2020年安徽高考文科数学试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(安徽卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试安徽文科数学本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,第一卷第1至|第2页,第二卷第3至|第4页.全卷总分值150分,考试时间120分钟. 考生考前须知:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡反面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第一卷时,每题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第二卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第一卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.(2021安徽,文1)设i 是虚数单位,那么复数(1 -i)(1 +2i) = ( ) A .3 +3i B . -1 +3i C .3 +i D . -1 +i 答案:C解析:由复数的乘法运算法那么,得(1 -i)(1 +2i) =1 -i +2i -2i 2 =1 +i +2 =3 +i,因此选C . 2.(2021安徽,文2)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},那么A ∩(∁U B ) =( ) A .{1,2,5,6} B .{1} C .{2} D .{1,2,3,4} 答案:B解析:由题意得∁U B ={1,5,6},那么A ∩(∁U B ) ={1},因此选B . 3.(2021安徽,文3)设p :x<3,q : -1<x<3,那么p 是q 成立的 ( ) A .充分必要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 答案:C解析:由q : -1<x<3可以得到p :x<3,即q ⇒p ,而由p 成立不一定得到q 成立,即p q ,因此p 是q 成立的必要不充分条件.4.(2021安徽,文4)以下函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( )A .y =ln xB .y =x 2+1 C .y =sin x D .y =cos x 答案:D解析:y =ln x 既不是奇函数也不是偶函数;y =x 2 +1是偶函数,但不存在零点,不满足要求;y =sin x 是奇函数不满足要求;y =cos x 是偶函数,由其图象可知有无数个零点.应选D .5.(2021安徽,文5)x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥1,那么z = -2x +y 的最|大值是( )A . -1B . -2C . -5D .1 答案:A解析:作出约束条件的可行域如图阴影局部所示,平移直线l 0:y =2x ,可得在点A (1,1)处z 取得最|大值,最|大值为 -1.6.(2021安徽,文6)以下双曲线中,渐近线方程为y =±2x 的是( )A .x 2 -y 24 =1 B .x 24 -y 2 =1C .x 2 -y 22=1 D .x 22-y 2=1 答案:A解析:双曲线x 2 -y 24 =1的渐近线方程为y =±2x ,双曲线x 24 -y 2 =1的渐近线方程为y =±12x ,双曲线x 2 -y 22=1的渐近线方程为y =±√2x ,双曲线x 22-y 2 =1的渐近线方程为y =±√22x ,因此A 正确. 7.(2021安徽,文7)执行如下图的程序框图(算法流程图),输出的n 为( )A .3B .4C .5D .6答案:B解析:当a =1,n =1时,进入循环,a =1 +11+1=32,n =2;此时|a -1.414|>0.005,继续循环,a =1 +11+32=1 +25=75,n =3;此时|a -1.414|>0.005,继续循环,a =1 +11+75=1 +512=1712,n =4;此时|a -1.414|≈0.003<0.005,退出循环,因此n 的值为4.8.(2021安徽,文8)直线3x +4y =b 与圆x 2 +y 2 -2x -2y +1 =0相切,那么b 的值是( ) A . -2或12 B .2或 -12 C . -2或 -12 D .2或12 答案:D解析:由题意,知圆的标准方程为(x -1)2 +(y -1)2 =1,其圆心为(1,1),半径为1,那么圆心到直线3x +4y =b 的距离d =|7-b |5=1,所以b =2或b =12.9.(2021安徽,文9)一个四面体的三视图如下图,那么该四面体的外表积是( )A .1 +√3B .1 +2√2C .2 +√3D .2√2答案:C 解析:由三视图可得该四面体的直观图如下图,平面ABD ⊥平面BCD ,△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB =AD =BC =CD =√2.取BD 的中点O ,连接AO ,CO ,那么AO ⊥CO ,AO =CO =1.由勾股定理得AC =√2,因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形,由三角形面积公式得S △ABC =S △ACD =√32,S △ABD =S △BCD =1,所以四面体的外表积为2 +√3.10.(2021安徽,文10)函数f (x ) =ax 3 +bx 2 +cx +d 的图象如下图,那么以下结论成立的是( )A .a>0,b<0,c>0,d>0B .a>0,b<0,c<0,d>0C .a<0,b<0,c>0,d>0D .a>0,b>0,c>0,d<0答案:A解析:由图象可知f (0) =d>0,f'(x ) =3ax 2 +2bx +c ,x 1,x 2为方程3ax 2 +2bx +c =0的两根,因此x 1 +x 2 = -2b 3a ,x 1·x 2 =c 3a.由图象可知x ∈( -∞,x 1)时,f'(x )>0,所以a>0.而由图象知x 1,x 2均为正数,所以 -2b3a >0,c3a>0,由此可得b<0,c>0,应选A .第二卷(非选择题 共100分)考生考前须知:请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.(2021安徽,文11)lg 52+2lg 2 -(12)-1 = . 答案: -1解析:根据对数的运算法那么知,lg 52+2lg 2 -(12)-1 =lg 5 -lg 2 +2lg 2 -2 =lg 5 +lg 2 -2 =lg 10 -2 = -1. 12.(2021安徽,文12)在△ABC 中,AB =√6,∠A =75°,∠B =45°,那么AC = . 答案:2解析:由三角形内角和定理,得∠C =60°,根据正弦定理,得AB sinC=ACsinB,所以AC =√22√6√32=2. 13.(2021安徽,文13)数列{a n }中,a 1 =1,a n =a n -1 +12(n ≥2),那么数列{a n }的前9项和等于 . 答案:27 解析:由条件得a n -a n -1 =12(n ≥2),所以数列{a n }是以1为首|项,12为公差的等差数列,由等差数列前n 项和公式得S 9 =9×1 +9×82×12=27. 14.(2021安徽,文14)在平面直角坐标系xOy 中,假设直线y =2a 与函数y =|x -a| -1的图象只有一个交点,那么a 的值为 . 答案: -12解析:在同一坐标系画出y =2a 和y =|x -a| -1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,那么2a = -1,a = -12.15.(2021安徽,文15)△ABC 是边长为2的等边三角形,向量a ,b 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ,那么以下结论中正确的选项是 .(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a ⊥b ;④b ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤(4a +b )⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:①④⑤解析:在正三角形ABC 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2,所以|a | =1,①正确;由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ,得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,因此④正确,②不正确;由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,知a 与b 的夹角为120°,所以③不正确;因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,所以(4a +b )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ·b +b 2 =4×1×2×(-12) +22 =0,所以(4a +b )⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗ .故⑤正确. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题总分值12分)(2021安徽,文16)函数f (x ) =(sin x +cos x )2 +cos 2x. (1)求f (x )的最|小正周期;(2)求f (x )在区间[0,π2]上的最|大值和最|小值.解:(1)因为f (x ) =sin 2x +cos 2x +2sin x cos x +cos 2x =1 +sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4) +1,所以函数f (x )的最|小正周期为T =2π2=π. (2)由(1)的计算结果知,f (x ) =√2sin (2x +π4) +1.当x ∈[0,π2]时,2x +π4∈[π4,5π4], 由正弦函数y =sin x 在[π4,5π4]上的图象知,当2x +π4=π2,即x =π8时,f (x )取最|大值√2 +1;当2x +π4=5π4,即x =π2时,f (x )取最|小值0.综上,f (x )在[0,π2]上的最|大值为√2 +1,最|小值为0.17.(本小题总分值12分)(2021安徽,文17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的效劳情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如下图),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率. 解:(1)因为(0.004 +a +0.018 +0.022×2 +0.028)×10 =1,所以a =0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022 +0.018)×10 =0.4, 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10 =3(人),记为A 1,A 2,A 3; 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10 =2(人),记为B 1,B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B 1,B 2},故所求的概率为p =110.18.