用微元法和动量定理解连续体问题
运用“问题连续体”优化竞赛辅导中物理问题的设计——第29届全国中学生物理竞赛预赛试题第13题评讲体会
届全 国 中学 生 物 理 竞 赛 预 赛 试 题 第 １ ３题 讲 评 谈 一 些
体会 ． 题 目．电荷 量 分 别 为 ｑ 和 Ｑ 的两 个 带 异 号 电荷 的小 球
Ａ 和 Ｂ（ 均 可 视 为 点 电荷 ） ， 质量分别为 ｍ和 Ｍ． 初始时刻 ， Ｂ的速度为 ０ ， Ａ在 ＿ Ｂ的 右 方 ， 且与 Ｂ相距 ｚ 。 ， Ａ 具 有 向 右
（ ÷ ｍ Ｖ Ｏ ２ － 鲁 ） ．
到 了 预 设 的 目标 ， 对 学 生 思 维 能 力 和 创 新 精 神 的 培 养 起 到
了一定的促进作用．
又 因 为 式 中 冲 量＿ ， 一∑ △ Ｊ 一∑ｆ Ａ ｔ ．
外力 ，所做的功为Ｗ 一 ： ｆ ｌ Ａ ｔ ．
二 是选 择合 适 的途 径 使 问 题 转 化 ．
解法 １ ： 微元法．
考试 中 ， 这 问 题 难 倒 了 很 多 学 生 ．问 题 解 决 的 关 键 —— 要 选 取 合 适 的 参 考 系． 对 学生来说 ， 这 是 一 个 全 新
的思想． 如何让学生 接受并 理解 这种思 想 ， 最 后 能 创 造 性
ｗ ＝ｌ （ Ｍ ＋ ｍ） Ｖ ｏ ２ ｋＱ ｑ
－
地 应 用 到 问题 的 研 究 中 ， 引 起 了 笔 者 的 思 考． 在 试 题 评 讲
时， 笔者根据学生 的认知 水平设 计 了一个 结构性 递减 的 、
多维度 、 多 层 次 的“ 问题 连 续 体 ” ， 通过实 际的教学 ， 基 本 达
的初 速度 。 ， 并 还 受 到 一 向右 的作 用 力 ，使 其 保 持 匀 速 运
动， 某一时刻 ， 两 球 之 间 可 以达 到 一 最 大 距 离 ．
高中物理建模：应用动量定理求解连续作用问题
2.典例剖析
【思维训练1】正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量
为m，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子
大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器
壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所
学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。
(ⅰ)喷泉单位时间内喷出的水的质量； (ⅱ)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
答案 (ⅰ)ρv0S (ⅱ)2v20g－2ρM2v220gS2
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(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题
时做必要的说明)
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【思维训练2】 一股水流以 10 m/s 的速度从喷嘴竖
直向上喷出，喷嘴截面积为 0.5 cm2，有一质量为 0.32 kg
的球，因受水对其下 侧的冲击而停 在空中，若水 冲击球后
速度变为 0，则小球停在离喷嘴多高处？
目录页
Contents Page
物理建模：应用动量定理 求解连续作用问题.
1.模型特点 2.典例剖析
3.规律方法
4.高考模拟演练
能力课
1.模型特点
应用动量定理求解连续作用问题 机枪连续发射子弹、水柱持续冲击煤层等都属于连续作用问题。这 类问题的特点是：研究对象不是质点(也不是能看成质点的物体)，动 量定理应用的对象是质点或可以看做质点的物体，所以应设法把子 弹、水柱质点化，通常选取一小段时间内射出的子弹或喷出的水柱 作为研究对象，对它们进行受力分析，应用动量定理，或者结合牛 顿运动定律综合求解。
答案 1.8 m
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Байду номын сангаас
3.规律方法
高中物理选修3-5配套课件模块要点回眸第2点 微元法解决连续质量变动问题
第2点 微元法解决连续质量变动问题应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法，具体步骤：(1)确定一小段时间Δt 内的连续体为研究对象；(2)写出Δt 内连续体的质量Δm 与Δt 的关系式；(3)分析连续体的受力情况和动量变化；(4)应用动量定理列式、求解．对点例题 如图1所示，塑料水枪是儿童们夏天喜欢的玩具，但是也有儿童眼睛被水枪击伤的报道，因此，限制儿童水枪的威力就成了生产厂家必须关注的问题．水枪产生的水柱对目标的冲击力与枪口直径、出水速度等因素相关．设有一水枪，枪口直径为d ，出水速度为v ，储水箱的体积为V .图1(1)水枪充满水可连续使用多长时间？(2)设水的密度为ρ，水柱水平地打在竖直平面(目标)上后速度变为零，则水柱对目标的冲击力是多大？你认为要控制水枪威力关键是控制哪些因素？(不考虑重力、空气阻力等的影响，认为水柱到达目标的速度与出枪口时的速度相同．)