流体静力学
流体静力学方程式
流体静力学方程式流体静力学是研究流体在静止状态下的力学性质的学科。
它是流体力学的一个分支，研究流体静止时的压力、密度、重力等因素对流体的影响。
本文将介绍流体静力学的方程式及其应用。
正文流体静力学方程式是描述流体静止时的力学行为的数学表达式。
主要包括两个方程式：流体静力平衡方程和流体连续性方程。
一、流体静力平衡方程流体静力平衡方程是基于力的平衡原理得出的。
它可以用来描述流体内外压力的均衡状态。
在一个封闭的容器中，流体的压力在各个方向上必须保持平衡。
这个平衡关系可以用以下方程式表示：P = ρg其中，P是压力场的梯度，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
这个方程式表明流体中各个点的压力梯度与密度和重力加速度之间存在着一定的关系。
二、流体连续性方程流体连续性方程是基于流体质量守恒原理得出的。
它描述了流体在任意两个点之间质量的守恒关系。
对于一个不可压缩的流体（密度恒定），流体连续性方程可以用以下方程式表示：·v = 0其中，·v表示流体速度场的散度。
这个方程式表明流体在任意两个点之间的流量守恒，流出的质量等于流入的质量。
这两个方程式是流体静力学中的基本方程，通过它们可以计算流体静止时的压力分布和速度分布。
在实际的工程应用中，它们被广泛用于分析和设计涉及流体静力学的系统，如水坝、水管等。
总结起来，流体静力学方程式是描述流体静止时力学行为的基本数学表达式。
通过流体静力平衡方程和流体连续性方程，我们可以了解流体静态时的压力分布和速度分布，进而应用于实际工程中的设计和分析。
这些方程式为我们提供了深入理解流体静力学的基础，有助于我们更好地应对与流体静力学相关的问题。
流体力学中的流体静力学方程
流体力学中的流体静力学方程流体力学是研究流体运动和流体行为的物理学科。
它涉及到各种复杂的力学现象，其中之一就是流体静力学方程。
流体静力学方程描述了静止流体中各个点的力学平衡条件，它是流体力学的基础。
在介绍流体静力学方程之前，我们先来了解一下流体静力学的基本概念。
流体是一种无固定形状的物质，包括液体和气体。
流体的特性在很大程度上受到压力的影响。
流体静力学研究的是流体在静止状态下的力学行为，即不考虑流体的运动情况。
流体静力学方程可以通过两个基本方程来描述，分别是压力方程和流体压强分布方程。
1. 压力方程：在流体静力学中，压力是一个非常重要的参数。
它可以通过以下方程来描述：∇P = -ρg其中P是压力，∇P表示压力梯度，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
上述方程意味着压力梯度的方向是压力降低的方向。
当流体静止时，压力在任意两点之间的变化只受到重力的影响。
这是因为重力会使流体向下运动，从而导致压力的变化。
2. 流体压强分布方程：流体压强分布方程是描述流体静止状态下压强分布的方程。
它可以通过以下方程来表示：P = P0 + ρgz其中P是流体某一点的压强，P0是参考点的压强，ρ是流体的密度，g是重力加速度，z是从参考点到目标点的垂直距离。
上述方程表明了流体压强随着高度的增加而递减。
这是因为在静止流体中，压强的变化只取决于液体的密度和重力的作用。
除了上述两个基本方程外，流体静力学还涉及到一些附加的方程，如流体的静力平衡方程和流体的表面张力方程。
这些方程在一些特殊情况下起到重要的作用，能够进一步描述流体静止时的行为。
总结起来，流体静力学方程是描述流体静止状态下的力学平衡条件的方程。
它们包括压力方程和流体压强分布方程，能够很好地描述流体静态行为。
在流体力学的研究中，深入理解和应用这些方程对于解决各种与流体静力学相关的问题非常重要。
流体力学中的流体静力学
流体力学中的流体静力学流体静力学是流体力学的一个分支，研究静止流体的行为。
它涉及到压力、力的作用和流体的静压力等方面。
本文将介绍流体静力学的基本概念、原理和应用。
一、流体静力学概述流体静力学主要研究静止流体的性质，不考虑流体的运动。
在流体静力学中，我们关注的是流体的压力以及压力的传递和计算。
