索杆张力结构基本理论综述

索杆张力结构的基本理论综述夏巨伟(浙江大学空间结构研究中心)摘要：对应索杆张力结构的预张力加工、施工和使用状态，此类结构的分析设计主要落实到零状态、初始态和荷载态三个阶段。

零状态为结构不受预张力作用时的平衡形态，初始态为结构在自重和预张力作用下的平衡状态，而荷载态则为结构在初始态的基础上承受其他外荷载的受力状态。

本文针对这三个状态对索杆张力结构的基本理论进行综述。

关键词：索杆张力结构；初始态分析；荷载态分析；零状态分析；找形；找力；平衡矩阵理论；1.1初始态分析理论从索杆张力结构的设计过程看，结构的初始态分析是整个设计过程的起点，是荷载态和零状态(施工成形态)分析的基本依据。

初始态分析主要以下几个方面内容：(1) 体系的静动特性分析，即考察体系是否为机构和体系是否能维持预应力。

(2) 预应力的可行性分析，即考察体系中维持的预应力是否能够刚化机构。

(3) 初始形态的稳定性，考察体系是否能够维持初始平衡形状。

(4) 找形分析，即确定初始态的几何。

Timosheko和Young[1]指出决定铰接杆系结构静动特性的两个重要参数s(自应力模态数)和m0(机构数或独立机构位移模态数)与其平衡矩阵A的秩r有关。

若确定了平衡矩阵A的秩r，则s和m0可以分别表示为s=b-r(1.1)m=m-r(1.2)式中，m为结构的自由度数，b为结构的杆件数。

文献根据s、m0的取值情况将铰接杆件体系分成了静定(s=0,m0=0)、静定动不定(s=0,m0>0)、超静定(s>0,m0=0)、静不定动不定(s>0,m0>0)四类，通常情况下索杆张力结构属于第四类。

Pellegrino和Calladine将矩阵的奇异值分解(SVD)技术和矩阵空间的解析相结合，给出了一个分析铰接杆系结构静动特性的方法[2]。

该方法不仅能够有效地得到结构的静动特性，还能将许多具有物理意义的结构属性揭示出来。

铰接杆件体系的平衡方程和协调方程可以写作为At p(1.3)=Bd e (1.4)式中，A (m ×b )为结构的平衡矩阵，t (b ×1)为杆件内力向量，p (m ×1)为节点外荷载向量，B (b ×m )为结构的协调矩阵，d (m ×1)为节点位移向量，e (b ×1)为杆件伸缩量向量。

根据虚功原理容易证明A=B T ，同时也容易观察出平衡矩阵A 实际建立了杆件空间(R b )和自由度空间(R m )之间的联系，也即A 为R b 和R m 间的线性算子。

对矩阵A 进行奇异值分解，则[][]T T =,,rr r m r r b r --⎡⎤⎢⎥⎣⎦Σ0A =U ΣW U U W W 00 (1.5) 式中，[],r m r -=U U U (m ×m )为左奇异矩阵，其中[]1,,r r =U u u ，[]1,,m r r m -+=U u u 且()1,2,,i i m =u 为左奇异向量。

[]1=,,,,i b W w w w (b ×b )为右奇异矩阵，其中[]1,,r r =W w w ，[]1,,b r r b -+=W w w ，()1,2,,i i b =w 为右奇异向量。

()m b ⨯Σ的前r 个主对角元素()1,,ii i r σ= 为正值，且[]11diag ,,rr rr σσ=Σ ，而其余元素均为零。

U 和W 均为正交矩阵。

将式(1.5)左右两边同时乘以W 可得r r rr b r -=⎧⎨=⎩AW U ΣAW 0 (1.6)将式(1.5)左右两边同时取转置并乘以U 可得T T T r r rr m r -⎧=⎨=⎩A U W ΣA U 0 (1.7) 以上两式给出了平衡矩阵A 的四个重要的子空间，其中r W 和b r -W 分别为其行空间和零空间，而r U 和b r -U 分别为其列空间和左零空间。

分别对比式(1.3)和式(1.6)及式(1.4)和式(1.7)易知，位于r W 子空间的杆件内力向量形成的节点外荷载能被结构平衡，位于b r -W 子空间中的杆件内力向量不产生节点外荷载，b r -W 中向量即为通常所讲的自应力模态。

r U 子空间向量表示的位移模式下杆件能产生与之相协调的变形，而m r -U 子空间向量表示的位移模式下杆件不产生任何变形，m r -U 中向量即所谓的独立机构位移模态。

根据平衡矩阵理论，对于给定了初始态几何的索杆张力结构，其初始态预张力0t 为自应力模态的线性组合，可由下式表示01122b r s r r s b ααα-++=+++t =W αw w w (1.8)式中，[]T 12,,,s s ααα=α (s ×1)为自应力模态组合因子。

理论上讲s α向量中元素可为任意实数，但索杆张力结构中索单元只能承受拉力，所以选择这些常数时一方面必须保证索单元受拉。

另外，得到的初始态预张力还必须能够使得可动方向“刚化”。

这就是通常所讲的“可行预应力”问题。

Calladine 和Pellegrino 在结构静动分析的基础上提出了一个判定预张力能否使机构“刚化”的乘积力准则[3]，详见下式()T 00m r ->⎡⎤⎣⎦βG t U β (1.9) 式中，()0G t 为结构在机构位移下预张力产生的节点不平衡力向量，即所谓的乘积力，它与结构预张力和独立结构位移模态有关，β(m 0×1)为独立机构位移模态组合因子向量。

