流体力学-流体静力学
流体力学第二章 流体静力学
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
由曲线积分
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
整理ppt
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在 北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面 自北向南吹的风称为贸易风。
整理ppt
C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
2.2 流体平衡微分p 0方程z
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c g c z
x
h2
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。
工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
流体力学 - 第一章流体属性及静力学
1
第一章
流体属性及静力学
§1-1 流体定义及连续介质假定 §1-2 流体的密度、重度和粘性 §1-3 流体的其他属性 §1-4 作用于流体上的力 §1-5 流体静压力特性及静止流体中 压力变化规律 §1-6 静止流体作用在壁面上的力
第一章 流体属性及静力学
2
重点：连续介质模型，流体的粘性， 作用于流体上的力，静压力的特性，
第一章 流体属性及静力学
31
外力：周围物体对其作用力 。包括周 围流体和固体的作用力 。 外力又可分为： 表面力：表面压力、表面粘性力。自由 面上还有表面张力 ——是一种特殊类型的 表面力 ，液体内分子对表面分子的吸引。 质量力(体积力 )：重力、惯性力、磁场 力等等。
第一章 流体属性及静力学
32
1. 流体的压缩性
如果温度不变，流体的体积随压强增加 而缩小，这种特性称为流体的压缩性，通 常用体积压缩系数 p 来表示。 p 指的是在温度不变时，压强增加一个 单位所引起的流体体积相对缩小量，即：
p
1 dV V dp
第一章 流体属性及静力学
28
流体体积压缩系数的倒数就是流体的体积 弹性模量Ｅ。它指的是流体的单位体积相对变 化所需的压强增量，即：
第一章 流体属性及静力学
25
粘性流体(viscous fluid)：考虑粘性影响。 理想流体(ideal fluid)：不考虑粘性影响。 粘性流体与理想流体的主要差别如下： (1)流体运动时，粘性流体相互接触的流体 层之间有剪切应力作用，而理想流体没有； (2)粘性流体附着于固体表面，即在固体表 面上其流速与固体的速度相同，而理想流体在 固体表面上发生相对滑移。
第一章 流体属性及静力学
流体力学-03-1 流体静力学
流体静力学3 流体静力学流体静力学是研究流体相对某一参考系统为静流力学是研究流相对某考统止状态下的力学特征。
阿基米德欧拉浮力定律流体质点平衡状态方程目标确定流体内部压力场的静力学方程式目标：确定流体内部压力场的静力学方程式。
作用在流体上的两种力：质量力、表面力质量力)——作用及分布于指定质量的整个质力(体积力)作分布指质的个体积，而无需物理上的直接接触；表面力——作用于流体表面或内部界面，是通过与表力作用于流体表或内部界是通过与表面或内部界面的直接接触而实现，其力分布于接触面。
触面质量力：d zd x d y表面力：“静止”流体Æ无切向力表面力仅为压力泰勒展开：表面力：中心点O的压力为p压强梯度压力梯度是单位体积上由压强所产生的表面力的负值。
可以看出：在计算表面净剩压力时，压强本身的大小不很重要，重要的是压强随着距离的变本身的大小不很重要重要的是压强随着距离的变化率，也就是压强梯度。
体积力+表面力流，顿第示对于流体质点，牛顿第二定律表示为对于流体质点流体静止，加速度等于0欧拉平衡方程某位置处单位体积的压力+该位置处单位体积的重力=0如果重力矢量与z 轴取一致的话轴取一致的话，力矢与轴取致的，则，g x =0，g y =0，g z =-g静力学基本方程：d p g ργ=−≡−适用范围：适用范围：11.d z静止流体；2.质量力只有重力存在；3.z 轴是垂直地面的方向()(1) 不可压缩流体ρ=ρ= constant压力分布满足：d p=0Æd z=0在等压面上00在重力场中，水平面为等压面。
在重力场中，压强只与垂直坐标有关。
压力和高度的基本关联式常常用于解决压力计问题，分析多管压力计时，要考虑以下原则：①连通管中同一种液体在同一高度的任何两点，压连通管中同种液体在同高度的任何两点压力相同；②随着液柱的下降，压力增大。
