静力学基本方程
《化工原理》流体静力学基本方程
压力的单位: 帕斯卡, Pa, N/m2 (法定单位); 标准大气压, atm; 某流体在柱高度; bar（巴）或kgf/cm2等。
换算关系：
1标准大气压(atm)=101300Pa =10330kgf/m2 =1.033kgf/cm2(bar, 巴) =10.33mH2O =760mmHg
4
p h Hg g
V
若a c 则 a c
bd
ba d c
p
p
h Hg
g
p
V
d 2 (h 0.001)
4
d 2 (h 0.001)
4
p
Hg g
4
d 2 (h
0.001)
V d 2 (h 0.001)
h
4
p
104731d 2 (h 0.001)
V d 2 (h 0.001)
p0
在垂直方向上作用于液柱的力有：
p1
下底面所受之向上总压力为p2dA，单位N；
G
上底面所受之向下总压力为p1dA，单位N；
整个液柱之重力G＝ρg(Z1-Z2)dA，单位N。
z1
p2
z2
在静止液体中，上述三力之合力应为零，即：
p2dA－p1dA－ρgdA(Z1-Z2)＝0
p2＝p1＋ρg(Z1-Z2)
若：V 5.0 cm3，d 0.16 cm，h 3.5 cm ，求压强p为多少？
解：如图1-16所示，水平放置时，A管中的空气的物质量为：
n pV RT
p即被测系统的压强。
垂直放置时，A管的空气量不变，此时之：
p
p' d 2 (h 0.001)
流体静力学基本方程式的应用
ρρAC、：ρ9B
：指示液的密度 流体的密度
9
第一节 流体静力学基本方程式
(3)斜管压差计 ❖ 当被测量的流体的压差更小时，可采用斜管压差计。
R'=R/sinα
10
10
第一节 流体静力学基本方程式
2.液位的测量
h =（ρ0－ρ）R/ρ
11
11
5
5
第一节 流体静力学基本方程式
三、流体静力学基本方程式
p ＝ p0 ＋ g h
（1）液体内静压强随液体的深度的增大而增大， 等深处形成等压面。
（2）当液面上方的压力p0有改变时，液体内部各
点的压力p也发生同样大小的改变，称为帕斯卡原
理。
6
第一节 流体静力学基本方程式
四、流体静力学基本方程式的应用 ❖ 1.压力与压力差的测量
第一章 流体流动
目录
第一节 流体静力学基本方程式 第二节 流体流动的基本方程式 第三节 流体在管内的流动 第四节 流速和流量的测量
第一节 流体静力学基本方程式
一、流体的密度
❖ 1.混合液体的密度
1 xwA xwB xwn
m A B
n
❖ 2.混合气体的密度
3
m AxVA A xVB AxVn
(1)U形管压差计 (2)微差压差计 ❖ 2.液位的测量
7
7
图1-3 U型管压差计
第一节 流体静力学基本方程式
(1)U形管压差计
p1- p2=(ρA-ρ)gR
ρA：指示液的密度 ρ： 流体的密度
8
8
第一节 流体静力学基本方程式
(2)微差压差计 ❖ 若所测的压力差很小，可采用微差压差计。
静力学三个基本方程
静力学三个基本方程静力学是力学中的一个重要分支，在众多的力学理论中，它负责研究物体在受力情况下的平衡状态。
在这个领域中，有三个基本方程，它们是：1. 力的平衡方程力的平衡方程是静力学中最基础的方程之一，它描述的是物体在受到多个力的作用下，处于平衡状态的条件。
具体来说，它是通过对物体上所有受力的分析，找到它们之间的联系，从而得到一个关于力的平衡的数学方程式。
这个方程的本质就是等式，在其中，所有作用于物体上的力都要符合以下条件：∑F=0其中，∑F代表所有作用于物体上的力的合力，如果它等于零，那么就意味着物体处于平衡状态。
这个方程式可以用来计算物体上每一个点所受力的大小和方向，也是力学分析的基础。
2. 力矩平衡方程力矩平衡方程是静力学中比较重要的方程之一，它描述的是物体在受到力矩的作用下，处于平衡状态的条件。
力矩本质上是一个力在物体上产生的转动效应，它的大小取决于力的大小和它与物体的距离。
如果多个力产生的力矩平衡，那么物体就可以平衡。
力矩平衡方程的数学表示如下：∑M=0其中，∑M代表所有作用于物体上的力矩的合力，如果它等于零，那么就意味着物体处于平衡状态。
在使用这个方程的时候，需要先确定一个参考点，然后求出每一个力在这个点产生的力矩，最后求和，如果和为零，那么就说明力矩平衡。
3. 杠杆平衡方程杠杆平衡方程是静力学中最常用的方程之一，它主要应用于杠杆等简单机械的分析中。
杠杆平衡方程的核心原理是杠杆的力臂原理，即相同的力在不同的力臂长度下，产生的力矩会有所不同。
杠杆平衡方程的数学表示如下：F1L1=F2L2其中，F1和F2代表作用于杠杆上的两个力，L1和L2代表它们的力臂长度。
