第1章连续体力学知识讲解
第1章连续体力学第一章 连续体力学思考题1-1 在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。
杨氏模量的物理意义是什么？答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比。
在拉伸应变中l l Y∆＝拉σ 其中，比例系数Y 称为杨氏模量。
弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。
在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。
1-2 生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不同？ 答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。
当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。
1-3 液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。
1-4 图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。
已知 上、下液面的曲率半径分别为A R 和B R (B R >A R )，水的表面张力系数为γ，密度为ρ。
问悬着水高度h 为多大？解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。
对上液面应用拉普拉斯公式，得AA R p p γ20=- 对下液面使用拉普拉斯公式，得 BB 02R p p γ=- 图1-1 土壤中的悬着水 又因为gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 112R R g h ργ1-5 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。
试解释这种现象的成因。
答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。
在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。
相反，在夜间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。
1-6 连续性原理和伯努利方程是根据什么原理推出的？它们的使用条件是什么？如果液体有黏滞性，伯努利方程还能适用吗？答：连续性原理是根据质量守恒原理推出的，连续性原理要求流体的流动是定常流动，并且不可压缩。
伯努利方程是根据功能原理推出的，它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是定常流动。
如果流体具有黏滞性，伯努利方程不能使用，需要加以修正。
1-7 在推导连续性原理和伯努利方程时为什么要假定流管的横截面积S ∆很小，所取的变化时间t ∆也很小？其道理何在？答：连续性原理和伯努利方程适用于定常流动，而在定常流动中，空间各点的流速可以不同。
因此，如果在推导过程中对流管的横截面不加限制，那么，通过流管某一横截面中各点的流速可以不同。
若假定了流管的横截面积S ∆很小，就可以保证在S ∆上各点的流速都相同。
在流体运动过程中，所取的变化时间t ∆也很小，这样才能保证在运动过程中运动速度不变，从而使得功值的计算能够简单地得出。
因此，在它们的推导过程中，实际上隐含了两个无限小的思想，如果不这样假定，将无法推出连续性原理和伯努利方程。
1-8 泊肃叶公式和斯托克斯公式的适用条件是什么？答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动，并且流体具有黏滞性。
斯托克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。
练习题1-1 要设计一个最大起重量为8.9×104N 的起重机，所用钢丝绳的最小直径应该是多少？（钢的弹性极限为3×108Pa ）解：若钢丝绳的半径为r ，绳内部某截面上的应力为2r f S f πσ∆=∆∆=设钢的弹性极限为e σ，则达到拉伸极限时 e rfσπ=∆2由此解出efr πσ∆=钢丝绳的最小直径为 efr D πσ∆==42()cm 9411031431098484...=⨯⨯⨯⨯=1-2 某人的一条腿骨长为0.4m ，横截面积平均为5×10-4m 2。
