高中数学必修5课后习题答案

75 .

人教版高中数学必修 5课后习题解答

第一章解三角形

1. 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

练习 (P4)

1、 (1) a

14, b 19, B 105 ; 2、 (1) A 65 , C 85 , c 22 ;

(2) B 41 , A 24 , a 24. 练习 (P8)

A 或 (1) 1、 (2) 115

18cm, b 15cm ， C

C 35 ， c

10.5 cm .

2、(1) A 43.5 ,B 100.3 ,C 36.2 ; (2) A 24.7 ,B

44.9 ,C 110.4 习题1.1 A 1、(1) a 组(P10) 38cm, b 39cm, B 80 ; (2) a 38cm,b 56cm, C

90

55.8 ,C 39.6 , B 58.2 , c 4.2 cm 81.9 ,a 2、 (2) (3) B A 35 ,C 97 ,B 85 ,c 58 ,a 17cm ; 47cm; A 33 ,B 122 ,a 26cm ;

3、(1) A 49 ,B 24 ,c 62cm ;

(2) A 59 ,C

55 ,b (3) B 36 ,C 38 ,a 62 cm ;

4、(1) A 36 ,B 40 ,C 104 ; (2) A

48 ,B

93 ,C (1) 114 ,B 43 ,a 35cm; A 20 ,B

137 ,a 13cm

62

cm ; 习题1.1 A 组（P10）

1、证明：如图1,设 ABC 的外接圆的半径是R ,

①当 ABC 时直角三角形时，

C 90时，

ABC 的外接圆的圆心 O 在Rt ABC 的斜边AB 上. 在 Rt ABC 中， 匹 si nA , 匹 si nB

AB

AB a

b

即 sin A , sin B

2R

2R

所以 a 2RsinA , b 2RsinB

又 c 2R 2R sin90 2RsinC

所以 a 2Rsi nA, b 2Rsi n B, c 2Rsi nC

a

O

b

C

A

39 ;

（第1题图1）

②当ABC 时锐角三角形时，它的外接圆的圆心 O 在三角形内（图2）， 作过O 、B 的直径AB ，连接A,C ,

则ABC 直角三角形, ACB 90 , BAC BAC .

在Rt ABC 中，匹 A i B

sin BAC ，

即— sin BAC sin A , 2R 所以 a 2RsinA ,

同理：b 2RsinB , c 2RsinC

③当ABC 时钝角三角形时，不妨假设 A 为钝角， 它的外接圆的圆心 O 在 ABC 外（图3） 作过OB 的直径A B ，连接AC .

则 ABC 直角三角形，且 ACB 90， BAC 180

在 Rt A 1BC 中，BC 2Rsin BAC ，

A

O

B

A

B

O

（第1题图2）

BAC

即 a 2Rsin(180 BAC)

即 a 2RsinA

同理：b 2RsinB , c 2RsinC 综上，对任意三角形

ABC，如果它的外接圆半径等于R ,

贝y a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC

2、因为acosA bcosB ,

所以sin AcosA sin BcosB，即sin2A sin2B

因为0 2A,2B 2 ,

，或A B

得到问题的结论?

? ??这艘船可以继续沿正北方向航行

2、顶杆约长1.89 m.

练习(P15)

sin (180

)

a sin(

AP

sin(

2、在

所以,山高为h APsin asin si n( )

sin( )

AC 65.3m, BAC 25 25 17 38 7 47

ABC 90 90 25 25 64 35

AC BC

ABC 中,

sin ABC

AC

BC -

sin BAC

sin BAC

sin ABC

井架的高约9.8m.

653 sin7 479.8 m

sin64 35

所以2A 2B，或2A 2B，或2A 2 2B. 即A B或A

所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形

在得到sin2A sin2B后，也可以化为sin2A si n2B 0

所以cos(A B)sin( A B)

1 . 2应用举例

练习(P13)

1、在ABS中, AB 32.2 0.5

根据正弦定理，si^S 16.1 n mile ,

AB

sin(65 20 )

ABS 115 ，

得AS sin(65__205 AB sin ABS 2 16.1 sin 115

? S到直线AB的距离是d AS sin 20 16.1 sin 115 .2 sin 20 7.06 (cm) 1、在ABP 中,ABP 180

BPA 180 ( ABP 中,根据正弦定理,

)

AP

ABP

sin ABP sin

AP

180 ( )

AB

APB

a

(180

sin(

J

)

货轮到达C 点时与灯塔的距离是约8.82 n mile.

2、70 n mile.

如果一切正常，此船从 C 开始到B 所需要的时间为:

AD AB 60

1

20

3C 即约1小时26分59秒. 所以此船约在 4、 约 5821.71 m

5、 在ABD 中，AB 700 km ,

ACB 根据正弦定理，

700 AC

sin 124 sin 35

sin21

700 sin 21 BC -

sin 124

AC

700 sin 35

sin 124

3、山的高度为 练习（P16）

1、约 63.77 . 200 sin38 sin29

sin9

382 m

练习(P18) 1、 (1)约 168.52 cm 2 ; 2、 约 4476.40 m 2 bcosC ccosB 2 . 2 2 ,a b c b - 2 2 a c b 2 U

