高等数学试题及答案(B卷)
2021年全国大学高等数学考试试题及解析B
2021年全国大学高等数学试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________. (3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4)设数量场u =则(grad )div u =______________.(5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1n -,则线性方程组0Ax =的通解为______________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设sin 20()sin()xf x t dt =⎰,34()g x x x =+则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小(2) 双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )(A) 402cos 2d πθθ⎰ (B) 404cos 2d πθθ⎰(C) 2θ (D) 2401(cos 2)2d πθθ⎰(3) 设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩,则1L 与2L 的夹角为 ( ) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( ) (A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求x x →.(2) 设22(sin ,)xz f e y x y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.(3) 设21, 0,(), >0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨⎪⎩求31(2)f x dx -⎰.四、(本题满分6分)计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为上半球面z =.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,+)∞内有且仅有一个零点.(2) 设b a e >>,证明b a a b >.七、(本题满分8分)在变力F yz zx xy i j k =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,)M ξηζ,问当,,ξηζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中n m <,E 是n 阶单位矩阵,若AB E =,证明B 的列向量组线性无关.九、(本题满分7分)设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为1231111,2,3149ξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又向量123β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, (1) 将β用123,,ξξξ线性表出. (2) 求nA β(n 为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______.(2) 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =_______.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,)N μσ,Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数()x φ表示,其中22()t xx e dt φ--∞=).2021年全国大学高等数学考试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x y e y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x y dy e y xy y dx e x xy ++-'==--. 【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29- 【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u z z x y z∂=∂++. 由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭, 所以 {}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=. 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cos sin )2n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑ [][] (), (,)()1(0)(0), (,)()21(0)(0), .2f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】2221x y z++ 【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x y z ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z ∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u z z x y z ∂=∂++,将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++, 因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z∂∂∂=++=∂∂∂++. (5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 222034232300000sin()()sin(sin )cos sin(sin )lim lim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++, 所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||31cos |cos(,)|2||||6l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ,它是分段函数,0x =是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩ 再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,3(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即 223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得 6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨ >⎩ (0)0ϕ''=,即 6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==- 所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C). (5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔线性相关()12n r ,,,n ααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22x x --=, 原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=, 上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin lim lim 1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂. 由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂, 212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂ 111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++ 21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()31121110(2)()1tf x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是22240cos sin I zdV d d d ππθϕρϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰23402sin sin d d ππϕϕρρ=⋅⎰⎰242401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂. 以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4552001632sin 32155a d d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy =++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2220sin a a d r rdr πθθ=-⋅⎰⎰ (极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此 5556295420I a a a πππ=+=. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r rdrd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞. 由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)xxf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->. 从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 b a a b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x -'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即b a a b >.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是 ,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)a b c ξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.Fa Fb F cF a b c ξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,a b c ξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===. 