二次函数的综合应用
二次函数的综合运用
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
二次函数与三角函数的综合应用
二次函数与三角函数的综合应用在数学领域中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。
它们具有广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨二次函数和三角函数的综合应用，并介绍一些相关实例。
一、二次函数的应用1. 抛物线的建模二次函数常用来建模和描述抛物线的形状。
具体而言，对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，它的图像就是一个抛物线。
通过调整这些常数的值，我们可以改变抛物线的位置、方向和形状。
这种模型在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用。
2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也非常常见。
例如，考虑一个开口朝下的抛物线，我们希望找到其顶点来确定最小值。
这种问题在优化领域中经常出现，并且可以通过求解二次函数的导数来得到最优解。
最优化问题的应用广泛，包括在物流规划、金融投资和生产调度等方面。
3. 曲线拟合二次函数还可以用于曲线拟合。
当我们有一组数据点，希望找到一个函数来最好地拟合这些数据时，二次函数是一个常用的选择。
通过最小二乘法，我们可以找到一个二次函数，使其在数据点附近具有最小的误差。
这种方法在数据分析、统计学和机器学习等领域中非常重要。
二、三角函数的应用1. 几何建模三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，三角函数可以用来计算三角形的边长、角度和面积。
利用正弦定理、余弦定理和正切定理等，我们可以解决各种与三角形相关的问题。
此外，三角函数还常用于绘制和描述各种形状的图像，如正弦曲线和余弦曲线。
2. 振动和波动三角函数在振动和波动的研究中也发挥着重要的作用。
例如，正弦函数可以用来描述周期性振动的变化。
通过调整振幅、频率和相位等参数，可以精确地描述各种振动现象，如声音和光的波动。
这种应用在物理学、声学和电子工程等领域中非常常见。
3. 信号处理三角函数在信号处理中起着关键的作用。
例如，调制技术中常用到的调幅和调频都可以通过三角函数来描述和计算。
此外，傅里叶变换等数学工具也是基于三角函数的理论基础。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点。
1) 求$c$的取值范围；2) 确定直线$y=cx+l$经过的象限，并说明理由。
2.已知函数$y=mx-6x+1$（$m$是常数）。
⑴证明：不论$m$为何值，该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与$x$轴只有一个交点，求$m$的值。
考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$。
1）求此二次函数的解析式；2）证明：3）若是线段$AB$的图像经过点$C$，且与$x$轴交于点$D$（其中$D$是原点）；二次函数图像及轴于$AB$两点，试问：是否存在这样的点，使$y$的坐标最大；若存在，请求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(1,0)$,$B(-3,0)$两点。
1）求该抛物线的解析式；2）设（1）中的抛物线交$y$轴与$C$点，在该抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使得$\triangle QAC$的周长最小？若存在，求出$Q$点的坐标；若不存在，请说明理由。
3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点$P$，使$\triangle PBC$的面积最大。
若存在，求出点$P$的坐标及$\triangle PBC$的面积最大值。
若没有，请说明理由。
考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线$y=x-3$与$x$轴交于$A$点，交$y$轴于$B$点，过$A$、$B$两点的抛物线交$x$轴于另一点$C$。
⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangleABQ$是等腰三角形？若存在，求出符合条件的$Q$点坐标；若不存在，请说明理由。
7、如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，$OA=1$，$OC=4$，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A$，$B$两点，抛物线的顶点为$D$。
二次函数的应用题
二次函数综合应用1.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每一个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x元。
（1）设一天定住的房间数为y间，写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数解析式（3）一天定住房价多少个时，宾馆的利润最大？最大利润为多少元？2.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？3.某商厦将进货价30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。
调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。
（1）求出销售量y个与销售单价x元之间的函数解析式（2）求出销售这种书包获得利润z元与销售单价x元之间的函数关系式（3）若商厦规定销售这种书包的单价不高于62元，且商厦的进货成本不高于12000元，当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？26．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解决下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x间的函数关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月利润达到8000元，销售单价应为多少？4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x图15. 我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单6. 随着开发区近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
专题12二次函数的应用综合问题