()()(2) 可压缩流体上册P22-24)液压力密度的关联式积模或弹性模液体压力和密度的关联式用体积模量（或弹性模量）来表示气体的密度一般取决于压力和温度ρf()真实大气密度：=f 地理位置、季节、时辰……)国际标准大气状态主要按照北半球中纬度地区各季节中大气的平均值而定出：各季节中大气的平均值而定出①空气被看作是完全气体；②大气的相对湿度为零；③以海平面作为高度计算的起点；④在高度11000米以下，气温随高度呈直线变化，每升高1米，气温下降0.0065度；米气温下降00065⑤在约11000~24000米范围内，气温保持不变，此时的温度为216.7K。
流体力学流体静力学
d、e两点，虽属同种、连续，但不静止，管中是流动 的液体，所以在同一水平面上的d、e两点压强也不相
等。
第2章 流体静力学
多种流体在同一容 器或连通管的条件下求 压强或者压强差时，必 须注意将两种液体的分 界面作为压强关系的联 a 系面。
p0
b
( a)
2.3 压强计示方式与度量单位
2.3.1 绝对压强和相对压强
相对静止的流体。
第2章 流体静力学
2.1.2 等压面
在静止流体当中，压强相等的各点所组成的面称 为等压面。
等压面的特性，作用于静止流体中任一点上的质 量力必定垂直于通过该点的等压面。
f
参阅图2.2，设A是一 个等压面，在质量力的的
dr
A(x,y,z)
A'(x+dx, y+dx,
z+dz) p=c
作用下，将流体质点 A(x, y, z)
2.1 流体静力学的基本方程
2.1.1 流体平衡微分方程式
参阅图2.1，设M（x，y，z）
A
p
为流体中的某一点，包围M
点取一平衡微分六面体。 y
C
BM
dz p'
D
dy
dx
o 图2.图1 2平.1衡平微衡分微六分面 六面体体
第2章 流体静力学
1.表面力
p' p(x dx, y, z) p(x, y, z) p dx x
或
p z
dxdydz
fz ydz
0
fx
p x
fy
p y
fz
p z
第2章 流体静力学
矢量式为
流体力学(张景松版)第二章 流体静力学
工程大气压 98066.5 0.98067 1
0.9678 735.6 10.000 735.6 14.22
标准大气压 101325 1.01325 1.033
1
760 10.332 760
14.7
托
133.3 0.00133 0.00136 0.00132 1
13.6
1 0.01934
毫米水柱 9.8067 0.000098 0.0001 0.0000968 0.07356 1 0.07356 0.00142
一、压强的计量
p
1、绝对压强
以完全真空为基准计量的压强
绝对 压强
2、计示（相对）压强
以当地大气压强为基准计量的压强
o
计示 压强
计示 压强 （真空）
p>pa
大气压强 p=pa
p<pa 绝对 压强
完全真空 p=0
表压： p pa pe p pa gh
真空： p pa pv pa p pe
p p dx x 2
o y
dz
b ac
dy dx
p p dx x 2
x
为得到b面和c面的压强，利用a点压强进行泰勒展开:
b(x dx , y, z) : 2
pb
p
p x
dx 2
c(x dx , y, z) : 2
pc
p
p x
dx 2
2 流体静力学
z
p p dx x 2
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强。
P dP p lim
A0 A dA
2.2 流体的静压力及其特性
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
流体力学与流体静力学描述流体运动与静止的力学学科
流体力学与流体静力学描述流体运动与静止的力学学科流体力学与流体静力学是研究流体运动与静止的力学学科。
流体力学主要研究流体的力学性质，特别关注流体的运动规律。
流体静力学则专注于研究静止的流体，研究流体的压力与力学平衡。
流体力学是力学学科中的一个重要分支，其研究对象是流体。
流体是指能够流动的物质，包括液体和气体。
流体具有特殊的性质，例如可以受力变形，没有固定的形状，可以流动。
研究流体的力学性质既需要考虑宏观的流体力学规律，也需要考虑微观的分子运动规律。
流体力学主要研究流体的运动规律，包括速度场、压力场、流动速度分布以及流体的运动方程等。
流体力学的研究方法主要包括理论分析、数值模拟和实验研究。
理论分析是通过建立数学模型，应用物理定律和数学方法推导出流体力学方程，进而解析或数值求解流体力学问题。
数值模拟是通过计算机仿真的方法，利用数值方法对流体力学问题进行模拟求解。
实验研究则通过实际操作与测量，获取流体力学问题的实验数据，验证理论模型与数值模拟的准确性。
流体静力学是研究静止流体的力学学科。
静止流体是指不受外力作用的静止流体，静止流体中的压力是均匀的。
流体静力学研究的重点是静止流体的平衡条件和压力分布。
根据流体静力学原理，静止流体中任意一点的压力大小与该点的深度以及流体密度有关。
流体力学与流体静力学是现代科学技术发展中十分重要的领域。
在航空航天、水利工程、能源开发、环境保护等方面，流体力学的研究和应用都具有重要意义。
流体力学的发展使得我们可以更好地理解和预测自然界中的流体运动规律，为工程设计和科学研究提供有效的依据。
总结一下，流体力学与流体静力学是描述流体运动与静止的力学学科。