用此骨支承整个体重（相当 500N 的力），其长度缩短多少？占原长的百分之几？（骨的杨氏模量按1×1010N·m -2计算）解：物体内部某截面上的应力可以表示为f Sσ∆=∆ 在拉伸应变中应力与相关的应变成正比，即l Yl σ∆拉＝ 则501045000.4410(m)110510f l l Y S --∆⨯∆===⨯∆⨯⨯⨯ 41040500100.01%110510l f l Y S --∆∆====∆⨯⨯⨯1-3 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹性蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。
假定有一个截面积为 30cm 2的弹跳蛋白，施加 270N 的力后其长度为原长的 1.5倍，求弹跳蛋白的杨氏模量。
解：物体内部某截面上的应力可以表示为f Sσ∆=∆在拉伸应变中，应力有如下关系l Yl σ∆拉＝ 其中，Y 为杨氏模量。
由上两式可得())m N (108.115.1103012702-540⋅⨯=-⨯⨯⨯=∆⋅∆∆=-l l S f Y1-4 一根不绣钢丝长为3.0m ，截面积为0.15cm 2。
若悬挂一个质量为200kg 的重物，钢丝伸长多少？直径缩小多少？已知不绣钢丝的杨氏模量为1119710Pa .⨯，泊松比为0.30。
解：设钢丝所受的拉力为F ，钢丝的截面积为S ，直径为d ，纵向应变为ε，杨氏模量为Y ，由胡克定律 0l Y l σ∆拉＝ 可得钢丝的伸长量为00l l F mg l S Y S Y∆=⋅=⋅ 其中，m 为外挂重物的质量，并已考虑到F S σ拉＝。
带入数据得长度的伸长量为341120098302010(m)0151019710.....l ∆--⨯=⨯=⨯⨯⨯ 由泊松比的定义知εμ0b b∆=其中，/b b ∆为横向应变，μ为泊松比。
于是，钢丝的横向变化量为00l b b l μεμ∆∆===⋅带入数据得3720100308710(m)30....b ∆--⨯=⨯=⨯1-5 在密度为ρ的液体中沿竖直方向放置一个高为h 、底边长为a 的三角形平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）。
解：建立如图所示的坐标系，在深度为y 处取长为l 、宽度为d y 的液层，液层的面积为d S =l d y ，该液层处液体的压强为d d fp gy Sρ== 即y gyl f d d ρ= 由于alh y h =- 即a hyh l -=练习题4-6用图：竖直平板所受的压力将其带入上式，得y a hyh gyf d d -=ρ 积分得整个板面所受到的压力为⎰=-=hgah y a h y h gyf 0261d ρρ1-6 水坝长1.0km ，水深5.0m ，坡度角60º，求水对坝身的总压力。
解: 设以水坝底部作为高度起点，水坝任一点至底部的距离为h 。
在h 基础上取微元d h ，与之对应的水坝侧面面积元d S （图1-2中阴影面积）应为坡长d m 与坝长l 的乘积。
由图可知osin60d sin d d h h m ==θ水坝侧面的面积元d S 为练习题4-7用图d h d Fd d d sin 60hS l m l°== 该面积元上所受的水压力为0d d d [(5)]sin 60hF p S p ρg h l°==+- 水坝所受的总压力为()[]N)(103.760sin d 5d 855o0⨯=-+==⎰⎰h l h g p F F ρ（注：若以水坝的上顶点作为高度起点亦可，则新定义的高度5h h ¢=-,高度微元取法不变，即d d h h ¢=，将h ¢与d h ¢带入水坝压力积分公式，同样可解出水坝所受压力大小。
）1-7 液滴法是测定液体表面张力系数γ的一种简易方法。
将质量为m 的待测液体吸入移液管，然后让液体缓缓从移液管下端滴出。
可以证明，mgndγπ=。
其中，n 为移液管中液体全部滴尽时的总滴数，d 为液滴从管口下落时断口的直径。
请证明这个关系。
证明：当液滴从管口下落时，在液滴袋状表面层会形成—个细窄的颈部，如图1-2所示。
