行列式拉普拉斯定理
第七节拉普拉斯定理行列式的乘法
在n阶行列式D中任取K个行(或K个列)
(1≤K<n),由这K行(列)元素构成的K阶
子式(共有 cnk个)与它们的代数余子式
的乘积之和等于行列式D.
即D=
S1 A1
S2
A2
...
S t
At
s1, s2 ,..., st 为某K个行构成的K阶子式;
A1, A2 ,..., At 分别是它们的代数余子式.
的代数余子式
A1
(1)(12)(12)
2 1
1 3,
2
A2
(1)(12)(13)
1 0
1 2,
2
A4
( 1) (1 2 ) ( 2 3)
0 0
1 0.
2
于是 D S1A1 S2 A2 S4 A4 3.3 2.(2) 5.
二 行列式的乘法公式
定理2
两个n阶行列式 a11 a12 ... a1n
除了左上角的n阶子式 D1之外,其余子式全为零,所以
D
D (1) D (12...n)(12...n)
1
2
D1D2
下面我们来证 D D.为此,对于I=1,2,…,n,将 D的
第n+1行的ai1 倍,第n+2行的 ai2倍,…,第2n行的ain倍
加到第i行,得
0 0 ... 0 c11 c12 ... c1n 0 0 ... 0 c21 c22 ... c2n ... ... ... ... ... ... ... ...
0 D
0 ... 0 cn1 cn2 ... cnn
1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n
0 1 ... 0 b21 b22 ... b2n
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
行列式展开公式证明
行列式展开公式证明行列式展开公式，也称为拉普拉斯定理或余子式展开定理。
它是用于计算n阶方阵行列式的一种方法。
下面给出行列式展开公式的证明。
设A为一个n阶方阵，其元素为a_ij，其中1≤i,j≤n。
我们要证明行列式展开公式：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * A_1n其中，A_ij表示元素a_ij的代数余子式。
证明过程如下：1. 首先，我们将A的n阶行列式拆分成n个部分，每个部分都以第一行的一个元素a_1j为基础。
det(A) = a_11 * B_11 + a_12 * B_12 + ... + a_1n * B_1n 其中，B_ij表示将矩阵A的第一行和第j列删除后得到的(n-1)阶方阵。
2. 接下来，我们对每个B_ij应用归纳法。
当n=2时，显然有：B_11 = a_22, B_12 = a_21B_21 = a_12, B_22 = a_11那么det(A) = a_11 * (a_22) + a_12 * (a_21) = a_11 * a_22 - a_12 * a_21，这是二阶方阵的行列式计算公式。
3. 假设对于所有小于n的正整数k，行列式展开公式成立。
我们来看B_11，即删除A的第一行和第一列后得到的(n-1)阶方阵。
根据归纳假设，我们可以将其展开为：B_11 = b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1) 其中，C_ij表示将矩阵A的第一行和第一列删除后得到的(n-2)阶方阵。
4. 然后，我们可以将det(A)展开为：det(A) = a_11 * (b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1))+ a_12 * (b_21 * C_21 + b_22 * C_22 + ... + b_2(n-1) * C_2(n-1))+ ...+ a_1n * (b_n1 * C_n1 + b_n2 * C_n2 + ... + b_n(n-1) * C_n(n-1))5. 接下来，我们观察每一项的乘积。
线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
目录 上页 下页 返回 结束
定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3
拉普拉斯定理与行列式的乘法规则
例3.16 设 1 1 A 0 2 0 2 4 1 2 . 0 ，B 1 5
1 1 1
1 1 1
利用行列式的乘法规则求AB .
3.7.3 行列式的乘法规则
设n 阶行列式
D1
则
a11 a12 a21 a22 a n1 a n 2
a1n a2 n ann
,
D2
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1n b2 n bnn
.
D1 D2
c11 c12 c21 c22 c n1 c n 2
c1n c2 n cnn
,
aik bkj , k 1
n
其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j nj
证明 作2n阶行列式
a11 a n1 D 1 a1n 0 ann 0 b11 1 bn1 0 0 . b1n bnn
由拉普拉斯定理，
D
a11 a n1
3.7.1 k 阶子式及其余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)， 位于这些行和列的交叉点上的 个元素
按原来的相对次序构成的k 阶行列式 S称为行列 式 D 的一个 k 阶子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后， 余下的元素按照原来的次序构成的 n k 阶行列 式 M称为 S的余子式;
A1 , A2 ,
, At , 则
例3.13 把行列式
D 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2
按第1, 2两行展开. 解 由第1,2两行可以得到 c =6个2阶子式:
S1 S4 2 1 1 2 1 0 2 1 3, S2 1, S5 2 0 1 1 1 0 2 0 2, S3 0, S6 2 0 1 0 0 0 1 0 0, 0.