这个方程式可以用来计算杠杆的长度和所施加的力的大小，也是很多工程问题的基础。
总结静力学的三个基本方程，包括力的平衡方程、力矩平衡方程和杠杆平衡方程，是力学分析的核心。
在物理和工程学科中，这些方程式经常被应用于各种实际问题的分析和解决中。
流体静力学基本方程
采取三种措施：两种指示液的密度差尽可能减小、采用倾斜
U型管压差计、 采用微差压差计。
2）倾斜U型管压差计
假设垂直方向上的高 度 为 Rm， 读 数 为 R1， 与水平倾斜角度α
R 1sin R m
R1
Rm
sin
3） 微差压差计 U型管的两侧管的顶端增设两个小扩大
p 1 p 2 A B g R B g z
当管子平放时： p 1 p 2 A B g R
——两点间压差计算公式
当被测的流体为气体时，AB，B 可忽略,则
p1p2AgR
若U型管的一端与被测流体相连接，另一端与大气相通， 那么读数R就反映了被测流体的绝对压强与大气压之差，也 就是被测流体的表压。
表压强=绝对压强－大气压强
3）真空度： 真空表的读数 真空度=大气压强－绝对压强=－表压
绝对压强、真空度、表压强的关系：
真空度 B
绝对压强
A 表 压 强 大气压强线
绝 对 压 强
绝对零压线
当用表压或真空度来表示压强时，应分别注明。 如：4×103 Pa（真空度）、200 kPa（表压）。
表压真空度动画
液柱压差计测量液位的方法：
由压差计指示液的读数R可以 计算出容器内液面的高度。
当R＝0时，容器内的液面高度
将达到允许的最大高度，容器内 液面愈低，压差计读数R越大。
远距离控制液位的方法：
压缩氮气自管口 经调节阀通入，调 节气体的流量使气 流速度极小，只要 在鼓泡观察室内看 出有气泡缓慢逸出 即可。
任意界面两侧所受压力，大小相等、方向相反；
作用于任意点不同方向上的压力在数值上均相同。
换算关系为： 1 a tm 1 .0 3 3 k g f/c m 2 7 6 0 m m H g 1 0 .3 3 m H 2 O 1 .0 1 3 3 b a r 1 .0 1 3 3 1 0 5 P a
流体静力学基本方程
流体静力学基本方程一、静止液体中的压强分布规律重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g代入 Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ (压强p 的全微分方程)得：dp ＝ρ（-g ）dz ＝-γdz积分得： p=-γz +c即： 常数=+γpz 流体静力学基本方程对1、2两点： γγ2211p z p z +=+结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。
2）自由表面下深度h 相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。
3）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。
p 2=p 1+γΔh4）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
观看录像: 水静力学 观看动画: 静水力学基本方程演示 >>二、静止液体中的压强计算自由液面处某点坐标为z 0，压强为p 0；液体中任意点的坐标为z ，压强为p ，则：γγ00p z pz +=+∴坐标为z 的任意点的压强 ：p ＝p 0＋γ（z 0－z ） 或 p ＝p 0＋γh三、静止液体中的等压面静止液体中质量力――重力，等压面垂直于质量力，∴静止液体中的等压面必为水平面算一算：1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p 0＝9.8kPa ，A 点压强为49kPa ，则B 点压强为39.2kPa ,在液面下的深度为3m 。
四、绝对压强、相对压强和真空度的概念1.绝对压强（absolute pressure ）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为起点基准计量的压强。
一般 p ＝p a +γh2. 相对压强（relative pressure ）：又称“表压强”，是以当时当地大气压强为起点而计算的压强。
可“＋”可“– ”，也可为“0”。
p '＝p-p a3.真空度（Vacuum ）：指某点绝对压强小于一个大气压p a 时，其小于大气压强p a 的数值。
流体静力学基本方程.