解题指导 (1)设Δt 时间内，从枪口喷出的水的体积为ΔV ，则ΔV ＝v S Δt ，S ＝π(d 2)2， 所以单位时间内从枪口喷出的水的体积为ΔV Δt ＝14v πd 2， 水枪充满水可连续使用的时间t ＝V 14v πd 2＝4V v πd 2. (2)Δt 时间内从枪口喷出的水的质量m ＝ρΔV ＝ρS v Δt ＝ρ·π(d 2)2v Δt ＝14ρπd 2v Δt . 质量为m 的水在Δt 时间内与目标作用，由动量定理有F Δt ＝Δp ，以水流的方向为正方向，得－F Δt ＝0－14ρπd 2v Δt ·v ＝0－14ρπd 2v 2Δt ， 解得F ＝14πρd 2v 2. 可见，要控制水枪威力关键是要控制枪口直径d 和出水速度v .答案 (1)4V v πd 2 (2)14πρd 2v 2 控制枪口直径d 和出水速度v 方法点评 这类有连续质量变动问题的解题关键在于研究对象的选取，通常采用的方法是选Δt 时间内发生相互作用的变质量物体为研究对象，确定发生相互作用前后的动量，然后由动量定理求解．1．飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题．我国科学家已将这一问题解决，才使得“神舟五号”载人飞船得以飞行成功．假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S ＝0.98 m 2，以v ＝2×103 m/s 的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m 3空间有一微粒，每一微粒平均质量m ＝2×10－4 g ，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？(设微粒与飞船相碰后附着到飞船上)答案 0.784 N解析 由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，据牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力相等．只要求出时间t 内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力．时间t 内附着到飞船上的微粒质量为：M ＝mS v t ，设飞船对微粒的作用力为F ，由动量定理得：Ft ＝M v ＝mS v t ·v ，即F ＝mS v 2，代入数据解得F ＝0.784 N.由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784 N ，故飞船的牵引力应增加0.784 N.2．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力F 与m 、n 和v 的关系．(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)答案 F ＝13nm v 2解析 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量ΔI ＝2m v如图所示，以器壁上面积为S 的部分为底、v Δt 为高构成柱体，由题设可知，其内有16的粒子在Δt 时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数N ＝16n ·S v Δt Δt 时间内粒子给器壁的冲量I ＝N ·ΔI ＝13nSm v 2Δt 由动量定理得器壁上面积为S 的部分受到粒子的压力F ′＝I Δt则器壁单位面积所受粒子的压力F ＝F ′S ＝13nm v 2.。
动量定理解决连续流体问题学习教案
[例 2] 宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解 决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度 不变的问题。假设一宇宙飞船以 v＝2.0×103 m/s的速度进入 密度 ρ＝2.0×10－6 kg/m3 的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上 的最大截面积 S＝5 m2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞 船上，则飞船要保持速度 v 不变，所需推力多大？
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第八页，编辑于星期一：五点 五十八分。
[解析] 设飞船在微粒尘区飞行 Δt 时间，则在这段时间内 附着在飞船上的微粒质量 Δm＝ρSvΔt，
微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加， 由动量定理 Ft＝Δp 得 FΔt＝Δmv＝ρSvΔtv， 所以飞船所需推力 F＝ρSv2＝2.0×10－6×5×(2.0×103)2N ＝40 N。
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第十页，编辑于星期一：五点 五十八分。
