数学中的最优化问题
“数学中的最优化问题”研究性学习
课题名称：数学中的最优化问题
指导老师：蒋行彪
组员：刘露冬漫(组长) 杨瑶万昕张瑞
课题界定：
研究内容：
研究背景：
研究目的：
研究方法：
研究步骤：
研究困难：
预期结果：
研究过程：
（一）利用函数
1、一次函数型
例1、某城市有20个志愿青年，联合开发郊区50亩土地，这些土地适宜种蔬菜、棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表：
请你设计一种方案，使每亩地都种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值最大？并求出这个最大值。
分析：本题以经济问题为背景，若设种水稻、棉花、蔬菜分别为x亩、y亩、z亩，则由题意可将总产值
w= f（x、y、z）转化为w关于x的一次函数关系式，从而利用x的范围，求出w的最大值。
解：设种x亩水稻（0＜x≤50），y亩棉花（0≤y＜50），z亩蔬菜（0≤y＜50）时，总产值为w万元且每个劳力都有工作，则有
由②，③得y=30－ x，z=20+ x。代入①得w=－x + 27。
又依题意可得4≤x≤50，x∈N 。而函数 w关于x在[ 4，50 ]上单调递减。∴当x=4时，w取最大值26.4。此时y=24 ，z = 22，从而x=1，y=8，z=11，
故方案是：安排1人4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时，农作物总产值最大，且所有劳力都有工作，最大总产值为26.4万元。
2.二次函数型
例2、（2003年北京春季高考卷）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（１）当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
（２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少?
解：（１）当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车为 12辆，以租出了车88辆
答：能租出88辆。
（２）设每辆车的月租金定为x（3000≤x≤8000）元，则租赁公司的月收益为y元
由题得：y=（100-（x-3000）／50）×（x-150）-50×（x-3000）／50，
整理得：y=-
所以当时，最大，其最大值为
答：当每辆车的月租金定为元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是元．
3、分段函数型
例3、（2008年湖北卷理）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.
解：（Ⅰ）①当0＜t 10时，V(t)=(-t2+14t-40)
化简得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t 10，故0＜t＜4.
②当10＜t 12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,
化简得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t 12,故 10＜t 12.
综合得0 故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到. 由V′（t）= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去). 当t变化时，V′(t)与V (t)的变化情况如下表： 由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 【点评】（1）对于所建立的函数关系式是分段函数形式，求最值时其解法是先求在各段上的最大（小）值，然后进行综合比较，取其中较大（小）者，为所求最大（小）值。 4、三角函数型 例4、（09福建卷理）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 MNP=120 （I）求A , 的值和M，P两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最 长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法一： （Ⅰ）依题意，有，，又，。 当是， 又 （Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN= ，则0°< <60° 由正弦定理得 ,故 0°< <60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP= 即故 从而，即，当且仅当时，折线段道MNP最长 点评：（1）本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想. （2）本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① ；② ；③点N在线段MP的垂直平分线上等. 例5、（08江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 解：（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)， 则， 故 又，所以 所求函数关系式为 ②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以 所求函数关系式为 （2）选择函数模型①， 令得 当时，y是θ的减函数；当时，y是θ的增函数； 所以当时， 此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。 例6、（2009湖北卷文）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。 （Ⅰ）将y表示为x的函数： （Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m ，则 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a= , 所以y=225x+ . (II) .当且仅当225x= 时，等号成立. 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. . 点评：⑴1993年全国高考卷（总造价最低问题）与1998年全国高考卷（污水处理中杂质的质量分数最小问题）、2001年全国高考卷（纸张面积最小）、2004年全国（人教版）高考卷（种植面积最大）、2005年天津卷（视角最大）、2006年天津卷（费用之和最小）、2008湖北卷文（广告的面积最小）等都属于此类型题。 ⑵在运用均值不等式求函数最值时，一定要注意等号成立的条件：“一正、二定、三相等”。 4．利用导数求解 例7．(2009湖南卷理)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当 =640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 解（Ⅰ）设需要新建个桥墩， 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令，得，所以 =64 21世纪教育网 当0< <64时 <0，在区间（0，64）内为减函数； 当时， >0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在 =64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。 