图1-2 液滴法测表面张力系数 当液滴逐渐增大，颈部上方液面对下方液面作用的表面张力不足以支持液滴的重量时，液滴就会由颈部断裂而下落。
假定图中圆围线 AB 为断裂痕，AB 直径d 可用移测显微镜测出，AB 界线上方液面作用于下方液面的表面张力为2f R d γππγ=⋅=若移液管中液体全部滴尽时的总滴数为n ，每个液滴的重量为n mg P =mgW n= 于是由P f =可得mgndγπ=1-8 在20平方公里的湖面上下了一场50mm 的大雨，雨滴半径为1.0mm 。
设温度不变，雨水在此温度下的表面张力系数为7.3-12m N 10⋅⨯-。
求释放出的能量。
解：设湖的表面积为S ，下雨使水面升高了h ，下的雨滴数为N 。
只考虑由于雨水本身表面积变化而释放的能量E ∆，有)4(2S N r E -⋅=∆πγ由于334r hS N π=，将其带入上式可得⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=∆S r hS E 3γ带入数据得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆---636321020100.1102010503103.7E )J (1018.28⨯=1-9 假定树木的本质部导管为均匀的圆柱形导管，树液完全依靠毛细现象而上升，接触角为45º，树液的表面张力系数12m N 100.5--⋅⨯=γ。
问要使树液达到树木的顶部，高为20m 的树木所需本质部导管的最大半径为多少?解：由毛细现象的分析可知2cos h grγθρ=其中θ 为接触角。
将已知数据带入，解得(m)106.3208.9100.122100.52cos 2732--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ρgh θγr 1-10 图1-3是应用虹吸现象从水库引水的示意图。
已知虹吸管粗细均匀，其最高点B 比水库水面高出h 1=3.0m ，管口C 又比水库水面低h 2=5.0m ，求虹吸管内的流速及B 点处的压强(已知大气压为1.013Pa 105⨯)。
解：（1）设A 为水库中水面上一点，对A 点和C 点使用伯努利方程可写出C 2C C A 2A A 2121gh v p gh v p ρρρρ++=++ 图1-3 习题1-10用图取C 点为基准，0C =h ，由于水库水面下降很小，0A =v ，0C A p p p ==（0p 为大气压），2A h h =，上式即可简化为2C 221v gh ρρ=由此解得(m)9.90.58.9222C =⨯⨯==gh v（2）对B 点和C 点使用伯努利方程，可写出C 2C C B 2B B 2121gh v p gh v p ρρρρ++=++取C 点为基准，0C =h ，C B v v =，21B h h h +=，0C p p =，上式化为 021B )(p h h g p =++ρ 即Pa)(103.2)0.50.3(8.91010013.1)(435210B ⨯=+⨯⨯-⨯=+-=h h g p p ρ1-11 一个大水池水深H ＝10m ，在水面下h ＝3m 处的侧壁开一个小孔，问(1)从小孔射出的水流在池底的水平射程R 是多少? (2) h 为多少时射程最远?最远射程为多少?解：（1）设水池表面压强为1p 、流速为1v 、高度为1h ，小孔处压强为2p 、流速为2v 、高度为2h ，由伯努利方程可写出221112221122p v gh p v gh ρρρρ++=++ 根据题中条件可知021p p p ==、01=v 、21h h h -=，于是，由上式可得gh v 22=又由运动学方程221gt h H =- 可解出gh H t )(2-=则水平射程为)(4)(222h H h gh H gh t v R -=-⋅== 带入数据解得9.17(m)R ===（2）根据极值条件，在0d d =hR时，R 出现最大值，即 022=--hHh h HR 出现最大值。
连续介质力学讲义
时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间来讨论物体的存在和运动是没 有意义的。空间表示物体的形状、大小和相互位置的关系；时间表示物体运动过程的顺序。
标架：作为描写物体运动的基准——时空系，称为标架。 位置变化是可逆的；时间变化是不可逆的。 但在讨论一些理想化的可逆模型时，有时时间也理想化成可逆的。 时空系之间可转换。
第 1 章 绪论
