工程流体力学 第三章流体静力学
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清华工程流体力学基础
流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） §2-2 流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） 平衡规律：在静止条件下， 平衡规律：在静止条件下，流体受到的静压力与 质量力相平衡。 质量力相平衡。 平衡微分方程的推导： 平衡微分方程的推导： 从平衡流体中取出一微 小正平行六面体微团。 小正平行六面体微团。 体积: 体积 dV = dxdydz
<1>表面力 表面力 1 ∆Fx = p x dydz 2 1 ∆Fy = p y dxdz 2 1 ∆Fz = p z dxdy 2 ∆Fn = pn ⋅ ∆ABC
各个面上的静压力
∆ABC — 斜面面积
<2>质量力 质量力 若
1 ∆V = ⋅ dxdydz 6
∆m =
ρ
6
⋅ dxdydz
则： ∆Fmx =
ρ
6
⋅ dxdydz ⋅ f x ⋅ dxdydz ⋅ f y
质量力在三个坐 标方向上的投影
∆Fmy =
ρ
6
∆Fmz =
ρ
6
⋅ dxdydz ⋅ f z
<3> x 方向上的力平衡方程式（ΣFx= 0） 方向上的力平衡方程式（ ） px1/2dydz − pn · ∆ABC·cos(n, x) + ρ1/6dxdydz fx =0 因∆ABC·cos(n, x) = 1/2dydz (∆ABC在yoz平面上 在 平面上 的投影) 的投影 则： 1/2dydz ( px – pn ) + ρ/6·dxdydz fx = 0 略去三阶微量 dxdydz. 可得： 可得： px = pn
第二章
流体静力学
绝对平衡 —— 流体整体 对于地球无相对运动。 对于地球无相对运动。
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
工程流体力学
§1.1 流体的定义
一、流体特征（续）
液体与气体的区别 液体的流动性小于气体； 液体具有一定的体积，并取容器的形状； 气体充满任何容器，而无一定体积。
流体的定义
流体是一种受任何微小的剪切力作用时，都 会产生连续变形的物质。 流动性是流体的主要特征。
§1.2 连续介质假说
微观：流体是由大量作无规则热运动的分子所组成， 分子间存有空隙，在空间上是不连续的。
在通常情况下，一个很小的体积内流体的分子数量极多；
例如，在标准状态下，1mm3体积内含有2.69×1016个气体分 子，分子之间在10-6s内碰撞1020次。
宏观：流体力学研究流体的宏观机械运动，研究的是 流体的宏观特性，即大量分子的平均统计特性。 结论：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无 数连续分布的流体微团组成的连续介质。
1686年牛顿（Newton,I.）发表了名著《自然哲学的数学原理》 对普通流体的黏性性状作了描述，即现代表达为黏性切应力 与速度梯度成正比—牛顿内摩擦定律。为了纪念牛顿，将黏 性切应力与速度梯度成正比的流体称为牛顿流体。 18世纪～ 19世纪，流体力学得到了较大的发展，成为独立的一门学科。 古典流体力学的奠基人是瑞士数学家伯努利(Bernoulli，D．) 和他的亲密朋友欧拉(Euler，L.)。1738年，伯努利推导出了 著名的伯努利方程，欧拉于17 55年建立了理想流体运动微分 方程，以后纳维(Navier,C .-L.-M.-H.)和斯托克斯(Stokes， G．G．)建立了黏性流体运动微分方程。拉格朗（Lagrange）、 拉普拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人，将欧拉和伯努利所 开创的新兴的流体动力学推向完美的分析高度。但当时由于 理论的假设与实际不尽相符或数学上的求解困难，有很多疑 不能从理论上给予解决。
工程流体力学第三章
3.2.3 等压面
压强相等的空间点构成的平面或曲面称为等压面。等压面上，dp=0。又，式
（3-6）中ρ≠0，
故
Xdx Ydy Zdz 0
(3-9)
式中，dx、dy、dz可设想为流体质点在等压面上任一微小位移ds在相应坐标轴
上的投影。因此，式（3-9）表示，当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所
A
p lim P
（3-2)
A0 A
3.1 静止流体的应力特性
3.1.2 静止流体的应力特性
① 静压强的方向与受压面垂直，并与作用面的 内法线方向相同。