5．利用函数的单调性求解 例8．(2009山东卷理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知AC⊥BC, , 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）设 , 则 , ,所以 当且仅当即时取”=”. 下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0 , 因为0 9 m1m2<9×160×160所以 , 所以即函数在(0,160)上为减函数. 同理,函数在(160,400)上为增函数,设160 因为1600 所以 ,所以 即函数在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值, 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 【点评】（1）本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. （2）本题也可以利用导数求解（1）中的函数的最值。即：由（1）知 , 所以 ,令得 ,所以 , 即 ,当时, ,即所以函数为单调减函数, 当时, ,即所以函数为单调增函数. 所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值 （二）线性规划 1．一般的线性规划 2．整数规划 总结： 深入思考： 生活中数学最优化问题的研究 生活中数学最优化问题的研究 教学目标： 1）知识与技能：能够把理论与实践相结合，将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学中的最优化问题来解决。 2）能力目标： 1、运用已掌握的数学知识及其他相关的知识，将实际问题转化为数学问题去解决； 2、培养学生发现问题、分析问题和解决题的能力； 3、培养学生探索数学问题的能力。 3）情感目标： 1、通过主动发现、自主探索的过程，让学生有发现、有收获，从而获得成功的经验，激发学生的求知欲； 2、培养学生的合作精神和创新精神。 参与者特征分析 高中生相对来说独立性较强，具有一定的独立处理事情的能力，但他们生活经验不够，看待问题欠准确，往往会以点概面，不过高中生很容易接受新生事物，只要进行适当的引导，相信能使活动顺利开展。教学过程： 1、深入生活，从生活中取得课题 生活中处处充满着数学，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的同学会发现，牙膏的包装有大有小，其价格也不相同，你想过大小包与其价格之间的关系吗？你吃东西时，想过营养成份的搭配吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？烈日下，你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗？你在购买商品时，想过哪儿如何才能买到最便宜的吗？ 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等 将款全部付清的前提下， 商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择，何种方案最实惠。 分几次付清付款方法首期所付款额付款总额与一次性付款差额 3次购买后四个月第 一次付款，每四 个月付一次款 1775.8元5327元327元 6次购买后2个月第 一次付款，后每 两个月付一次 款，购买后12个 月是第6次付款 880.8 5285 285 12次购买后一个月第 一次付款，每一 个月付一次款 438.6元5263元263元 注规定月利率为0.8％，每月利息按复利计算 方案一：设每期所付款额x元，那么到最后一次付款时付款合部本利和为x×(1+1.0084+1.0088)元x×(1+) 另外，5000元商品在购买后12个月后的本利和为5000×1.00812元。得x×(1+1.0084+1.0088)＝5000×1.00812 解得x＝1775.8元 方案2： =5000×1.00812 x=880.8元 方案3： =5000×1.00812 x＝438.6元 不难得出第三种方案时间既宽松而且更实惠。 四、成本最低化问题 第1章 优化设计 Chapter 1 Optimization Design 1-1 优化设计 1-1-1 最优化 (optimize, optimization ) 所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。(Optimization deals with how to do things in the best possible manner) 结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 (Arithmetic ) 要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic ) 数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。(Optimization theory plus computer program) 1-1-3 优化设计 下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。 例1-1 设计一个体积为5cm 3的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗 材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。 分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。 传统设计方法: 首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3 5m 的设计要求，则有以下多种设计方案: 如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。 最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。 机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图 首先介绍一下我们选这个课题的原因： 1.数学是一门基础学科，学习数学可以培养我们思维的严谨性，对其他学科的学习有所帮助。使我们遇到问题能够冷静思考，并提高探究能力。 2.我们的指导老师平易近人（这也是我们选此课题的一个重要原因之一）。那么，什么是最优化问题呢？ 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。 通俗的讲，就是如何使得一件事情做到最好的问题。比如，教师怎么达到最好的教学效果，商人如何获得最大的利润，穷学生每天如何吃饭花最少的钱等等。当然要达到上面的目的都有一定的限制条件:教师的教学时间有限；商人不能偷工减料以次充好，不能不给工人少发工资等等；穷学生不能不考虑营养的平衡，食物的量应该足够等等。 在数学里，最优化问题还是一个求最大或最小值的问题，例子里讲到的限制条件就是数学里的约束条件。问题的解决首先是建立一个在一定约束条件下相关变量（比如穷学生吃饭里，每种食物的单价，需要的分量）与所要追求的目标函数（所要花的饭钱）的模型，接下来就是求解使得模型取得极值时相关变量的值（选择哪几种食物，各吃多少分量）。 用我自己的一句话来概括，就是“走一条最简便、最高效率的路；用最短的时间，做最多的有用功。” 针对"商品销售最优化"这一环节，我们还设计了一份问卷调查,分析如下: 总体分析:商家最优化意识不够强,统筹思想有待提高,还未能将数学最优化很好的运用到生产实践中. 