(本小题总分值12分)(2021安徽,文18)数列{a n }是递增的等比数列,且a 1 +a 4 =9,a 2a 3 =8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =an+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)由题设知a 1·a 4 =a 2·a 3 =8,又a 1 +a 4 =9,可解得{a 1=1,a 4=8或{a 1=8,a 4=1(舍去).由a 4 =a 1q 3得公比q =2,故a n =a 1q n -1 =2n -1.(2)S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1, 又b n =a n+1S n S n+1=S n+1-S nS n S n+1=1S n−1S n+1,所以T n =b 1 +b 2 +… +b n =(1S 1-1S 2)+(1S 2-1S 3) +… +(1S n -1S n+1)=1S 1−1S n+1=1 -12n+1-1.19.(本小题总分值13分)(2021安徽,文19)如图,三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,PA =1,AB =1,AC =2,∠BAC =60°. (1)求三棱锥P -ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上,存在点M ,使得AC ⊥BM ,并求PMMC的值. (1)解:由题设AB =1,AC =2,∠BAC =60°,可得S △ABC =12·AB ·AC ·sin 60° =√32.由PA ⊥平面ABC ,可知PA 是三棱锥P -ABC 的高,又PA =1,所以三棱锥P -ABC 的体积 V =13·S △ABC ·PA =√36. (2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC ,垂足为N.在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ,连接BM.由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ,所以MN ⊥AC.由于BN ∩MN =N ,故AC ⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN ,所以AC ⊥BM.在直角△BAN 中,AN =AB ·cos ∠BAC =12,从而NC =AC -AN =32.由MN ∥PA ,得PM MC=AN NC=13.20.(本小题总分值13分)(2021安徽,文20)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2 =1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM| =2|MA|,直线OM 的斜率为√510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0, -b ),N 为线段AC 的中点,证明:MN ⊥AB. (1)解:由题设条件知,点M 的坐标为(23a ,13b),又k OM =√510,从而b2a=√510.进而a =√5b ,c =√a 2-b 2 =2b ,故e =c a=2√55. (2)证明:由N 是AC 的中点知,点N 的坐标为(a 2,-b2),可得NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 6,5b6). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( -a ,b ),从而有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -16a 2 +56b 2 =16(5b 2 -a 2). 由(1)的计算结果可知a 2 =5b 2,所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故MN ⊥AB. 21.(本小题总分值13分)(2021安徽,文21)函数f (x ) =ax(x+r )2(a>0,r>0).(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;(2)假设ar=400,求f (x )在(0, +∞)内的极值.解:(1)由题意知x ≠ -r ,所求的定义域为( -∞, -r )∪( -r , +∞).f (x ) =ax (x+r )2=axx 2+2rx+r 2,f'(x ) =a (x 2+2rx+r 2)-ax (2x+2r )(x 2+2rx+r 2)2=a (r -x )(x+r )(x+r )4,所以当x< -r 或x>r 时,f'(x )<0.当 -r<x<r 时,f'(x )>0.因此,f (x )的单调递减区间为( -∞, -r ),(r , +∞);f (x )的单调递增区间为( -r ,r ).(2)由(1)的解答可知f'(r ) =0,f (x )在(0,r )上单调递增,在(r , +∞)上单调递减.因此,x =r 是f (x )的极大值点.所以f (x )在(0, +∞)内的极大值为f (r ) =ar (2r )2=a 4r=4004=100.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(安徽卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（安徽卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分l50分，考试时间l20分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与B 互斥，那么 棱柱体积V=ShP(A+B)=P(A)+P(B ） 棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B I =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)1．【答案】C【命题意图】此题主要考查集合和不等式的基础知识，基本的运算能力【解析】：对于A ()1,=-+∞，()(),3,1,3B A B =-∞∴⋂=-，宜选C（2）已知21i =-，则i(13i -)= (A)3i - (B)3i + (C)3i -- (D)3i -+2．【答案】B【命题意图】此题主要考查复数的基础知识和考生对于复数化简的能力【解析】：2(13)33i i i i i -=-=+（3）设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是 (A)a b = (B)22a b =g (C)//a b (D)a b -与b 垂直3．【答案】D【命题意图】此题主要考查向量的坐标运算知识和运用向量判断位置关系的能力【解析】：因为()111,0244a b a b b ⋅=-⋅=-=r r r r r ，因此a b -r r 与b r 垂直 （4）过点（1，0）且与直线022=--y x 平行的直线方程是（A ）012=--y x （B ）012=+-y x（C ）022=-+y x （D ）012=-+y x（5）设数列}{n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ）15 （B ）16 （C ）49 （D ）645．【答案】A【命题意图】此题主要考查数列的基础知识，数列中的某一项的求解方法【解析】：对于22228(1),8715n a n n a =--=-=（6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是6．【答案】D【命题意图】此题主要考查函数的图象和性质和考查学生看图识图的能力【解析】：对于A 中的图可得00,020a b abc a c <⎧⎪⎪-<∴<⎨⎪<⎪⎩，对于B 中的图可得00,020a b abc a c <⎧⎪⎪->∴<⎨⎪>⎪⎩，对于C 中的图可得00,020a b abc a c >⎧⎪⎪-<∴<⎨⎪<⎪⎩，对于D 中的图可得00,020a b abc ac >⎧⎪⎪->∴>⎨⎪<⎪⎩ （7）设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a ，b ，c 的大小关系 是（A ）b c a >> （B ）c b a >>（C ）b a c >> （D ）a c b >>7．【答案】A【命题意图】此题主要考查指数函数和幂函数的单调性和运用函数单调性判断数大小的能力【解析】223555322555a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （8）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-+,0,062,062y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值是（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）88．【答案】C【命题意图】此题主要考查线性规则中的线性区域和目标函数的求解方法【解析】对于目标函数过线性区域上点()6,0时z 值最大，max 6z =（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A ）372 （C ）292（B ）360 （D ）2809．【答案】B【命题意图】此题主要考查此题主要考查几何体的三视图的基础知识，考查了考生运用三视图还原直观图的能力（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，一页从该正方形四个顶点中任意选择连个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A ）318 （A ）418 （A ）518 （A ）61810．【答案】C【命题意图】此题主要考查概率的基础知识和运用例举法计数的能力【解析】基本事件有6636⨯=种，而符合两直线互垂直的有10种情况，即符合条件的概率为518数 学(文科)(安徽卷)第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上大体无效。
安徽省高考文科数学试卷及答案
普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生务必用在试题卷、题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号一致。
务必在答题卡北面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第I卷时，每小题选出的答案后，用2B铅笔把答题卡对应的题材目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第II卷时，必须用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上．．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色签字笔描清楚。
