式组表明，如果知道
纵向场分量 Ez 、 H z ，则代入上述各式即可求出各横向场
这种严格的求解方法与过程称为矢量解法。通过这一典型 实例的分析，理解波动分析方法的精髓与过程;在实际分析 中，由于实用光通信等应用中的阶跃光纤，其芯与包层的
折射率差很小(通常 1 )，即所谓“弱波导光
纤”(weakly guiding fiber)，因而可做适当近似，从而
使求解与分析大为简化。这就是标量近似解法，所得到的 LPm
2Hz x2
2Hz y 2
2 t
H
z
0
(3.20)
(3. 19)式和(3. 20)式表明，电场和磁场两个纵向场分量 Ez
和H z 是解耦的;另外，从(3.15)式到(3. 20)式，可以解出电 场和磁场的全部6个分量。求解中，首先利用(3. 19)式和(3.
z
jkz
j
(3.8)
将(3. 8)式代人(3. 7)式，则等式两端可表为
( Ez y
j
Ey )i
(
j
Ex
Ez x
)
j
( E y x
Ex y
)k
jHxi jHy j jHzk
(3.9)
类似地，将(3. 6)式按直角坐标分量展开
(
j
Hx
H z x
)
j
(H y x
(3.1)
H
H e j(t z) 0
(3.2)
式中，z 轴为光纤波导的纵轴,代表波导能量传输的方向;
为光波的角频率; kz 为传输矢量 k 的轴向分量，表示沿z
方向的模式传输，称为“轴向位相常数”，或称“轴向传输
常数”; E0 、H0 表示去掉了时间相关项e jt 情况下的电磁场
分布矢量相量。
y②
H y x
H x y
j Ez③
(3.11) (3.12)
为导出以纵向(轴向)场分量表示横向场分量的表达式，将(3.
11)式中②式的H y 值代入(3. 12)式中①式，整理、合并同类
项，并两端同乘以 j ，可解出如下横向电场分量 Ex 值:
Ex
( 2
j
2
)
(
Ez x
H z y
)
(3.13)
分量，则有
i jk
E (Ez Ey )i (Ex Ez ) j (Ey Ex )k x y z y z z x x y
Ex Ey Ez
jHxi jHy j jHzk
(3.7)
由于光波沿z轴传输，为简化表示与运算，将沿z轴单 位长度变化，即对空间量的偏微分表为如下形式:
分量Ex 、Ey 、H x 、H y 。为此，必须进一步建立求解纵向
场分量 Ez 、H z 的方程。
将化(简3.整1理7)式并H两x端值均和乘(3以. 1j8)t式2 ，H则y 值得代到人(3. 12)式中③式，
2 Ez x2
2 Ez y 2
t2 Ez
0
(3.19)
类似地，将(3.15)式H x 值、(3.16)式H y 值代人(3. 11)式中③ 式，并化简变换整理，得到