我们遇到的困难是: 1.所学的数学知识有局限性，还不够全面 2.数据的整理、分析存在局限性 3.小组的积极性还未能得到充分的调动 我们的解决方法是: 1.向指导老师请教 . . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划 1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000 一. 管理科学的定义 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科. (1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤. （1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所 要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。 （2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。建模过程是一项创造性的 工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。 （3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。要在计算机上运行数学程序对模型进行求 解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。有时要自己编写程序。 （4） 测试模型并在必要时修正。在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能 准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。 （5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。对模型求解并分析后，将相应的最优方案提 交给管理者，由管理者做出决策。管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。 （6） 帮助实施管理决策。建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督 决策方案的实施。 新问题, 新模型, 新算法, 新应用. 三.优化问题的数学模型 1212max(min)(,, ,) (,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m =≤?? =? 由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划 （1） max 0 0 Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数 其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ?????，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。 当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。 小学四年级数学《最优化问题》 专题分析： 在日常生活和工作中，我们经常会遇到下雨的问题。完成一件事情怎样合理安排才能做到用时最少，效果最好。这类问题在数学中称为统筹问题，解决问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。有时，我们还会遇到求“费时最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些问题往往可以从极端情况去探索它的最大（小）值。在数学中称为极值问题。统筹问题和极值问题实际上都属于最优化问题。 思考角度：1、用时最省：把两件或三件以上的事同时做。2、费时最省：费时少者优先。3、面积最大：图形越正，面积越大。4、乘积最大：两数相差越小，乘积越大。 入门题： 1、用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个需要2分钟，规定每个饼的正反面各需1分钟。问煎3个饼至少需要几分钟？ 2、妈妈让小明给客人捎水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟？ 3、五（一）班赵明、孙勇、李佳三位同学到达学校卫生室等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位校医，问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的总时间最短？需要几分钟？ 4、用18厘米的铁丝围成各种长方形，要使长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少平方厘米？ 5、用3 ～～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 练习题： 1、烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只烤1分钟。即烤一块面包共需3分钟，小丽用烤面包的架子，一次能放两块面包。她每天早上要吃3块面包，至少需要几分钟？ 2、小虎早晨完成几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶里需要1分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟，为了尽快完成这些事，怎样安排才能使用的时间最少？最少需要多少分钟？ 3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务。甲10分钟能谈完，乙16分钟能谈完，丙8分钟能谈完，怎样 §3.6 优化问题与规划模型 与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力 1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为 110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型 I : 设决策变量：种植蔬菜 x 1亩, 棉花 x 2 亩, 水稻 x 3 亩， 求目标函数 f=110x 1+75x 2 +60x 3 在约束条件x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法 : 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解 最优化问题 一、考点、热点回顾 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。 二、典型例题 1、用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？ 2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？ 3、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 4、用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？ 5、用3 ~ 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 三、课堂练习 1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？ 