必须在题号所指示区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体体积公式：V=13Sh, 其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
若（x1,y1）,(x2,y2),……，(x m,y n)为样本点，y=bx+a为回归直线，则说明：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i是虚数单位，复数12aii+-为纯复数，则是数a为（A） 2 （B） -2 （C） -12（D）12（2）集合{1,2,3,4,5,6},U ={1,4,6},S ={2,3,4},T =则S ⋂()等于 (A) (B) {1,5} (C) {4} ( D) {1,2,3,4,5} (3) 油长是（A ）2 (B) 22 (C)4 (D) 42（4）若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为 （A ）-1 （B ） 1 （C ）3 （D ）-3（5）若点(),a b 在lg y x =图像上，1a ≠，则下列点也在此图像上的是（A ）1,b a ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()10,1a b - （C ）10,1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）22a b +（6）设变量x ，y 满足 1x y +≤ 则2x y +的最大值和最小值分别为 1x y -≤ 0x ≥（A ）1，-1 （B ）2， -2 （C ）1， -2 （D ）2，-1（7）若数列n a 的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),则12a a ++…10a +=（A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15 （8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）48 （B ）32+817（C ）48+817（D ）80 （9）从六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A ）110 （B ）18 （C ）16 （D ）15（10）函数()()221f x ax x =-在区间[]0,1上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科）第 Ⅱ卷 (非选择题 共100分) 考生注意事项请用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
2020年高考安徽卷(文)含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）含答案一．选择题选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）32．已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂= （ ）（A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1- （D ）{}0,13．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A ）34（B ）16 （C ）1112 （D ）25244．“(21)0x x -=”是“0x =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为 （A ）23(B)25 (C) 35 （D ）9106．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）46 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 8．函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x L ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L ，则n 的取值范围为 (A) {}2,3 (B) {}2,3,4 (C) {}3,4 (D) {}3,4,59．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =(A) 3π(B)23π (C) 34π (D) 56π10．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 二．填空题11． 函数21ln(1)1y x x=++-的定义域为_____________.12．若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为__________.13．若非零向量,a b r r 满足32a b a b ==+r r r r ，则,a b r r夹角的余弦值为_______.14．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时。
2023年安徽省高考文科数学真题及参考答案
2023年安徽省高考文科数学真题及参考答案一、选择题1.=++3222ii （）A .1B .2C .5D .52.设集合{}8,6,4,2,1,0=U ，集合{}6,4,0=M ，{}6,1,0=N ，则=⋃N C M U （）A .{}8,6,4,2,0B .{}8,6,4,1,0C .{}8,6,4,2,1D .U3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若c A b B a =-cos cos ，且5π=C ，则=∠B （）A .10πB .5πC .103πD .52π5.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则=⋅ED EC （）A .5B .3C .52D .57.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .218.函数()23++=ax x x f 存在3个零点，则a 的取值范围是（）A .()2-∞-，B .()3-∞-，C .()14--，D .()0,3-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A .65B .32C .21D .3110.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .2311.已知实数y x ,满足042422=---+y x y x ，则y x -的最大值是（）A .2231+B .4C .231+D .712.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，下列四个点中，可为AB 中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30πθ，，21tan =θ，则=-θθcos sin .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.16.已知点C B A S ,,,均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则=SA .三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知112=a ，4010=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项和n T .19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）若︒=∠120POF ，求三棱锥ABC P -的体积.20.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）若()x f 在()∞+，0单调递增，求a 的取值范围.21.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，证明：线段MN 中点为定点.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112CADCDBCBADCD1.解：∵i i i i 212122232-=--=++，∴()52121222232=-+=-=++i ii 3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵C B A -=+π，∴()B A C +=sin sin ，∵c A b B a =-cos cos ，由正弦定理得：B A B A C A B B A sin cos cos sin sin cos sin cos sin +==-∴0cos sin =A B ，∵()π，0∈B ，∴0sin ≠B ，∴0cos =A ，∴2π=A ∵5π=C ，∴10352πππ=-=B .5.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .6.解：以AD AB ,为基底表示：AD AB BC EB EC +=+=21，AD AB AD EA ED +-=+=21，∴31441212122=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AB AD AD AB AD AB ED EC7.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .8.解：由条件可知()032=+='a x x f 有两根，∴0<a 要使函数()x f 存在3个零点，则03>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a f 且03<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a f ，解得3-<a 9.解：有条件可知656626=⨯=A P .10.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .11.解：由042422=---+y x y x 得()()91222=-+-y x ，令t y x =-，则0=--t y x ，圆心()1,2到直线0=--t y x 的距离为321111222≤-=+--t t ，解得231231+≤≤-t ，∴y x -的最大值为231+.12.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.二、填空题13.49；14.55-；15.8；16.213.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.解：∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，∴0cos ,0sin >>θθ，由⎪⎩⎪⎨⎧===+21cos sin tan 1cos sin 22θθθθθ，解得552cos ,55sin ==θθ，∴55cos sin -=-θθ.15.解：作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .16.