2ab 2ac

2 . 2 2 2 a b c a 2 2 2

c b 2a a 左边 【类似可以证明另外两个等式】

2a 2a 2a

(2)约 121.75 cm 2; (3)约 425.39 cm 2. 3、右边 习题1.2 A 组（P19） 1、在 ABC 中，BC

35 0.5 17.5 n mile , ABC 148 126 22 ACB 78 (180 148 ) 110 , BAC 180 110 22 48 根据正弦定理,

AC BC sin ABC sin BAC AC

BC sin ABC sin BAC

17.5 sin22

sin 48

8.82 n mile

3、在BCD 中，

BCD 30 10

40 ,

BDC 180

ADB 180 45

CD 30 1 10 n mile

3

根据正弦定理,

CD

BD

sin CBD

sin BCD

10

BD

sin (180 40 125 )

sin 40

BD

10 sin40

sin 15

在ABD 中，

ADB 45 10 55 , BAD 180 60 10

110

ABD 180 110 55 15

根据正弦定理,

AD

BD AB 即AD

BD

sin ABD sin BAD

sin ADB

sin 15 sin

110 10 125

AB sin55

AD BD sin15 sin 110 10 sin 40

sin15

sin 110

sin 15

10 sin40 sin 70 6.84 n mile

AB

BD sin55 sin 110

10 sin40 sin55 sin 15 sin70

21.65 n mile

6.84 21.65 .

10 30 60 86.98 min

30

11时27分到达B岛. 180 21 35 124 BC

150

1000 m

3600

AEC 64.82

AC BC

700 sin35 700 sin21 sin 124

sin 124

所以路程比原来远了约 86.89 km.

786.89 km

6、飞机离A 处探照灯的距离是4801.53 m ，飞机离B 处探照灯的距离是

度是约4574.23 m.

4704.21 m ，飞机的高

根据正弦定理，

sin(81 18.5 )

这里x 是飞机看到山顶的俯角为 sin 18.5

81时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是： x tan81

d sin18.5

tan81 14721.64 m

sin(81 18.5 )

山顶的海拔是20250 14721.64 5528 m 8、在 ABT 中， ATB 21.4

18.6 2.8， ABT 90 18.6，AB 15 m

根据正弦定理， -AB 1，即AT 15 COs18.6

si n2.8 cos18.6

si n2.8

塔的高度为 AT sin21.4 15 cos18.6

sin21.4 si n2.8

326 18 9、 AE

97.8 km

60

在ACD 中，根据余弦定理：

AC

AD 2 CD 2 2 AD CD cos66

,572一1102一2一57—110一cos66「101.235

根据正弦定理，一

sin AD AC

ACD sin ADC

sin ACD AD sin ADC

57 sin66

AC

101.235

ACD 30.96 0.5144

ACB 133

30.96

102.04

在ABC 中，根据余弦定理： AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos ACB

.101.2352—2042一2一101.235—204—COS102.04 245.93

cos BAC

2 2 2 AB AC BC 2 AB AC 2 2 2

245.93 101.235 204

2 245.9

3 101.235

BAC 54.21

在ACE 中，根据余弦定理:

CE AC 2 AE 2 2 AC AE cos EAC

101.2352 97.82

2 101.235 97.8 0.5487

90.75

cos AEC

AE 2 EC 2 AC 2 2 AE EC

97.82 90.752 101.2352

2 97.8 90.75 0.4254

180 AEC (180

75 )

75

64.82

10.18

所以，飞机应该以南偏西 10、

10.18的方向飞行，飞行距离约 90.75 km.

7、飞机在150秒内飞行的距离是d

1000

如图，在ABC中，根据余弦定理:

AC 一BC2 AB2 2 AB BC cos39 54

.(6400一35800)2—64002一2—(6400一35800)—6400一

cos39 54

42200^6400^2 42200 6400 cos39 54 37515.44 km

2 2 2

BAC AB AC BC 6400237515.442422002

所以, 2 AB

BAC 133.82，仰角为43.82 AC

BAC

2 6400 37515.44

90 43.82

0.6924

11、(1) S ^acsi nB

2 28 3

3 sin 45 326.68

2

cm

(2) 根据正弦定理:

sin A sin C sin A

sin C

36

sin

32.8

sin

66.5

丄acs

inB

2

362

sin

66.5

sin

32.8

sin( 32.

8

66.5 ) 1082.58 cm2

12、(3)

1 2 -

nR sin —

2 n

约为1597.94

13、

2

cm

根据余弦定理：cos B

c2b2

2ac

(f)2cosB

2ac

A

a

(第13 题)所以m a

2 :

[a 4c22(a2c2b2)]

1 2 2 2 2

(?)[2(b c) a]

；、2(b2 c2) 同理

m b

14、根据余弦定理的推论,

A b2 c2

cosA -

a2) b2

2bc

,cosB

m c 丄J2(a2 b2) c2

2

a2 b2

2ca

所以，左边c（acosB bcosA)

c(a

2 c(-

2ca

2 2

a b

2c

b2

b2

2

c

2c

2

a

2bc )

a2 1 2 -)(2a2

2b2) 右边

习题1.2 B组（P20）

1、根据正弦定理：一「

sin A

b

sin B

，所以

asin B

sin A

代入三角形面积公式得

1

S absi nC

2

asin B

2、（1）根据余弦定理的推论：cosC

1

a

2 sin A

2.2 2

a b c

2ab

si nC

1 2 sin Bsin C a

2 sin A

由同角三角函数之间的关系, si nC -1 cos2C 1F2