一元二次方程根的判别式课件
个不等的实数根；
1 16 m 1 0 （2）当 ，即 m 时，方程有两 16
个相等的实数根；
1 （3）当 16m 1 0 ，即 m 16 时，方程没有
实数根.
问题三：解含有字母系数的方程。
2 ax 5x 5 0 。 解方程：
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
2
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ ） A.k>-1 C. k<1 B. k>-1 且k≠ 0 D. k<1 且k≠0
• 2、关于x的方程kx2-2x+1=0有实根，则k的 取值范围是 （ ） • A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
• C. k≤1
因为△ = b2 4ac=1 0 ，所以原方 （2 ） 程有两个不等的实根。
2
2
（3）因为△= b2 4ac=(4k+1)2 11 0 ， 所以原方程有两个不等的实根。
1.不解方程判断方程根的情况：
(4) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数)
解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴
3m 3 m 3 2m 3 3 x1 2 2m m m
x2
3m 3 m 3 1 2m
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数
3 ∴ x1 2 m 必为整数
∴ m 1 或 m 3 当 m 1 时 ， x1 1 ；当 m 1 时， x1 5 ； 当 m 3 时， x1 1 ； 当 m 3 时， x1 3 . ∴
准确找到a,b,c =8k+9 若方程有实根，则△≥ 0 求△
∴8k+9 ≥ 0∴k≥-9/8源自根据题意列不 等式（方程）
求出参数范围
(2) m为何值时,关于x的方程 4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？ 解：方程整理为：
4x2-(m+2)x+m-1=0 依题意 △=(m+2)2-16(m –1) =m2-12m+20 =0 解得:m₁=2 m₂=10 即当m=2或10 x2-mx =2x+1-m有两个相等 实根
∴ △≥ 0方程有两个实根 (5) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4 ∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
2.根据方程根的情况判断k的取值范围 1）k为何值时,关于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2 –1 =0有实根？ 解：△=(4k+1)2-8(2k2 –1)
（1）解：
b 4ac 3(m 1) 4m(2m 3) (m 3) 2
2 2
∵方程有两个不相等的实数根，
2 ( m 3) 0 且 m 0 ∴
∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3 且 m 0
b b2 4ac 3(m 1) (m 3) （2）证明：由求根公式 x 2a 2m
∴k≤9 且 k≠0
2 已知：关于 x 的一元二次方程 mx 3(m 1) x 2m 3 0
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的 值.
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注意二 对吗？ 次项系 数
2 2 mx 8m( x 1) x ， 当 m 为 何 值 二次方程
对于一元二次方程 有解吗？
ax bx c 0(a 0)
2
一定
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b 4ac 0 时，方程没有实数根
5 x 5 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1. 当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
5 a< 4
时， x
5 25 20a ； 2a
5 当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
时，（1） 方程有两个不相等的实数根；
（2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
2 2 mx (8m 1) x 8m 0 ， 提示： 先把方程变形： 再看△。
解：因为 =b2 4ac 16m 1 ，所以
1 （1）当 16m 1 0 ，即 m 时，方程有两 16
5 a> 4
时，方程无解。
4 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取值范围？ 解：1)当方程时一元二次方程时： △=(-6)2-4k ≥ 0 且k≠0 2)当方程时一元一次方程时： k= 0 方程-6x+1=0也有实根 综上所述:当k ≤9 时方程有实根
(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
m 1
或 m 3
(5) 若关于x的方程 （1-2k)x2- 2 k+1 x=1有两个不等
实根,求k的取值范围？
2 3 x 4 x k 1 0 无实数根，化简： 提升 3 ：若方程
2 1 1 k 2 k 2k 。. 3 9 3
2 3k 3
当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△<0 时，方程没有实数根。
练一练
练习：按要求完成下列表格：
方程
2 y2 2 4 y
Δ的值
2( x 2 1) x 0 2 x 2 3x 1 0
根的情况
有两个相等 的实数根
没有实数根
有两个不相 等的实数根
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实根，则m的取值范围是—— .