通过研究流体的运动规律和平衡条件，可以深入理解流体的力学性质，为工程设计和科学研究提供重要的理论支持。
随着科学技术的不断进步，流体力学与流体静力学将继续发展，并在各个领域中发挥重要作用。
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例3
一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm
转动，求筒内溢出的水量
2n 解： 2 60
rad/s
z
2R2 z 0.18 m 2g
利用例2结论 溢出的水量体积
1 V zR 2 0.0256m3 2
流体作用在平面上的总压力
解析法 图解法
1.解析法
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
1 p X 0 x
（1） （2） （3）
同理
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z
1 f p 0
——欧拉平衡微分方程（1755）
2.力的势函数
将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加
p p p （Xdx Ydy Zdz） dx dy dz dp x y z
1 p P右 p dx dydz 2 x
1 p P左 dx dydz p 2 x
质量力：
Fx Xdxdydz
F 0
P左 P右 Fx 0
1 p 1 p p dx dydz p dx dydz Xdxdydz 0 2 x 2 x
(4)
对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得
X Y y x
Y Z z y
Z X x z
——力作功与路径无关的充分必要条件 必存在势函数U，力是有势力
U U U dU x dx y dy z dz
或写成 p1 gz1 p2 gz2 c
p/ρg——压强水头
z——位置水头
物理意义：能量守恒
适用范围：
1.重力场、不可压缩的流体
2.同种、连续、静止
压强分布规律的最常用公式：
p gz p0 gz0
p p0 g z0 z p0 gh
水密度ρ=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂
型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？
解： pM gh 1.24 104 Pa 当砂型旋转
2n 20r / s
2 pM 2 rM / 2 gz
2 2 M
r
/ 2 gh
5.压差计 两端分别与测点相连 例 求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’
的水银）
ρ
1 Δh
2
ρ’
解：作等压面
p1 hg p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
例 求Δp （管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’
的水）
1 Δh
2
a.总压力
dP pdA ghdA
gy sindA
P dP g sin A ydA g sinyc A ghc A pc A
A ydA yc A
注意：h与y的区别
Байду номын сангаас
——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）
b.压力中心
dM dPy
ghdAy ghC AyD
ρ’
解： p1 p2 ' hg
p p1 p2 ' hg
6.微压计
p1 gh gl sin
l 1 n （放大倍数） h sin
流体的相对平衡
1.等加速直线运动流体的平衡 由 dp Xdx Ydy Zdz
重力（－g） 惯性力（－a）
pv pa pab
注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成
真空的程度，读正值！
3.压强单位
标准大气压（atm） =1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O 工程大气压（at） =0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O
=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）
1.25 106 Pa
压强增大约100倍
应用（2）：离心泵（边缘开口） 边界条件：当r=R，p=pa=0
z
ω o
0
p
dp
rdr gdz
r 2 z R 0
2r 2 2 R2 p 2 2 gz 2R2 在r=0处， p 2 gz
流体静力学
INDEX
■ ■ ■
流体静压强及其特征 流体平衡微分方程 重力作用下的液体压强分布规律
■
■ ■
流体的相对平衡
液体作用在平面上的总压力 液体作用在曲面上的总压力 解析法 二维曲面 图解法