1．物体
在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状，并有一定的质量。同时物体还可具有 电磁、热容和变形等许多重要的性质。
物体由质点组成，质点占据非常小的确定的空间，具有非常小的确定的质量。 物体可以抽象成各种模型：如质点，刚体、弹塑性体、流体、颗粒体等；按几何性质还 可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳、三维的块体等。若干个物体可以形成集合，组成 系统。系统外的物体构成这个系统的环境或外界。
且不全为零）。
a2
例 2 位于同一平面内的三个矢量 a1 ，a2 ，a3 是线 性相关的，即总可找到α1 ,α 2 ,α 3 （不全为零）使
α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0 如图 2.1.2 所示， a2 = α1′a1 + α3′a3 。
集合 R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空
间的维数。设 R 的维数为 n ，则记为 Rn ，欧氏空间为 R3 。
∑ ∑ r =
ξ a = (1) (1) ii
ξ a (2) (2) ii
（2.1.3）
因为
a (1) i
与
ai(
2)
间有确定的变换关系，因此，
ξ
(1) i
与
ξ
(2) i
间亦有确定的变换关系。
④ 空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，(2.1.2)
第一章连续体力学课后习题答案(doc X页)
第一章 连续体力学一、本章重难点1、刚体定轴转动的特点及描述刚体定轴转动的各个物理量。
理解线量与角量的关系。
2、力矩、转动动能、转动惯量、刚体定轴转动定理。
3、角动量，刚体定轴转动的角动量定律、角动量守恒定律4、应力、应变的概念，应变的几种形式5、理解应力与应变的关系，弹性模量6、流体、理想流体、流线和流管、定常流动7、流体的连续性方程、伯努利方程8、泊肃叶定律9、层流、湍流、雷诺数10、粘性流体的伯努利方程、斯托克斯定律11、弯曲液面的附加压强（球形液面、柱形液面） 12、毛细现象、润湿和不润湿现象、气体栓塞二、课后习题解答1-1、一飞轮直径为0.2m ，质量为5.00kg ，t 边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s 转速达10转/s 。
假定飞轮可看作实心圆柱体。
求； （1） 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 （2） 拉力及拉力所做的功（3） 从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。
解： ,/1058.1,/6.12,/126,/1026.1)3(3.4921212125232202s m r a s m r a s m r v s t J J J J A t n t t z z z ⨯======⨯====-=ωβωβωωωωτN m r F m r J rF M F r M n t s rad t t z z z 4.31212190,25.2221/6.125)1(20==∴===⇒=⨯===⇒===⇒=βββθπθβθωββω ）（转1-2、有一根长为l 、质量为m 的匀质细杆，两端各牢固的连接一个质量为m 的小球，整个系统可绕一过O 点并垂直于杆的水平轴无摩察的转动，如图。
当系统转到水平位置时，求： （1） 系统所受的和力矩 （2） 系统的转动惯量 （3） 系统的角加速度解： （1）设垂直纸面向里为z 轴的正方向（即力矩的正方向），合力矩为两小球及杆的重力矩之和。
机械系统中连续体的概念
机械系统中连续体的概念在机械系统中，连续体是指在空间上无间隙的物质或物质分布的集合体。
它是物质状态的一种理论模型，用于描述机械系统中物质的运动和变形。
连续体力学是一门研究连续体行为的学科，它基于连续介质假设，将物质视为连续、均匀而无间断的，以简化描写实际系统的复杂性。
连续体力学广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、固体力学等，对于解决能源、交通、制造等领域的实际问题具有重要的理论基础和应用价值。