相应的9W ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得 0W =. 因为实际问题存在最大值,所以当(,,)a ξηγ=时W. 【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k kk βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k B k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤. 又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有 111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2) 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是nA 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)n ni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是 123123112233(22)2222n n n n n n n nA A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n nn n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=. 方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Y y f y F y <<'== ⎩其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x =在(0,4)内单调,反函数()x h y ==(0,2)内可导,且导数()h y '=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y 的概率密度为[]1,04,04,()(),042()0,0,0,X Y y y h y f h y y f y << <<'⎧ <<⎪===⎨ ⎪⎩ ⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)XN μσ,所以X的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy +≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy +≤=⎰⎰22()12x x y zdxdy μσπ--+≤=⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dx μμππσσππππ--------∞--∞==⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰ 其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dy π+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dy μμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z dy μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰ 112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰ 12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。
(完整word版)高等数学B试卷及答案
高等数学试卷一、 单项选择题（本题共5小题,每小题4分,满分20分）1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( )。
（A ）dx x g ba⎰)(（B)dx x g ba⎰)((C ）dx x g b a⎰)(（D ）2))](()([a b a g b g -+2. 下列级数中，绝对收敛的是（ )（A ）()∑∞=--11321n nn n (B ）()∑∞=-+-11)1ln(311n n n（C ）()∑∞=-+-12191n n n n (D ）3.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z（ ）。
（A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ （B ）22y v v f ∂∂⋅∂∂ （C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222y vv f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂4.⎰-1121dx x （ ）（A)2 （B ）—2（C ）0 （D ）发散5. 求微分方程2x y =''的通解（ ）(A ）21412c x c x y ++=（Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）221412c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 若⎰=22sin 3)(x dt t x x f ,则()f x '=2. 设f （x ,y ）是连续函数，交换积分次序:⎰⎰⎰⎰+21214141),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy =3.幂级数()()∑∞=--121!21n nn n x 的收敛半径是4. 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，则⎰=2'')(dx x xf通解为x ce y x +=的微分方程为三、 计算下列各题(本题共4小题,每小题5分，满分20分）1. x y z cos )(ln =,求。
第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。
高等数学B试卷及答案
高等数学试卷一、 单项选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( ).(A)dx x g ba⎰)((B)dx x g ba⎰)((C) dx x g ba⎰)((D)2))](()([a b a g b g -+2.下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）()∑∞=--11321n nn n （B ）()∑∞=-+-11)1ln(311n n n（C ）()∑∞=-+-12191n n n n （D ）3.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z( ).(A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ (B)22y v v f ∂∂⋅∂∂(C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222yv v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂4.⎰-1121dx x （ ）（A ）2 （B ）-2（C ）0 （D ）发散5. 求微分方程2x y =''的通解（ ）（A ）21412c x c x y ++= （Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）221412c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 若⎰=22sin 3)(x dt t x x f ，则()f x '=2. 设f (x ,y )是连续函数，交换积分次序：⎰⎰⎰⎰+212141410),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy =3.幂级数()()∑∞=--121!21n nn n x 的收敛半径是4. 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，则⎰=2'')(dx x xf通解为x ce y x+=的微分方程为三、 计算下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1. x y z cos )(ln =，求。
高等数学b试题及答案
高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。
A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。
A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。
答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。
答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。
答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。
解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。
解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。
3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。
高等数学b1期末考试试题和答案
高等数学b1期末考试试题和答案高等数学B1期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。
A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2x-12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x-1)的值是（）。
A. -1B. 1C. 0D. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. xe^x + CD. xe^x - C4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 25. 函数y=ln(x)的二阶导数是（）。
A. 1/x^2B. 1/xC. -1/xD. -1/x^26. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 37. 函数y=x^3-3x^2+2x+1的极值点是（）。
A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=08. 函数y=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 89. 函数y=x^2+2x+1的值域是（）。
A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (-1, +∞)D. [1, +∞)10. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=2处的切线方程是（）。
A. y=x-1B. y=2x-1C. y=3x-2D. y=4x-3二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^3的导数是_________。