流体静压强及其特征
“静”——绝对静止、相对静止 1.静压强定义 平衡状态
P p0 lim A0 A
换算： 1kPa=103Pa 1bar=105Pa
4.测压计 一端与测点相连，一端与大气相连 例 求pA（A处是水，密度为ρ，测 压计内是密度为ρ’的水银） 解：作等压面
p A ga ' gh
p A ' h a g
例 求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的 水） 解： p A ' gh 气柱高度不计
注意坐标的正负号
例 一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速 度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡， 液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律 解： X a cos
Z a sin g
dp Xdx Zdz
0
p
dp 0 a cos dx 0 a sin g dz
R R 2 z 4g
2 4
2 R 2 z' z 0.2m 4g 2
2R2 z' 2z 0.4m 2g
解得：
z h o z’
ω
H
2.97 rad / s
n 60 178rpm 2
结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最 低水位的正中间
等压面性质：
——广义平衡下的等压面方程
• 等压面就是等势面
• 等压面与质量力垂直
重力作用下的液体压强分布规律
1.压强分布规律
Z g
dp Zdz gdz
积分
p gz c
写成水头形式：
p1 p2 z1 z2 c g g
单位m——单位重量能量 单位Pa
2.静压强特征
N/m2（Pa）
a.静压强方向沿作用面的内法线方向 反证法
b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关
证明：取微小四面体O-ABC 表面力 Px Py 质量力 Fx Fy
Pz
Pn
Fz
F 0
Fx 0 Px Pn cos(n x) Fx 0
1 1 px dydz pn ABC cos( n x ) X dxdydz 0 2 6 1 dydz 2
圆
d 2
4 d 64
半圆
2d 3
9 2 64 4 d 1152
例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开 2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时， 求作用于此盖板的水静压力及作用点 解：设想打开封闭容器 液面上升高度为
p0
o 4m
P0 Pa 137.37 98.07 4m g 9.807
压力最低
真空抽吸作用
应用（3）：清除杂质（容器敞开） 杂质m1，流体m 杂质受力： mg（浮力） m1ω2r（惯性离心力） mω2r（向心力） m1g（自重） m1=m m1<m m1>m 不可清除 斜上 斜下
ω
例1
一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓
连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以ω
x z
p ax cos az sin gz
注意：坐标的方向及原点的位置
2.匀速圆周运动流体的平衡 由 dp Rdr Zdz
z
R r （惯性力） Z g
2
边界条件：
r 0, z 0, p pa 0
o g
z
r ω2r
0 dp 0
力矩合成
M dM dPy PyD y sindAy yC sin AyD
y 2 dA yC AyD
Ix yD yC A yC A
2 y dA
I x y 2 dA ——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）
平行轴定理
2 I x IC yC A
1 px pn X dx 0 3
dx 0
p x pn
px p y pz pn
p f ( x, y , z )
与方位无关 与位置有关
p的全微分
p p p dp dx dy dz x y z
流体平衡微分方程
1.流体平衡微分方程 由泰勒展开，取前两项：
a z x g
等压面是倾斜平面
例
一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，
B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水 静压强 解： p ax gz a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入
p 1.15mH 2O g
z o
B x a
X a（惯性力） Y 0, Z g 边界条件： x 0, z 0, p pa
z
x a o g
p
pab
a
dp
adx gdz