对于t时间内喷出的水由能量守高度处t时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变二微粒类柱状模型问题先应用动量定理研究单个粒子建立方程再乘以n计算微元研究作用时间t内一段柱形流体的长度为l对应的体积为vsv建立柱状模型沿运动的方向选取一段微元柱体的横截面积为s分析步骤通常电子流光子流尘埃等被广义地视为微粒质量具有独立性通常给出单位体积内粒微粒及其特点宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度不变的问题
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得 F＝Mg
⑦
联立③④⑤⑥⑦式得 h＝v20g2－2ρM2v20g2S2。
⑧
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第六页，编辑于星期一：五点 五十八分。
(二)微粒类“柱状模型”问题
微粒及 其特点
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”， 质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n
动量定理解决连续流体问题
以N计算
[例 2] 宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解 决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度 不变的问题。假设一宇宙飞船以 v＝2.0×103 m/s的速度进入 密度 ρ＝2.0×10－6 kg/m3 的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上 的最大截面积 S＝5 m2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞 船上，则飞船要保持速度 v 不变，所需推力多大？
[反思领悟]
对于流体及微粒的动量连续发生变化这类问题，关键是 应用微元法正确选取研究对象，即选取很短时间 Δt 内动量发 生变化的那部分物质作为研究对象，建立“柱状模型”：研 究对象分布在以 S 为截面积、长为 vΔt 的柱体内，质量为 Δm ＝ρSvΔt，分析它在 Δt 时间内动量的变化情况，再根据动量定 理求出有关的物理量。
到达玩具底面时的速度大小为 v。对于 Δt 时间内喷出的水，由能量守
恒得21(Δm)v2＋(Δm)gh＝21(Δm)v02
④
在 h 高度处，Δt 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变
化量的大小为 Δp＝(Δm)v
⑤
设水对玩具的作用力的大小为 F，根据动量定理有 FΔt＝Δp ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得 F＝Mg
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
[例 1] (2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出 的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算 方便起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0 竖 直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于 S)；水柱冲击到玩 具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周 均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为 ρ，重力加速度大 小为 g。求
“微元思想”在动量定理解题中的应用
“微元思想”在动量定理解题中的应用作者：马秀江来源：《中学生理科应试》2017年第01期在2014年新课标卷物理考纲中增加的内容：选修模块3-5，在主题“碰撞与动量守恒”下增加“动量定理”并作Ⅱ级要求.这就要求教师在备考过程中体现出考纲的变化.尤其是“微元思想”在动量定理解题中的应用，要想解好此类题从以下三个方面作起.一、建立一种模型——柱体模型对于流体问题，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面S 的流体长度为Δl，如图1所示，若流体的密度为ρ，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt.图1二、掌握一种方法——微元法当所取时间为Δt足够短时，图1流体柱长度Δl甚短，相应的质量Δm也很小.显然，选取流体柱的这一微小元段作为研究对象就称微元法.三、运用一个规律——动量定理求解这类问题一般运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即F合Δt=Δp.四、举例1.液体流问题例1高压采煤水枪出口的截面积为S，水的射速为v，水的密度为ρ，水平射到煤层上后，①若水的速度变为零，求水对煤层的平均冲力大小为多少？②求水对煤层可能受到的最大平均冲力的大小为多少？