§2-3 流体静力学基本方程
三、静止液体中的等压面 1. 一族水平面 2. 联通器
同种、连续、静止的流体中，水平面为等压面； 两种互不相混流体的分界面既是水平面，又是等压面。
§2-3 流体静力学基本方程
例2 -1 压强计算
已知： pa 9.8 N / cm2 h1 100 cm h2 20 cm oil 0.00745 N / cm3 hg 0.133 N / cm3
求： 解：
hc hD pc ? 列o - o等压面方程
pc pD pa oil h1 hg h2
9.8 0.00745100 0.133 20
13.205 N / cm2
另： 若想计算左端容器中液面的压力，则有 p pc H 2Oh
§2-3 流体静力学基本方程
p1
z2
p2
C'
§2-3 流体静力学基本方程
五、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义
１. 几何意义 各项具有长度的量纲 z : 位置水头 p : 压强水头
z p' c : 测压管水头
z p' pa ' c : 静力水头
测压管水头相等，为一水平面
§2-2 流体平衡微分方程及其积分
例2-2 （压力计算题） 某选矿厂自高位水池引出一条管路 AB 向球磨车间供
水。现因检修停水，关门了阀门B 。问此时 B 处的绝对压 强和相对压强各为多少？
解 设大气压 pa 98000 N m，2 水的重度 9800 N m3 ， 由式(2-16)，可求得 点的压强为
图解关系：
p pa p' pv pa p pvmax pa
流体静力学基本方程
图卜2流体静力学皐木方程式的推导(3) 作用于整个液柱的重力 GG = JgA(Z i -Z 2)(N) 0由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ：p i A+ ：?gA(Z i -Z 2) - — p 2 A = 0令：h= (Z i -Z 2) 整理得： p 2 = p i +「gh若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为p o ； 则:p 0 = p i + ：'gh上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。
即:静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。
2、 静力学基本方程的讨论：(1) 在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。
(2) 在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。
(3) 当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。
三、流体静力学基本方程式1、 方程的推导设：敞口容器内盛有密度为 二的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积2均为Am 。
作用在上、下端面上并指向此两端面的压力分别为P 1和P 2。
该液柱在垂直方向上受到的作用力有： (1) 作用在液柱上端面上的总压力 P iPi = p i A (N) 也 (2) 作用在液柱下端面上的总压力 P 2P = p A (N)压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。
p P (5) 整理得：z 1g1二z 2g 也为静力学基本方程P g (6) 方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变 化不大的情况。
3、静力学基本方程的应用(1)测量流体的压差或压力①U 管压差计U 管压差计的结构如图。
对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起 A化学作用，且其密度：7指应大于被测流体的密度：、。