在连续体力学中，连续体的运动和变形可以通过物质点的运动和相邻物质点之间的相对运动来描述。
连续体的运动可以分为平动和转动两种类型。
平动是指整个连续体的每一个点都沿着相同的方向和速度移动，转动则是指连续体绕其内部某个轴进行的旋转运动。
连续体的变形是指连续体内部各点之间的相对位置发生改变。
可以分为线性变形和角变形两种类型。
线性变形是指物质点之间的距离发生改变，可以是拉伸或压缩，受力作用下引起的变形称为应力变形。
角变形是指旋转角度发生改变，如弯曲、扭转等，受力作用下引起的变形称为应变变形。
连续体力学中，连续体的运动和变形可以通过连续介质力学方程来描述。
该方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
质量守恒方程用于描述物质连续性，即物质在空间中的连续分布不会发生空白、重叠和破碎等情况；动量守恒方程用于描述物质的运动状态和受力情况；能量守恒方程用于描述物质的热力学行为和能量转化。
连续体力学的研究对象包括固体和流体。
对于固体连续体，通常使用弹性力学理论来描述其行为。
弹性力学分析固体力学中的弹性变形和应力场，通过物理学和数学方法来研究材料的变形和变形导致的应力。
而对于流体连续体，通常使用流体力学来描述其行为。
流体力学分析流体运动，涉及液体和气体运动的基本方程，如流体的连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
总之，连续体是机械系统中一个重要的概念，其研究不仅奠定了固体力学和流体力学的理论基础，也对于工程领域的设计和分析具有重要的意义。
第力学、赵凯华、五章 连续体力学-1
例：（a）一块厚为 ：（ ）一块厚为0.3m的冰块漂浮在水 的冰块漂浮在水 上。试问如果要这块冰能支撑住一辆重 的汽车， 为1100kg的汽车，则冰块的最小面积应 的汽车 为多大？（ ？（b） 为多大？（ ）与汽车放在冰块上的位置 是否有关？ 是否有关？
解 ： （ a） 设汽车放在冰块重心的正 ） 上方， 冰厚为L， 面积A， 上方 ， 冰厚为 ， 面积 ， 汽车质量 m，当冰块完全浸没在水中时，浮力 ，当冰块完全浸没在水中时， 为:
一、静止流体内某点的压强
在静止流体内任意一点， 在静止流体内任意一点，设想作的任意方向 面上受的应力总垂直作用在该 面上 ，而且 应力数值与面的方向无关， 应力数值与面的方向无关，这种应力称为流 体在该点的“静流体压强” 体在该点的“静流体压强”，简称压强
dF P= dS
n
dS
A
·
二、静止流体内任意两点的压强关系
∆d ∆l =σ d l
∆d σ= d ∆l l
泊松比
3、（剪）切应变，切变模量G 、（剪 切应变，切变模量
物体在切向应力作用下产生切应变。 物体在切向应力作用下产生切应变。切变只 改变形状， 改变形状，应变 dy
微小应变 胡克定律
dx = tgθ = θ dy dx τ = G = Gθ dy
P = P − ρB gh B D
∵ρA < ρB ∴PA > P B
拦洪水坝长为L, 水深为H时 例 拦洪水坝长为 水深为 时，求水对 水坝作用的水平总作用力以及对水坝底线 （x轴）作用的总力矩。 轴 作用的总力矩。
解：
dF = ρg(H − y)L⋅ dy
dM = ydF
1 2 F = ∫ ρg(H − y)Ldy = ρgLH o 2 H 1 3 M = ∫ ρgL(H − y) ydy = ρgLH o 6
Chap1连续体力学4_习题课
（2）设在水面下 x 处另开一小孔可使水流的水平射 程与前者相等，有 x h 舍掉 4 x( H x) 4h( H h) x H h dR （3）由极值条件，在 0 时，R 出现最大值， dh 即 H H 2h R H 0 h 2 Hh h2
2( H h) 2 gh 4h( H h) g
v 2gh2
C
一个厚度很薄的圆形肥皂泡，半径为R，肥皂液的 表面张力系数为 ；泡内外都是空气，则泡内外的 压强差是（ ）
4 （A） R
（B）2 R
2 （C） R
2 (D) 3R
（A）
根据液体表面张力的公式 f l 可知，液体表面 张力只存在于 l 处。
✗
由泊肃叶公式可知具有黏滞性的流体在圆形流管中 流动中心流速最大为 vm ，则平均流速与最大流速的 关系是（ ） （A）v 2vm （B）v
第一章 连续体力学
（Mechanics of continuous medium)
主讲人：戴占海
QQ：13576003