2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？ 3、小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？ 4、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？ 小学四年级数学最优化 问题 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 小学四年级数学《最优化问题》 专题分析： 在日常生活和工作中，我们经常会遇到下雨的问题。完成一件事情怎样合理安排才能做到用时最少，效果最好。这类问题在数学中称为统筹问题，解决问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。有时，我们还会遇到求“费时最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些问题往往可以从极端情况去探索它的最大（小）值。在数学中称为极值问题。统筹问题和极值问题实际上都属于最优化问题。 思考角度：1、用时最省：把两件或三件以上的事同时做。2、费时最省：费时少者优先。3、面积最大：图形越正，面积越大。4、乘积最大：两数相差越小，乘积越大。 入门题： 1、用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个需要2分钟，规定每个饼的正反面各需1分钟。问煎3个饼至少需要几分钟 2、妈妈让小明给客人捎水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分 钟，拿茶叶需要2分钟，为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟 3、五（一）班赵明、孙勇、李佳三位同学到达学校卫生室等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位校医，问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的总时间最短需要几分钟 4、用18厘米的铁丝围成各种长方形，要使长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少平方厘米 5、用3 ～～ 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 练习题： 1、烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只烤1分钟。即烤一块面包共需3分钟，小丽用烤面包的架子，一次能放两块面包。她每天早上要吃3块面包，至少需要几分钟 2、小虎早晨完成几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶里需要1分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟，为了尽快完成这些事，怎样安排才能使用的时间最少最少需要多少分钟 3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务。甲10分钟能谈完，乙16分钟能谈完，丙8分钟能谈完，怎样安排三 在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件 1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 生活中数学最优化问题的研究 教学目标： 1）知识与技能：能够把理论与实践相结合，将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学中的最优化问题来解决。 2）能力目标： 1、运用已掌握的数学知识及其他相关的知识，将实际问题转化为数学问题去解决； 2、培养学生发现问题、分析问题和解决题的能力； 3、培养学生探索数学问题的能力。 3）情感目标： 1、通过主动发现、自主探索的过程，让学生有发现、有收获，从而获得成功的经验，激发学生的求知欲； 2、培养学生的合作精神和创新精神。 参与者特征分析 高中生相对来说独立性较强，具有一定的独立处理事情的能力，但他们生活经验不够，看待问题欠准确，往往会以点概面，不过高中生很容易接受新生事物，只要进行适当的引导，相信能使活动顺利开展。教学过程： 1、深入生活，从生活中取得课题 生活中处处充满着数学，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的同学会发现，牙膏的包装有大有小，其价格也不相同，你想过大小包与其价格之间的关系吗？你吃东西时，想过营养成份的搭配吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？烈日下，你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗？你在购买商品时，想过哪儿如何才能买到最便宜的吗？ 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等问题，这些问题通常称为优化问题。现如今最优化问题备受关注,已渗透到生产、管理、商业、 军事、决策等各领域。对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与数学最优化问题有关！这堂课让我们共同发现并研究这些数学最优化问题吧！ 2、结合生活、联系社会实际选择课题 解决最优化问题是一个发现、探索的过程，也是我们亲身感受问题、寻找解题策略，实现再创造以及体验数学价值的过程。在这个过程中，肯定我们的见解不全相同，就让我们彼此关心、合作探讨、互相评价、取得共识、达到群体算法多样化，获得探索成功的快乐吧。使不同的人在数学活动中得到不同的收获，让我们每个人都能有所发展、有所创新，提高创造思维水平高，丰富实践经验，增强探索能力。下面我就列举几个生活中数学最优化问题的例子吧。 一、商品价格最优化问题 在生活中，有许多生活必需品需要我们购买，就如妈妈要购买一台电磁炉，但如何才能买到最实惠的呢？于是我们开始为妈妈出谋划策，前往各大超市调查这件商品的价格。我们将收集的信息列成下表： 各大超市电磁炉价目表： 从上表我们不难发现天天新最便宜，如果只从价格方面考虑我们不难得出结论，妈妈在天天新买最合算。 上述这个问题是一个很直接也很简单的数学最优化问题，我们收集信息——分析信息——得出结论，加以使用数学最为简单的加减运算，就为妈妈节省了一笔钱。 二、预算最优化问题 在研究过程中，我们不仅需要动脑，更需要调查行动。学习了长方体的表面积后，让我们来测算一下粉刷教室的费用。 我们首先动手测定教室的粉刷面积，了解市场上涂料价格如何，需要多少涂料，粉刷的工钱如何计付，明确了这些因素以后我们就能对粉刷教室的费用做个初步的结算。 三、分期付款最优化问题 现在让我们来完成一道较为复杂的数学最优化问题，它与时下流行的分期付款的计算有关，为了更加迎合消费者的需要，开发商往往会提出几种销售方案供顾客选择，如何选最优的销售方案，也是我们研究的关键所在。顾客购买一件售价为5000元的商品时，那在一年内将款全部付清的前提下， 商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择，何种方案最实惠。 最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为 2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策 变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成： “数学中的最优化问题”研究性学习 课题名称：数学中的最优化问题 指导老师：蒋行彪 组员：刘露冬漫(组长) 杨瑶万昕张瑞 课题界定： 研究内容： 研究背景： 研究目的： 研究方法： 研究步骤： 研究困难： 预期结果： 研究过程： （一）利用函数 1、一次函数型 例1、某城市有20个志愿青年，联合开发郊区50亩土地，这些土地适宜种蔬菜、棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表： 请你设计一种方案，使每亩地都种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值最大？