高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》难题汇编及答案

【高中数学】数学《数列》期末复习知识要点

一、选择题

1．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ）

A ．

23

B ．

32

C ．23

-

D ．32

-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d .

101010,70a S ==Q ，11910109

10702a d a d +=??

∴??+=??

解得2

3

d =

. 故选：A . 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.

2．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．

34

B ．

23

C ．

12

D ．

13

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】

∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2

S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551

2

S S S -=-， ∴()151010551

1 24

S S S S S -=--=，

∴15510513 44

S S S S =+=， ∴1553:4

S S =． 故选A ． 【点睛】

在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．

3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）

A ．18

B ．24

C ．36

D ．72

【答案】C 【解析】 【分析】

由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622

a a a a

S ++=?=?可得结果. 【详解】

∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，

∴1634657

66636222

a a a a S +++=?=?=?=， 故选C. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ?==，则数列{}

(1)n

n a -的前40

项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80

【答案】B 【解析】 【分析】

先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式

作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}

(1)n

n a -，两两组

合可求新数列前40项的和. 【详解】

依题意，()133362

a a S +=

= ，

∴134a a +=，①

∵3422128a a ?=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，

∴{}

(1)n

n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++???+-+==，

故选：B . 【点睛】

本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题

5．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为

n S ，则下列结论正确的是（ ）

A ．201920202S a =+

B ．201920212S a =+

C ．201920201S a =-

D ．201920211S a =-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为

1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，

所以201920211S a =-，选D. 【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

6．已知数列{}n a 中，12a =，2

11n n n a a a +=-+，记12111n n

A a a a =

++?+，

12111

n n

B a a a =

????，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．201920191

2

A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】

根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】

注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2

1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．

（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=

+=，2019212111

6

B A a a <=?=， 所以2019201912

A B ->

. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：

（1）2

111211111111

111

11n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+?

=

-?++???+=----． （2）211n n n a a a +=-+等价于

2

111

1

n n n

a a a +=

--， 所以111

1n n n a a a +-=-， 故12111111

n n a a a a +????=-， 于是12121111111n n a a a a a a ??

????

+++?+= ???

， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.

7．已知数列{}n a 的通项公式是2

21sin 2n n a n π+??

=

???

，则12312a a a a +++???+=（ ） A ．0 B ．55

C ．66

D ．78

【答案】D 【解析】 【分析】

先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+??

???

的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】

解：由题意得，当n 为奇数时，

213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+?????

?=+=+==- ? ? ??????

?，

当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+???

?=+==

? ????

?

所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2

n a n =，

所以12312a a a a +++???+

22222212341112=-+-+-???-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+???+-

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+???++- 12341112=++++???++ 121+122

?=

（）

78= 故选：D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

8．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2

1q >，然后再根据充分条件和

必要条件的判断方法即可得到结果．

【详解】

由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，

若53a a >，则2

33a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，

所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.

9．数列{}n a 的通项公式为(

)n a n c n N *

=-∈．则“2c <”是“{}n

a 为递增数列”的（ ）

条件． A ．必要而不充分 B ．充要

C ．充分而不必要

D ．即不充分也不必要

【答案】A 【解析】 【分析】

根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1

2

c n <+

，由此得到若{}n a 是递增数列，则3

2c <

，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2

2

1n c n c +->-，化简得：12

c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32

c ∴<， 则2c

{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ?<，

∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．

故选：A . 【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

10．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ）

A ．8

B ．9

C ．8或9

D ．8.5

【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】

设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12

=

． ∴a n ＝2561

1()

2

n -?=29﹣n ．

T n ＝28

?27

?……?2

9﹣n

＝2

8+7+…+9﹣n

()217

289[)89242

2

22

n n n ??--- ?+-?

?==．

∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．设数列是公差

的等差数列，

为前项和，若，则

取得最

大值时，的值为

A ．

B ．

C ．或

D ．

【答案】C 【解析】

，进而得到

，即

，

数列

是公差

的等差数列，所以前五项都是正数，

或时，

取最大值，故选C.

12．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10

6

S S 等于（ ） A ．-3 B ．5

C ．-31

D ．33

【答案】D 【解析】 【分析】

先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公

式，即可求解10

6

S S 的值，得到答案.

【详解】

由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，

可得3133663

16(1)1121(1)1118

1a q S q q a q S q q q

---====--+-，解得2q =， 所以101105

1055

16

(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q

---===+=---. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

13．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??

=

+ ???

，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ）

A ．135

B ．141

C ．149

D ．155

【答案】D 【解析】 【分析】

利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】

解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??=+ ???

，*n N ∈，

所以当1n =时，得11a =，

当2n ≥时，11

1111

[()]22n n n n n n n S a S S a S S --??=+=-+

?-?? 所以11

1

n n n n S S S S ---=

-，

所以2

=n S n ，

因为各项为正项，所以=n S

因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,

[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L ,

[]363740[][]6S S S ====L .

所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155??????， 故选：D 【点睛】

此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.

14．在递减等差数列{}n a 中，2

1324a a a =-．若113a =，则数列1

1

{

}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．

24143

B ．

1143

C ．

2413

D ．

613

【答案】D 【解析】

设公差为,0d d < ，所以由2

1324a a a =-，113a =，得

213(132)(13)42d d d +=+-?=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ，

因为

111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +??

????

的前n 项和等于

1111116

()()213213213261313

n --≤--=-?- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中

间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +??

????

(其中{}n a 是各项均不为零的等差数

列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类

隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或

1

(2)

n n +.

15．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】

因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得

111242a a q a q >+,化简后可得()

2

1210q a -<.

因为(

)

2

2

1

0q -≥

所以不等式的解集为10a < 若210n S -<

当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.

16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21

C ．63-

D ．21

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得

21112163S a ==-.

【详解】

∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】

此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.

17．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）

A ．1007

B ．1009

C ．0

D ．-1

【答案】A 【解析】 【分析】

按照程序框图模拟运行即可得解. 【详解】

1i =，1

112

x =

=--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x =

=--， 11122

S =-+=-；3i =，1

2

112x ==-，

13222S =-+=；4i =，1112x ==--，

31

(1)22

S =

+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ?

?

=-++?-= ??

?

. 故选A 【点睛】

本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则

122016

111

a a a +++=L （ ）

A ．

2015

2016 B ．

4032

2017

C ．

4034

2017

D ．

2016

2017

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；

接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211n

a n n n n ??==- ?++??，由此就可求得122016

111

a a a +++L 的值. 【详解】

因为111n n n a a a n a n +=++=++， 所以11n n a a n +-=+， 用累加法求数列{}n a 的通项得：

()()1211n n n a a a a a a -=+-+?+-

()

1122

n n n +=++?+=

， 所以()1211211n a n n n n ??==- ?++??

， 于是1232016111111111212222320162017a a a a ?????? +++?+=-+-+?+-? ? ??????? 121201*********??=

=- ???

. 故选：B. 【点睛】

本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.

19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >

④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >

其中正确命题的个数是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】

先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】

Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，

∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，

∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，

12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.

故选：B ． 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

20．设函数()2

21

x

f x =

+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+???++???++的值为（ ） A ．9 B ．11

C ．

92

D ．

112

【答案】B 【解析】 【分析】

先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值. 【详解】

()2

21

x f x =

+Q ，()()()

22222212121221

x

x x x x x f x f x --?∴+-=+=+

++++()

2122222211221

x

x x x x +?=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+???++???++，

则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-L L ，

两式相加得()()2115511222S f f ??=?+-=?=??，因此，11S =. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．