解析①取时间t内的水研究对象m=ρSvt，以初速度方向为正方向，根据动量定理，有：-Ft=0-（ρSvt）v计算得出：F=ρSv2因此，本题正确答案是ρSv2.②取时间t内的水研究对象m=ρSvt，以初速度方向为正方向，根据动量定理，有：-Ft=-ρSvtv—（—ρSvtv）计算得出：F=2ρSv2因此，本题正确答案是2ρSv2点评所取的的时间为Δt足够短，趋近于零时，液体柱长度Δl很短，相应得质量Δm也很小，这种取微元作为研究对象的方法，称为微元法.在水流中截取很小的一段为研究对象，等效成两种模型，一种是水流的速度减速到零，另一种是水流的速度等大反向，相当于弹性碰撞，两种情况下作用时间都为t，此类问题迎刃而解.例2为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s.据此估算该压强约为（设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m3）（）.A. 0.15PaB. 0.54PaC. 1.5PaD. 5.4Pa解析设雨滴受到支持面的平均作用力为F.设在Δt时间内有质量为Δm的雨水的速度由v=12 m/s减为零.以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：FΔt=0-（-Δmv）得到F=ΔmΔtv.设水杯横截面积为S，对水杯里的雨水，在Δt时间内水面上升Δh，则有研究对象Δm=ρ SΔh，F=ρSvΔhΔt，压强P=FS=ρVΔhΔt=103×12×45×10-33600=0.15（Pa）点评此题关键是选取极小时间的水柱为研究对像，因为时间非常的短，还是估算题，所以重力可以忽略，与2016高考题35处理思想一致，竖直方向应用动量守恒，忽略了重力.例3一水龙头以v1=20 m/s的速率喷出截面积为2×10- 4m2的水柱，水柱垂直冲击竖直墙壁后，变成无数小水滴，被墙面反弹后向四周均匀飞溅，形成一个顶角为120度的圆锥，如图2所示，若飞溅水滴的速率为2.0 m/s则，则水柱对墙壁的冲击力为多大？水的密度ρ=1×103kg/m3.图2解析在该问题中，重力对水柱的影响可以忽略不计，设水龙头喷水的方向为正方向.设在Δt时间内与墙壁发生碰撞的水柱质量为Δm=ρSv1Δt，设水柱受到墙壁冲击力为F.由动量定理得-FΔt=-Δmv2cosα-Δmv1，F=ρSv1（v2cosα-v1）带入数据得F=-84 N水柱对墙壁的冲击力F′是F的反作用力，大小也为84N.点评动量定理公式是矢量式，建立方程时要注意各矢量的方向，本题中根据对称性，把冲量分解到水平方向和竖直方向，竖直方向分冲量矢量和为零，重力比墙壁反冲击力小得多，可以忽略不计.2.微粒流问题例4太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用.设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m，垃圾的运行速度可以忽略.飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住.试求飞船引擎所应提供的平均推力F.解析取一段时间Δt，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV=S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力.F=ΔPΔt=ΔM·vΔt=m·nSvΔt·vΔt=nmSv2点评太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提.建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程、时间”的差异.物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾.3.气体流问题例5在水平地面上放置一个氧气瓶，设瓶内高压氧气的密度为ρ，瓶口甚小，其横截面积为S.若打开阀门，当喷出氧气的速率为v时，求地面对氧气瓶的静摩擦力大小（在此过程中，瓶内氧气密度的变化忽略不计，且设氧气瓶保持静止状态）.解析选取极短时间Δt内喷出的相应速率为v的一小段氧气柱为研究对象，其微元的质量Δm，受到的冲力为F，由动量定理有：FΔt=Δmv，而Δm=ρSvΔt代入得F=ρSv2根据牛顿第三定律，氧气瓶所受气体的反作用力与气体的冲力大小相等，又因氧气瓶保持静止，由平衡条件得静摩擦力大小为f=F=ρSv2.点评处理有关流体（如空气、高压燃气等）撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属.解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间Δt内射到物体表面上的流体为研究对象例6某种气体分束由质量m0=5.4×10-26kg，速度v=460 m/s的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n0=1.5×1020个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强？