通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。
I测压差：设流体作用在两支管口的压力为 p 1和P 2，且P i > P 2 , A-B 截面为等压面 即：P A 二P B 根据流体静力学基本方程式分别对 U 管左侧和U 管右侧进行计算整理得： P i - P 2 =：〔'指一'Rg讨论： (a )压差(p i -P 2)只与指示液的读数 R 及指示液冋被测流体的密度差有关。
2第二章 流体静力学基本方程
p b 为大气压强
17
图1-8 静力水头线与测压管水头线
公安海警学院基础部
热工基础
第二章 流体静力学方程
设一个大气压力为 9 . 81 10 4 N 3 3 的密度 10 kg / m 2 力加速度 g 9 . 81 m / s 则
pb
/m
2
而水 重
g
9 . 81 10
3
4
例2
热工基础
第二章 流体静力学方程
解： A点： 位置水头： z 压力水头： h 测压管水头：
H
A
A
h1 h 2 3 3 6 m
A
pA
g
5 10
5 3
10 10
50 m
z A h A 6 50 56 m
24
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热工基础
第二章 流体静力学方程
第二章 流体静力学方程
当f2>>f1时： 可以用很小的力：p1*f1 f1 举起重物：p1*f2
帕斯卡定律：在平衡液 体里面，其液面或任意 一点的压力和压力变化， 可以按照它原来的大小， 传递到液体的各个部分。
35
p1
G
p1
f2
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热工基础
第二章 流体静力学方程
36
图1-16 油压千斤顶的 构造原理
27
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热工基础
第二章 流体静力学方程
小结
重力
作 用 在 流 体 上 的 力
质量力
惯性力
直线惯性力
离心惯性力 切应力 表面力
压强
28
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1.3.1基本概念
❖ 4.非牛顿型流体
凡是剪应力与速度梯度不符合牛顿粘性定律的流体均
称为非牛顿型流体。非牛顿型流体的剪应力与速度梯度
成曲线关系，或者成不过原点的直线关系，如图1-11所
示。
宾汉塑性流体
涨塑性流体
牛顿流体
假塑性流体
dv/dy 图 1-11 剪应力与速度梯度关系
两边同除p2以gp1
g g
z1
z2
——静力学基本方程
1.2.2 流体静力学基本方程
❖ 讨论
（1）适用于重力场中静止、连续的同种不可压缩性流体； （2）在静止的、连续的同种流体内，处于同一水平面上各点的压力处
处相等。压力相等的面称为等压面；
（3）压力具有传递性：液面上方压力变化时，液体内部各点的压力也 将发生相应的变化。即压力可传递，这就是巴斯噶定理；
1.2.1静止流体所受的力
（2）压力的两种表征方法 绝对压力 以绝对真空为基准测得的压力。 表压或真空度 以大气压为基准测得的压力。
表压 绝压 当地大气压
真空度 当地大气压 绝压
1.2.2 流体静力学基本方程
❖ 对连续、均gz质且p 不常可数压缩流体， =常数，
❖ 对于静止p流2 体 中p1任意两g点(z11和2z，2则) 有：
y
v
牛顿粘性定律
yx
:dv dy
x
v=0
图 1-10 平板间粘性流体分层运动及速度分布
服从此定律的流体称为牛顿型流体。
1.3.1 基本概念
❖ 3．粘性及牛顿粘性定律
粘度的单位 :
dv
dy
N
m
m2
s m
= Pas
在c.g.s制中，的常用单位有dyns/cm2即泊（P），以及厘
泊（cP），三者之间的换算关系如下：
作用在流体上的所有外力F可以分为两类：质量力和
表面力，分别用FBF、FS表FB示，于F是S ：
质量力：质量力又称体积力，是指作用在所考察对象的
每一个质点上的力，属于非接触性的力，例如重力、离
心力等。
F
g
i
xLeabharlann g yjgzk1.1 概述
❖ 2 作用在流体上的力
