苏教版九年级一元二次方程
数学苏科版九年级上册1.2一元二次方程的解法
1.2一元二次方程的解法（1）教学目标【知识与能力】了解形如（x ＋m ）²＝n （n ≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法.【过程与方法】会用直接开平方法解形如b ax =2（a ≠0,a b ≥0）的方程.【情感态度价值观】会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念和一般形式.【教学难点】正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”.课前准备无教学过程一、知识回顾：1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（1）245x x -=（2）235x =（3）()()()22122-+=+-y y y y 2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。
3、填空：4 的平方根是 ，81的平方根是，100的算术平方根是 。
二、自学自悟思考：如何解方程2x =2呢？根据平方根的意义， 是 的平方根，所以， x=即此一元二次方程的两个根为结论：1、根据平方根的意义，x 就是2的平方根，∴x=2±这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
2、形如方程02=-k x )0(≥k 可变形为)0(2≥=k k x 的形式，用直接开平方法求解。
三、例题学习例1：解下列方程（1）042=-x ；（2）0142=-x ；例2：解下列方程（1）（x ＋1）2－2＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.（这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？小结：如果一个一元二次方程具有（x+h ）2=k （k ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解练习：(2x-1)2 =(3-x)2四、知识梳理与小结1、1.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？形如())0(2≥=+k k h x 的方程。
苏教版九年级数学(上册)一元二次方程的解法公式法
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 2.计算Δ ；
方程有两个不等的实数根
提示：方程必须
b b2 4ac x
2a
要转化成一般形 式才能确定系数
(4) 44 2 11, 3.代入 ； 21
即 x1 2 11, x2 2 11. 4.定根 ；
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ ＝ b2 － 4ac ＝ ( － 4)2 － 4×5×( － 1) ＝
36>0.
方程b有两b个2 不4a等c 的实(数4根) 36 4 6
x
.
2a
25
10
1 即 x1 1, x2 5 .
新课讲解
(3)方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根．
所以x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
新课讲解
知识点1 公式法
由上可知，一元二次方程ax2 bx c 0 （a 0）
的根由方程的系数a，b， c 确定．因此，解一元二次方程时，
可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ，b当2 4ac 0
时，将a，b，c代入x 式 子b b2 4ac
的根是( C )
当堂小练
2. 已知4个数据：－ 2 ，2 2 ，a，b，其中a， b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数 据的中位数是( A )
A．1 C．2
B. 1
2
D. 1 2
苏教版九年级上册数学一元二次方程教案
苏教版九年级上册数学一元二次方程教案【教学目标】1. 理解一元二次方程的定义、一次项系数、二次项系数、常数项等概念。
2. 掌握解一元二次方程的基本方法，能够独立解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，提高学生的数学素养。
【教学重难点】1. 掌握一元二次方程的定义和性质。
2. 理解解一元二次方程的基本方法，掌握使用“公式法”和“配方法”解方程的技巧。
3. 学会应用一元二次方程解决实际问题。
【教学过程】1. 引入（5分钟）1）通过一元二次方程的解法让学生见到数学的神奇之处；2）教师利用一元二次方程的形式引发学生思考，如何求这个方程的解？2. 学习一元二次方程的性质（20分钟）1）概念解释：一元二次方程的定义和一次方程相似，都是一个带一个未知数的等式，但一元二次方程中未知数有平方项。
比如：$ax^2+bx+c=0$。
2）要点讲解：一元二次方程中三个系数分别为一次项系数$a$、二次项系数$b$和常数项$c$。
系数$a$不为0，否则该方程不是二次方程。
3）解题方法：推导出“公式法”和“配方法”公式法：对于一般的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，解法是：首先通过$\Delta=b^2-4ac$判断$ax^2+bx+c=0$，有无实根，然后用解根公式$x=\frac{ -b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$求出方程的根。
配方法：通过变形，将一元二次方程转化为形如$(px+q)^2=k$的等式，称为配方法。
其中，$p,q$为已知常数，$p$可以由方程的二次项系数$a$求出，即$p=\sqrt{a}$。
3. 阐述一元二次方程的解法（20分钟）1）用公式法解一般一元二次方程，注意：二次项系数$b$为负数时，括号内前面要加上负号。
2）用公式法根据已知条件求解实际问题中的一元二次方程。
3）用配方法解非一般的一元二次方程。
例如$x^2+4x=5$，可以通过将该等式移项，形变为$(x+2)^2=9$，从而得出$x+2=3$或$x+2=-3$。
苏教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共14张PPT)
（1）当
时，此方程为一元二次方程；
（2）当
时，此方程为一元一次方程。
练习：关于x的方程 (m 1 )xm 1mx m 210 为一元二次方程，求m的值。
随堂检测：
1、用方程描述下列问题中的数量关系：
（1）一张面积是240cm2的长方形彩纸,