专题12二次函数函数的应用综合问题[例1]据统计每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一，行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h ），对这种汽车的刹车距离进行了测试，测得的数据如下表：刹车时车速()km/h 0510********刹车距离()m 00.10.30.61 1.52.1（1）在如图所示的平面直角坐标系中以刹车时的速度为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象．（2）观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式．（3）一辆该型号的汽车在福银高速上发生了交通事故，现场测得刹车距离为32.5m ，请推测该汽车的刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是否超速行驶？（假定该路段最高限速110km/h ）[例2]（2021·全国·九年级专题练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该原料药的月销售量为P （单位：吨），P 与t 之间存在如图所示的函数关系，其图像是函数P =1204t +（0＜t ≤8）的图像与线段AB 的组合；设第t 个月销售该原料药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：Q =28,01244,1224t t t t +<≤⎧⎨-+<≤⎩（1）当8＜t ≤24时，求P 关于t 的函数解析式；（2）设第t 个月销售该原料药的月毛利润为w （单位：万元）经典例题①求w关于t的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．[例3]（2021·江苏·无锡市港下中学九年级阶段练习）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x（元/件）5565销售量y（件/天）9070（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．[例4]（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．（1）图①中，CG＝______cm，图②中，m＝______；（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．[例5]．（2021·全国·九年级专题练习）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？【例6】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？培优训练1．（2021·湖南郴州·九年级阶段练习）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒)与每盒售价x（元)之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元)最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？2．（2021·云南·云大附中九年级阶段练习）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）．（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是元；（收益＝售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大收益是多少？说明理由．3．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由；（3）现对该无人机使用减速伞进行短距离着陆实验，要求无人机触地同时打开减速伞（开伞时间忽略不计），若减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离20a（单位：m），无人机必须在200（单位：m）的短距跑道降落，请直接写出a的取值范围为．4．（2021·江西·九年级阶段练习）2021年新冠肺炎依然在肆虐，“江西加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表：价格x（元…30405060…/袋）销售量y…5432…万袋）同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计50万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，写出y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式；（2）求出该公司销售这种口罩的净得利润（万元）与销售价格x（元/袋）之间的函数解析式，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？5．（2021·贵州·遵义市第十二中学九年级期中）疫情从未远去，据云南省卫健委通报，连续3天，云南省的本土日新增确诊病例均超过10例，从3月30日到4月6日，短短一周时间，本轮疫情中的本土确诊病例累计已达65例，为了抗击“新冠”疫情后期输入，我省的医疗物资供给正常，某药店销售每瓶进价为40元的消毒液，市场调查发现，每天的销售量(y瓶)与每瓶的售价(x元)之间满足如图所示的函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）政府部门规定每瓶消毒液售价不得超过55元，当每瓶的销售单价定为多少元时，药店可获得最大利润？最大利润是多少？6．（2021·福建闽侯·九年级期中）如图，四边形ABCD 是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上（不与点B 重合），点G 在AD 的延长线上，3DG BE =，设BE 的长为x 米，改造后花圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）当改造后花圃AEFG 的面积与原正方形ABCD 花圃的面积相等时，求BE 的长；（2）当x 为何值时，改造后的花圃AEFG 的面积最大?并求出最大面积．7．（2021·甘肃·临泽二中九年级期中）如图，在直角坐标系中，Rt OAB V 的直角顶点A 在x 轴上，4OA =，3AB =．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动;同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动，当两个动点运动了x 秒(04)x <<时，解答下列问题：（1）求点N 的坐标(用含x 的代数式表示)（2）设OMN 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．8．（2021·四川·南部县第二中学九年级阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球于点C，P、A两点相移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，AC PC距P为原点，直线PC为x轴建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．（1）求水平距离PC的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A，并说明理由．9．（2021·湖南凤凰·九年级期中）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元6 6.577.5/斤千克）销售量y（千1000900800700克）（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？10．（2021·浙江·九年级期中）中国小将杨倩在2021东京奥运会射击比赛中，拿下中国第一枚金牌．某网店顺势推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式．（2）当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出160元给希望工程，为了保证捐款后每天利润不低于3800元，求该纪念T恤衫的销售单价x的取值范围．11．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在荆州市“创建国家文明城市”活动中，好邻居超市购进一批“创文”用的劳动工具，每件成本价6元，每件销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表：x（元）．．．78910．．．y（件）．．．150140130120．．．（1）若每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：求y与x的关系式；（2）设超市销售这种劳动工具每天获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）若超市销售这种劳动工具每天获得的利润最多不超过600元，最低不低于480元，那么超市该如何确定销售单价的波动范围？