1.1 压力的定义压力是指单位面积上所受的力，可以用公式P=F/A来表示，其中P 为压力，F为作用力，A为受力面积。
通常情况下，压力是沿法线方向均匀分布的，即P=F/A。
1.2 流体静力学的基本原理根据帕斯卡定律，当外力作用于静止的不可压缩流体时，流体中各点的压强相等。
这意味着在静止流体中，压力在整个流体中传递是均匀且无损失的。
1.3 流体静压力流体静压力是指流体由于受到重力或外力的作用而在垂直平面上的压力。
在静止的流体中，静压力在不同的深度处有不同的大小，按照帕斯卡定律，静压力随深度的增加而增加。
二、流体静压力的计算在流体静力学中，计算流体静压力的方法是基于重力和液体的密度。
下面将介绍两个常见的计算流体静压力的公式。
2.1 绝对压力公式对于水平面上的静止液体，绝对压力公式可以通过公式P=ρgh计算，其中ρ为液体的密度，g为重力加速度，h为液体的高度。
2.2 相对压力公式相对压力是指相对于外部环境的压力变化。
对于不考虑大气压力的情况下，相对压力公式可以通过公式P=ρg(h2-h1)计算，其中h2和h1分别表示液体的两个高度。
三、流体静力学的应用流体静力学在实际工程和科学研究中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
3.1 液体压力传感器流体静压力的均匀性和无损失传递的特性使得它可以用于液体压力传感器的设计。
通过测量液体静压力，可以获得液体容器内液位的信息，进而对液体的流量和压力进行控制。
3.2 水坝工程在水坝工程中，流体静力学可以帮助我们计算水压对水坝的压力。
通过对水坝的结构进行理论分析，可以确保水坝在水压作用下的稳定性和安全性。
第二章 流体静力学
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
流体静力学知识点
流体静力学知识点流体静力学是研究静止在外力作用下的流体平衡状态的力学分支。
在工程学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍流体静力学的一些基本知识点和概念。
一、压力压力是流体静力学中最基本的概念之一。
它指的是单位面积上的力的作用，可以用公式P=F/A表示，其中P表示压力，F表示力，A表示作用力的垂直面积。
在流体中，压力是均匀的，并且在任何一点的方向都是相同的。
根据帕斯卡原理，如果在一个封闭的容器中施加压力，那么容器中的每一个点都会受到相同大小的压力。
二、密度密度是流体静力学中另一个重要的概念。
它指的是单位体积的质量，可以用公式ρ=m/V表示，其中ρ表示密度，m表示质量，V表示体积。
密度和压力密切相关，较高的密度会导致较高的压力。
在流体静力学中，密度通常用来描述流体的压缩性和可塑性。
三、浮力浮力是指流体对浸入其中物体的向上的支持力。
根据阿基米德原理，一个物体在液体中受到的浮力大小等于其排开的液体的重量。
浮力的大小与物体的体积有关，如果物体的体积越大，则浮力越大。
浮力对于浮体的浸没与浮起有着重要的影响。
四、液体静压力液体静压力是指任何一点在液体中的压力。
液体静压力与液体的密度、重力加速度以及深度有关，可以用公式P=ρgh表示，其中P表示液体静压力，ρ表示液体的密度，g表示重力加速度，h表示液体的深度。
液体静压力是决定液体处于平衡状态的重要因素之一。
根据液体静压力的原理，液体会在垂直方向上均匀传递压力。
五、流体静力学定律在流体静力学中，有一些重要的定律被广泛应用。
其中包括帕斯卡定律、阿基米德原理和连续性方程等。
帕斯卡定律指出，在静止的不可压缩流体中，任何一个点上受到的压强都会均匀地传递到其他点上。
阿基米德原理说明了一个物体浸没在液体中所受到的浮力等于排开的液体的重量。
连续性方程则描述了在稳定的流动中，流体的质量流量是恒定的。
六、应用领域流体静力学的知识和原理在各个领域都有广泛的应用。
在水利工程中，流体静力学用于计算水压力、水流速度等参数，从而设计合理的水坝、水闸和水管系统。
流体力学流体静力学
Fy
Fz
1 dxdydz Y 6
1 dxdydz Z 6
11
工程流体力学
第三章、流体静力学
3、导出关系式