这一特性可由反证法给予证明：假设在静止流体中，流体 静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成α角， 如图所示。那么静压强p可以分解成两个分力，即切向压强pt和 法向压强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第2章可知，流 体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，即流体 要流动，这显然与我们假设的静止流体相矛盾。流体要保持静 止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法 线方向的压强。
g
和称为总势能。 流体静力学基本方程式的物理意义是：在重力作用下，静止的均质不可压缩流
体中，各点单位质量流体的总势能保持不变。
3.3 流体静压强的分布规律
3.3.2 流体静压强基本方程式的意义
2. 几何意义
z
p
g
C 表明，在同一种流体相互连通的静止流体中，任意点上的
z
p
g具
有相同的数值。
式中各项单位为m，即可以用液柱高度来表示，称为水头。z为某一点的位置相 p
h
z0 z
y
3.3 流体静压强的分布规律
3.3.1 流体静压强的基本方程式
流体力学流体静力学
1 Fx dxdydz X 6
Fy
Fz
1 dxdydz Y 6
1 dxdydz Z 6
11
工程流体力学
第三章、流体静力学
3、导出关系式
• 因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为 零。则在x方向上，有： Px Pn cos(n, x) Fx 0 • 将上面各表面力、质量力表达式代入后得
二、流体静平衡微分方程的积分
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压 强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz， 然后相加，得:
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z 因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边 为压强p的全微分dp，则上式可写为:
6
工程流体力学
第三章、流体静力学
由此特性可知，静止流体对固体壁 面的压强恒垂直指向壁面。
7
工程流体力学
第三章、流体静力学
2.静止流体中任意一点的各个方向的压力值都 相等。(大小性)
证明思路： 1、选取研究对象（微元体） 2、受力分析（质量力与表面力） 3、导出关系式 4、得出结论
8
px
工程流体力学
（2）质量力 微元体质量：M＝ρdxdydz 设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。
则质量力在x方向的合力为：X· ρdxdydz
3、导出关系式：
则:
对微元体应用平衡条件 F 0
p X dxdydz dxdydz 0 x
19
工程流体力学
第三章、流体静力学
4、结论：
第三章、流体静力学
以x轴方向为例，如图所示: 1、取研究对象 微元体：无穷小平行六面体， dx、dy、dz → 0 微元体中心：A(x, y, z) 边界面中心点: A1, A2 A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z)
Fy
Fz
1 dxdydz Y 6
1 dxdydz Z 6
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第三章、流体静力学
3、导出关系式
• 因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为 零。则在x方向上，有： Px Pn cos(n, x) Fx 0 • 将上面各表面力、质量力表达式代入后得
二、流体静平衡微分方程的积分
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压 强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz， 然后相加，得:
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z 因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边 为压强p的全微分dp，则上式可写为:
6
工程流体力学
第三章、流体静力学
由此特性可知，静止流体对固体壁 面的压强恒垂直指向壁面。
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第三章、流体静力学
2.静止流体中任意一点的各个方向的压力值都 相等。(大小性)
证明思路： 1、选取研究对象（微元体） 2、受力分析（质量力与表面力） 3、导出关系式 4、得出结论
8
px
工程流体力学
（2）质量力 微元体质量：M＝ρdxdydz 设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。
则质量力在x方向的合力为：X· ρdxdydz