画出草图，结合图像直接写出销售单价x的取值范围．12．（2021·山西孝义·九年级期中）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA ＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？13．（2021·河南·南阳市第十三中学校九年级阶段练习）南阳某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？14．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当PQ⊥BD时，求t的值；（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当PQ＝PM时，求t的值；（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：时间t /天231020日销售量m /件96948060这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：y ＝14t +30（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）求出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（a ＜6）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围．16．（2021·福建省南平第一中学九年级期中）经调查某商品在某月30天内的第x 天的销售数量y （单位：件）关于x 的函数解析式为48(020)5216(2030)5x x y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，销售价格p （单位：元/件）关于x 的函数关系如图所示，设第x 天的销售额为w （单位：元），回答下列问题：（1）第20天的销售量为________件，销售价格为________元/件，销售额为________元；（2）求p与x之间的函数解析式；（3）这个月第几天，该商品的销售额w最大，最大销售额为多少？17．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．18．某种食品的销售价格y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线）．（1）已知6月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润（利润＝售价﹣成本）是多少？（2）求出售这种食品的每千克利润P与销售月份x之间的函数关系式；（3）哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由．19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．20．为了探索函数y＝x+1（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…14131212345…y…17410352252103174265…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1•x2＝1，则y1＝y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？。
二次函数综合阅读应用题
二次函数综合运用一、解答题1．根据以下素材，探索完成任务．素材1一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA ，通过调节喷水装置OA 的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为1.6米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．素材2从喷泉口A 喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A 离地面高度为058．米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.2米处离地面最高，高度为0.6米．问题解决任务1建立模型以点O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．任务2利用模型为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A 升高的最小值．任务3分析计算喷泉口A 升高的最大值为1.02米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．2．如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，运动员从点()0,10A 起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度()m y 与水平距离()m x 满足二次函数图1的关系．(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下表：水平距离()m x 0132竖直高度()m y 1010254根据上述数据，求出y 关于x 的关系式；(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A 到入水点的水平距离OD 的长；(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B 时距水面的高度为()m n ，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离()m h 与时间()s t 之间满足25h t n =-+．信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.4s 的时间才能完成极具难度的270C 动作．请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？3．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数2441y ax ax a =-+++图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，心形叶片的对称轴直线2y x =+与坐标轴交于A ，B 两点，抛物线与x 轴交于另一点C ，点C ，1C 是叶片上的一对对称点，1CC 交直线AB 于点G ．求叶片此处的宽度1CC ；【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数2441y ax ax a =-+++图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD （点P 为叶尖）与水平线的夹角为45︒，求幼苗叶片的长度PD ．探究汽车刹车性能“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．素材1刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．素材2汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：刹车后汽车行驶时间()s t1234刹车后汽车行驶距离()my27486372素材3该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系²y at bt=+（0a≠、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．任务一：求y关于t的函数解析式．任务二：汽车司机发现正前方90m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．素材1如图1是某足球场的一部分，球门宽7m DE CF ==，高 2.5m CD EF ==．