表面力：表面力是指作用在所考察对象表面上的力。
1.3.1基本概念
❖ 5.流动类型和雷诺数
有色液体
(a)层流
水
图 1-12 雷诺实验装置
(b)湍流 图 1-13 两种流动类型
1.3.1基本概念
❖ 5.流动类型和雷诺数
实验研究发现，圆管内流型由层流向湍流的转变不仅与流速u有 关，而且还与流体的密度、粘度 以及流动管道的直径d有关。将 这些变量组合成一个数群du/，根据该数群数值的大小可以判断流
❖ 对均质、不可压缩流体，
动类型。这个数群称为雷R诺e准数du，用符号Re表示，即
其因次为：
Re
du
m(m/s)(kg/m3) Ns/m2
= m0kg0s0
1.3.1 基本概念
❖ 当Re≤2000时为层流；当Re>4000时，圆
管内已形成湍流；当Re在20004000范围
内，流动处于一种过渡状态。
❖ 若将雷诺数形式变为：
质量流速
单位时间内流经管道G单位截u 面积的流体质量。
1.3.1 基本概念
❖ 2．流速和流量
体积流量
单位时间内流经管道任意截面的流体体积， V—— m3/s或m3/h。 质量流量
单位时间内流经管道任意截面的流体质量， m—— kg/s或kg/h。
1.3.1 基本概念
❖ 3．粘性及牛顿粘性定律
当流体流动时，流体内部存在着内摩擦力，这种内摩擦力会阻碍 流体的流动，流体的这种特性称为粘性。产生内摩擦力的根本原因 是流体的粘性。
任一面所受到的应力均可分解为一 个法向应力（垂直于作用面，记为
ii）和两个切向应力（又称为剪应 力 ， 平 行 于 作 用 面 ， 记 为 ij， ij），例如图中与z轴垂直的面上 受到的应力为zz（法向）、zx和zy （切向），它们的矢量和为：
τz
i
zx
j
zy
zzk
1.1 概述
❖ 2 作用在流体上的力
1.1 概述
❖ 1 流体的压缩性
流体体积随压力变化而改变的性质称为压缩性。 实际流体都是可压缩的。 液体的压缩性很小， 在大多数场合下都视为不可压缩，而气体压缩性 比液体大得多，一般应视为可压缩，但如果压力 变化很小，温度变化也很小，则可近似认为气体 也是不可压缩的。
1.1 概述
❖ 2 作用在流体上的力
❖ 静止流体所受的外力有质量力和压应力两种,流体垂直作 用于单位面积上的力，称为流体的静压强，习惯上又称 为压力。
（1）压力单位 在国际单位制（SI制）中，压力的单位为N/m2，称为
帕斯卡（Pa），帕斯卡与其它压力单位之间的换算关系 为： 1atm（标准大气压）=1.033at（工程大气压）
=1.013105Pa =760mmHg =10.33mH2O
du u 2
Re
u d
u2与惯性力成正比，u/d与粘性力成正比，由此可见，
雷诺准数的物理意义是惯性力与粘性力之比。
1.3.2 质量衡算方程---连续性方 程
❖ 对于定态流动系统，在管路中流体没有1 增加控和制体漏
失的情况下m1： m2
2
❖即
1u1A1 2u2 A2
1 2
图 1-14 管道或容器内的流动
类似地，与x轴、y轴相垂直的面（参见图1-2）上受到 的应力分别为：
τx
i
xx
j
xy
k
xz
τy
i
yx
j
yy
yz k
z
xx
yx xy
yy
M
xz
yz
zx
zy
zz o
y
x
图 1-2 任一点所受到的应力
1.2 流体静力学及其应用
❖ 1.2.1 静止流体所受的力 ❖ 1.2.2 流体静力学基本方程
1.2.1静止流体所受的力
1.3.1 基本概念
❖ 1．稳定流动与不稳定流动
流体流动时，若任一点处的流速、压力、密 度等与流动有关的流动参数都不随时间而变化， 就称这种流动为稳定流动。
反之，只要有一个流动参数随时间而变化， 就属于不稳定流动。
1.3.1 基本概念
❖ 2．流速和流量
流速 （平均流速）
单位时间内流体质u 点 V在A 流 1A动A方 v向dA上所流经的距离。
（4）若记， 称为广义压力，代表单位体积静止流体的总势能（即静 压能p与位能gz之和），静止流体中各处的总势能均相等。因此，
位置越高的流体，其位能越大，而静压能则越小。
1.3 流体流动的基本方程
❖ 1.3.1 基本概念 ❖ 1.3.2 质量衡算方程----连续性方程 ❖ 1.3.3 总能量衡算和机械能衡算方程