拉普拉斯(Laplace)定理-行列式的乘法规则
§8 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列（n k ≤）,位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ,称为行列式D 的一个k 级子式。
在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式310120012104121-=D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M ,M 的余子式为1020='M 。
例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a a M =' 是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式。
因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项,而且符号也一致。
定理6（拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k ）个行。
由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。
例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的。
谈拉普拉斯定理及其应用
一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。
他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。
在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。
行列式计算的拉普拉斯定理
行列式计算的拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem）是线性代数中一个重要的定理，它是通过行列式的性质来计算矩阵的逆和行列式的值。
在本文中，我们将详细介绍拉普拉斯定理的含义、应用和推导过程。
拉普拉斯定理的核心思想是利用代数余子式（cofactor）来计算行列式的值。
代数余子式是行列式中每个元素所对应的子矩阵的行列式乘以适当的符号，具体计算方法如下：对于n阶方阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是A中删除第i行和第j列后的(n-1)阶矩阵的行列式。
根据拉普拉斯定理，行列式的值可以通过n个元素的代数余子式之和来计算：det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj其中A1j、A2j、...、Anj分别是代数余子式Aij的行列式值。
拉普拉斯定理的应用非常广泛，特别是在求解线性方程组、计算矩阵的逆以及计算行列式的值方面具有重要意义。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 求解线性方程组：对于线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n 维列向量，拉普拉斯定理可以用来求解x的值。
具体方法是，我们可以将方程组转化为行列式的形式，即：det(Ax) = det(b)根据拉普拉斯定理，这个行列式可以展开为：det(A) * det(x) = det(b)因为det(A)不为0，所以可以得到：det(x) = det(A)^(-1) * det(b)从而得到x的值。
2. 计算矩阵的逆：利用拉普拉斯定理，可以通过行列式的性质来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)不为0，则A的逆矩阵A^(-1)可以表示为：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)其中adj(A)是A的伴随矩阵，它的每个元素是A的代数余子式。
3. 计算行列式的值：拉普拉斯定理可以直接用来计算行列式的值。
通过将行列式展开为代数余子式的形式，然后计算每个代数余子式的值，再将它们相加，即可得到行列式的值。
拉普拉斯公式计算行列式
拉普拉斯公式计算行列式
拉普拉斯公式是一种计算行列式的方法，适用于任意阶的行列式。
公式如下：
对于n阶行列式A，以第i行或第j列展开，得到以下公式：
|A| = a_i1 * cofactor(i, 1) + a_i2 * cofactor(i, 2) + ... + a_in * cofactor(i, n)
或者
|A| = a_1j * cofactor(1, j) + a_2j * cofactor(2, j) + ... + a_nj * cofactor(n, j)
其中，a_ij表示矩阵A第i行第j列的元素，cofactor(i, j)表示A的第i行第j列元素的余子式。
余子式的计算方法是，将A 的第i行和第j列删除后得到的(n-1)阶子矩阵的行列式。
举例说明，对于一个3阶行列式：
|A| = a11 * cofactor(1, 1) + a12 * cofactor(1, 2) + a13 * cofactor(1, 3)
其中，cofactor(1, 1)表示以第1行和第1列展开的余子式。
cofactor(1, 2)表示以第1行和第2列展开的余子式。
cofactor(1, 3)表示以第1行和第3列展开的余子式。
以此类推，可计算出整个行列式的值。
注意：拉普拉斯公式的计算过程相对繁琐，对于阶数较高的行列式，计算量很大。
因此，在实际计算中，通常会选择使用高斯消元法等其他更高效的方法。
行列式的降价处理及拉普拉斯定理
02
在三角化过程中，通常需要消去或减少行列式中的二阶子式，
以便更容易地计算行列式的值。
三角化方法在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题中也
03
有广泛应用。
递推法
递推法是通过将行列式表示为一系列低阶行列式 的线性组合，从而降低计算复杂度的方法。
递推法通常适用于具有特定结构（如三角形、对 角线元素占优等）的行列式。
通过数学归纳法，可以证明一系列与行列式有 关的命题，如二阶行列式的性质、三阶行列式 的展开公式等。
03
拉普拉斯定理及其应用
拉普拉斯定理的表述
拉普拉斯定理（Laplace's Theorem）
在一定条件下，一个二阶行列式中所有的代数余子式都相等，且等于主对角线上元素的 乘积减去副对角线上元素的乘积。
在递推过程中，可以利用已知的低阶行列式值来 计算高阶行列式的值，从而减少计算量。
数学归纳法
数学归纳法是一种证明与自然数n有关的命题的 方法，通过归纳法可以证明行列式的性质和计 算公式。
在数学归纳法中，首先证明基础步骤（n=1或 n=2），然后假设当n=k时命题成立，再证明 当n=k+1时命题也成立。
代数余子式
在n阶行列式中去掉某一元素所在的行和列后所剩下的n-1阶行列式，再乘以-1的适当 次幂，所得的行列式称为该元素所在位置的代数余子式。
拉普拉斯定理的证明
利用二阶行列式的展开法则，将行列式展开为若干个二阶子 式之和，每个子式都可以利用二阶行列式的性质进行化简， 最终得到拉普拉斯定理的结论。
证明过程中需要用到行列式的性质，如代数余子式的性质、 转置行列式的性质等。
详细描述
直接计算法是通过展开行列式，按照定义逐步计算出结果；递推法则是利用递推公式，将高阶行列式转化为低阶 行列式进行计算；化简法则是利用行列式的性质，将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。在实际应用中， 根据具体情况选择合适的计算方法可以提高计算效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行列式拉普拉斯定理
行列式拉普拉斯定理是一个重要的定理，它可以用来研究行列式。
它指出，行列式的值可以由其中元素的乘积表示，即行列式的值等于其中元素的乘积减去其中元素的积的和。
拉普拉斯定理可以用来计算行列式的值，它的公式如下：
D=|a_1a_2...a_n|-|a_1a_2...a_n-1|+|a_1a_2...a_n-2|-...+(-1)^{n-1}|a_1a_2a_3|
其中，a_1,a_2,...,a_n是行列式的元素，D是行列式的值。
拉普拉斯定理的应用非常广泛，它可以用来计算行列式的值，也可以用来求解线性方程组。
它还可以用来求解一些复杂的数学问题，如求解矩阵的特征值和特征向量。
行列式拉普拉斯定理是一个重要的定理，它可以用来计算行列式的值，也可以用来求解线性方程组和一些复杂的数学问题。
它的应用非常广泛，为研究行列式和解决数学问题提供了有力的帮助。