小梅站在A 处向门柱CD 一侧发球，点A 正对门柱CD （即AC CF ⊥），24m AC =，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在AC 正上方．此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离15m AB =时，球达到最高点Q ，此时球离地面4.5m ．以点A 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系．素材2如图3，距离球门正前方6m 处放置一块矩形拦网HGMN ，拦网面垂直于地面，且GH CF ∥（GH 足够长），拦网高4m HN =．任务1求足球运动的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系式．任务2未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C 点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．任务3放置拦网后，小梅站在A 处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在AF 正上方，判断足球能否越过拦网，在点E 处进入球门．注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．6．【项目式学习】项目主题：安全用电，防患未然．项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约80%的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在AOB 中，OA OB =，喷射角60AOB ∠=︒，地面有效保护直径AB 为O 距离地面的高度OC 为________米；任务二：模型构建由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形OABC ，创新小组以点O 为坐标原点，墙面OA 所在直线为y 轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M 安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即3OA =米，2AM =米，水喷射到墙面D 处，且1OD =米．①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；②按照此安装方式，喷淋头M 的地面有效保护直径OE 为_______米；任务三：问题解决（3）已知充电车棚宽度OC 为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M 的同一水平线AB 上加装一个喷淋头N ，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N 距离喷淋头M 至少________米．7．【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心．【探究思考】有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为200m ，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x 轴，枪膛口竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）满足函数关系()()5120010y x n x =---，已知点P 为该枪枪膛口，其低于瞄准线0.06m （即0.06m OP =）．（1）求出n 的值，并解释点(),0N n 的实际意义．（2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为120m 处，若射击靶半径为0.1m ，问子弹能否命中靶面？请说明理由．【理解应用】如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为()10,0A ，()85,0C ，点()15,0.05B 是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离75m 处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离50m 处以10m/s 的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方0.2m 和0.05m 处（该移动电子靶靶面半径大于0.2m ），从电子靶启动到命中第二枪共用时6s ，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计）8．阅读与思考下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．⨯年⨯月⨯日星期六“用函数思想解决生活中的实际问题”五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过200m的蔬菜种植基地，于是我也积极程．今天、爸爸计划在农村老家用60m栅栏围建一块5参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法：办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为m x，m y，可得y与x的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形．办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、S=时，设矩形的其中一条边长为m x，矩形的面积为S，根据题意，可得到二次函数，当200通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形．任务：(1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可）A．方程思想B．统计思想C．函数思想D．数形结合思想(2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______．(3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由．9．根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．已知摇绳同学之间水平距离为6m ，绳子最高点为2m ，摇绳同学的出手高度均为1m ，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高()m 1.70 1.73 1.75 1.80人数2241素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的起跳高度在0.25m 及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的1920．问题解决任务1：确定长绳形状，请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．。
2023年中考复习大串讲初中数学之 二次函数与位置关系的综合应用 课件
已知条件
分析
直线l：y＝kx＋1－k与抛物线 解析式联立求出点B，C的坐标
交于点B，C
直线BD垂直于直线y＝－1， 得到点D的坐标
垂足为点D
【变式练习】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(0，2)． (1)若点(－ 2 ，0)也在该抛物线上，求a，b满足的关系式．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，∴c＝2. 又∵点(－ 2 ，0)也在该抛物线上， ∴(－ 2 )2a＋(－ 2 )b＋2＝0， ∴2a－ 2 b＋2＝0(a≠0)．
垂足分别为P，Q，
∴∠MPE＝∠EQN＝90°，PxM，－74，QxN，－74， ∴MP＝yM＋74，PE＝52－xM，EQ＝xN－52，QN＝yN＋74， ∠ENQ＋∠NEQ＝90°，