解析时间t内碰撞面积S上的分子数：N=（vt·S）n0容器有6个面，所以每个器壁碰撞的分子数为16N，对于这部分分子，根据动量定理，有：-Ft=-16Nm0v-16Nm0v计算得出：p=FS=13n0m0v2答：被分子束撞击的平面所受到的压强是13n0m0v2.点评由于冲击作用过程时间极短，产生变化很大，研究对象还是微观粒子，牛顿运动定律不适用，用动量定理可以不考虑中间细节，只分析整个过程中冲量的总体效果，是解决这类问题的重要方法.4.电子流问题例7在彩色电视机的显像管中，从电子枪射出的电子在加速电压U作用下被加速，且形成电流为I的平均电流，若打在荧光屏上的高速电子全部被荧光屏吸收.设电子质量为m，电量为e，进入加速电场之前的初速不计，求：①t秒内打在荧光屏上的电子数？②显像管受到电子流的平均冲力多大？解析①电子流单位时间流过某一截面的电量是一定的，故Q=It，n=Qe=Ite.对一个电子而言，有12mv2=eU，所以加速后电子的速率为v=2eUm.②以体积元ΔV 中的 n 个电子为研究对象，电子与荧光屏作用前的速度为 v，作用后电子被吸收表明其动量为零，由动量定理得F·Δt=n·Δp=n（p-0）=nmv=Ite·m2eUm.故显像管受到的平均冲力为F=I2eUme.例8已知火箭发动机产生的推力F等于火箭在单位时间内喷出的推进剂的质量J与推进剂速度v的乘积.即F=Jv.质子火箭发动机喷出的推进剂是质子，这种发动机通常用于外层空间中产生小的推力来纠正卫星的轨道或姿态.设质子发动机喷出质子流的电流I=1 A，用于加速质子的电压U=5×104V.试求该发动机的推力F.（已知质子的质量是1.6×10-27kg，电量为1.6×10-19C）解设单位体积内的质子（电荷）数为n质子流的横截面为S每个质子的质量为m0则质子电流强度I=nevS0单位时间内喷出的质子总质量J=nvSm0电场对质子做的功为：W=eU且由题意可知W=12m0v2-0 v=2eUm0故F=nvSm0v=nSm0v2=nS×2eUIJ=em0， J=Im0e即：F=Jv=Im0e2eUm0=Ie2eUm01=I2Um0e点评无论是电子流、质子流还是光子流，都可以把这些等效成常见的水流模型，使形异质同的问题归为一类应用动量定理去处理.例9[2016年全国（新课标卷Ⅰ）]理科综合题35：某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：（ⅰ）喷泉单位时间内喷出的水的质量；（ⅱ）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.解析（ⅰ）在一段很短的Δt时间内，可以认为喷泉喷出的水柱保持速度v0不变.该时间内，喷出水柱高度：Δl=v0·Δt①喷出水柱质量：Δm=ρ·ΔV②其中ΔV为水柱体积，满足：ΔV=Δl·S③由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为ΔmΔt=ρ·v0·S（ⅱ）设玩具底面相对于喷口的高度为h如图3所示，由玩具受力平衡得：图3F冲=Mg④其中，F冲为玩具底部水体对其的作用力.由牛顿第三定律：F压=F冲⑤其中，F压为玩具对其底部下面水体的作用力v′为水体到达玩具底部时的速度由运动学公式：v′2-v20=-2gh⑥在很短Δt时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm Δm=ρ·v0·S·Δt⑦由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有动量定理（F压+Δmg）·Δt=Δm·v′⑧由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略⑧式变为F压·Δt=Δm·v′⑨由④⑤⑥⑦⑨可得h=v202g-M2g2ρ2v20S2。
微元法在高中物理教学中的应用探讨
微元法在高中物理教学中的应用探讨梁晓芳(安徽省太和一中ꎬ安徽阜阳２３６６００)摘㊀要:高中物理教学改革中ꎬ要求教师要转变传统灌输思想ꎬ在传授学生知识的同时指导学生掌握科学的思维方法ꎬ其中微元法就是一种科学的思维方法ꎬ是近年来高考中的重点考核内容.将微元法运用到高中物理教学中ꎬ能够帮助学生深入理解物理知识的内在逻辑ꎬ从而强化学生的物理学习效果.基于此ꎬ文章首先对微元法进行了简要概述ꎬ并分析了微元法在高中物理教学中应用的价值ꎬ进而具体探讨在高中物理教学中微元法的应用策略ꎬ以期为提升物理教学实效提供参考.关键词:微元法ꎻ高中物理ꎻ公式推导ꎻ解题ꎻ实验中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－０１０７－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:梁晓芳(１９８６.２－)ꎬ女ꎬ安徽省泗县人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事物理教学研究.㊀㊀高中物理教学中ꎬ微元法也就是分割累积法ꎬ属于微积分思想的具体体现.将其应用到物理教学的各个环节ꎬ能够帮助学生形成良好的思维逻辑ꎬ降低学生物理知识学习以及物理解题的难度[１].教师要在微元法的具体应用上加大研究ꎬ为提升物理教学实效提供保障.１微元法的概述微元法属于一种科学的思维方法ꎬ与微积分相类似.