3.1衍射的基本理论详解
高中物理：光学-光的衍射
高中物理：光学-光的衍射光的衍射是光学中的经典知识点，其在多个领域都有着广泛的应用，例如显微镜、天文望远镜等。
本文将详细介绍光的衍射的基本概念、衍射定理、夫琅禾费衍射以及常见的实验方法。
一、光的衍射的基本概念光的衍射是指光通过一个孔或者通过物体表面的缝隙后，光波会扩散成为一组新的光波，这种现象被称为光的衍射。
在光的衍射中，光波会形成一些明暗交替的区域，这些区域被称为衍射图样，其形状和孔或者缝隙的大小和形状有关。
二、衍射定理衍射定理是光学中最重要的定理之一，它是描述从一个孔或者一个光源丝的发射的光经过另一个孔或者缝隙后产生的光的波前的变化情况。
衍射定理可以用来计算衍射图案的形状，以及通过使用光的衍射图案来确定物体的大小和形状。
衍射定理的公式如下所示：sinθ = nλ/d其中，θ是衍射角，n是衍射序数，λ是光的波长，d是孔或者缝隙的宽度。
三、夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射是一种典型的衍射现象，它是一种发生在单缝或双缝上的衍射现象。
夫琅禾费衍射的衍射图样是一组纵向的亮暗条纹。
夫琅禾费衍射的公式如下所示：dsinθ = nλ其中，d是缝隙的大小，θ是衍射角，n是衍射序数，λ是光的波长。
四、实验方法实验方法是研究光的衍射现象的重要手段。
常见的光的衍射实验方法包括单缝衍射实验、双缝干涉实验、格点衍射实验等。
（1）单缝衍射实验单缝衍射实验是研究光的衍射现象的最简单的实验方法之一，它可以通过一个狭窄的孔洞使光波扩散成为一个圆形的波前来观察光的衍射现象。
（2）双缝干涉实验双缝干涉实验是研究光的干涉现象的重要实验方法，它可以通过两个狭缝使光波扩散成为一组具有干涉现象的亮暗条纹。
（3）格点衍射实验格点衍射实验是一种研究光的衍射现象的实验方法，它可以通过一个光栅来使光波扩散成为一组具有规律的亮暗条纹。
五、练习题1. 一束波长为500nm的光穿过一个宽度为0.3mm的单缝后，经过距离1m的观察屏时，其衍射图样的第五个主极大的位置距离中心线的距离是多少？参考答案：0.30mm2. 光通过一组双缝（缝距为0.1mm，缝宽为0.05mm），在距离屏幕40cm处出现了一组亮暗条纹。
《激光原理》3.1光学谐振腔的衍射理论(新)
条状腔经过1次和300次传播后镜面上的振幅的分 布和相位分布
• 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个 孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效 应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第 一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这 样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一 定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光 束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因 而空间相干性随之越来越增强。在开腔中， 从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好 的激光，正是由于衍射的作用。
我们更关心镜面上的场
激光输出直接与镜面上的场相联系。镜面上稳态 场分布的形成可以看成是光在两个镜面间往返传 播的结果。因此，两个镜面上的场必然是互相关 联的：一个镜面上的场可以视为另一个镜面上的 场所产生，反之亦然。
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不 随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?