• 因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为 零。则在x方向上，有： Px Pn cos(n, x) Fx 0 • 将上面各表面力、质量力表达式代入后得
二、流体静平衡微分方程的积分
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压 强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz， 然后相加，得:
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z 因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边 为压强p的全微分dp，则上式可写为:
6
工程流体力学
第三章、流体静力学
由此特性可知，静止流体对固体壁 面的压强恒垂直指向壁面。
7
工程流体力学
第三章、流体静力学
2.静止流体中任意一点的各个方向的压力值都 相等。(大小性)
证明思路： 1、选取研究对象（微元体） 2、受力分析（质量力与表面力） 3、导出关系式 4、得出结论
8
px
工程流体力学
（2）质量力 微元体质量：M＝ρdxdydz 设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。
则质量力在x方向的合力为：X· ρdxdydz
3、导出关系式：
则:
对微元体应用平衡条件 F 0
p X dxdydz dxdydz 0 x
19
工程流体力学
第三章、流体静力学
4、结论：
第三章、流体静力学
以x轴方向为例，如图所示: 1、取研究对象 微元体：无穷小平行六面体， dx、dy、dz → 0 微元体中心：A(x, y, z) 边界面中心点: A1, A2 A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z)
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
《流体静力学》课件
流体静压力的分布
1 2
流体静压力的分布规律
在静止的流体中，流体静压力随深度增加而增大 。
流体静压力的分布图
通过绘制流体静压力随深度变化的曲线图，可以 直观地了解流体静压力的分布情况。
3
流体静压力分布的应用
在工程实践中，了解流体静压力的分布规律对于 设计水下结构、计算水压容器等具有重要意义。
未来展望
未来流体静力学将与计算 机技术、新材料等交叉融 合，为解决复杂工程问题 提供更有效的解决方案。
02
流体静力学的基本原 理
流体静压力
流体静压力的概念
流体静压力是指流体在静止状态下，单位面积上所受的垂直力。
流体静压力的特点
流体静压力沿作用面均匀分布，且大小与作用面的方向垂直。
流体静压力的计算公式
流体静力学的基本公 式
流体静压力的计算公式
总结词
流体静压力计算公式
详细描述
流体静压力计算公式是流体静力学中的基础公式之一，用于计算流体在静止状 态下受到的压力。公式为 P = ρgh，其中 P 是流体静压力，ρ 是流体的密度， g 是重力加速度，h 是流体的高度。
流体静压力的平衡公式
总结词
流体静压力平衡公式
电梯运行
电梯的升降系统利用流体 静压力原理，确保电梯平 稳运行。
气瓶压力控制
气瓶压力调节器利用流体 静压力原理，确保气体压 力稳定输出。
血压测量
血压计利用流体静压力原 理测量人体血压，帮助医 生诊断疾病。
流体静压力在科学实验中的应用
物理实验
流体静压力在物理实验中常被用 作测量仪器或实验对象，如液体
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作用在左侧abcd面的静压力为：
1 p Fm p dx dydz 2 x
作用在右侧efgh面的静压力为：
1 p Fn p dx dydz 2 x
因此，x方向上的力平衡方程为： 1 p 1 p (p dx)dzdy ( p dx)dzdy f x dxdydz 0 2 x 2 x
f x 是单位质量力在x方向的分量。 式中，
