高考数学椭圆性质
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点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆
内切.
椭圆与双曲线的对偶性质
(必背的经典结论)
1. 2.
3. 4. 5.
6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
2 2
若P °(x 0,y 0)在椭圆—2
— a 2 "上,则过F 0的椭圆的切线方程是
2
b
a
x °x y °y x 2 2 八 y
若P °(x 0,y 。)在椭圆—
2 =1外,则过Po 作椭圆的两条切线切点为
a b
P 1、P 2,则切
点弦呢的直线方程是等鈴1.
x y
椭圆V 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2,点P 为椭圆上任意一点 a b
/F 1PF 2二,则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF ^ b 2 ta n?.
椭圆 笃*当=1 (a > b > 0)的焦半径公式:
a b
IMF'^a ex o ,|MF 2〔 = a-ex 。( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF.
过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点,
A j P 和
A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点N ,贝U MF 丄NF.
2
2
AB 是椭圆 务•‘2=1的不平行于对称轴的弦 ,
a b M (X °, y °)为AB 的中点,则
b 2 k oM k AB
2 ,
a
b 2x °
2 0
a y o
若P )(x °, y °)在椭圆
2 2
—2 y
? = 1内,则被Po
a b 所平分的中点弦的方程是
X 0X y oy _ x 02 y 。2 a 2 b 2
a 2
b 2
若P °(x 0, y °)在椭圆
a P 1内,则过PO
的弦中点的轨迹方程是
设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF. 过双曲线一个焦点
F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 2为双曲
线实轴上的顶
点,A 1P 和A 2Q 交于点 M , A 2P 和A 1Q 交于点 N ,贝U MF 丄NF.
2 2
若P o (X o , y o )在双曲线 刍-七=1 (a >O,b > O )内,则被 Po 所平分的中点弦的
a b
2 2
方程是泌一
2 . 2 2 . 2
1. 2. 3. 4. 5.
6.
7. & 9. 10. 11.
12.
2 2
x y
X °x y °y
2
厂'
b a
b 2
双曲线
点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线
PT 上的射影H 点的轨迹是以长
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆
相切.(内切:P 在右支;外切:
P 在左支)
F 0(X o , y °)在双曲线
2
2
x y
=1 (a > O,b > O )
x o x y o y 2 - 1 2 _ 1
a b
F 0(X o , y o )在双曲线 ~2
a
b
2 2
X 丄 上, 则过F 0的双曲线的切线方程
2 …2 =1 (a > O,b > O ) a b
,则过Po 作双曲线的两条切
线切点为 片、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是
X o X ~2~ a
b 2 _1.
双曲线
2 2 x
y
2
2=
1 (a > O,b > 0)的左右焦点分别为
a b
F 1, F 2,点P 为双曲线上任
意一点 F 1PF 2二,则双曲线的焦点角形的面积为
2
V S F 1 PF 2 - b
cot?.
2 2
x y
2
2 =
1 (a > 0,b > o )的焦半径公式:
a b
当 M (x o ,y 。)在右支上时,\MF 1\ = ex o a ,\ MF 2
当M (x o ,y o )在左支上时, 双曲线
(F 1(-c,O) , F 2(
C ,0)
\ = ex o - a .
| MF 1 \ - -ex o a , \ MF 2 \ ~ -ex o - a
2
x AB 是双曲线—
a
的中点,贝V K OM
2
y
2 =1 ( a > O,b >O )的不平行于对称轴的弦,
b
M (X o ,y o )为 AB
K AB
誓
a y o
,即
K
AB
=b 2X o
a 2y o