3、导出关系式：
则:
对微元体应用平衡条件 F 0
p X dxdydz dxdydz 0 x
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第三章、流体静力学
4、结论：
第三章、流体静力学
以x轴方向为例，如图所示: 1、取研究对象 微元体：无穷小平行六面体， dx、dy、dz → 0 微元体中心：A(x, y, z) 边界面中心点: A1, A2 A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z)
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
流体的基本概念和物理性质
密度 密度差会形成自然循环、热对流和自 然对流换热等现象。
F
热板
自然循环锅炉 1—给水泵 2—省煤器 3—汽包 4—下降管 5—联箱 6—蒸发受热面 单位体积流体所具有的质量。 用符号ρ表示，单位为kg/m3 。
m 均质流体定义式： V m 非均质流体定义式为： lim
第一篇
第一篇
工程流体力学
第一章 流体的基本概念和性质 第二章 流体静力学 第三章 流体动力学
第一章 流体的基本概念和性质 流体的定义和连续介质假设 流体的压缩性和膨胀性 流体的粘性 作用在流体上的力
第一节 流体的定义和连续介质假设
一、流体的定义 通俗定义：能流动的物质称为流体。 力学定义：在任何微小剪切力的持续作 用下能够连续变形的物质，称为流体。
• 气体易于压缩；而液体难于压缩； • 液体有一定的体积，存在一个自由表面； 气体能充满任意形状的容器，无一定的体积， 不存在自由表面。
•液体和气体的共同点：两者均具有流动性 ——在任何微小切应力作用下都会发生变 形或流动，故二者都是流体。
从微观角度看
流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空 隙，在标准条件下，1mm3气体含有2.7×1016个左右的分子， 分子间距离是3.3×10-6mm。
1 dV V dt V
单位为m3
流体温度的增加量， 单位为℃（K）
流体原有的体积， 单位为m3
•关于体胀系数αv
液体的体胀系数很小；
如：水在98000Pa下，10~20℃内，
αv =150×10-6 1/ ℃
大多数液体αv随压强的增大而稍减小； 水在50℃以下，
αv 随压强增大而增大；
一般情况下
通常把液体视为不可压缩流体。 通常在流速较高，压强变化较大的场合，气 体视为可压缩流体，必须将密度视为变量。 在流速不高（比声速小得多时），压强变化 较小，密度变化不大( )的场合， 气体可视为不可压缩流体。如锅炉的尾部烟 2 1 100% 20% 道中和空调系统通风管道中的气体等。 1
工程流体力学 第三章 流体静力学(孔珑 第三版)
两侧压差：
Δp pA pB 2 gh 1 gh2 1 gh1 2 1 gh
如果被测流体为气体：
21
1 gh 0
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
4.倾斜微压计
玻璃管倾斜角
，截面积 A1
宽广容器截面积 A2
微压计存在压差 p2 p1
F mg pe 13263 Pa 2 d 4
液柱显示的压强：
pe gH h
联立方程，解得：
H 0.8524 m
24
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
P30例题3-2 如图所示，为测压装置。假设容器 A 中水面上的计 h 示压强 pe 2.45 104 Pa ， h 500 mm ，h1 200mm ， 2 100mm 3 3 h3 300mm ，水的密度 1 1000kg m ，酒精的密度 2 800kg m B 中气体的计示压强。 水银的密度 3 13600kg m3 ，试求容器
16
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
三、绝对压强 计示压强 p26 绝对压强：以真空为基准计量的压强。
p pa gh pa ——大气压强
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。
pe p pa gh （测压计显示压强）
真空：绝对压强小于当地大气压
pV pa p pe （又称负压）
1 p fx 0 x
同理：
1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
——流体平衡方程式（欧拉方程）
5
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Δp pA pB 2 gh 1 gh2 1 gh1 2 1 gh
如果被测流体为气体：
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1 gh 0
2013年9月21日