因坐标长度都不为0，由上式可得： f x 同理可得：
1 p fy y
fz
1 p x
1 p z
写成单位质量的合力形式：
f f xi f y j f zk 1 p p p p ( i j k) x y z
P26. 例题3-1
§3.6
压强的测量
§3.6.1 压强的单位与换算
1mmH2O=9.807Pa 1atm=101325Pa 1bar=105Pa 1mmHg=1乇=133.3Pa 1at=1kgf/cm2=98065Pa 1psi=1磅力/英寸2=6887Pa
§3.6.2 压强的表示方法
用开口管测压强，液柱高度为
p1=p0+ρ g(Δh+x)
p2=p0+ ρ g x
p1－p2=ρ gΔh
•
(3)倾斜微压计
P1－P2=ρ’ g (Δh+l sinθ) ∵A0 l =AΔh ∴P1－P2=ρ’g (sinθ+A0 / A)l 定义:倾斜系数 K＝ ρ’ (sinθ+A0 / A) 则 P1－P2＝Kgl
形管 • (4) 用于测量液体的压差，在测量管流有沿程阻损失的可使用这 种压差计根据伯努利方程：
• 等压面就是等势面。（P=常数，dP=dU=0, U=常数）。 • 有势力场中，两种流体交界面必为等压面（等势面）。 证：在交界面上的两点A、B，其静压差为dp，势差为dU 则： dp = ρ1dU = ρ2dU ∵ρ 1≠ρ 2
z
≠0
∴ dp = dU = 0
§3-4
静止液体的压强
3.4.1 静压的物理概念
z
T0=288K , β=0.0065K/m，积分后得到：
T0 z p ( ) p0 T0
z =（1)5.2565 44308
当z1=11000m时，P1=0.0031P0,
T1=216.5K, 由状态方程算得ρ1=0.2968ρ0 例：喜马拉雅山顶，z=8848m，
T=288－0.0065×8848=230.5K,
测点的压强系数定义是：
CP
分别是来流和测压点压强
P P P P l l 1 P0 P l0 l 2 v 2
其含义是：测量压强相对于来流压强的变化率
• 例题
例3-1 复式压差计 测气体管道的压强差
点1 的压强 ：p A 点2 的压强： PA－ρ 2 (Z2－Z1)g 点3的压强 ： PA－ρ 2 (Z2－Z1)g+ρ 1(Z2－Z3)g 点4的压强： PA－ρ 2 (Z2－Z1)g+ρ 1(Z2－Z3)g－ ρ 2 (Z4－Z3)g= PB
证明当图中的四面体缩成一点时, 四个面上的压应力相等. 作用在四面体内的流体的外力和为零.其静力平衡方程为
1 1 1 1 p x yz i p y zx j p z xy k pn An n xyzf 0 2 2 2 6
2．静止流体的应力特征
特征一: 流体静止时，切应力为零。 静止的流体不能承受拉应力， 只能承受压应力（压强）， 任一点各个方向的压强相等。 有势力场中，两种流体交界面 必为等压面。（自证） 流体静压强的方向必然重合于 受力面的内法线方向。
特征二:ห้องสมุดไป่ตู้
特征三:
特征四:
证明：任一点各个方向的压强值相等
2. 在同一液体中，压强随高度的增加而减小。
3. 自由面上的压强的任何变化都会等值的传递到液体 中的任何一点（帕斯卡定律）。帕斯卡定律只适用 于不可压缩流体。 4. 位置水头（位置高度）：Z 压强水头（压强高度）：p/ ρg
位置水头+压强水头=常数。
§3.5
静止大气的压强分布
国际上约定的(海平面上的)大气的压强、密度、温度随海拔高度的变 化的规律，即国际标准大气。 国际标准大气取45o纬度的海平面为基准面，基准面的大气参数为：
p pa h g
用真空管测压强，液柱高度为
P H g
• 压强表示法
真 空 度
表压力
当 地 大 气 压 绝 对 压 力
绝对压强 p（Pa）
相对压强（表压力） Pg=P－Pa ,
Pa是当地大气压
真空压强（真空度） Pv=Pa－P
§3.6.3
压强的测量方法
（1）U形管： P－Pa=ρ ’ gh2－ρ gh1 , （2) Π 形管：
特性一：等压面就是等势面。 dp dΠ 0, 即Π 常数
特性二：在平衡的流体中通过每一点的等压面必与该点所受的质量