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图a所示为一装有高压气体的薄壁圆柱形容器的横断 面，壁厚为d，圆柱半径为R，气体压强为p，求壁内 沿圆周切向的应力（不计容器自重和大气压）
F s S 17 10 6 10
7
4
1.02 10 N
5
碎裂时的应变为：
17 107 0.017 1.7% 10 E 1 10
s
习题1-3 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫 的飞翔机构中的弹性蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。今 有一个截面积为 30cm2的弹跳蛋白，施加 270N的力后 其长度为原长的 1.5倍，求弹跳蛋白的杨氏模量。 解：物体内部某截面上的应力s 可以表示为:
第一章2连续介质力学
⎡e1′ ⋅ e1 M = ⎢⎢e′2 ⋅ e1
⎢⎣e3′ ⋅ e1
e1′ ⋅ e2 e′2 ⋅ e2 e3′ ⋅ e2
e1′ ⋅ e3 ⎤ ⎡cos(e1′，e1 )
e′2
⋅
e3
⎥ ⎥
=
⎢⎢cos(e′2，e1
)
e3′ ⋅ e3 ⎥⎦ ⎢⎣cos(e3′，e1 )
cos(e1′，e2 ) cos(e′2，e2 ) cos(e3′，e2 )
A
A
A
J′ = MJMT
例1.26 证明： ∇v 是二阶张量。
解：
∇v
=
ei
∂ ∂xi
(v je j )
=
v j，i ei e j
xi = M mi xm′
∂xi ∂xm′
= M mi
vn′ = M nj v j
∂vn′ ∂xm′
= ∂vn′ ∂xi
∂xi ∂xm′
=
∂(Mnjvj ∂xi
)
Mmi
cos(e1′，e3 )⎤ cos(e′2，e3 )⎥⎥ cos(e3′，e3 )⎥⎦
b = (e1′ e′2 e3′ ) b′ = (e1 e2 e3 ) b b = (e1′ e′2 e3′ ) b′ = (e1 e2 e3 ) MT b′ = (e1 e2 e3 ) b
b = MTb′
b′ = Mb
定义：基矢量ei和ej可作并积，而形成二阶单位并矢量eiej
∇v = 2x1e1e1 + x2e1e2 + 4x2e2e1 + (x1 + 2x2 )e2e2
∇v = (e1
e2 )⎢⎣⎡42xx12
x2 ⎤ ⎡e1 ⎤
第一章___连续体力学课后习题答案
J z杆 = ∫
3l / 4
−l / 4
r 2 dm = ∫
3l / 4
−l / 4
3l / 4 −l / 4
=
7 ml 2 48
（3）由转动定理
M z = Jzβ ⇒ β =
M z 36 g = Jz 37l
1-3、有一质量为 m1、 m2（m1>m2）两物体分别悬挂在两个半径不同的组 合轮上，如图。求物体的加速度及绳的张力，大，小两轮间无相对运动， 且半径分别为 R、r，转动惯量分别为 J1、J2， 。轮和轴间无摩擦。 解：设垂直于纸面向里为力矩 的正方向，又大小轮之间无相对运动， 则它们具有共同的角加速度β，由转动定理得：
p A + ρv A + ρghA = p B + ρghB , 2 hA = hB , vB = 0, 1 2 ⇒ ρv A = pB − p A 2 2 ρ ′gh ∴ vA = = 56.4m / s ρ
（J 杆1 + 2 J 物1）ω 1 = （J 杆 2 + 2 J 物 2）ω 2 1 1 ⇒ ( m1l 2 + 2m 2 r12 )ω 1 = ( m1l 2 + 2m 2 r22 )ω 2 12 12 ⇒ ω 2 = 6rad / s
（2）两个小物体飞离棒的瞬间时，系统的角动量仍然守恒，但物体飞离，仅剩下杆的转 动惯量，所以
1 2 ρv2 = ρgh 2 2( H − h) ∴ x = v2 t = 2 gh ⋅ g
解：（1）
v2 = 2 gh
= 2 h( H − h)
5
（2）设在水面下 y 处再开一小孔，则有
2 y ( H − y ) = 2 h( H − h)
第一章 连续体力学课后习题答案
第一章 连续体力学一、本章重难点1、刚体定轴转动的特点及描述刚体定轴转动的各个物理量。
理解线量与角量的关系。
2、力矩、转动动能、转动惯量、刚体定轴转动定理。