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4.倾斜微压计
玻璃管倾斜角
，截面积 A1
宽广容器截面积 A2
微压计存在压差 p2 p1
F mg pe 13263 Pa 2 d 4
液柱显示的压强：
pe gH h
联立方程，解得：
H 0.8524 m
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P30例题3-2 如图所示，为测压装置。假设容器 A 中水面上的计 h 示压强 pe 2.45 104 Pa ， h 500 mm ，h1 200mm ， 2 100mm 3 3 h3 300mm ，水的密度 1 1000kg m ，酒精的密度 2 800kg m B 中气体的计示压强。 水银的密度 3 13600kg m3 ，试求容器
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三、绝对压强 计示压强 p26 绝对压强：以真空为基准计量的压强。
p pa gh pa ——大气压强
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。
pe p pa gh （测压计显示压强）
真空：绝对压强小于当地大气压
pV pa p pe （又称负压）
1 p fx 0 x
同理：
1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
——流体平衡方程式（欧拉方程）
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2013年9月21日
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21
（4）正压流场
流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，
即：
( p)
p const
热力学等温过程的流场就是一种正压流场，因为 等温过程中
上式说明正压流场中等压面与等密度面重合，这 是正压流场的一个重要性质。
22
正压流场的流体静力学基本方程可写为：
1 f p ( p)
p gh p0
上式即为重力场下均质静止液体中的压力
分布公式。该公式是流体静力学计算的基础之
一。
27
(2)物体所受的浮力——阿基米德定律
完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受 到液体对它的作用力，其合力称之为浮力。与 静止液体接触的物体，其表面所受的浮力可以 p z 表示为：
0
F n pdA
对于固体，无论在运动中还是处于静止状态，一 个面上总可以同时有切应力和法向应力的作用。但对 于流体，只有在运动状态下才有可能存在切应力，而 处于绝对静止或相对静止状态的流体中，任何一个面 上都只有法向应力的作用，并且是压应力，也就是压 强。其性质如下：
3
(1)压强作用方向沿作用面的内法线方向 如右图所示。当流体 受到任何微小的切应力作 用时，流体的变形就持续 不断的发生，并且当切应 力消失之后，已发生的变 形 不会再恢复到初始位置，也就是说只要有切 应力存在，流体就不会静止。此外，流体几乎 不能承受拉力。所以，在静止流体内部，切应 力为零，只有沿作用面内法线方向的应力，即 压强。 4
p
)
1
(p )
1
p
( ) p
则有：(p
( (p ) 0)
27717,19,13, P276,A-9)
p 1 1 1 f ( f ) [( ) p] ( )(p p)
14
由于p p 0 ，所以有
A
0
F
ρ
dA → p n
A,V
其中，“-”表示dA上的压力与n 相反。A为物 体表面面积， 为表面单位法线矢量，p为物体 n 表面所受的压力。 28
以坐标原点为参数点，物体所受的合力矩为：
M ( r n ) pdA
A
①完全浸没物体的浮力
如图所示一个完全浸没在液体中的物体，物 体体积为v，表面积为A,液体密度为ρ，自由液 体与大气接触，大气压为p0，物体表面所受压力 为：
M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33
由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有
阿基米德（Archimedes，公元前287－212）
欧美诸国历史上有记载的最早 从事流体力学现象研究的是古希腊 学者阿基米德在公元前250年发表 学术论文《论浮体》，第一个阐明 了相对密度的概念，发现了物体在 流体中所受浮力的基本原理──阿 基米德原理。
1
3 流体静力学
基本内容：
•流体静力学基本方程及流场静止条件
两边取旋度并整理：
p 1 f ( ) ( p) p 2 ( p) [ ( p)]
由于等压面与等密度面重合，所以 p 与 必然是平行矢量，所以 p 0。
23
因此有 f 0 力有势。
பைடு நூலகம்
即静止正压流场的质量