u(x, y) ik u(x', y') eik (1 cos )ds'
4 M '
(1 cos ) 2 L
(3-5)
将以上近似代入(3-5)， 得到自再现模所满足的积分方程
（不受衍射影响的稳态场分布函数）
积分方程 的核
mnumn(x, y) K(x, y, x', y')uq (x', y')ds' (3-6)
• 由不同的初始入射波所得到的最终稳态场分布可能 是各不相同的，这预示了开腔模式的多样性。实际 的物理过程是，开腔中的任何振荡都是从某种偶然 的自发辐射开始的，而自发辐射服从统计规律，因 而可以提供各种不同的初始分布。（特点2：多样性）
(1)自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。
光的衍射和衍射现象
光的衍射和衍射现象光的衍射是光通过物体边缘或孔洞时发生的现象。
它是光波的传播特性之一，展现了光的波动性。
衍射现象是当光波在遇到不同障碍物或具有不同形状的孔洞时，光波会发生偏折、扩散和干涉的现象。
1. 衍射的基本原理衍射的基本原理是根据赫兹原理和干涉原理。
赫兹原理指出，任何一个振动源都可以当做是许多振动源的叠加，每一个振动源都发出一束球面波。
当这些球面波叠加时，会形成一个新的波面，这个波面是振动源波面的几何平均。
2. 衍射的特征光波在经过边缘或孔洞时，会产生衍射现象，具有以下几个特征：2.1 扩散现象当光波遇到一道狭缝或孔洞时，会在狭缝或孔洞处弯曲，使得光波扩散出去，形成扩散光芒。
扩散的程度与波长及狭缝或孔洞的大小有关。
2.2 形成暗纹和明纹在衍射过程中，光波经过衍射物体后，在远离衍射物体的某些位置上形成一系列明纹和暗纹。
明纹和暗纹的形成是由光波的干涉和相位差引起的。
2.3 衍射图样光波经过光栅、狭缝或孔洞等衍射物体后，在屏幕上形成一系列明暗相间的条纹或斑点，称为衍射图样。
衍射图样的形状和分布与衍射物体的尺寸和形状、光波的波长有关。
3. 光衍射的应用光衍射现象在许多领域有着广泛的应用。
3.1 衍射光栅光栅是由很多平行缝或平行线条排列而成的光学器件。
光栅具有分光和合成光的能力，利用光栅可将入射光波分解为多个不同波长的光，从而实现物质的光谱分析。
3.2 衍射显微镜衍射显微镜是一种使用衍射原理的显微镜。
它利用光波的衍射现象，通过孔径较小的物体来扩大并清晰可见待观察的细小物体。
3.3 衍射声纳衍射声纳是一种利用声波的衍射现象进行探测和成像的方法。
通过声波在障碍物上发生衍射，可以获取目标物体的位置和形状等信息，应用于声纳成像和声学测量领域。
4. 衍射的局限性衍射现象虽然在很多领域有着广泛的应用，但在一些特定情况下，衍射也会带来些许局限性。
例如，在显微镜观察不同尺度的样品时，由于衍射的限制，分辨率会受到影响，使得细微结构无法被清晰展现出来。
（完整版）X射线衍射的基本原理
（完整版）X射线衍射的基本原理三．X 射线衍射的基本原理3.1 Bragg 公式晶体的空间点阵可划分为⼀族平⾏⽽等间距的平⾯点阵，两相邻点阵平⾯的间距为d hkl 。
晶体的外形中每个晶⾯都和⼀族平⾯点阵平⾏。
当X 射线照射到晶体上时，每个平⾯点阵都对X 射线射产⽣散射。
取晶体中任⼀相邻晶⾯P 1和P 2，如图3.1所⽰。
两晶⾯的间距为d ，当⼊射X 射线照射到此晶⾯上时，⼊射⾓为θ，散射X 射线的散射⾓也同样是θ。
这两个晶⾯产⽣的光程差是：θsin 2d OB AO =+=? 3.1当光程差为波长λ的整数倍时，散射的X 射线将相互加强，即衍射：λθn d hkl =sin 2 3.2上式就是著名的Bragg 公式。
也就是说，X 射线照射到晶体上，当满⾜Bragg 公式就产⽣衍射。
式中：n 为任意正整数，称为衍射级数。
⼊射X 射线的延长线与衍射X 射线的夹⾓为2θ（衍射⾓）。
为此，在X 射线衍射的谱图上，横坐标都⽤2θ表⽰。
图3.1 晶体对X 射线的衍射由Bragg 公式表明：d hkl 与θ成反⽐关系，晶⾯间距越⼤，衍射⾓越⼩。
晶⾯间距的变化直接反映了晶胞的尺⼨和形状。
每⼀种结晶物质，都有其特定的结构参数，包括点阵类型、晶胞⼤⼩等。
晶体的衍射峰的数⽬、位置和强度，如同⼈的指纹⼀样，是每种物质的特征。
尽管物质的种类有成千上万，但⼏乎没有两种衍射谱图完全相同的物质，由此可以对物质进⾏物相的定性分析。
3.2 物相分析物相的定义是物质存在的状态，如同素异构体SiO2、TiO2分别有22种和5种晶体结构。
除了单质元素构成的物质如铜、银等以外，X射线衍射分析的是物相（或化合物），⽽不是元素成分。
对于未知试样，为了了解和确定哪些物相时，需要定性的物相分析。
正如前述，晶体粉末衍射谱图，如⼈的指纹⼀样，有它本⾝晶体结构特征所决定。
因⽽，国际上有⼀个组织——粉末衍射标准联合会（JCPDS）后改名为JCPDS－衍射数据国际中⼼专门负责收集、校订、编辑和发⾏粉末衍射卡⽚（PDF）的⼯作。
衍射的基本理论