解：如图所示，根据题中条件2==OS OA ，3===AC BC AB ，∴3323321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==A O r ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=2121221212A O OO SA OS A O OO OA即()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=222222r d SA R r d R ，代入数据得()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=343422d SA d ，解得2=SA 或1-=SA （舍）三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s ，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=402910101111012d a S d a a 解得⎩⎨⎧-==2131d a ，∴数列{}n a 的通项公式为()n d n a a n 21511-=-+=.（2）由（1）知n a n 215-=，令0215>-=n a n 得*∈≤<N n n ,70∴当*∈≤<N n n ,70时，()n n a a n T n n 14221+-=+=；当*∈≥N n n ,8时，nn a a a a a a T +++++++= 98721n a a a a a a ----+++= 98721()n a a a a a a +++-+++= 98721()981414492222777+-=+--⨯=-=--=n n n n T T T T T n n 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧∈≤++-∈≤+-=**Nn n n n Nn n n n T n ,7,814,7,142219.解：（1）∵BC AB BF AO ⊥⊥,，∴OAB FBC ∠=∠.22tan ==∠AB OB OAB ，22tan ==∠BC AB ACB ，∴ACB FBC ∠=∠.又点O 为BC 中点，∴BC OF ⊥.又BC AB ⊥∴AB OF ∥.∴点F 为AC 中点.∵点E 为P A 中点，∴PC EF ∥.∵点O D ,分别为BC BP ,中点，∴PC DO ∥，即EFDO ∥∵⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）过点P 作OF PH ⊥，垂足为H .由（1）知BC OF ⊥，在PBC ∆中，PC PB =，∴BC PO ⊥.∵O PO OF =⋂，∴BC ⊥平面POF .又⊂PH 平面POF ，∴PH BC ⊥.又∵OF PH ⊥，O BC OF =⋂，∴PH ⊥平面ABC .在PBC ∆中，222=-=OC PC PO .在POH Rt ∆中，︒=∠60POH ，3sin =∠⋅=POH PO PH ∴362213131=⋅⋅⨯=⋅=∆-BC AB PH S PH V ABC ABC P .20.解：（1）（1）当1-=a 时，()(),1ln 11+⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f ，则()()11111ln 12+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯-='x x x x x f ，据此可得()()2ln 1,01-='=f f ，函数在()()11f ，处的切线方程为()12ln 0--=-x y ，即()02ln 2ln =-+y x .（2）由题意知()()()()()11ln 11111ln 1222+++-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x x x x x ax x a x x x x f .若()x f 在()∞+，0上单调递增，则方程()()01ln 12≥++-+x x x ax 在()∞+，0上恒成立，令()()()0,1ln 12>++-+=x x x x ax x h ，则()()1ln 2+-='x ax x h .当21≥a 时，()()01ln 2≥+-='x ax x h 成立，()x h 单调递增且()00=h ，()0≥x h 成立，符合题意.当210<<a 时，()()()0112,1ln 2=+-=''+-='x a x h x ax x h ，则121-=a x ，则()x h '在⎪⎭⎫ ⎝⎛-121,0a 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，121a 上单调递增，()00='h 则()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛-121,0a 上单调递减，()00=h ，则⎪⎭⎫⎝⎛-∈121,0a x 上时，()0<x h 不合题意，舍去.当0≤a 时，()()01ln 2<+-='x ax x h ，()x h 单调递减，()00=h ，则()0<x h 不合题意，舍去.∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21.21.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y 。
2020年高考真题——数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)
绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A.∅B. {–3，–2，2，3）C. {–2，0，2}D. {–2，2}【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合A, B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为A ={x x < 3, x ∈Z}={-2, -1, 0,1, 2}，B ={x x >1, x ∈Z}={x x >1或x <-1, x ∈Z}，所以A B ={2, -2}.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i）4=（）A. –4B. 4C. –4iD. 4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】(1-i)4= [(1-i)2 ]2= (1- 2i +i2 )2= (-2i)2=-4 .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k 为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k 为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A. 5B. 8C. 10D. 15【答案】C【解析】【分析】根据原位大三和弦满足k -j = 3, j -i = 4 ，原位小三和弦满足k -j = 4, j -i = 3从i = 1 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ．∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k =12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ．∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11 ；i = 5, j = 8, k =12 ．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500 +1600 -1200 = 900 ，故需要志愿者900= 18 名. 50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A. a+2bB. 2a+bC. a–2bD. 2a–b 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：a ⋅b=a ⋅b ⋅cos 60︒=1⨯1⨯1=1. 22A：因为(a + 2b) ⋅b =a ⋅b + 2b2 =1+ 2⨯1 =5≠ 0 ，所以本选项不符合题意；22B：因为(2a +b) ⋅b = 2a ⋅b+b2 = 2⨯1+1 = 2 ≠ 0 ，所以本选项不符合题意；2C：因(a - 2b) ⋅b =a ⋅b - 2b 2=1- 2⨯1 =-3≠ 0 ，所以本选项不符合题意；22D：因为(2a -b) ⋅b = 2a ⋅b -b2= 2⨯1-1 = 0 ，所以本选项符合题意. 2故选：D.a 1 1n【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.S n 6. 记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则=（ ）nA. 2n –1B. 2–21–nC. 2–2n –1D. 21–n –1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，⎧⎪a q 4 - a q 2 = 12⎧q = 2 由 a - a = 12, a - a = 24 可得： ⎨1 1 ⇒ ⎨ ， 5 3 6 4 ⎪⎩a q 5- a q 3 = 24 ⎩a 1 = 1 n -1n -1a (1- q n ) 1- 2n n 所以a n = a 1q= 2 , S n = 1= = 2 -1，S 2n -1 因此 n = =2 - 21-n .1- q 1- 2a 2n -1故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7. 执行右面的程序框图，若输入的 k =0，a =0，则输出的 k 为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程k = 0, a = 0第1 次循环，a = 2 ⨯ 0 +1 =1 , k = 0 +1 = 1，2 > 10 为否第2 次循环，a = 2 ⨯1+1 = 3 , k =1+1 = 2 ，3 >10 为否第3 次循环，a = 2 ⨯3 +1 = 7 , k = 2 +1 = 3 ，7 > 10 为否第4 次循环，a = 2 ⨯7 +1 =15 , k = 3 +1 = 4 ，15 >10 为是退出循环输出k = 4 .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考-2 5查了分析能力和计算能力，属于基础题.8. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为（）A.55B. 2 55C. 3 55D. 4 55【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a , a ), a > 0 ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点(2,1) 在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离.【详解】由于圆上的点(2,1) 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a , a ) ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为( x - a )2+ ( y - a )2= a 2 . 