理论力学第三章

F DB(b)CBDBF '习题3－3图第3章 静力学平衡问题3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。

试求其中1，2，3各杆受力。

解：图（a ）：045cos 23=-︒F FF F 223=（拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=︒-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0F 2 = F （受拉）3－2 图示为一绳索拔桩装置。

绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。

已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。

试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。

解：0=∑y F ，F F ED =αsin αsin FF ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F FF DB 10tan ==α由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。

3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。

桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。

重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。

长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。

试用角ϕ=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。

(b-1)习题3－1图(a-1)(a-2)(b-2)'3习题3－2图F习题3-5图习题3－4图 解：图（a ）：0=∑x F ，0sin 2cos =-ϕϕW F AB ，2sin2ϕW F AB =0=∑y F ，02sin cos =---ϕϕAB BC F W W F即 2sin 2cos 2ϕϕW W W F BC ++=W W W W 2)cos 1(cos =-++=ϕϕ3－4 杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。

对于给定的θ角，试求平衡时的β角。

解：AB 为三力汇交平衡，如图（a ）所示ΔAOG 中： βsin l AO =， θ-︒=∠90AOG β-︒=∠90OAG ，βθ+=∠AGO由正弦定理：)90sin(3)sin(sin θβθβ-︒=+ll ，)cos 31)sin(sin θβθβ=+l 即 βθβθθβsin cos cos sin cos sin 3+=即 θβtan tan 2= )tan 21arctan(θβ=注：在学完本书第3章后，可用下法求解： 0=∑x F ，0sin R =-θG F A （1） 0=∑y F ，0cos R =-θG F B（2） 0)(=∑F A M ，0sin )sin(3R =++-ββθl F lG B（3）解（1）、（2）、（3）联立，得 )tan 21arctan(θβ=3–5 起重架可借绕过滑轮A 的绳索将重力的大小G =20kN 的物体吊起，滑轮A 用不计自重的杆AB 和AC 支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。

求系统平衡时杆AB 、AC 所受力（忽略滑轮的尺寸）。

解：以A 为研究对象，受力如图（a ） 所示，其中：F T = G 。

0=∑AB F ，030sin 30cos T =︒+︒-G F F ABkN 32.7)30sin 30(cos =︒-︒=G F AB 0=∑AC F ，030sin 30cos T =︒-︒-F G F C AkN 32.27)30sin 30(cos =︒+︒=G F AB3–6图示液压夹紧机构中，D 为固定铰链，B 、C 、E 为铰链。

已知力F ，机构平衡时角度如图所示，求此时工件H 所受的压紧力。

(a)Aθ3l GβGθBBR F AR F 32l OA GF TF AB F AC（a ） B F F N BF BCC F CBF CDF CE F ECF N H F H 习题3-6图（a ） （b ）（c ）x(a)B F AA F M B(c)AAF MBBF DF D45(b)BF BAF AM(d)B F D DF BDF AF AMF D F CxF CyF D ′F AxF AyF B习题3-7图 （a ）（b ）解：以铰B 为研究对象，受力如图（a ）。

0=∑y F ，0sin =-F F BC α；αsin FF BC =（1） 以铰C 为研究对象，受力如图（b ）。

0=∑x F ，02sin =-αCE CB F F ；α2sin CBCE F F =（2） 以铰E 为研究对象，受力如图（c ）。

0=∑y F ，0cos =-αEC H F F ；αcos EC H F F = （3）由于CB BC F F =；CE EC F F =，联立式（1）、（2）、（3）解得：α2sin 2FF H =3–7三个半拱相互铰接，其尺寸、支承和受力情况如图所示。

设各拱自重均不计，试计算支座B 的约束力。

解：先分析半拱BED ，B 、E 、D 三处的约束力应汇交于点E ，所以铰D 处的约束力为水平方向，取CDO 为研究对象，受力如图（a ）所示。

0)(=∑F C M ，0=-Fa a F D ；F F D =以AEBD 为研究对象，受力如图（b ）。

0)(=∑F A M ，033='--D B F a aF 3aF ；F F B 2=3－8 折杆AB 的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M 的力偶作用在折杆AB 上。

试求支承处的约束力。

习题3—8图(a)M3F AF123dd F AF CF B习题3-11图 （a ）解：图（a ）：l M F F B A 2== 图（b ）：lMF F B A ==由图（c ）改画成图（d ），则 l MF F BD A == ∴ lM F F BDB == lMF F BD D 22==3－9 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。