表示外向法线与 （从S到面Σ上某点Q的矢量）之间夹角的余弦。 在不透明屏右侧∑1上， 假定 假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件：
添加标题
对于∑2： 在∑2上， 则对∑2上的积分关系：
添加标题
Ω为∑2对P点所张立体角。
由索末菲辐射条件： 在辐射场中 而 是有界的 则R→∞时，可不考虑∑2的贡献。 即 将
将近似条件代入得到：
菲涅耳－基尔霍夫衍射近似公式
三、基尔霍夫衍射公式的近似
图12－4 孔径 S的衍射
添加标题
在振幅项中
添加标题
添加标题
傍轴近似（两点近似）
添加标题
设定孔径函数
添加标题
01
进一步的计算需要将exp( ikr )中的r表示成(x,y,z)的函数。
添加标题
03
图12－4 孔径 S的衍射
代入上式， 则并考虑到1/r、1/l比k值小得多。 则 此即为菲涅耳－基尔霍夫衍射公式 此为基尔霍夫衍射定理的一种近似， 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式比较：
单击此处添加大标题内容
其中，设定方向角 ( n, l ) 和 ( n, r ) 为S的法线与 l 和 r 的夹角。
Q
当光线接近于正入射时
P1
P2
P3
Z
Fraunhofer区
衍射区的划分
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
可选 为球面波： 式中r表示∑’内任一点Q与考察点P之间的距离 显然、此球面波函数在r=0处不连续，故为了使格林公式成立，应将r＝0点P除去。为此以P为圆心作一半径为ε的小球，并取积分域为复合曲面 见上图， 则（2）式变为
进而有：
则
由
对于 上的Q点，
衍射知识点总结
衍射知识点总结
衍射是一种光的传播现象，涉及到光波在通过障碍物或物体边缘时发生弯曲和扩散的过程。
衍射现象在光学、声学和其他波动现象中都有广泛的应用，对于理解光的传播和波动性质
有重要意义。
1. 衍射的基本原理
当光波遇到一个小孔或尺寸较小的障碍物时，光波会弯曲和扩散，形成特定的衍射图样。
这种现象可以用赫尔姆霍兹方程和费马原理等物理定律进行描述和解释。
2. 衍射的分类
衍射可以分为菲涅尔衍射和菲索衍射两种类型。
菲涅尔衍射是指当光波传播时，光源和观
察平面距离差异较大，需要考虑光波传播的路径长度差，会产生衍射现象。
菲索衍射是指
当光波和物体表面接触时，会产生衍射现象。
3. 衍射的数学描述
衍射现象可以用数学公式进行描述，可以通过赫尔姆霍兹方程和费马原理等物理定律来进
行计算和分析衍射现象。
这种数学描述对于理解光波的传播规律和特性有重要意义。
4. 衍射的应用
衍射现象在激光技术、光学成像、声学传播等领域都有广泛的应用。
例如，在激光技术中，可以利用衍射原理来进行激光光栅的制作和光束调制；在光学成像中，衍射现象对于显微
镜和望远镜等成像设备的设计和优化有重要意义。
总之，衍射是光波传播中的重要现象，对于理解光的传播规律和波动性质有重要意义。
通
过对衍射现象的研究和应用，可以推动光学技术和相关领域的发展，为人类社会的进步做
出贡献。
物理光学-第3章 光的衍射
f x = ρ cos φ
f y = ρ sin
dx0 dy 0 = r0 dr0 dα 0
( x0 , y 0 ) = A
α0
0 ~ 2π
r0
0~a
24
3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 + y12 ) + ∞ i 2π ( f x x0 + f y y0 ) u ( x, y ) = e u ( x 0 y 0 )e dxo dy 0 ∫ ∫∞ λz
4
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射 ②圆孔衍射
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波 源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波 源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹 面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的 传播方向。这就是惠更斯原理。 菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来 自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光 振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的 次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原 理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