∴tan∠MEP＝MPEP＝52yM－＋xM74＝（xM52－－1x）M 2－94＝－xM＋12，
tan∠ENQ＝QEQN＝xyNN＋－7452＝（xNx－N－1）522－94＝xN＋1 12，
证明：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，－1)， y＝x2－2x＋1，
联立 y＝kx＋1－k，
消去y，得x2－(2＋k)x＋k＝0，
∵Δ＝[－(2＋k)]2－4k＝k2＋4>0，
∴该方程有两个不等的实数根．
设x1<x2，则x1＝
k＋2－ 2
k2＋4，x2＝k＋2＋2
k2＋4 .
∵直线l过定点(1，1)，∴x1<1<x2.
∵x1≠x2，∴x1x2＝－2，即 x2＝－x21，
∴点N的坐标为 (－x21，－x421＋2)． 如答图2，作点N关于y轴对称的点N′， ∴点N′也在抛物线上，点N′的坐标为 x21，－x421＋2. ∵点P是点O关于点A的对称点，
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典例精讲
（ 2014年考查3次，2013年考查2次，2012年考查4次）
称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对 称，正确，故本选项不符合题意；
类型三 二次函数图象性质综合题 一、二次函数图象与性质
例1. (2013南宁)已知二次函数y=ax² +bx+c（c≠0）的图 像如图所示，下列说法错误的是：( ) （A）图像关于直线x=1对称 （B）函数y=ax² +bx+c（c ≠0）的最小值是 -4 （C）-1和3是方程ax² +bx+c=0（c ≠0）的两个根 （D）当x＜1时，y随x的增大而增大 【解析】B、观察图象，可知抛物线的顶
例2 (2014日照)如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图 象的一部分.已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点
是（-1，0）.有下列结论：① ② 4a-2b+c<0; ③ √ abc>0;× √ 4a+b=0;④ 抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点 （-3，y1）,(6,y2)都在抛物线上，则有y1<y2.其中正确的
4a+b=0;④ 抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点
（-3，y1）,(6,y2)都在抛物线上，则有y1<y2.其中正确的
是（ ） 【逐项分析 】 序号 ① 正误： √ A. ①②③ B. ②④⑤ ∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0， C. ①③④ D. ③④⑤ ∵二次函数的图象交 y轴的负半轴于一 点，∴c＜0，∵对称轴是直线x=2， ∴ b =2 ∴b-4a<0，∴abc>0
（ 2014年考查3二次函数图象与系数a、b、c的关系
例2 (2014日照)如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图 象的一部分.已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点
是（-1，0）.有下列结论：① abc>0;② 4a-2b+c<0;③
第二部分
题型一
题型研究
选填重难点突破
专题一 函数图象与性质综合题
类型三 二次函数图象性质综合题
南宁市第四十六中学 高兰芳 2015.3
类型三 二次函数图象性质综合题 一、二次函数图象与性质
例1. (2013南宁)已知二次函数y=ax² +bx+c（c≠0）的图像 如图所示，下列说法错误的是：( ) （A）图像关于直线x=1对称 （B）函数y=ax² +bx+c（c ≠0）的最小值是 -4 （C）-1和3是方程ax² +bx+c=0（c ≠0）的两个根 （D）当x＜1时，y随x的增大而增大
是（
A. ①②③ C. ①③④
）
B. ②④⑤ D. ③④⑤
【逐项分析 】 序号 ③ 正误： √
∵b=-4a，∴4a＋b=0
二、二次函数图象与系数a、b、c的关系
例2 (2014日照)如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图 象的一部分.已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点
是（-1，0）.有下列结论：① abc>0;× ② 4a-2b+c<0; ③ √
例1. (2013南宁)已知二次函数y=ax² +bx+c（c≠0）的图像 如图所示，下列说法错误的是：( ) （A）图像关于直线x=1对称 （B）函数y=ax² +bx+c（c ≠0）的最小值是 -4 （C）-1和3是方程ax² +bx+c=0（c ≠0）的两个根 （D）当x＜1时，y随x的增大而增大 【解析】C、由图象可知抛物线与x轴的一个
点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向 上，所以函数ax2+bx+c（a≠0）的最小 值是﹣4，正确，故本选项不符合题意
典例精讲
（ 2014年考查3次，2013年考查2次，2012年考查4次）
类型三 二次函数图象性质综合题
典例精讲
一、二次函数图象与性质
（ 2014年考查3次，2013年考查2次，2012年考查4次）
√
二、二次函数图象与系数a、b、c的关系
例2 (2014日照)如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图 象的一部分.已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点
是（-1，0）.有下列结论：① abc>0;② 4a-2b+c<0;③
交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1， 所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0）
则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，
正确,故本选项不符合题意；
类型三 二次函数图象性质综合题 一、二次函数图象与性质
例1. (2013南宁)已知二次函数y=ax² +bx+c（c≠0）的图像 如图所示，下列说法错误的是：( D) （A）图像关于直线x=1对称 （B）函数y=ax² +bx+c（c ≠0）的最小值是 -4 （C）-1和3是方程ax² +bx+c=0（c ≠0）的两个根 （D）当x＜1时，y随x的增大而增大 【解析】D、由抛物线的对称轴为x=1， 所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错 误，故本选项符合题意． 典例精讲
2a
√
二、二次函数图象与系数a、b、c的关系
例2 (2014日照)如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图 象的一部分.已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点
是（-1，0）.有下列结论：① abc>0;② 4a-2b+c<0;③
4a+b=0;④ 抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点
（-3，y1）,(6,y2)都在抛物线上，则有y1<y2.其中正确的
是（ ） 【逐项分析 ② 正误：× A. ①②③ 】 序号 B. ②④⑤
2＋ C.x①③④ D. ③④⑤ 把 =－2代入y=ax bx＋c得：
√
×
y=4a-2b＋c由图象可知，当x=-2时， y＞0，即4a-2b＋c＞0
二、二次函数图象与系数a、b、c的关系
4a+b=0;√ ④ 抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点
（-3，y1）,(6,y2)都在抛物线上，则有y1<y2.其中正确的
是（ ） 【逐项分析 ④ 正误： √ A. ①②③ 】 序号 B. ②④⑤ ∵抛物线与 (-1,0)， C. ①③④ x轴的一个交点是 D. ③④⑤ 对称轴是x=2，∴由抛物线的对称性可 得抛物线与x轴的另一个交点是（5,0）