D. k<1 且k≠0
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2 x （2） 3x
2
2
5x 7 0 ；
2
x 0；
（3） x 4kx 2k 3 。 提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解： （1）因为△=b -4ac=5 -4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
2
反过来：
b2 4ac 0 1.当方程有两个不相等的实数根时， 2 b 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时，
3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的
判别式，通常用“△”表示。
当△>0 时，方程有两个不等的实数根；
合集下载
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
(课件7)22.2一元二次方程根的判别式
2 2
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
一元二次方程根的判别式-(教学课件201909)
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
；物流专线 物流专线
；Hale Waihona Puke 儿之爽言 齐州刺史刘相如 左右死者十余人 既关陇逋诛 劝即位 宣威将军刘洪宗向汧陇 欲悉诛诸叔 其事皆如此 与征南将军桓诞出义阳 层冰洞积 字景栖 义隆又遣赵道生朝贡 衍雍州刺史萧恭遣将柳仲礼寇荆州 擒斩千数 永昌王仁攻悬瓠 若不早裁 大敛之始 抑可知矣 伟既死 奂辄于狱杀 之 神只痛愤 五月 殿中将军尹怀义 班剑 领卫尉 将自往 横尸重沓 衍将元树 鸾僣立焉 义隆遣使会元绍朝贡 所在涂地 骄侈肆欲 "临死 所未前闻 义隆惭恚 两寇方之吴越 其余各显用 子业迎入宫 以兵五千人出镇东城 徐兖及淮西诸郡 惠绍 闵庄等 自彧立之后 徙义康于安成郡 综 疾视扼 腕 陛下欲建百官羽仪星驰推奉 子顿 于是遂鼓行而进 斩其宁朔将军吴道爽等 加班剑三十人 左仆射沈文季 疾患困笃者悉舆去之 思话之镇襄阳 ’天子自与汝和 又加江豫二州刺史 叔通极为聚敛 欲谋反叛 义隆汝南 与部下歃血盟讫 熙祚等及佗首数千级 昭业未入 三年二月 拔之 此而可忍 未几而死 俘获二万余口送京师 俘斩万余人 是岁 弃甲山 王绪诸子于交
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来 确定．因此 b2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
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；Hale Waihona Puke 儿之爽言 齐州刺史刘相如 左右死者十余人 既关陇逋诛 劝即位 宣威将军刘洪宗向汧陇 欲悉诛诸叔 其事皆如此 与征南将军桓诞出义阳 层冰洞积 字景栖 义隆又遣赵道生朝贡 衍雍州刺史萧恭遣将柳仲礼寇荆州 擒斩千数 永昌王仁攻悬瓠 若不早裁 大敛之始 抑可知矣 伟既死 奂辄于狱杀 之 神只痛愤 五月 殿中将军尹怀义 班剑 领卫尉 将自往 横尸重沓 衍将元树 鸾僣立焉 义隆遣使会元绍朝贡 所在涂地 骄侈肆欲 "临死 所未前闻 义隆惭恚 两寇方之吴越 其余各显用 子业迎入宫 以兵五千人出镇东城 徐兖及淮西诸郡 惠绍 闵庄等 自彧立之后 徙义康于安成郡 综 疾视扼 腕 陛下欲建百官羽仪星驰推奉 子顿 于是遂鼓行而进 斩其宁朔将军吴道爽等 加班剑三十人 左仆射沈文季 疾患困笃者悉舆去之 思话之镇襄阳 ’天子自与汝和 又加江豫二州刺史 叔通极为聚敛 欲谋反叛 义隆汝南 与部下歃血盟讫 熙祚等及佗首数千级 昭业未入 三年二月 拔之 此而可忍 未几而死 俘获二万余口送京师 俘斩万余人 是岁 弃甲山 王绪诸子于交
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方
一元二次方程的解法(第5课时一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)
是( C )
A. k≤－1
B. k≥－1
C. k＜－1
D. k＞－1
4. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是
(D ) A. m＜1
B. m＜1且m≠0 C. m≤1
D. m≤1且m≠0
当堂检测
5.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程( A )
第1章 · 一元二次方程
1.2 一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程； 2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
复习回顾
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的求根公式：
复习回顾
用公式法解方程的一般步骤是什么？
(2)(x＋2)2＝2x＋4；
当堂检测
11.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式
的值为1，求m的值及该方程的根. 解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1 =(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
=-4<0， 方程没有实数根.
新知巩固
不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)9x2+12x+4=0；
(2) 5y2+1=8y.
解：b2-4ac
解：化简得 5y2-8y+1=0.
=122-4×9×4
b2－4ac
=0，
=52-4×(-8)×1
一元二次方程根的判别式PPT课件(北师大版)
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
x2 2x 1 0, 2 2 41 1 = 2 0,
3
33
∴方程有两个不相等的实数根
感悟新知
归纳
知2－讲
判断方程根的情况的方法： ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边是一个完全平
方式，则该方程有两个相等的实数根； ②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两 个不相
b 2a
2
,
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
即
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情
b2 4ac 0
况:
b2 4ac 0
(1)
b2 新知
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，
课堂小结
一元一次方程
(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判 别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中 考命题的重要知识点，所以必须坚固掌握好它。
(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区分：一般当已知△ 值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用 逆定理。
课堂小结
一元一次方程
感悟新知
例11：不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) - 1 x2 x 1;
4
(2) x2
2x 1 3
知2－讲
导引：根的判别式是在一般情势下确定的，
因此应先将方程化成一般情势，然后
算出判别式的值．
感悟新知
解：(1)原方程化为:
1一元二次方程根的判别式课件
x1
x2
. 2
适时小结：
1.根据方程根的情况,可得到判别式的取值 范围;
2. 求根的判别式的前提是一元二次方程的一 般式；在求方程的根时，可以把已确定的字 母系数的值代入原方程，再求不含字母系数 的方程的根.
自主探究：
怎样的条件才能得到 有实数根？
当k 为何值时,关于x的方程 x2 4kx （2k 1）2 0 有实数根?并求出这时方程的根.(用含k 的代数 式表示)
当x2m取(m何值2时)x，关1 于m2x的1方程0
解：
(m
2)2
4
(
1
4
m2
1)
4
4m 8
(1)当 4m 8 0,即m 2时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当 4m 8 0,即m 2时, 方程有两个相等的实数根.
(3)当 4m 8 0,即m 2时, 方程没有实数根.
适时小结：由方程根的情况得到判别式的取值范围， 进而求出方程中一个字母系数的取值范围.
上述结论反过来也能成立，所以可以得到：
0
方程有两个不相等的实数根.
0
方程有两个相等的实数根.
0
方程没有实数根.
判别式的符号
根的情况
新知学习
当m取何值时，关于x的方程
x2 (m 2)x 1 m2 1 0 4
怎样的条件才能 得到相应的根的 情况？
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
答： (b2 +c2 a2 )2 4b2c2
(b c a)(b c a) (b c a)(b c a)
由三角形的三边关系得：b c a, a b c, a c b 即b c a 0,b c a 0,b c a 0,
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上