长比宽多8厘米，设它的宽为xcm,可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程
(2)一枚圆形古钱币的中间是一个边长为
(2) (x+2)(x -1)=6 (3) 4-7x2=0
练习：把下列方程化为一元二次方程的一般形式，
并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
x2 x2 4x1x2 2x23x1 x(x3)2
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
思维拓展：
已知关于 x 的方程（2a—4）x2 —2bx+a=0,
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（1）若方程是一元二次方程，求m的值；
＊（2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存 在？若存在，请求出m的值并求出方程的解； 若不存在，请说明理由。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
苏科版九年级数学上册《一元二次方程》精品课件
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。07:39:3107:39:3107:399/3/2020 7:39:31 AM
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11、人总是珍惜为得到。20.9.307:39:3107:39Sep-203-Sep- 20
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12、人乱于心，不宽余请。07:39:3107:39:3107:39Thursday, September 03, 2020
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
一次项系数
为什么
二次项系数
要限制
a≠0， a x 2 + b x + c = 0
b,c可以 为零吗
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
A
x
4 A' 5
C
3
B X B'
解：设梯子滑动的距离是X米。根据 勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面 4米，则滑动后梯子的顶端离地面（4 －X）米，梯子的底端与墙的距离是 （3＋X）米。根据题意得
(4 x)2 (3 x)2 52
x2 2
x(19 2x) 24
5(1 x)2 7.2
一元二次方程的概念
?
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样, 只含有一个未知数(一元)， 并特且点未: 知①数都的是整最式高方次程数; 是2(二次),这 样的整式②方只程含一叫个做未一知元数;二次方程
(quadrati③c 未eq知ua数ti的on最i高n 次on数e 是un2k.nown)
涟水圣特外国语学校
苏教版数学九年级上册教学设计《1-1一元二次方程》
苏教版数学九年级上册教学设计《1-1一元二次方程》一. 教材分析苏教版数学九年级上册《1-1一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经学习了有理数、代数式、方程等知识的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解一元二次方程的定义、解法以及应用。
通过本节课的学习，培养学生解决实际问题的能力，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生在已知知识的基础上进行进一步的探究。
在学生的学习过程中，可能会遇到解方程步骤繁琐、对公式记忆不牢固等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义、解法以及应用。
2.掌握求解一元二次方程的基本方法，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的定义、解法以及应用。
2.重点：一元二次方程的定义，解法（公式法、因式分解法等）。
3.难点：对一元二次方程解法的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义、解法。
2.利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学问题，提高解决实际问题的能力。
3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中互相交流、启发，共同提高。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示一元二次方程的解法过程。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题。
例如，设计一道关于面积的问题，让学生尝试用数学知识解答。
2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的定义，展示一元二次方程的一般形式。
讲解一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
3.操练（10分钟）让学生在小组内互相讨论，尝试用所学知识解决实际问题。
初三数学上册 4.2.4 一元二次方程的解法课件 苏科版
•(3)(x+2)2=(2x-3)2; (4)(x-2)(x-3)=12.
• 解下列方程：
•你认为小明的解法对吗？为什么？Z
x xk
初三数学上册 4.2.4 一元二 次方程的解法课件 苏科版
➢回顾与思考
•1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
•2.什么叫因式分解? • 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做 因式分解.
•3.因式分解有几种方法?
•提取公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法 .
• 如何解方程
• 利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等 于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次．这种解法叫作因式分解法．
➢例题讲解
•
解下列方程：
(1)5x2=4x； (2)x2-4=0； (3)x2+6x-7=0；(4)2x2-x-1=0.