12. 极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。
13. 函数y=e^x的二阶导数是_________。
14. 曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线斜率是_________。
15. 函数y=ln(x)的值域是_________。
三、计算题（每题10分，共40分）16. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。
17. 求函数y=x^3-3x^2+2x+1的不定积分。
高等数学上册期末考试B卷及答案
高等数学期末考试卷课程高等数学(A 、B 类)（A 卷）参考答案2018~2019学年第 1 学期一．填空题（每小题3分，共15分） 1.3sin 0lim 12x x x → += 32e2.设()f x 可导，则极限0(1)(1)lim x f h f h h αβ→+−−=()(1)f αβ′+3.不定积分2ln 2x dx =∫22ln 2xC+4.若连续函数()f x 满足：20()sin x f t dt x x π=∫，则(4)f =2π5.反常积分20x x e dx +∞−=∫ 2 。
二． 选择题（每小题3分，共15分）1．设麦克劳林公式221(),x e x ax o x −−=+则常数a =（ B ）（A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）162.设曲线11x y e =−水平渐近线的条数为a ，铅直渐近线的条数为b ，则( D )(A)0,1a b ==; (B)1,0a b ==; (C)1,1a b ==; (D)2,1a b ==。
3．设()ln 2,y x =则它的微分dy =（ D ）(A) 12||dx x (B) 12dx x (C)1||dx x (D) 1dxx 4.设定积分32231211ln ,ln ,I xdx I xdx ==∫∫则（ C ）（A ）12I I = （B ） 1223I I = （C ） 12I I > （D ） 12I I <5.从原点()0,0引曲线y =( B )（A ）y x = （B ）12y x =（C ）2y x =（D ）23y x=三．计算（每小题8分，共48分）1．求极限x →解：原式＝0x →0x x →→012x →=012x →=201cos x x x →−=2． 已知(ln ,y x =求11,x x dy y ==′′。
解：因为 y ′=所以1x dy dx ==y ′′=1x y =′′3、设函数()y f x =由方程x y e e xy −=所确定，求导数0,x y y =′′′ 解：由方程x y e e xy −=的两边对x 求导，得x y e e y y xy ′′−=+，从而可解得x y e y y e x+′=+且当0x = 时得0y =，将0x =，0y =代入上式得(0)1y ′=再由方程x y e e y y xy ′′−=+的两边对x 求导数得 2x y y e e y e y y y xy ′′′′′′′−−=++，将0x =，0y =，(0)1y ′=代入上式得02x y =′′=−。
高数B(上)试题及答案2
高等数学B （上）试题2答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。
3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n →+∞+++ .解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim 1cos x x x x x →-+=- （2分） 02sin cos lim sin x x x x x→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）123123y y x x x '=+++++， （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x =++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos lnsin y x x = （3分）()()cos 12sin cotln sin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+， （3分）由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。
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吉林大学珠海学院学院2014―2015学年度第一学期
2014级-----------------专业期末考试《高等数学》B 卷
1下列变量中，（ ）是无穷小量。
（ ） （A ）)1(),1cos(→-x x （B ）)0(,→
x e x （C ）)0(),1ln(→+x x （D ）x ln
2. =--→1
)
1sin(lim
21x x x （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）1/2
3. 函数)(x f 在0x x =处可导是)(x f
在0x x =处可微的 。
（ ）
(A) 必要但非充分条件； (B) 充分但非必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件
4. ⎩
⎨⎧==2)(0x
x f x 是 00≤>x x 的 。
（ ）
(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点
5. 如果)0(112
≠⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x f 则=)(x f （ ）
(A))1(12
-≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x (B)2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (C)()21x + (D)()2
1x -
6. 设 y=x n e x + , 则=)(n y （ ） (A) x e (B)n ! (C) n !+x ne (D) n !+ x e
7. 若)(x f 为2x 的一个原函数，则=)(x f 。
（ ）
（A ）x 2 （B ）2
x （C ）
331x （D ）C x +33
1
8设 y=)2(x f - , 则='y （ ） (A) )2('x f (B) )2('x f -- (C))2('x f - (D) )2('2x f --
9. 下列等式中，（ ）是正确的。
（ ）
（A ）)()('
x f dx x f
=⎰ （B ）⎰+=c x f dx x f )2()2('
（C ）
⎰=)()(x f dx x f dx d （D ）⎰=)2()2(x f dx x f dx
d
；
10.若⎰+-=--c e
dx e x f x
x
11
)( ,则)(x f 为 （ ）
(A)x 1-
(B)21x - (C) x 1 (D) 21
x
11.定积分dx x x
x ⎰
-+π
π
2
21sin 等于 （ ） (A) 2 （B ）—1 （C ）0 （D ）1
12.下列式子正确的是 （ ） （A ）dx e dx e x x
⎰⎰<1
1
2
（B ）dx e dx e x x
⎰⎰>1
1
2
（C ）dx e dx e x x ⎰⎰=1
10
2
(D) 以上都不对
1. 如果=-+-=)1(,2)(2x f x x x f 则
2. 若,0
,0,sin )(⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=x k x x x
x f 则当k= 时，f(x)连续。
一、选择题（每题 3分，共36分）
二、填空题（每题 2分，共 16分）
3. =++∞→3
23sin lim
2x x x
x x 。
4. =+→x
x x 20
)1(lim 。
5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=,
0,
21)(x f 11>≤x x ，则函数[]=)(x f f _____ ___
6. 比较积分的大小：⎰2
1
ln xdx ⎰2
1
2)(l n dx x
7. =⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎰'
1021arctan dx x x 。
8. =+⎰-dx x x
x 1
12
31cos 。
1. 计算 3
)
3sin(lim 3--→x x x
2. 计算 1
2
3l i m 233
3+--+-→x x x x x x
3.设),ln(ln x y =求dx
dy
4.设,2sin x x y = 求dy
5 计算 设)0(sin >=x x y x
，求y '
6. 求 ⎰
+dx x
x
ln 1
三、计算（1-4每题 4分，5-8每题 6分 共
40分）
7. 求 dx xe x
⎰-
8. 求 dx x x x ⎰-++2
/2/2sin 1cos ππ
甲船以20海里每小时的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船的正北方82海里处以16海里每小时的速度向南行驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近？
四、应用题（ 8 分）
吉林大学珠海学院2014―2015学年度第一学期 2014级期末考试《高等数学》B 卷 参考答案
一、选择题（每题 3分，共36分）
1-5 CDCBC 6-10 DDDCB 11-12 CB 二、填空题（每题 2分，共 16分）
(1) 432+-x x (2) 1 (3) 3 (4) 2e (5) 2
1
(6) > (7) 0 (8) 0
三、计算（1-4每题 4分，5-8每题 6分 共40分）
1. 解：3
)3sin(lim 3--→x x x =33lim 3--→x x
x = —1
2. 解：12
3lim 2333+--+-→x x x x x x =
4
51620139272927lim 3==+--+-→x 3. 解：
dx dy =x
x x x ln 1
)'(ln ln 1=⋅
4. 解：x x x y 2cos 22sin '+= dx x x x dy )2cos 22(sin +=
5. 解：[])'(ln sin ln )'(sin )'('ln sin ln sin x x x x e e y x x x x ⋅+⋅===)sin ln (cos sin x
x
x x x x +
6. 解：
⎰
+dx x x ln 1=C x x d x x d x ++=++=+⎰23
)ln 1(3
2
)1ln(ln 1ln ln 1 7. 解：dx xe x
⎰
-=⎰
⎰⎰---=+-=------)()(x d e xe dx e xe e d x x x x x x
=C e xe x x +----
8. 解：dx x
x x ⎰-++2
/2/2sin 1cos ππ=dx x x dx x x ⎰⎰--+++2/2/22/2/2sin 1cos sin 1ππππ =0+2⎰+2/02sin sin 11
πx d x =20
2/sin arctan πx =20sin arctan 22sin arctan -π=2
π (四) (8分) 解：设经过t 小时后两船相距S 海里 S=)0()20()1682(22>+-t t t 2
2
2
2
)
20()1682(1312656)
20()1682(2800)16)(1682(2't t t t t t t S +--=
+-+--=
0'=S ，得唯一驻点t=2，64≈y
答：经过2小时，甲乙两船相距最近。