高考数学椭圆性质

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点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆

内切.

椭圆与双曲线的对偶性质

(必背的经典结论)

1. 2.

3. 4. 5.

6.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

13.

2 2

若P °(x 0,y 0)在椭圆—2

— a 2 "上,则过F 0的椭圆的切线方程是

2

b

a

x °x y °y x 2 2 八 y

若P °(x 0,y 。)在椭圆—

2 =1外,则过Po 作椭圆的两条切线切点为

a b

P 1、P 2,则切

点弦呢的直线方程是等鈴1.

x y

椭圆V 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2,点P 为椭圆上任意一点 a b

/F 1PF 2二,则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF ^ b 2 ta n?.

椭圆 笃*当=1 (a > b > 0)的焦半径公式:

a b

IMF'^a ex o ,|MF 2〔 = a-ex 。( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).

设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF.

过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点,

A j P 和

A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点N ,贝U MF 丄NF.

2

2

AB 是椭圆 务•‘2=1的不平行于对称轴的弦 ,

a b M (X °, y °)为AB 的中点,则

b 2 k oM k AB

2 ,

a

b 2x °

2 0

a y o

若P )(x °, y °)在椭圆

2 2

—2 y

? = 1内,则被Po

a b 所平分的中点弦的方程是

X 0X y oy _ x 02 y 。2 a 2 b 2

a 2

b 2

若P °(x 0, y °)在椭圆

a P 1内,则过PO

的弦中点的轨迹方程是

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,

连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF. 过双曲线一个焦点

F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 2为双曲

线实轴上的顶

点,A 1P 和A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点 N ,贝U MF 丄NF.

2 2

若P o (X o , y o )在双曲线 刍-七=1 (a >O,b > O )内,则被 Po 所平分的中点弦的

a b

2 2

方程是泌一

2 . 2 2 . 2

1. 2. 3. 4. 5.

6.

7. & 9. 10. 11.

12.

2 2

x y

X °x y °y

2

厂'

b a

b 2

双曲线

点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线

PT 上的射影H 点的轨迹是以长

轴为直径的圆,除去长轴的两个端点

以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆

相切.(内切:P 在右支;外切:

P 在左支)

F 0(X o , y °)在双曲线

2

2

x y

=1 (a > O,b > O )

x o x y o y 2 - 1 2 _ 1

a b

F 0(X o , y o )在双曲线 ~2

a

b

2 2

X 丄 上, 则过F 0的双曲线的切线方程

2 …2 =1 (a > O,b > O ) a b

,则过Po 作双曲线的两条切

线切点为 片、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是

X o X ~2~ a

b 2 _1.

双曲线

2 2 x

y

2

2=

1 (a > O,b > 0)的左右焦点分别为

a b

F 1, F 2,点P 为双曲线上任

意一点 F 1PF 2二,则双曲线的焦点角形的面积为

2

V S F 1 PF 2 - b

cot?.

2 2

x y

2

2 =

1 (a > 0,b > o )的焦半径公式:

a b

当 M (x o ,y 。)在右支上时,\MF 1\ = ex o a ,\ MF 2

当M (x o ,y o )在左支上时, 双曲线

(F 1(-c,O) , F 2(

C ,0)

\ = ex o - a .

| MF 1 \ - -ex o a , \ MF 2 \ ~ -ex o - a

2

x AB 是双曲线—

a

的中点,贝V K OM

2

y

2 =1 ( a > O,b >O )的不平行于对称轴的弦,

b

M (X o ,y o )为 AB

K AB

a y o

,即

K

AB

=b 2X o

a 2y o

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