由题意可得(2 - a )2 + (1- a )2= a 2 ， 可得a 2 - 6a + 5 = 0 ，解得a = 1 或a = 5 ，所以圆心的坐标为(1,1) 或(5, 5) ，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离均为d = =2 5 ； 5所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为 2 5. 5 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9. 设O 为坐标原点，直线x = a 与双曲线 x 2 y 2 C : - = 1(a > 0,b > 0) a 2 b2 的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若 ODE 的面积为 8，则C 的焦距的最小值为（）16 2 0)2 0)A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】x 2 -y2= > >y =± bxx = a因为C : a21(a b 20,b 0) ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 a联立方程求得 D ， E 两点坐标，即可求得| ED | ，根据 的面积为 8 ，可得 ab 值，根据2c = 2 ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】 C : x a 2 - y 2= 1(a > 0,b > b∴双曲线的渐近线方程是 y =± bxa x = a x 2 y 2 C : - = 1(a > 0,b >直线与双曲线a2b20) 的两条渐近线分别交于 D ， E 两点不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限⎧x = a ⎪ ⎧x = a 联立⎨y = b x ，解得⎨y = b⎪⎩ a ⎩故 D (a , b )⎧x = a⎪⎧x = a 联立⎨ y =- b x ，解得⎨y = -b⎪⎩ a ⎩故 E (a , -b )∴| ED |= 2b∴ ODE 面积为： S △ODE= 1a ⨯ 2b = ab = 82双曲线C : x a 2 - y 2= 1(a > 0,b > b∴其焦距为2c = 2 ≥ 2 = 2 = 8当且仅当a = b = 2 取等号∴ C 的焦距的最小值： 8ODE a 2 + b 2 a 2 + b 2 2ab 2 2 2【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数f (x) =x3-1x3,则f (x) （）A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{x x ≠ 0}，利用定义可得出函数f (x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数f (x)=x3-1 x3所以函数f (x)为奇函数．定义域为{x x ≠ 0}，其关于原点对称，而f (-x)=-f (x)，又因为函数y =x3在( 0, +? ) 上单调递增，在( -? , 0) 上单调递增，而y =1x3=x-3在( 0, +?) 上单调递减，在( -? , 0) 上单调递减，所以函数f (x)=x3-1x3在( 0, +?) 上单调递增，在( -? , 0) 上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为9 3 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为416π，则O 到平面ABC 的距离为（）A. B.3C. 1D.3 2 2【答案】C 【解析】3R 2 - r 2 3 9 3 a - 2 a 2 4 9 - 9 4 3 根据球O 的表面积和 ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和 ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d = .【详解】设球O 的半径为 R ，则4π R 2 = 16π ，解得： R = 2 . 设 ABC 外接圆半径为 r ，边长为a ，ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，41 2 2 ∴ a 2 ⨯ = ，解得： a = 3 ，∴r = ⨯ = ⨯ = ，2 2 4∴球心O 到平面 ABC 的距离d = 3 = 3= 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12. 若2x - 2y < 3-x - 3- y ，则（）A. ln( y - x +1) > 0B. ln( y - x +1) < 0C. ln | x - y |> 0D.ln | x - y |< 0【答案】A【解析】【分析】将不等式变为 2x - 3-x < 2y - 3- y ，根据 f (t ) = 2t- 3-t的单调性知 x < y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x - 2y < 3-x - 3- y 得： 2x - 3-x < 2y - 3- y ，令 f (t ) = 2t- 3-t，y = 2x 为 R 上的增函数， y = 3-x 为 R 上的减函数，∴ f (t ) 为 R 上的增函数， ∴ x < y ，Q y - x > 0 ，∴ y - x +1 > 1，∴ln ( y - x +1) > 0 ，则A 正确，B 错误；R 2 - r 2 4 - 32Q x - y 与1的大小不确定，故 CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函 数的单调性得到 x , y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若sin x =- ，则cos 2x =．31 【答案】 9【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】cos 2x = 1- 2sin 2 x = 1- 2⨯(- 2)2 = 1- 8 = 1. 3 9 9故答案为： 1.9【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14. 记 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若a 1 = -2,【答案】25 【解析】a 2 + a 6 = 2 ，则 S 10 =．【分析】因为{a n } 是等差数列，根据已知条件 a 2 + a 6 = 2 ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】 {a n } 是等差数列，且a 1 = -2 ， a 2 + a 6 = 2 设{a n } 等差数列的公差 d根据等差数列通项公式： a n = a 1 + (n -1)d 可得a 1 + d + a 1 + 5d = 2 即： -2 + d + (-2) + 5d = 2 整理可得： 6d = 6⎨ ⎩ 解得： d = 1根据等差数列前n 项和公式： S n= na 1+ n (n -1) d , n ∈ N *2可得： S 10= 10(-2) + 10⨯ (10 -1)= -20 + 45 = 252∴ S 10 = 25 .故答案为： 25 .【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.⎧x + y ≥ -1 15. 若 x ，y 满足约束条件⎪x - y ≥ -1，则z = x + 2 y 的最大值是 ．⎪2x - y ≤ 1,【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 y =- 1x ，在平面区域内2找到一点使得直线 y = - 1 x + 1z 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.22【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线 y =- 1 x ，当直线经过点 A 时，直线 y = - 1 x + 1z 在纵轴上的截距最大，2⎧x - y = -1 2 2⎧x = 2此时点 A 的坐标是方程组⎨2x - y = 1 的解，解得： ⎨ y = 3 ，⎩ ⎩因此 z = x + 2 y 的最大值为： 2 + 2 ⨯ 3 = 8 .故答案为：8 .【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是.①p1∧p4②p1∧p2③⌝p2∨p3④⌝p3∨⌝p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3 与l1 相交，则交点A 在平面α内，同理，l3 与l2 的交点B 也在平面α内，所以，AB ⊂α，即l3⊂α，命题p1真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 p 3 为假命题；对于命题 p 4 ，若直线m ⊥ 平面α ，则 m 垂直于平面α 内所有直线， 直线l ⊂ 平面α ，∴直线m ⊥ 直线l ，命题 p 4 为真命题.综上可知， p 1 ∧ p 4 为真命题， p 1 ∧ p 2 为假命题，⌝p 2 ∨ p 3 为真命题， ⌝p 3 ∨ ⌝p 4 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知cos2( π + A ) + cos A = 5． 2 4（1）求 A ；（2）若b - c =3a ，证明：△ABC 是直角三角形． 3π【答案】（1）A = ；（2）证明见解析3【解析】【分析】（ 1 ） 根据诱导公式和同角三角函数平方关系， cos 2⎛ π + A ⎫+ cos A = 5可化为 2 ⎪ 41- cos 2 A + cos A = 5，即可解出；4（2）根据余弦定理可得b 2 + c 2 - a 2 = bc ，将b - c =⎝ ⎭3 a 代入可找到a , b , c 关系，3再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为cos 2⎛ π + A ⎫+ cos A = 5 ，所以sin 2 A + cos A = 5 ，2 ⎪ 4 4⎝⎭即1- cos 2 A + cos A = 5，4解得cos A = 1，又0 < A < π ， 2所以 A = π；3πb 2 +c 2 - a 21 （2） 因为 A =，所以cos A ==，3即b 2 + c 2 - a 2 = bc ①，2bc2又b - c =3 a ②， 将②代入①得， b 2 + c 2 - 3(b - c )2= bc ，3即2b 2 + 2c 2 - 5bc = 0 ，而b > c ，解得b = 2c ， 所以a = 3c ，故b 2 = a 2 + c 2 ，即 ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中 x i 和 y i 分别表示第 i 个样区2020的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑ x i = 60 ， ∑ y i = 1200 ，i =1i =1202020∑（x - x )2 = 80 ， ∑（y - y )2 = 9000 ， ∑（x - x （) y - y ) = 800 . ii =1ii =1iii =1（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2） 求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区∑i =12020(x - x ) ( y - y ) 2∑ 2iii =180 ⨯ 90002 ∑ i =1∑y 这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数 r =∑（x i - x （) i =1y i - y )，=1.414.