3、角动量，刚体定轴转动的角动量定律、角动量守恒定律4、应力、应变的概念，应变的几种形式5、理解应力与应变的关系，弹性模量6、流体、理想流体、流线和流管、定常流动7、流体的连续性方程、伯努利方程8、泊肃叶定律9、层流、湍流、雷诺数10、粘性流体的伯努利方程、斯托克斯定律11、弯曲液面的附加压强（球形液面、柱形液面） 12、毛细现象、润湿和不润湿现象、气体栓塞二、课后习题解答1-1、一飞轮直径为0.2m ，质量为5.00kg ，t 边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s 转速达10转/s 。
假定飞轮可看作实心圆柱体。
求； （1） 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 （2） 拉力及拉力所做的功（3） 从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。
解： ,/1058.1,/6.12,/126,/1026.1)3(3.4921212125232202s m r a s m r a s m r v s t J J J J A t n t t z z z ⨯======⨯====-=ωβωβωωωωτN mr F mr J rF M F r M n t s rad t t z z z 4.31212190,25.2221/6.125)1(20==∴===⇒=⨯===⇒===⇒=βββθπθβθωββωϖϖϖ）（转1-2、有一根长为l 、质量为m 的匀质细杆，两端各牢固的连接一个质量为m 的小球，整个系统可绕一过O 点并垂直于杆的水平轴无摩察的转动，如图。
当系统转到水平位置时，求： （1） 系统所受的和力矩 （2） 系统的转动惯量 （3） 系统的角加速度解： （1）设垂直纸面向里为z 轴的正方向（即力矩的正方向），合力矩为两小球及杆的重力矩之和。
连续介质力学1d
G gi
G g
j
G ...g
k
G g
l
=
T ...kl ij...
G g
i
G g
j
G ...gk
G gl
论
张 量 复 习
散 度 旋
右左散 散度 度张量∇TG的⋅⋅T∇G散==度gG∂∂s：xT⋅Gs∂∂x⋅TGgsG
= T s
... ks
ij... ;s
=
∇
sT
sj... ...kl
G g G g
i j
左、右梯度均为n+1阶张量,一般是两个不同的张量
张 量 复
仅对标量场有ϕ∇ = ∇ϕ
G
G
对矢量场有 F∇ = (∇F )T
习
•张量场的微分:
GG GG G
梯
dT = (T∇) ⋅ dx = dx ⋅ (∇T ) (1.102)
度 以上运算均涉及张量场对坐标的偏导数—协变导数
8
—
3)协变导数的G 定义
Γ ij ,l
= Γijk gkl
=
∂g j ∂xi
⋅
G g
k
g
kl
=
∂g j ∂xi
G ⋅ gl
=
∂
2
G x
∂xi∂x j
G ⋅ gl
(1.92)
复 习
∴ Γij,l = Γ ji,l
(1.93)
—
张 量 的
Γ ij ,l
=
1 2
(
∂g ∂x
il j
+
∂g jl ∂xi
−
∂g ij ∂xl
)
(1.94)
第 一 章
连续介质力学课件
第五章 内容提要
7.位移变分法
⑴瑞利－里茨法：设定位移试函数，
u u (x, y) A u (x, y),
0
mm
m
v v (x, y) B v (x, y),
0
mm
预先满足 su上的约束m边界条件，再满足
瑞利－里茨变分方程，
U
Am
U
B m
A fxum d x d y
sσ
f
u
xm
d
s,
(m 1,2)
f v d x d y f v d s.
A ym
sσ y m
第五章 内容提要
⑵伽辽金法：设定位移势函数预先满足su 上的约束边界条件和sσ 上的应力边界
条
件，再满足伽辽金变分方程，
E 2u 1 μ 2u 1 μ 2v
A
[ 1
μ2
E
A
[ 1
μ2
( x2 2v ( y 2
xy
x
f
y
0.
第二章 内容提要
（2）几何方程
x
u x
,
y
v y
,
（3）物理方程
xy
u y
xv.
x
1 E
(σ x
σ y ), y
1 E
(σ y
σx ),
xy
2(1 E
) xy .
第二章 内容提要
和边界条件： （1）应力边界条件
(lσ x m yx )s f x ,
(mσ y l xy )s f y .
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 当不记体力时，应力分量的表达式为
σ
ρ
1 ρ
Φ ρ