乘积力准则具有明确的物理意义，其表示若初始平衡构型下预张力由于体系发生任意机构位移而产生的节点不平衡力具有使体系返回初始构型的能力，则预张力能够“刚化”机构位移。

显然，乘积力准则中仅包含机构位移项，也即其仅给出了预张力能够强化机构位移的条件，而结构位移包含机构位移和变形位移两部分，因此乘积力准则并不能作为结构稳定性的判据，而只是结构稳定的必要条件。

文献[4, 5]基于能量原理指出势能的二阶变分是判断结构稳定性的一般条件，且其与切线刚度矩阵的正定性等价，文献中还给出了乘积力准则的严格证明。

文献[6]进一步指出切线刚度矩阵的最小特征值min λ可作为判别结构稳定的参数。

若min 0λ>，则结构处于稳定平衡状态；若min 0λ=，则结构处于临界平衡状态；若min 0λ<，则结构处于不稳定平衡状态。

值得提及的是，对于张拉整体结构目前一些学者热衷于研究结构的不依赖于预张力水平和材料属性的超稳定条件(super stable conditon)[7-10]。

一般情况下，索杆张力结构的外形是综合建筑功能、建筑外形、荷载及边界条件等多重因素确定的。

然而，理论上还存在仅已知结构的拓扑来求解结构几何(外形)的问题，即所谓的“找形”分析(Form Finding)。

实际工程中“找形”分析的主要目的是为建筑设计方案提供一个合理性的参考依据。

目前常用的“找形”方法有力密度法、动力松弛法和非线性有限元法。

力密度法(Force Density Method)由Linkwitz 和Schek 于1971年首先提出，最早被用于索网结构找形分析，其基本原理为对结构的每个节点建立静力平衡方程，从而形成与节点坐标相关的线性方程组，通过选择合适的力密度值求解方程组得到所需的节点空间坐标，进而可得所欲分析结构的几何外形及单元内力。

这种方法将几何非线性问题转化为线性方程组的求解问题，避免了初始坐标的设定和非线性系统的收敛问题，简单易行，因而被广泛应用于预应力张拉结构的找形分析中。

动力松弛法(Dynamic Relaxation Method)最早由A.S.Day[11]提出并应用于流体计算中，后经Barnes推广运用于预应力索网结构和膜结构的找形分析中。

动力松弛法的基本原理为对结构进行空间和时间的离散化，在每一个时间步对离散体系的每一个节点的振动过程进行追踪，直到结构因虚拟阻尼的作用而停留在平衡位置。

因而在找形分析中，只需对结构设定任意的初始几何形状，虚设节点的质量和阻尼，通过对结构构件施加预应力使结构在不平衡力作用下产生振动，最终找到结构的平衡状态，而无需求解大型非线性方程组。

非线性有限元法找形的基本原理是将索杆单元进行离散，根据索杆体系大变位小变形的特点，建立以节点位移为未知量的非线性平衡方程，再通过迭代法进行求解。

1.2零状态分析理论索杆张力结构的零状态反映的是结构每一个施工步骤构件安装就位后的平衡状态，零状态的求解实际上就是结构施工成形全过程的形态跟踪问题。

具体的说，就是确定结构在各个施工步骤的形状以及相应的内力。

从工程的角度看，这个分析过程具有现实意义，一方面其分析结果可作为结构施工成形的模拟从而对结构施工张拉方案的合理性进行判断，另一方面也能为施工过程的监测和控制提供参考依据。

尽管索杆张力结构的施工过程从形状上表现出大变形的特征，但从工程的角度来看人们更为关心的是每一个施工步骤完成后的结构形态。

因而，索杆张力结构的施工形态问题在理论上可以转化为已知原长(也称放样长度)的构件根据特定的连接方式在其自重作用下所达到的平衡形态的求解问题(也称找形问题)。

值得注意的是，在求解这个问题时，安装构件的原长应该根据构件的类别分别确定。

对于被动张拉构件，其原长即为理论上的松弛长度，可通过初始态的构件长度扣除内力引起的弹性伸长量(对于索)或者缩短量(对于杆)来计算。

而对于主动索，其原长除理论松弛长度外，还包括施工中需要的牵引长度。

而在主动索张拉过程中，索的长度计算还应该将放样原长扣除千斤顶已拔出长度。

另外应该注意的是，这类找形问题与常规的柔性结构的找形问题有所不用，主要表现在结构在施工成形过程中为几何不稳定的机构，但体系几何的不稳定性并不意味着结构在施工阶段不存在平衡状态，在特定荷载作用下，任何结构体系都会通过形状和内力的调整来达到与当前荷载相适应的一个平衡状态。

从能量的角度来看，这实际上是系统势能最小的客观要求。

而正是由于索杆张力结构的施工成形过程表现为一个伴有刚体位移的大变形过程，利用常用的非线性有限元法对其进行求解时，结构的切线刚度矩阵容易发生奇异，从而常导致计算无法收敛。

因而，实际分析时往往采用一些避免出现数值不稳定现象的措施。

如袁行飞[13]提出了索穹顶施工张拉成形的反分析控制法，即以索穹顶结构的初始态为分析起点，以实际施工张拉的反顺序逐步拆除斜索，从而确定各个施工阶段的结构形态。

文中在计算分析时为避免矩阵奇异引入了中间约束状态。

沈祖炎等[14]指出悬链线索元能够充分考虑索均布自重的影响，在任意构型下其水平和竖向都具有一定的刚度，可有效地避免刚度矩阵奇异。

文中进而提出了基于悬链线索元的非线性有限元求解策略，并对一Geiger 型索穹顶的施工成形过程进行了数值模拟。