【答案】（1）12000 ；（2） 0.94 ；（3）详见解析【解析】【分析】（1） 利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2） 利用公式r =20(xi- x )( y i - y )i =1计算即可；（3） 各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.1201【详解】（1）样区野生动物平均数为20 ∑ y i = 20⨯1200 = 60 ，地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为200 ⨯ 60 = 12000 （2）样本( x i , y i ) 的相关系数为20(x i- x )( y i- y )800 2r =i =1= = ≈ 0.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19. 已知椭圆 C 1：x a 2 2+ = 1(a >b >0)的右焦点 F 与抛物线 C 2 的焦点重合，C 1 的中心与 C 2 的 b 2n ∑ in （x - x ) （y - y )i =12∑ in2i =12 ∑ i =12020(x - x ) ( y - y )2∑ 2iii =12顶点重合．过 F 且与 x 轴重直的直线交 C 1 于 A ，B 两点，交 C 2 于 C ，D 两点，且|CD |= 4|AB |．3（1） 求 C 1 的离心率；（2） 若 C 1 的四个顶点到 C 2 的准线距离之和为 12，求 C 1 与 C 2 的标准方程．1Cx 2 y 2C 2【答案】（1） 2 ；（2） 1 ： += 1， 2 ： y 16 12= 8x .【解析】【分析】（1） 根据题意求出C 2 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 A , C 在第一象限，运用代入法求出 A , B , C , D 点的纵坐标，根据| CD |= 4| AB | ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；3（2） 由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆C 1 的右焦点坐标为： F (c, 0) ,所以抛物线C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，其中c =.A , CC x 2 y2不妨设 在第一象限，因为椭圆 1 的方程为： a 2 + b2 = 1，x = cc 2 y 2 b 2A ,B b 2 b 2所以当时，有 + = 1 ⇒ y = ± ，因此 的纵坐标分别为 ， - ； a 2 b 2 a a a又因为抛物线C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，所以当 x = c 时，有 y 2 = 4c ⋅ c ⇒ y = ±2c ，所以C , D 的纵坐标分别为2c ， -2c ，故| AB |=2b 2 ，| CD |= 4c . a48b 2cc 2 c c 1由| CD |= | AB |得4c = ，即3⋅ = 2 - 2( ) ，解得 = -2 （舍去）， = .3 3aa a a a 2 所以C 的离心率为 1.1 2x 2 y 2C （2）由（1）知a = 2c ， b = 3c ，故C 1 : 4c 2 + 3c2 = 1，所以1 的四个顶点坐标分别为(2c , 0) ， (-2c , 0) ， (0, 3c ) ， (0, - 由已知得3c + c + c + c = 12 ，即c = 2 .3c ) ， C 2 的准线为 x = -c . a 2 - b 21 11 1 Cx 2 y 2C 2所以 1 的标准方程为+ = 1， 2 的标准方程为 y 16 12= 8x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20. 如图，已知三棱柱 ABC –A 1B 1C 1 的底面是正三角形，侧面 BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为 BC ，B 1C 1 的中点，P 为 AM 上一点．过 B 1C 1 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．（1） 证明：AA 1//MN ，且平面 A 1AMN ⊥平面 EB 1C 1F ；（2） 设 O 为△A 1B 1C 1 的中心，若 AO =AB =6，AO //平面 EB 1C 1F ，且∠MPN =π，求四棱锥3B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2） 24 . 【解析】【分析】（1）由M , N 分别为 BC ，B 1C 1 的中点，MN //CC 1 ，根据条件可得 AA 1 / / BB 1 ，可证 MN //AA 1 ，要证平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 AMN ，只需证明 EF ⊥ 平面 A 1 AMN 即可；（2）根据已知条件求得 S 四边形EB C F 和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得V B - E B C F .【详解】（1）∴ MN //BB 1M , N 分别为 BC ， B 1C 1 的中点，又 AA 1 / / BB 1∴ M N //AA 1MN //BB 1在等边 ABC 中， M 为 BC 中点，则 BC ⊥ AM 又 侧面 BB 1C 1C 为矩形，∴ BC ⊥ BB 1MN ⊥ BC由 MN ⋂ AM = M ， MN , AM ⊂ 平面 A 1 A MN∴ BC ⊥ 平面 A 1 A MN又 B 1C 1 //BC ，且 B 1C 1 ⊄ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，∴ B 1C 1 // 平面 ABC又 B 1C 1 ⊂ 平面 EB 1C 1F ，且平面 EB 1C 1F ⋂ 平面 ABC = EF∴ B 1C 1 / / E F∴ EF //BC又 BC ⊥ 平面 A 1 AMN∴ EF ⊥ 平面 A 1 AMNEF ⊂ 平面 EB 1C 1F∴平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 AMN（2）过 M 作 PN 垂线，交点为 H ，画出图形，如图3 3 3 ⨯ 63 3AO // 平面 EB 1C 1FAO ⊂ 平面 A 1 A MN ，平面 A 1AMN ⋂ 平面 EB 1C 1F = NP∴ AO //NP又NO //AP∴ AO = NP = 6O 为△A 1B 1C 1 的中心.∴ ON = 1 AC sin 60︒ = 1⨯ 6⨯sin 60︒ =3 1 1 3故： ON = AP = ，则 AM = 3AP = 3 ，平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 A MN ，平面 EB 1C 1F ⋂ 平面 A 1 A MN = NP ，MH ⊂ 平面 A 1 AMN∴ MH ⊥ 平面 EB 1C 1F又 在等边 ABC 中EF =APBCAMAP ⋅ BC 即 EF === 2 AM由（1）知，四边形 EB 1C 1F 为梯形∴四边形 EB C F 的面积为： S=EF + B 1C 1⋅ NP = 2 + 6 ⨯ 6 = 241 1∴V= 1 S 四边形EB 1C 1F22⋅ h ， B -EB 1C 1F3 四边形EB 1C 1Fh 为 M 到 PN 的距离 MH = 2 3 ⋅sin 60︒= 3 ，∴ V = 1⨯ 24⨯ 3 = 24 .3【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21. 已知函数 f （x ）=2ln x +1．3（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；f (x) -f (a)（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=x -a的单调性．【答案】（1）c ≥-1 ；（2）g(x) 在区间(0, a) 和(a, +∞) 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式f (x) ≤ 2x +c 转化为f (x) - 2x -c ≤ 0 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数g(x) 求导，把导函数g'(x)分子构成一个新函数m(x) ，再求导得到m'( x) ，根据m'( x) 的正负，判断m(x) 的单调性，进而确定g'(x) 的正负性，最后求出函数g(x) 的单调性.【详解】（1）函数f (x) 的定义域为：(0, +∞)f (x) ≤ 2x +c ⇒f (x) - 2x -c ≤ 0 ⇒ 2 ln x +1- 2x -c ≤ 0(*) ，设h(x) = 2 ln x +1- 2x -c(x > 0) ，则有h'(x) =2- 2 =2(1-x)，x x当x > 1 时，h' (x) < 0, h(x) 单调递减，当0 <x < 1时，h' (x) > 0, h(x) 单调递增，所以当x = 1 时，函数h(x) 有最大值，即h(x)max=h(1) = 2 ln1+1- 2 ⨯1-c =-1-c ，要想不等式(*) 在(0, +∞) 上恒成立，只需h(x)max≤ 0 ⇒-1-c ≤ 0 ⇒c ≥-1 ；（2）g(x) =2 ln x +1- (2 ln a -1)=2(ln x - ln a)(x > 0 且x ≠a) x -a x -a因此g'(x) =2(x -a -x ln x +x ln a)，设m(x) = 2(x -a -x ln x +x ln a) ，x(x -a)2则有m'(x) = 2(ln a - ln x) ，当x >a 时，ln x > ln a ，所以m' (x) < 0 ，m(x) 单调递减，因此有m(x) <m(a) = 0 ，即⎩ g '(x ) < 0 ，所以 g (x ) 单调递减；当0 < x < a 时， ln x < ln a ，所以m ' (x ) > 0 ， m (x ) 单调递增，因此有m (x ) < m (a ) = 0 ，即g '(x ) < 0 ，所以 g (x ) 单调递减，所以函数 g (x ) 在区间(0, a ) 和(a , +∞) 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在 答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修 4—4：坐标系与参数方程]⎧x = t + 1 ,⎧x = 4 cos 2 θ 22. 