微元法主要就是将研究对象分割成若干个微小的单元ꎬ确保每个微小的单元都能够满足同一物理规律ꎬ通过分割单元的方式ꎬ让变量逐渐趋向于常量ꎬ进而将不容易确定的变量转变为比较明确的常量ꎬ降低问题分析的难度.微元法在高中物理教学中的应用时ꎬ主要包括构建微元对象以及从微元推广至整体这两个部分ꎬ学生在学习物理知识以及解物理题的过程中ꎬ通过对多个微小单元的物理量进行深入分析ꎬ并构建相应的物理模型ꎬ进而实现对知识的理解与对物理题的解答[２].２微元法在高中物理教学中应用的价值微元法在高中物理教学中的应用ꎬ是创新物理教学思想的关键举措ꎬ教师应深入了解微元法的内涵ꎬ了解微元法在教学中应用的具体方法ꎬ同时能够掌握微元法的具体应用价值ꎬ从而在教学中加大对微元法应用策略的研究ꎬ发挥微元法的应用价值全面提升物理教学的实效.具体来看ꎬ高中物理教学中应用微元法的价值主要体现在以下几方面:(１)突出了学生学习的主体地位.传统的高中物理教学中ꎬ将微元法应用到物理教学中ꎬ教师的教学形式发生改变ꎬ从以往的直接灌输转变为引导学生运用微元法进行自主探究和学习ꎬ激发了学生学习的主观能动性ꎬ强化了学生在学习上的主体地位.(２)有利于提升课堂教学实效.微元法的应用对提升教学的实效有重要的帮助ꎬ一方面ꎬ利用微元法能够激发学生自主学习的积极性ꎬ使学生能够积极配合教师布置的学习任务ꎬ提高课堂互动的有效性ꎻ另一方面ꎬ通过运用微元法能够让学生从具象思维逐渐向抽象思维过度ꎬ使学生形成良好的思维品质ꎬ对物理知识的内涵能够进行深入分析和研究ꎬ提升物理知识的理解与掌握程度.此外ꎬ还能够降低学生物理解题的难度ꎬ提升解题的准确率.由此可见ꎬ微元法在高中物理教学中的有效运用对提升课堂教学的实效有重要７０１帮助.(３)有利于促进学生综合发展.在高中物理教学中培养学生全面发展是教学的核心目标ꎬ微元法的应用不仅可以提升课堂教学的质量ꎬ让学生对物理知识有深度的理解和掌握ꎬ提高学生解题的准确率ꎬ与此同时ꎬ通过微元法的应用能够使学生掌握科学的学习方法ꎬ提高其自主学习能力㊁逻辑思维能力等ꎬ为学生课后的自主学习与终身发展提供了保障[３].３微元法在高中物理教学中具体的应用策略３.１在公式推导中运用微元法物理教师可以应用微元法组织学生进行物理公式的推导ꎬ让学生深入了解物理公式的形成过程ꎬ实现学生对物理公式的理解性记忆.３.１.１应用微元法推导匀变速直线运动的位移公式在匀变速直线运动中速度是持续累加的ꎬ位移与速度和时间有关ꎬ运用微元法进行位移公式的推导ꎬ如果将初始的速度作为该段位移的平均速度ꎬ将其与时间相乘后得到的位移是图１中的甲ꎬ可见其与实际的位移存在较大的差距.如果将该段位移所使用的时间分成５等分ꎬ将每段时间的初始速度作为该段时间的平均速度ꎬ并与各段时间相乘后累加ꎬ得出的位移是图１中的乙ꎬ可以发现虽然与实际位移也存在一定的差距ꎬ但是相对于甲而言差距要减少很多.如果将该段位移所使用的时间分成１５等分ꎬ同样将各段时间的初始速度作为平均速度ꎬ与时间相乘后累加ꎬ得出的位移是图１中的丙ꎬ相对于乙图中的位移而言要更接近实际位移.按照这种分割方式ꎬ将该段位移中所使用的时间分成无数等分ꎬ并将各段位移进行累加ꎬ得出的位移是图１中的丁ꎬ会无限接近于实际位移.从图中可以看到ꎬ每个图中各时间段位移与实际位移相差的是梯形与矩形之间相差的三角形部分ꎬ如果分割的分数越多ꎬ这一差值就会越小ꎬ当分割无数分时ꎬ这一差值就可以忽略不计ꎬ由此可以得出公式:(１)ｘ＝１２(ｖ０＋ｖｔ) ｔꎻ(２)ｖｔ＝ｖ０＋ａｔ.将(１)和(２)合并ꎬ得出ｘ＝ｖ０ｔ＋１２ａｔ２.３.１.２应用微元法推导弹性势能公式在图２中ꎬ甲是弹簧伸长时的弹力Ｆꎬｘ１和ｘ２图１㊀位移与速度和时间关系图分别是在不同弹力Ｆ下弹簧的伸长量.乙是根据甲中的Ｆ与ｘ的变化情况绘制的图像ꎬ体现出弹力与弹簧伸长量之间的关系.根据乙图中的图像来看ꎬ将弹簧伸长量分割成无数个等分ꎬ而且默认在每个等分中弹簧的弹力是不变的ꎬ根据微元法可以得出ꎬ弹力的功与弹性势能的关系分别为Ｗ＝１２ｋｘ２ꎻＥｐ＝１２ｋｘ２.图２㊀弹力与伸长量关系图３.２在物理解题中运用微元法高中物理解题中应用微元法ꎬ能够有效降低学生的解题难度ꎬ特别是题目中涉及一些不均匀变化的物理量时ꎬ往往不能直接用已有的物理规律来解决.这时ꎬ就可以应用微元法进行分析ꎬ物理教师要指导学生学会运用微元法进行物理解题ꎬ提升学生物理解题的准确度.３.２.１连续体问题中的质量微元在物理解题中ꎬ如果研究的对象不能用典型的物理模型来分析ꎬ就需要教师引导学生应用微元法ꎬ从研究对象中提取微元ꎬ并对其受力情况进行深入分析ꎬ从而将其转化为常规的物理模型运用相应的物理规律进行处理[４].例１㊀运动员在进行水上运动表演的过程中ꎬ穿戴的喷射式悬浮飞行器将水袋中的水竖直向下喷出ꎬ能够让运动员处于悬停的状态(如图３).运动员和装备加在一起的质量Ｍ为１００ｋｇꎬ下喷水的喷嘴单个面积Ｓ为０.００８ｍ２.假设重力加速度ｇ＝１０ｍ/ｓ２ꎬ水的密度ρ＝１ˑ１０３ｋｇ/ｍ２ꎬ求喷水速度ｖ的大小.８０１图３㊀喷射式悬浮飞行器悬停状态图图４㊀Δｔ时间内所喷出的水量图首先ꎬ教师引导学生根据题目ꎬ将运动员与飞行器看成一个整体ꎬ并进行受力分析ꎬ通过分析可以得出运动员单只脚上的飞行器所受到的力Ｆ＝１２Ｍｇꎬ因此ꎬ单只脚上飞行器喷水的作用力为Ｆᶄ＝Ｆ＝１２Ｍｇ.将飞行器喷射水的时间分成若干个等分ꎬ没分时间为Δｔꎬ如图４ꎬ在Δｔ时间内所喷出的水量为:Δｍ＝ρｓｖΔｔꎬ根据动量定理可以求出这部分水的动量为ＦᶄΔｔ＝Δｍｖꎬ也就是１２Ｍｇ Δｔ＝ρｓｖ２ Δｔ.