为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A 、B 处所提供的约束力的铅垂分力。

解：ΣM i = 0，05.0125500=⨯++-Ay FF Ay = 750N （↓）， F By = 750N （↑）（本题中F Ax ，F Bx 等值反向，对力偶系合成结果无贡献。

）3－10 试求图示结构中杆1、2、3所受的力。

解：杆3为二力杆图（a ）： ΣM i = 003=-⋅M d FdM F =3 F = F 3（压）图（b ）： ΣF x = 0 F 2 = 0 ΣF y = 0dMF F ==1（拉）3–11图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在D 端用球铰链连接，A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在D 端的重物P = 10 kN ，试求铰链A 、B 、C 的反力。

解：(a)F ByF Ay习题3－9图(b)2F F AF习题3－10图F AF CF B习题3-12图 （a ）xyzF C F CF AF BF BF D（c ）（d ） O取铰D 为研究对象，受力如图（a ）。

0=∑xF ，045cos 45cos =︒-︒A B F F ；A B F F = （1） 0=∑yF，030cos 45sin 215cos =︒︒-︒-A C F F （2）0=∑zF，030sin 45sin 215sin =-︒︒-︒-P F F A C （3）联立式（1）、（2）、（3）解得：39.26-==A B F F kN ，46.33=C F kN3–12 图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在O 端用球铰链连接，A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在O 端的重物P =10kN ，试求铰链A 、B 、C 的反力。

解：取铰O 为研究对象，受力如图（a ）。

0=∑xF，045cos 45cos =︒-︒C B F F ；C B F F =0=∑zF，045cos =-︒-P F A ；kN 14.142-=-=P F A0=∑yF，045sin 245sin =︒-︒-B A F F ；07.7==C B F F kN3–13 梁AB 用三根杆支承，如图所示。

已知F 1=30kN ，F 2 = 40kN ，M =30kN ·m, q = 20N/m ，试求三杆的约束力。

解：（1）图（a ）中梁的受力如图（c ）所示。

0=∑xF ，060cos 60cos 1=︒+︒-F F C；kN 301==F F C0)(=∑F B M ，035.160sin 3460sin 8821=⨯+︒++-︒+q F F M F F C A ；kN 22.63-=AF(a)FDR F DlCql+60)(=∑F AM ，035.660sin 5482=⨯+︒+++q F F M F C B ；kN 74.88-=A F （2）图（b ）中梁的受力如图（d ）所示。

0)(=∑F O M ，030cos 24621=︒--+F M F F C ；kN 45.3-=C F 0)(=∑F B M ，030sin 245sin 46821=︒+︒+-+F F M F F D C ；kN 41.57-=D F 0)(=∑F DM，045sin 430sin 22421=︒-︒-+-B C F F F M F ；kN 42.8-=B F3－14 一便桥自由放置在支座C 和D 上，支座间的距离CD = 2d = 6m 。

桥面重321kN/m 。

试求当汽车从桥上面驶过而不致使桥面翻转时桥的悬臂部分的最大长度l 。

设汽车的前后轮的负重分别为20kN 和40kN ，两轮间的距离为3m 。

解：图（a ）中，321=q kN/mF = 40 kN （后轮负重） ΣM D = 003)26(=-⨯+Fl l q0403)26(35=-⨯+⨯l l l = 1m 即 l max = 1m3－15 图示构架由杆AB 、CD 、EF 和滑轮、绳索等组成，H ，G ，E 处为铰链连接，固连在杆EF 上的销钉K 放在杆CD 的光滑直槽上。

已知物块M 重力P 和水平力Q ，尺寸如图所示，若不计其余构件的自重和摩擦，试求固定铰支座A 和C 的反力以及杆E F 上销钉K 的约束力。

解：取系统整体为研究对象，其受力如图（a ）所示。

习题3－14图F AxF Cx F Ay F Cy习题3－15图 （a ） F T F K F Hx F Hy H KF K ′ F F Dx Cx F Cy CDK （b ） （c ）习题3－17图（a ）（b ）F AxF GxF GxF GyF GyF AyF EB FEC0)(=∑F A M ，0463=-+Cy aF aQ aP ；4)2(3Q P F Cy +=0=∑y F ，0=--Cy Ay F P F ；4)67Q P F Ay += 0=∑xF，0=++Cx Ax F F Q （1）取轮E 和杆EF 为研究对象，其受力如图（b ）所示。