已知曲线 C 1，C 2 的参数方程分别为 C 1： ⎨ y = 4sin 2 θ⎪ t （θ 为参数），C 2： ⎨ （t ⎪ y = t - 1 ⎩ t为参数）.（1） 将 C 1，C 2 的参数方程化为普通方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C 1，C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【答案】（1） C 1 : x + y = 4 ； C 2 : x 2 - y 2 = 4 ；（2） ρ = 17 cos θ . 5【解析】【分析】（1） 分别消去参数θ 和t 即可得到所求普通方程；（2） 两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由cos 2 θ + sin 2 θ = 1 得C 1 的普通方程为： x + y = 4 ；⎪⎩ 2 2 2 2 2 ⎧x = t + 1 ⎧x 2 = t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2 由⎨ 1 得： ⎨ 1 ，两式作差可得 2 的普通方程为： x - y = 4 . ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2⎪⎩ t ⎪⎩t 2 ⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ （2）由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫； ⎨x 2 - y 2 = 4 ⎨ ⎪ ⎪ y = 3⎝ ⎭ ⎪⎩ 2设所求圆圆心的直角坐标为(a ,0) ，其中a > 0 ，⎛ 5 ⎫2 ⎛ 3 ⎫2 17 ∴ 17 则 a - 2 ⎪ + 0 - 2 ⎪ = a ，解得： a = ， 10 所求圆的半径r = ， 10 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴⎛ 17 ⎫2 ⎛ 17 ⎫2 2 2 17 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ， 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴所求圆的极坐标方程为 ρ = 17 cos θ .5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型. [选修 4—5：不等式选讲]23. 已知函数 f (x ) = x - a 2 + | x - 2a +1|.（1） 当a = 2 时，求不等式 f (x )…4 的解集；（2） 若 f (x )…4 ，求 a 的取值范围.【答案】（1） ⎧x x ≤ 3 或 x ≥ 11⎫ ；（2） (-∞, -1] [3, +∞) .⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 【解析】【分析】（1） 分别在 x ≤ 3 、3 < x < 4 和 x ≥ 4 三种情况下解不等式求得结果；（2） 利用绝对值三角不等式可得到 f( x ) ≥ (a -1)2 ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当a = 2 时， f (x ) = x - 4 + x - 3 . 22 2 当 x ≤3 时， f (x ) = 4 - x + 3 - x = 7 - 2x ≥ 4 ，解得： x ≤ 3 ； 2当3 < x < 4 时， f (x ) = 4 - x + x - 3 = 1 ≥ 4 ，无解； 当 x ≥ 4 时， f (x ) = x - 4 + x - 3 = 2x - 7 ≥ 4 ，解得： x ≥ 11 ；2 综上所述： f ( x ) ≥ 4 的解集为⎧x x ≤3 或 x ≥ 11⎫ . ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ （2） f (x ) = x - a 2 + x - 2a +1 ≥ (x - a 2 ) - ( x - 2a +1) = -a 2 + 2a -1 = (a -1)2（当且 仅当2a -1 ≤ x ≤ a 2 时取等号），∴(a -1)2 ≥ 4 ，解得： a ≤ -1 或 a ≥ 3 ，∴a 的取值范围为(-∞, -1] [3, +∞) .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(全国I卷)全解析(部分解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)32-(B)-12 (C)12(D) 32 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，37897988()a a a a a a a ===g 10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====g(5)43(1)(1)x x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(1)1464133x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PFPF +-()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =g 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot 1cot 3sin 6022222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =g 4（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）23 （B ）33 （C ）23（D ）63【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，111136cos 1/2O O O OD OD ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得32y ≤--322y ≥-+故min ()322PA PB •=-+u u u v u u u v.此时21x =-【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v PABO2222221sin12sincos22212sin2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2sin,012x xθ=<≤，()()112123223x xPA PB xx x--•==+-≥-u u u v u u u v（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有ABCD11222323V h h=⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB与CD的中点时,22max22123h=-=,故max433V=.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2020年高考文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|340}, {4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．若312i i z =++，则||=z A ．0 B ．1 C ．2D ．23．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 51-B 51- C 51+ D 51+4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．455．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．47．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π28．设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．169．执行下面的程序框图，则输出的n =A ．17B ．19C ．21D ．2310．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．3211．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A ．72B ．3C ．52D ．212．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
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2020年安徽省合肥一中高考数学最后一卷(文科) (解析版)
2020年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．24．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．66．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】111．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln212．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．参考答案一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）【分析】求出集合A，集合B，从而求出∁U A，由此能求出（∁U A）∩B．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≥4或x≤﹣4}，集合B＝{x|6x≥2}＝{x|x≥1}，∴（∁U A）∩B＝{x|1≤x＜4}＝[7，4）．故选：C．2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形求得，再由，结合商的模等于模的商求解．解：由（1﹣i），得，则|z|＝||＝||＝．故选：B．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故选：B．4．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[7，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y6，y2，…，y n，∴＝故选：D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．6【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则则的几何意义为动点Q到原点连线的斜率，由图象可知当P位于A（，3）时，直线AP的斜率最大，故选：D．6．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．【分析】设k＝log2x＝log3y＝log5z＜0，0＜x，y，z＜1．x＝2k，y＝3k，z＝5k．可得＝21﹣k，＝31﹣k，＝51﹣k．由函数f（x）＝x1﹣k在（0，1）上单调递增，即可得出．