结论：处于静止的正压流场，其质量力必 然有势；反之，在质量力有势的条件下，处于 静止状态的必然是正压流场。
将式(a)代入上式得：
pn dA cos 0
px
2 3
dxfx pn 0
7
当微元体向D点缩小时，dx 0,则px=pn。同理 可得： py=pn pz=pn 所以有px=py=pz=pn。由于ABC面的方向是任取 的，这就证明了，静止流体在通过D点的任意方 向上的压强都相等。 z
A1 A1 A2
ngzdA
A1
A1 A2
n p dA ngzdA
0 A1
31
假定沿自由液面切割物体，物体切割面的 面积为A0，显然有
ngzdA 0
A0
z
0
A0
F
A2,V2
dA
p0
于是A1，A0构成封闭面， 应用奥-高公式有：
F ngzdA ngzdA
f ( f ) 0
即流体静止的必要条件。 在直角坐标系中为：
f y f x f z f z fx ( ) fy( ) y z z x f y f x fz ( )0 x y
15
例3-1. 设在一流场中有质量力：
f ( y 2yz z ) i
即： x dx f y dy f z dz 0 f
f d l 0
上式即为等压面方程。式中 d l为等压面上的 有向微元线段。它说明了质量力与等压面垂
直。
13
3.2.2静止流场基本特性
(1)流体静止时质量力必须满足的条件 对静力学基本方程两边取旋度，有：
f ( 1
C py dx A x pz dz
D
px dy
B
y
pn
8
3.2流体静力学基本方程及静止流场的基本特性
3.2.1流体静力学基本方程 为了分析平衡状态下流体 z p 内部压强与质量力的关系，在 流体内部取如图示微元六面体， dy dz 分析微元体在x轴上的受力情 dx 况。在x轴正方向上的压力为 y pdydz，在x负方向上的压力为 p+(әp/әx)dx x [p+(әp/әx)dx]dydz。 质量力在x轴方向上的分量为ρfxdxdydz。
px
β dy
y B
x
pz
6
由几何关系得：
dA cos 1 dydz 2 1 （a） dA cos 2 dxdz dA cos 1 dxdy 2
z C py dx A pz
γ D α
dz
px
β dy
pn y
B
x
作用在微元体上的外力应平衡，在x方向有：
p x 1 dydz 1 dxdydz f x 2 3
A V V
A
上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体 的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。 30
②部分浸没物体的浮力 物体的浮力可写成：
F n pdA n p0 dA
A1 A2
z
F
0 A2,V2
dA A1,V1
p0
ρ
→ p n
ngzdA ( n p0 dA n p0 dA)
即：dp ( f x dx
f y dy f z dz)
称为压差公式。
圆柱坐标系下的压差公式为：
dp ( f r dr rf d f z dz)
12
将流体内部压强相等的点连接起来的曲 面称之为等压面。在等压面上，p(x，y，z)= 常数。 或： dp 0, 矢量式为：
2 2
(1 v) xy (v 1) z x (1 ) x z ( v 1) x y 0
2
18
要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即:
1 0, 1 v 0, 1 v 0
解三元一次方程组得：
fx 0
fy 0
f z g
z o h
由于压差公式为： ( f x dx f y dy f z dz) dp
则dp gdz
积分得：
p0 y p
26
p gz c
若用距离自由液面的深度h表示，则p=ρgh+c
当h=0时，p=p0，于是确定积分常数c=p0，则：
2 2 2
( z 2xz x ) j
2
( x 2vxy y ) k
2 2
问：当λ,µ ,v取何值时，该流场是静止的。
16
解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：
f ( f ) 0
在直角坐标系中的表达式为：
f y f x f x f z f z f y fx ( ) f y ( ) fz ( )0 y z z x x y
9
流体处于静止状态，则x z 轴方向上力的平衡方程为：
p dy dz dx y
f x dxdydz pdydz
p ( p dx)dydz 0 x
整理得：
x
p+(әp/әx)dx
同理可得：
p f x , x
p p f y , f z y z
(c)
10
v
1 2
只有满足上述条件时，该流场中的流体才 是静止的。
19
(2)质量力有势
对于不可压缩流体，其密度ρ=const，则
f (
p
)
[P277（19）]
两边取旋度：
所以
p f ( )
f 0
这是不可压缩流体静止的必要条件。 由上式
f U
•流体静压及计算
•浮力的计算
•压力测量方法
•非惯性坐标系中的静止流体特性
•静止流体对壁面的压力