• 解下列方程：
➢例题讲解
• 2、解下列方程：
苏教版数学九年级上册说课稿《1-2一元二次方程的解法(3)》
苏教版数学九年级上册说课稿《1-2一元二次方程的解法（3）》一. 教材分析《1-2一元二次方程的解法（3）》是苏教版数学九年级上册的一节重要内容。
这部分内容主要介绍了求解一元二次方程的两种方法：因式分解法和求根公式法。
通过这部分的学习，学生能够熟练掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容前，已经学习了一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对解方程有一定的了解。
但部分学生可能对一元二次方程的解法还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固。
此外，学生可能对因式分解法和求根公式法的理解不够深入，需要通过实例分析和练习来提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：学生通过自主学习、合作交流，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生培养对数学的兴趣，树立自信心，克服困难，积极主动地参与数学学习。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法。
2.教学难点：对一元二次方程的解法的理解和运用，特别是求根公式法的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，以及数学软件和网络资源辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入一元二次方程的解法，激发学生的兴趣。
2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法。
3.案例分析：教师展示典型例题，引导学生运用解法解决问题，并讲解解题思路和方法。
4.小组合作：学生分组讨论练习题，交流解题心得，互相学习。
5.总结提高：教师引导学生总结一元二次方程的解法，强调重点和难点。
6.课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
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例题1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）
A ．0p >且q >
0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >
0 D ．0p <且q <0 变式：如果方程有两个同号的实数根，则的取值范围是 （ ）
A 、 ＜1
B 、 0＜≤1
C 、 0≤＜1
D 、 ＞0 例题2.若方程013)2(||=+++mx x
m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A ．2±=m
B ．m=2
C ．m= —2
D ．2±≠m
变式：一元二次方程（m-2）x-4mx+2m-6=0有两个相等的实数根，m=______.
例题3．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞–14
B ．a ≥–14
C ．a ≥–14 且a ≠0
D ．a ＞–14
且a ≠0 例题44．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
例题5.已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112
x x x x +的值为______ 变式：设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则
=+2111x x .x 12+x 22= . 例题6、关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______．
例题7.已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式
235(2)362
x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿
例题8. 已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．
（1）求x 1，x 2 的值；
例题9．把一根长度为14cm 的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm 2，则这个矩形的对角线长是________________cm.
022=++m x x m m m m m
例题10. (8分)用一块长方形的铁片, 把它的四角各剪去一个边长为4cm 的小方块, 然后把四边折起来, 做成一个没有盖的盒子, 已知铁片的长是宽的2 倍, 做成盒子的容积是 1536 cm 3
, 求这块铁片的长和宽.
11、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为 .
12、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x 2－17x ＋66＝０的根。
求此三角形的周长。
13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A ．24
B ．24或58
C ．48
D ．58
14、如果二次三项式16)122++-x m x （
是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 15. 选用合适的方法① )4(5)4(2+=+x x ② x x 4)1(2=+
③ 42)2)(1(+=++x x x ④ 31022
=-x x
16. 当a _________时，方程 (a 2－1)x 2 + 3ax + 1＝0 是一元二次方程．
17．已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 。
18．已知0232
=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值为 。
19．当x= 时，
1532++x x x 与既是最简二次根式，被开方数又相同。
20．用配方法证明542+-x x
的值不小于1。
21．已知a 、b 、c 均为实数，且
0)3(|1|12=++++-c b a ，求方程02=++c bx ax 的根。
22．设m 为整数，且4<m<40,方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根。
23.若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。
24．关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，则a 的值是____.
25．一元二次方程032=--a ax x 的两根之和为2a-1，则两根之积为_________.
26．关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。
则a 的值为( )
（A ） 1 (B)－l (C) 1 或－1 (D)
12 27. 如果关于x 的一元二次方程kx x 2690-+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
A. k <1
B. k ≠0
C. k k <≠10且
D.k >1
28．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
变式：某商场销售某种商品,每台进价为2500元,当销售价为2900元时,平均每天能销售出8台,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多销售4台,商场要想使这种商品的销售利润平均每天达到5000元,每台这种商品的定价应为多少元.
1.一个长方形的周长是30cm,面积是54cm 2
,求这个长方形的长与宽，求这个长方形的长？
2.
2232x 2x ）（）（+=+ 221-3y 93-2y 4）（）（= y y 2.013.02
=+
3.已知方程062=+-p x x 可以变形为
7x 2=-）（p 的形式，求q 的值
4.当m= 时，25)2(22+-+x m x 是一个完全平方公式
5.方程y y 7322=+配方后，得=-
2)4
7(2y
6.方程032=+-p x x 配方后，得到21)
(2=+m x 1）求常数m 和p 值（2）求此方程的解
7.已知关于x 的一元二次方程05242=+++k kx kx 有两个相等的实数根，试求这两个根
8.若关于x 的一元二次方程0122
=+-x mx 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围
9.已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x
1）请你判断方程的根的情况
2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长
10.已知m 是关于x 的一元二次方程022=+-m x mx 的一个根，求m 的值
11.已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为7，求m 的值
12.已知方程0762=+-x x 的两个根是一个直角三角形的两条直角边的边长，求这个直角三角形斜边上的高
13.已知022
=-+kx x 的一个根是-2，求方程的另一个根和k 的值
14.已知32-是方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根和c 的值。