解：设k＝log2x＝log3y＝log5z＜8，∴0＜x，y，z＜1．则＝27﹣k，＝31﹣k，＝58﹣k．∴21﹣k＜31﹣k＜51﹣k．故选：A．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN∥平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A6O，∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∵动点P在正方形BCC1B7（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，∵A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值：A1O＝＝，∴PA1的长度范围为[，]．故选：B．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．【分析】画出图形，利用已知条件转化求解即可．解：由题意双曲线的离心率为：，可得，可得，所以＝，渐近线方程为：y＝，如图：所以MN＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件求出函数的解析式，由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，利用三角函数的对称性进行求解即可．解：由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，则f（x）＝2sin（ωx+），得ω＝7，由2x+＝kπ，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，0），即此时a＝，故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】1【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用基本不等式的应用求出结果．解：由S n＝2a n﹣2，当n≥2时，可得S n﹣5＝2a n﹣1﹣8，故（常数），所以，，但是mn都为整数解得当m＝n＝3时，最小值为1．故选：B．11．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2【分析】求出b﹣a＝2﹣lny﹣1，根据函数的单调性求出b﹣a的最小值即可．解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，则b＝2，则（b﹣a）′＝2﹣，∴y＝时，（b﹣a）′＝6，∴y＝时，b﹣a取最小值，故选：C．12．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．【分析】设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∴|y﹣|2＝|OM|7+|OA|2＝x2+y2+，∴M的轨迹是以F（7，﹣）为焦点，y＝为准线的抛物线，＝|y﹣|﹣|MP|+＝|MF|﹣|MP|+，∴存在定点P（0，﹣）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行即共线的条件，列出关系式，利用向量相等解答．解：因为向量，不平行，向量与平行，所以＝μ（），所以，解得λ＝μ＝；故答案为：．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为5﹣2．【分析】根据题意，点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，求出P到原点的最小距离即可．解：对于点P，若圆上存在两点A，B使得∠APB＝60°，只需由点P引圆的两条切线所夹的角不小于60°即可，故动点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，故答案为：5﹣3．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．．【分析】将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段，求出侧棱的长度解：如图，在PC上取点M'，使得|PM'|＝|PM|∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，∴PA＝PB＝PC＝PD，∴AN+MN＝AN+NM'∵M为PD的中点，∴PA＝AC＝4又∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，设外接球的半径为r，则．解得．故答案为：．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是②③．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．【分析】写出等差数列的前n项和结合“T数列”的定义判断①；写出等比数列的前n 项和结合“T数列”的定义判断②；利用裂项相消法求和判断③；由数列递推式分n为奇数与偶数判断数列的特性，再求前n项和判断④．解：①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0，则，当n→+∞时，|S n|→+∞，②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，∴数列{a n}是“T数列”；③若＝，∴|S n|＝|+…+|＝||＜，④若a1＝2，，当n为偶数时，有a n+2+a n＝3，即数列{a n}中任意两个连续偶数项的和为0．∴数列{a n}不是“T数列”．故答案为：②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．【分析】（1）方法一：由已知利用余弦定理可求cos B的值；方法二：由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理化简可求cos B的值．（2）由已知利用二倍角公式可求，，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S2，利用三角形的面积公式，根据S1+S2＝S，化简可求．解：（1）方法一：由9c﹣a＝9b cos A，及余弦定理得：，整理得：，方法二：由9c﹣a＝9b cos A，及正弦定理得：9sin C﹣sin A＝9sin B cos A，所以：．所以：，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S7，由S1+S2＝S，得：，所以：．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．【分析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率；（2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几．解：（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A为甲乙两人两天全部获奖，则P（A）＝∴（0.05+0.03）×5×200＝80（人），2.5×0.1+8.5×0.2+12.5×0.3+17.5×3.25+22.5×0.15＝13.25（千步）由频率分布直方图可得0.2﹣0.15＝（20﹣y）×3.05，∴y＝19．（1﹣0.65）﹣0.3＝（x﹣10）×3.06，∴x＝．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【分析】（1）推导出BC⊥平面ACC1A1，BC⊥A1C，A1C⊥B1C1．从而ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．进而A1C⊥平面AB1C1．由此能证明平面AB1C1⊥平面A1B1C．（2）由，能求出四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【解答】证明：（1）因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°，因为A1C⊂平面ACC8A1，所以BC⊥A1C．因为ACC1A1是平行四边形，且AA5＝AC，所以ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．又A5C⊂平面A1B1C，所以平面AB1C1⊥平面A1B6C．所以，所以，即四棱锥A﹣BCC3B1的体积为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF＝﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S＝．解：（Ⅰ）由题意可得，解得c＝2，a＝，b＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣3，0），∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣7＝0，∴x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝．∴，∴（x1，y1）＝（﹣3﹣x8，m﹣y2），此时四边形OPTQ的面积S＝═＝．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（2）求出f（x1）+f（x2）的解析式，问题转化为证明ln（a﹣1）2+﹣2＞0，令a ﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，1），当t∈（0，1）时，g（t）＝2lnt+﹣2，根据函数的单调性证明即可．解：（1），x＞﹣1，，令h（x）＝x2+a（a﹣2）．由题意，，解得：7＜a＜2，（2）证明：由（1）知，a的取值范围是（1，2），即x2+a（a﹣2）＝6，得，＝＝，令a﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，2），所以g（t）在（0，1）上是减函数，综上，f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．【分析】（Ⅰ）求出直线l的直角坐标方程为y＝+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由＝2sin（2）+，由此能求出△MON面积的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝+2，可得r＝＝2，∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）7＝4，即．＝sin2θ+＝2sin（8）+，所以△MON面积的最大值为2+．一、选择题23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，可得不等式的解集；（2）由函数的零点与方程实数根的关系，以及根与系数的关系得出m+n＝﹣a，mn＝b；再利用绝对值与不等式证明出结论即可．解：（1）a＝2，b＝0，则f（x）＝x2+2x＞|4﹣x|，﹣x6﹣2x＜4﹣x＜x2+2x，解得不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞1}．∴|m+n|＝|a|，|mn|＝|b|．∴|m+n|+|mn|＜1．∴|m|﹣|n|+|mn|﹣1＜4，（|m|﹣1）（|n|+1）＜0．同理可证，|n|＜1．。