并求出这个最大值。 分析：本题以经济问题为背景，若设种水稻、棉花、蔬菜分别为x亩、y亩、z亩，则由题意可将总产值 w= f（x、y、z）转化为w关于x的一次函数关系式，从而利用x的范围，求出w的最大值。 解：设种x亩水稻（0＜x≤50），y亩棉花（0≤y＜50），z亩蔬菜（0≤y＜50）时，总产值为w万元且每个劳力都有工作，则有 由②，③得y=30－ x，z=20+ x。代入①得w=－x + 27。 又依题意可得4≤x≤50，x∈N 。而函数 w关于x在[ 4，50 ]上单调递减。∴当x=4时，w取最大值26.4。此时y=24 ，z = 22，从而x=1，y=8，z=11， 故方案是：安排1人4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时，农作物总产值最大，且所有劳力都有工作，最大总产值为26.4万元。 2.二次函数型 例2、（2003年北京春季高考卷）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． （１）当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? （２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少? 解：（１）当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车为 12辆，以租出了车88辆 答：能租出88辆。 （２）设每辆车的月租金定为x（3000≤x≤8000）元，则租赁公司的月收益为y元 由题得：y=（100-（x-3000）／50）×（x-150）-50×（x-3000）／50， 整理得：y=- 所以当时，最大，其最大值为 答：当每辆车的月租金定为元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是元． 3、分段函数型 例3、（2008年湖北卷理）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）. 解：（Ⅰ）①当0＜t 10时，V(t)=(-t2+14t-40) 化简得t2-14t+40>0, 解得t＜4，或t＞10，又0＜t 10，故0＜t＜4. ②当10＜t 12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50, 化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜，又10＜t 12,故 10＜t 12. 综合得0 教学目标： 1）知识与技能：能够把理论与实践相结合，将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学中的最优化问题来解决。 2）能力目标： 1、运用已掌握的数学知识及其他相关的知识，将实际问题转化为数学问题去解决； 2、培养学生发现问题、分析问题和解决题的能力； 3、培养学生探索数学问题的能力。 3）情感目标： 1、通过主动发现、自主探索的过程，让学生有发现、有收获，从而获得成功的经验，激发学生的求知欲； 2、培养学生的合作精神和创新精神。 参与者特征分析 高中生相对来说独立性较强，具有一定的独立处理事情的能力，但他们生活经验不够，看待问题欠准确，往往会以点概面，不过高中生很容易接受新生事物，只要进行适当的引导，相信能使活动顺利开展。教学过程： 1、深入生活，从生活中取得课题 生活中处处充满着数学，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的同学会发现，牙膏的包装有大有小，其价格也不相同，你想过大小包与其价格之间的关系吗？你吃东西时，想过营养成份的搭配吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？烈日下，你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗？你在购买商品时，想过哪儿如何才能买到最便宜的吗？ 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等问题，这些问题通常称为优化问题。现如今最优化问题备受关注,已渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各领域。对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与 数学最优化问题有关！这堂课让我们共同发现并研究这些数学最优化问题吧！ 2、结合生活、联系社会实际选择课题 解决最优化问题是一个发现、探索的过程，也是我们亲身感受问题、寻找解题策略，实现再创造以及体验数学价值的过程。在这个过程中，肯定我们的见解不全相同，就让我们彼此关心、合作探讨、互相评价、取得共识、达到群体算法多样化，获得探索成功的快乐吧。使不同的人在数学活动中得到不同的收获，让我们每个人都能有所发展、有所创新，提高创造思维水平高，丰富实践经验，增强探索能力。下面我就列举几个生活中数学最优化问题的例子吧。 一、商品价格最优化问题 在生活中，有许多生活必需品需要我们购买，就如妈妈要购买一台电磁炉，但如何才能买到最实惠的呢？于是我们开始为妈妈出谋划策，前往各大超市调查这件商品的价格。我们将收集的信息列成下表： 各大超市电磁炉价目表： 从上表我们不难发现天天新最便宜，如果只从价格方面考虑我们不难得出结论，妈妈在天天新买最合算。 上述这个问题是一个很直接也很简单的数学最优化问题，我们收集信息——分析信息——得出结论，加以使用数学最为简单的加减运算，就为妈妈节省了一笔钱。 二、预算最优化问题 在研究过程中，我们不仅需要动脑，更需要调查行动。学习了长方体的表面积后，让我们来测算一下粉刷教室的费用。 我们首先动手测定教室的粉刷面积，了解市场上涂料价格如何，需要多少涂料，粉刷的工钱如何计付，明确了这些因素以后我们就能对粉刷教室的费用做个初步的结算。 三、分期付款最优化问题 现在让我们来完成一道较为复杂的数学最优化问题，它与时下流行的分期付款的计算有关，为了更加迎合消费者的需要，开发商往往会提出几种销售方案供顾客选择，如何选最优的销售方案，也是我们研究的关键所在。顾客购买一件售价为5000元的商品时，那在一年内将款全部付清的前提下， 商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择，何种方案最实惠。 C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于 n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1) （一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行 )。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2. xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2) 第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(生活中数学最优化问题的研究
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