最终代入题目中已知的数据ꎬ计算得出ｖ＝(５２) １０ｍ/ｓ.在运用微元法分析该题的过程中ꎬ构建的是流体类的 柱体 模型ꎬ教师要引导学生对该解题步骤进行分析ꎬ帮助其掌握具体的微元法解题的流程.３.２.２均匀分布的带电体中的电荷量微元在高中物理教学中ꎬ解有关电场方面的题目时ꎬ如果静电场中带电体无法被看成是点电荷ꎬ这时需要用到微元法对带电体进行分解ꎬ提取电荷量微元ꎬ将其作为题目研究的对象ꎬ从而降低解题的难度.运用微元法解带电体相关物理题ꎬ主要是处理对称性带电体所产生的电场强度以及电势等问题.例２㊀如图５ꎬ有一根均匀的绝缘带电棒ꎬ总长度是Ｌꎬ其所带电的总量为＋Ｑ.在该带电棒的中垂线以及延长线上有两点Ｍ㊁Ｎꎬ距离中垂线与带电棒相交点Ｏ的距离相等ꎬ都为ａꎬ求出Ｍ㊁Ｎ两点的电场强度.图５㊀绝缘带电棒长度与电场强度图教师先结合微元法引导学生对该题目进行分析ꎬ首先是对有关中垂线的物理量进行分析ꎬ从图５中选取与Ｏ点距离为ｘ的点ꎬ将Ｏ点到ｘ点的线段元记为ｄｘ.该线段元的电荷元则表示为:ｄｑ＝λｄｘ＝(Ｑ/Ｌ)ｄｘꎬ其中ｄｑ在Ｍ点处所产生的电场强度为ｄＥＭꎬ对直角坐标系进行分解可以得ｄＥＭ＝ｄＥｘｉ＋ｄＥｙｊꎬ得出ｄＥｘ＝ｄＥｓｉｎθꎬｄＥｙ＝ｄＥｃｏｓθꎬ由于该电场具有对称性ꎬ因此ꎬＥｘ＝０ꎬＥＭ＝[Ｑ/(２πε０ａ)] [１/(４ａ２＋Ｌ２)].如果Ｌ无限趋近于ａꎬ则表示带电棒的长度是无限的ꎬ则电场强度为常矢量ꎬ也就是Ｅｐ＝λ/(２πε０ａ)ꎬ如果点Ｍ在任意位置ꎬ也可以按照相同的方法进行分析和计算.高中物理解题中微元法的应用比较广泛ꎬ通过微元法的具体应用情况可以看到ꎬ该方法实际上就是分割累积法ꎬ属于微积分思想的具体体现.综上所述ꎬ高中物理教学中ꎬ有效应用微元法能够帮助学生逐渐形成良好的抽象思维ꎬ促进学生的深度学习ꎬ同时对提升课堂互动有效性㊁提高课堂教学质量也有重要的帮助.参考文献:[１]辛亚.高中物理解题中微元法的应用[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２３(１０):１３－１５.[２]高建平ꎬ高楚轩.例析 微元法 解决物理问题的思路方法[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０２３ꎬ５２(０７):２０－２３.[３]林永平.新高考背景下物理学科核心素养在教学中的实践初探[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２３(０４):２３－２５.[４]刘洋.解题有法㊀游刃有余:微元法在高中物理解题中的妙用[Ｊ].理科爱好者ꎬ２０２２(０６):３３－３５.[责任编辑:李㊀璟]９０１。
微元法解流体作用力问题(2)
作用区 v
煤层
FS
v△t/2
方法二、动能定理法 作用区可近似看成匀变速直线运动，初速度为 v、末速度为零，因此在△t 时间内这一小段水的长度为：△
l=v△t/2 根据理想流体连续性原理，在△t 时间内与煤层作用的这一小段水的质量为：△m=ρSv△t 根据动能定理：-F△l=0-½△mv2 联立可得：Fv△t/2=½ρSv△t·v2 解得：F=ρSv2
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设想有一水刀的水射流横截面积为 S，垂直入射的速度为 800 m/s，水射流与材料接触后速度变为零，且不附
着在材料上，水的密度 ρ=1×103 kg/m3，则此水刀不能切割的上述材料是：
A. 铸铁和工具钢
B．花岗岩和工具钢
C．花岗岩、铸铁和工具钢
D．都不能切割
【答案】A
【
解
向上的匀强磁场中．当棒 a 中通有垂直纸面向里的恒定电流 I 时，活塞向右匀速推动液体从喷口水平射出，液
体落地点离喷口的水平距离为 s．若液体的密度为 ρ，重力加速度为 g，不计所有阻力．则（ ）
A．活塞移动的速度为 B．该装置的功率为 C．磁感强度 B 的大小为 D．电压表的读数为 【答案】ABC
微元法解流体作用力问题
班级__________
一、知识清单 1． 理想流体和连续性原理
座号_____
姓名__________
分数__________
（1）理想流体
流体包括液体和气体，它有流动性、可压缩性和粘滯性。如果在流体运动的问题中可压缩性和粘滞性处于极
为次要的地位，就可以把它当作理想流体。理想流体是不可压缩又无粘性的流体。
【答案】 3． 流体作用力的平均功率问题
方法一：功能原理法： 考虑 Δt 时间内从枪口射出去的水，其质量为 Δm＝ρSvΔt，对煤层做的功即为该部分水的动能的变化量 W=ΔEk
高考物理微元法在动量定理解题中的应用
高考物理微元法在动量定理解题中的应用力学是高中物理的基础。
解决力学问题有三把钥匙:动力学观点、能量观点和动量观点，一般优先考虑用能量或动量观点，因为其求解过程往往比用动力学观点更简捷。
动能定理和机械能守恒定律是高中物理能量观点的两大支柱。
动量定理和动量守恒定律是高中物理动量观点的两大支柱。
功是能量转化的量度，冲量是动量变化的量度。
功着眼于力对空间的积累效果，而冲量则着眼于力对时间的积累效果[1]。
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，并把动量的变化率称之为力，又用动量来表述运动第二定律[2]。
因此，动量定理与牛顿第二定律在本质上是一致的，但前者的适用范围更广。