12
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 + y 0 k ( x0 + y 0 ) max ≈0 z >> 2 z 2 2 2 2 2 1 ( x1 x0 ) + ( y1 y 0 ) 1 x12 + y12 1 x0 + y 0 x1 x0 + y1 y 0 r ≈ z 1 + = z 1 + 2 z 2 + 2 z 2 2 z2 2 z k [( x x ) + ( y y ) ] i i ikz u ( x1 y1 ) = e ∫∫ u ( x 0 y 0 )e 2 Z dx 0 dy 0 λz k 2 2 2 2
3.物理光学-衍射解析
一.填空题1.1 波面是指波在传播时（同位相 ）点的集合，这些点的轨迹是一个（等相面）面。
1.2 惠更斯原理是指：任何时刻波面上的每一点都作为（次波）的波源,各自发出（球面）次波,在以后的任何时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的（新波面）。
1.3 惠更斯引入（子波 ）的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用（子波干涉 ）的思想补充了惠更斯原理，发展成了惠更斯－菲涅耳原理。
1.4 爱里班的半角宽度是（Dλ=θ∆22.1 ）。
1.5 一远处点光源的光照射在小圆孔上,并通过圆孔后紧靠孔的会聚透镜,在透镜焦面上,将不是出现光源的几何象点,而是一个衍射斑,衍射斑对小孔中心展开的角大小与（入射光波长）成正比，与（ 圆孔直径（或半径） ）成反比。
1.6 光栅衍射强度分布受到（ 单缝衍射 ）和（缝间干涉 ）的共同作用。
1.7 光栅衍射图样是（单缝衍射 ）和（ 缝间干涉 ）的总效果。
1.8 光栅衍射中，光栅常数为d ，缝数为N ，相邻两个主最大之间有(N-1 )个最小和（ N-2 ）个次极大。
1.9 通过衍射光栅观察到的衍射花样，主最大的位置与缝数N （无关）；但他们的宽度随N的增大而（ 减小 ），其强度正比于（ N 2 ），而相邻主最大之间有（ N-1 ）条暗纹和（ N-2 ）个次极大。
1.10 光栅方程为（λ=θk sin d 或者λ=α±θk d sin sin d ）。
1.11 平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15 mm 的单缝上，缝后有焦距为f=400 mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕，现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8 mm ，则入射光的波长为λ=（ 500nm ）。
1.12 一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅， 用平行钠光束（λ=589nm ）与光栅平面法线成30˚角入射，在屏幕上最多能看到第（ 5 ）级光谱。
1.13 若在某单色光的光栅光谱中第三级谱线是缺级，则光栅常数与缝宽之比（a+b ）/a 的各种可能的数值为（ 3 ）1.14 在透光缝数为N 的平面光栅的衍射实验中,中央主极大的光强是单缝衍射中央主极大光强的（N 2 ）倍,通过N 个缝的总能量是通过单缝的总能量的（ N ）倍。
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注意刀片狭缝的衍射花样
10/11/2018
注意阴影中央的亮点（泊松点）
光的衍射是有条件的
主要取决于障碍物的大小，当障碍物的线 度与波长可比时，即会出现衍射现象； 衍射现象是否明显，除障碍物的线度外， 还与观察的距离和方式、光源的强度和相 干性等因素有关； 一般来说，障碍物的线度要比光波的波长 大得多，故不易看到光的衍射现象。
这就是亥姆霍兹- -基尔霍夫积分 定理。 它将P点的光场与周围任一闭合曲 面Σ上的光场联系了起来； 实际上可以看作是惠更斯- -菲涅 耳原理的一种较为完善的数学表达 式。
10/11/2018
2. 基尔霍夫衍射公式
i ~ ~ e cos(n , r ) cos(n , l ) E ( P) E (l ) d (3 - 14) r 2
“光的直线传播”不是独有的，机械波、电磁 波同样也有直线传播。
超声波具有明显的方向性、高架公路边的隔声墙、海 港防波堤 微波一般也表现为直线传播，－－微波中继站
10/11/2018
衍射的分类
障碍物 光源 S 观察屏
*
R
B
r0
P
1、菲涅耳（Fresnel）衍射 （近场衍射）
r0 和 R 中至少有一个是有限值。
惠更斯-菲涅耳公式