力互相垂直。 若质点沿着等压面移动一段微小距离dl，设dl在x，y，z坐标上的投影 分别为dx、dy、dz，则单位质量力所作的功应为：( f x dx f y dy f z dz) 而： dp ( f x dx f y dy f z dz) 0 即： f x dx f y dy f z dz 0
p 8848 5.2565 (1 ) 0.310076 p0 44308 p T0 288 0 1.225 0.3101 0.4746kg/m3 p0 T 230.5
（2）同温层
高度为 Z=11000～40000m 在同温层内,温度为常数T1=216.5K
表面力：周围物体作用在流体微团表面的力。
作用在单位面积上的表面力称为应力.有切应力和正应力两种。
质量力和表面力的区别：
☆
质量力作用于流体体积内的每一质点，是远距离
作用力，是空间点 和时间的函数。 ☆ 表面力作用于流体周界的表面上，源于分子间的
相互作用，是表面 点和时间的函数。
重力、电磁力属质量力，压力、粘性力属表面力。 问题：表面张力、浮力属什么类型？
• 势函数的概念
由理论力学知：若某一坐标函数对各坐标的偏导数分别
等于力场的力在对应坐标轴上的投影，则称该坐标函数为力 的势函数，而对应的力称为有势力。
因为：
fx , fy , fz x y z
则称：质量力 f 有势
如：重力、电磁力、惯性力等是有势力。
( x, y, z)为质量力的势函数
（1）对流层
在对流层内,温度随高度增加而线性减少 T=T0－βZ=T0－0.0065Z
满足气体状态方程：p RT p 代入上式得到： R(T0 z )
静止流体压差公式： dp gdz 则有：
p0
p
dp gdz g p RT R 0
g R
z
dz T0 z 0
问题讨论： 1、在什么情况下等压面是等势面？等势面一定是
等压面吗？
2、为什么在有势力场中，两种流体交界面必为等 压 面？
对于有势力作用的流体： f i j k x y z
在重力场中：
( g )dz gz f x 0, f y 0, f z g 则： 0
式中，p gradp 称为压强的梯度
i j k 称为哈密尔顿算子。 x y z
• 压差
静止流体微分方程（欧拉方程）
1 p fx x
两个邻点的压差为
1 p fy y
1 p fz z
p p p dp dx dy dz x y z ( f x dx f y dy f z dz)
静止液体内的压强分布
液体ρ =常数， 质量力只有重力 。 取Z轴为海拔高度方向，则
f x 0, f y 0, fz g
由静压差公式： dp ( f xdx f ydy f z dz) 得： dp gdz 可积分得： p gz c 或z
l v 2 P1 P2 h D 2g g
只要测得平均速度v、读h、管段长度l和D，可求
多管压差计是由若干 U 形管组成的，工作液体通常是水，它
用于测量气体密度绕流物体表面的压强分布，气流的伯努利方程： 1 1 2 P0 P v P v 2 2 2
P0 是驻点压强，P 和P 式中：
T 15 C, z 0,
p0 101325Pa, 0 1.225kg/m3
并视为理想气体，满足状态方程：p=ρRT，气体常数R＝287Nm/kgK
地面上的大气分为对流层和同温层。从海平面到11km的高空是对流层， 11km以上高空被认为是温度不变的同温层，同温层的温度即为高空 11km处的温度。
所以：
PA－PB=ρ 2 (Z2－Z1+ Z4－Z3)g－ρ 1(Z2－Z3)g
例3-2 杯式水银真空计
p const g
在液面上 : z z0时, p p0 则 p0 p z0 z 或 g g h 液深
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
静止液体内的压强分布特点：
由上式可以看出：
1. 只有重力作用的静止流体，当z为常数时，压强也常 值，因此，等压面是一水平面。
1 1 yzp x pn A cos(n, x) f x xyz 0 2 6
1 A cos(n, x) yz 2
1 p x pn f x x 0 3 x 0时, p x pn