并且，对动量守恒条件不满足的问题，动量守恒定律不能解决，但还可以用动量定理来求解。
在高中阶段，对于连续体作用力或变力作用问题，一般要用动量定理来求解。
微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
该方法能够让一些复杂的物理问题可以用我们熟悉的物理规律迅速加以解决，使问题简单化。
在用动量定理解决连续体作用力或变力作用问题中，微元法起着桥梁、纽带的作用。
微元法在物理解题中的应用，包括两个方面：一是对研究对象进行微元选择；二是对物理过程进行微元求和[3]。
1、求解连续体持续作用力问题所谓连续体，通常指液体、气体或轻绳、链条等，它在空间是连续而无空隙地分布的，一般不能当作质点来进行研究。
对于连续体产生的持续作用力问题，如用牛顿运动定律求解一般很麻烦，甚至难以求解，但采用"微元法"处理,问题则迎刃而解。
对连续体持续作用力问题，通常运用动量定理取微元作为研究对象求解。
例1.（2017·南京试题）如图1所示，水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层。
设水柱直径为d=30cm，水速v=50m/s，假设水柱射在煤层的表面上，冲击煤层后水的速度变为零，求水柱对煤层的平均冲击力。
高中物理模块要点回眸第2点微元法解决连续质量变动问题素材新人教版选修3-5(new)
第2点微元法解决连续质量变动问题应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法,具体步骤为:(1）确定一小段时间Δt内的连续体为研究对象；(2）写出Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式;(3）分析连续体的受力情况和动量变化;(4)应用动量定理列式、求解．对点例题飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题．我国科学家已将这一问题解决，才使得“神舟五号"载人飞船得以飞行成功．假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4 g,若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船相碰后附着到飞船上）解题指导由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，据牛顿第三定律知,此力也与飞船对微粒的作用力相等．只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力,即可得到飞船增加的牵引力．时间t内附着到飞船上的微粒质量为：M＝m·S·vt，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：Ft＝Mv＝mSvt·v，即F＝mSv2，代入数据解得F＝0.784 N.由牛顿第三定律得,微粒对飞船的作用力为0.784 N，故飞船的牵引力应增加0.784 N。
答案0。
784 N方法点评对这类有连续质量变动问题的解决关键在于研究对象的选取，通常采用的方法是选Δt时间内发生相互作用的变质量物体为研究对象，确定发生相互作用前后的动量，然后由动量定理解题．如图1所示，水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层,设水柱直径为d＝30 cm,水速为v＝50 m/s，假设水柱射在煤层的表面上,冲击煤层后水的速度变为零，求水柱对煤层的平均冲击力．（水的密度ρ＝1。
0×103 kg/m3)图1答案1。
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用微元法和动量定理解连续体问题
连续体，也称广义体及统一体，是一种基本体系结构。
它常用于物理学中的研究，例如基本力学的计算。
连续体物理学是一个复杂的学科，因为它关联着描述物理系统的多个方程。
解决这些方程的方法有多种，但是最常用的是微元法和动量定理。
微元法是连续体力学处理问题的基本方法。
该方法基于对物理量的小元分析，即将体系分解为微小的元素，以实现对物理量的分析。
微元法有两个显著特点：一是它可以适应复杂的几何形状；二是它可以描述不同的物质类型，如弹性体、流体、电磁体等。
这样的特性使得它在处理连续体的问题上有极大的优势。
动量定理是一种从动力学角度解答连续体问题的重要方法。
它主要是利用动量守恒定律，确定物体形状及特性，从而进行分析。
动量定理有两种形式：一是局部动量定理，用来描述影响力学系统的外部环境及内部的力的变动；二是整体动量定理，用来描述系统的总体行动及力学过程。
为了实现连续体问题的准确计算，需要结合动量定理和微元法的思想。
通过动量定理，计算系统的总体行为，确定外部环境及内部力的变化；然后，再通过微元法，将复杂的物理系统分解成一系列微小的元素，以实现对物理量的分析，将力学方程精确地数值解算出来。
事实上，微元法和动量定理是相对应的两种不同的方式，它们可以相互支持，使得连续体问题的研究更加精确。
结合这两种方法，可以构建更加复杂的物理系统，探讨物理规律及它们之间的联系。
总之，微元法和动量定理，是解决连续体问题的有力工具，通过它们可以更好地揭示物理规律，解答物理难题，对于研究物理领域具有重要意义。