~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 没有给出方向因子K()的具体表达式。
基尔霍夫从微分波动方程出发，引入格林函数，给出了 惠更斯-菲涅耳原理较完善的表达式； 将空间P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场 建立了联系，并得到了倾斜因子K()的表达式，建立了 光的衍射理论；- -标量衍射理论
~
理论上，若已知某时刻t0，波面S上的E(Q)及K()，即 可计算出其后光场中P点在任意时刻t的振幅－－很难。 实验上，E(Q)与K()均可测量，代入积分公式后可由计 算机进行运算。
10/11/2018
E(Q)：dS处振幅的分布函数； K()：倾斜因子，增大，K()减小。
3.1.3 基尔霍夫衍射公式
直线传播规律 反射折射规律 双折射现象
成功之处
定性地解释光的干涉、衍射现象
不足之处
10/11/2018
不能解释干涉、衍射光的振幅大小变化 不能解释衍射光场中光强的重新分布
惠更斯原理对平面与球面波的解释
子波源 子波
子波
子波源 新波阵面 新波阵面
10/11/2018
n dS ) r0 S r P
惠更斯－菲涅耳原理
菲涅耳的改进
补充了描述“次波”特征：相位和振幅的定量表示； 增加了“次波相干叠加”的原理。
波面S上每一个面元dS均可以看成新的波源，各 新波源均发出球面次波； 波面前方空间某点P的振动可以由S上所有面元dS 所发次波在P点叠加后的合振幅来表示。
惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式
10/11/2018
光的衍射(圆孔、单缝)
圆孔衍射
S
*
单缝衍射
H
P
不但光线 拐弯，而 且在屏上 出现明暗 相间的条 纹。
S
G
*
- -衍射
10/11/2018
单缝衍射条纹特征
10/11/2018
衍射规律
10/11/2018
10/11/2018
圆孔衍射规律
10/11/2018
光的衍射(圆屏、直边)
10/11/2018
Q
n ) r0物理含义及各 量的物理意义
dS S
dS所发次波在P点 K ( ) E (Q) ikr dE C e dS 产生的振动为 r S上所有面元dS在P点叠加产生的合振动为 ~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 此式称为菲涅耳衍射积分，一般计算此积分相当复杂， 特殊情况下可简化，可用代数加法或矢量加法代替积分。
声波波长：10m 无线电波：100m 微波：10mm 光波：400nm-760nm
10/11/2018
光的直线传播与光的衍射现象并不矛盾
波的直线传播和波的衍射，是波在传播过程中 不同条件下的具体表现，两者并不矛盾。
当波遇到的障碍物线度远大于波长时，表现为直线传 播； 当波遇到的障碍物线度与波长差不多时，表现为衍射；
衍射现象在数学处理上遇到很大困难， 许多实际问题得不到严格的解。 衍射理论大多是近似理论。
惠更斯原理 惠更斯－菲涅耳原理
10/11/2018
惠更斯原理
波面：光场中，相位相同点的构成的轨迹称为等相面， 也称波阵面。- -数学概念 惠更斯原理（图示） 任意时刻波面上的各点都可以作为次波源，各自发出 球面次波；在下一时刻，这些次波波面的包络面即是 该时刻的新波面。 较好地解释光的
2、夫琅禾费（Fraunhofer）衍 （远场衍射） 射 r0 和 R 皆为无限大（也可用透镜实现）。
10/11/2018
圆孔的衍射图样随 r0 的变化（R=∞）：
r0→ ∞
屏上 r0 很小 图形：
r0 增加
r0→∞
孔的投影
（光直线传播）
10/11/2018
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
3.1.2 惠更斯－菲涅耳原理
将光场当作标量处理，把光矢量一个分量当作一个独立标量来 处理； 近似理论； 对高分辨率衍射光栅，要达到精确的结果，还需考虑光场的矢 量性。
10/11/2018
1. 基尔霍夫积分定理
~ ikr ikr 1 E e e ~ E ( P) E d 4 n r n r
3.1
衍射的基本理论
3.1.1 光的衍射现象 3.1.2 惠更斯-菲涅耳原理 3.1.3 基尔霍夫衍射公式
1*. 基尔霍夫积分定理 2*. 基尔霍夫衍射公式 3. 基尔霍夫衍射公式的近似
10/11/2018
3.1.1 光的衍射现象
什么是波的衍射？
波在传播过程中，遇到障碍物（或孔，缝）时，会发生 衍射现象。即不沿直线传播，而向各方向绕射的现象。 声波、水面波－机械波有衍射现象 无线电波－电磁波（长波）有衍射现象 光波－电磁波（短波）也有衍射现象 光的衍射：光遇到障碍物时，绕过障碍物偏离直线传播 而进入几何阴影，并产生光强分布不均匀的现象。 光的衍射为什么不易看到？